2021-2022學(xué)年湖南省長沙市縣第六中學(xué)高一數(shù)學(xué)理月考試題含解析

1、2021-2022學(xué)年湖南省長沙市縣第六中學(xué)高一數(shù)學(xué)理月考試題含解析一、 選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有是一個(gè)符合題目要求的1. 下列函數(shù)中為偶函數(shù)的是（ ）A.y=|x1| B. C.y=x D. y= 參考答案：D略2. 已知集合，則（ ）A0或 B0或3 C1或 D1或3參考答案：B3. 已知三點(diǎn)A（2,1）、B（x，2）、C（1，0）共線，則x為： A、7 B、-5 C、3 D、-1參考答案：A4. （5分）定義在R上的奇函數(shù)f（x），當(dāng)x0時(shí)，f（x）=則關(guān)于x的函數(shù)F（x）=f（x）a（0a1）的所有零點(diǎn)之和為（）A12aB2a1C1

2、2aD2a1參考答案：A考點(diǎn)：函數(shù)的零點(diǎn) 專題：數(shù)形結(jié)合；函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用分析：函數(shù)F（x）=f（x）a（0a1）的零點(diǎn)轉(zhuǎn)化為：在同一坐標(biāo)系內(nèi)y=f（x），y=a的圖象交點(diǎn)的橫坐標(biāo)作出兩函數(shù)圖象，考查交點(diǎn)個(gè)數(shù)，結(jié)合方程思想，及零點(diǎn)的對(duì)稱性，根據(jù)奇函數(shù)f（x）在x0時(shí)的解析式，作出函數(shù)的圖象，結(jié)合圖象及其對(duì)稱性，求出答案解答：當(dāng)x0時(shí)，f（x）=；即x；x時(shí)，f（x）=x2；x（3，+）時(shí)，f（x）=4x（，1）；畫出x0時(shí)f（x）的圖象，再利用奇函數(shù)的對(duì)稱性，畫出x0時(shí)f（x）的圖象，如圖所示；則直線y=a，與y=f（x）的圖象有5個(gè)交點(diǎn)，則方程f（x）a=0共有五個(gè)實(shí)根，最左邊兩根之和為6，

3、最右邊兩根之和為6，x（1，0）時(shí)，x（0，1），f（x）=（x+1），又f（x）=f（x），f（x）=（x+1）=（1x）1=log2（1x），中間的一個(gè)根滿足log2（1x）=a，即1x=2a，解得x=12a，所有根的和為12a故選：A點(diǎn)評(píng)：本題考查分段函數(shù)的圖象與性質(zhì)的應(yīng)用問題，也考查了利用函數(shù)零點(diǎn)與方程的應(yīng)用問題，是綜合性題目5. 函數(shù)的定義域?yàn)镈，若對(duì)于任意，當(dāng)時(shí)都有，則稱函數(shù)在D上為非減函數(shù)，設(shè)函數(shù)在0，1上為非減函數(shù)，且滿足以下三個(gè)條件：；，則等于 ( ）A B C1 D參考答案：A6. 設(shè)f (x)是定義在 (-?，+?)上的偶函數(shù)，且它在0，+?)上單調(diào)遞增， 若，則a,b,

4、c的大小關(guān)系是（ ）A. B. C. D.參考答案：C7. 直線過點(diǎn)，且與以為端點(diǎn)的線段恒相交，則的斜率 的范圍是（ ） 參考答案：C8. 下列各式中值等于的是（ ） A、 B、 C、 D、參考答案：B略9. 已知向量若時(shí)，；時(shí)，則 ( )A B. C. D.參考答案：A10. 已知f（x）為偶函數(shù)，當(dāng)x0時(shí)，f（x）=（x1）2+1，滿足ff（a）=的實(shí)數(shù)a的個(gè)數(shù)為（）A2B4C6D8參考答案：D考點(diǎn)： 函數(shù)奇偶性的性質(zhì)專題： 計(jì)算題分析： 令f（a）=x，則ff（a）=轉(zhuǎn)化為f（x）=先解f（x）=在x0時(shí)的解，再利用偶函數(shù)的性質(zhì)，求出f（x）=在x0時(shí)的解，最后解方程f（a）=x即可解答

5、： 解：令f（a）=x，則ff（a）=變形為f（x）=；當(dāng)x0時(shí)，f（x）=（x1）2+1=，解得x1=1+，x2=1；f（x）為偶函數(shù)，當(dāng)x0時(shí)，f（x）=的解為x3=1，x4=1+；綜上所述，f（a）=1+，1，1，1+；當(dāng)a0時(shí)，f（a）=（a1）2+1=1+，方程無解；f（a）=（a1）2+1=1，方程有2解；f（a）=（a1）2+1=1，方程有1解；f（a）=（a1）2+1=1+，方程有1解；故當(dāng)a0時(shí)，方程f（a）=x有4解，由偶函數(shù)的性質(zhì)，易得當(dāng)a0時(shí)，方程f（a）=x也有4解，綜上所述，滿足ff（a）=的實(shí)數(shù)a的個(gè)數(shù)為8，故選D點(diǎn)評(píng)： 本題綜合考查了函數(shù)的奇偶性和方程的解的個(gè)數(shù)

6、問題，同時(shí)運(yùn)用了函數(shù)與方程思想、轉(zhuǎn)化思想和分類討論等數(shù)學(xué)思想方法，對(duì)學(xué)生綜合運(yùn)用知識(shí)解決問題的能力要求較高，是高考的熱點(diǎn)問題二、 填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11. 已知cos（x+）=，x，則= 參考答案：【考點(diǎn)】同角三角函數(shù)基本關(guān)系的運(yùn)用【分析】已知等式利用兩角和與差的余弦函數(shù)公式化簡，整理求出cosxsinx的值，利用完全平方公式及同角三角函數(shù)間的基本關(guān)系求出cosx+sinx與2sinxcosx的值，原式化簡后代入計(jì)算即可求出值【解答】解：cos（x+）=（cosxsinx）=，cosxsinx=，兩邊平方得：cos2x+sin2x2sinxcosx=12sinxcos

7、x=，即2sinxcosx=，cosx+sinx=sin（x+），且x+2，cosx+sinx0，（cosx+sinx）2=1+2sinxcosx=，開方得：cosx+sinx=，則原式=故答案為：12. 設(shè)全集，則圖中陰影部分所表示的集合是 w.w.w.參考答案：13. 已知直線l過點(diǎn)，斜率為2，則直線l的方程是 。參考答案：略14. 若，不等式恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍為 .參考答案：15. 函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間是_參考答案：略16. 已知函數(shù)f（x）=的值域是0，+），則實(shí)數(shù)m的取值范圍是 參考答案：0，19，+）【考點(diǎn)】函數(shù)的值域；一元二次不等式的應(yīng)用 【專題】計(jì)算題【分析】當(dāng)m=0時(shí)，檢驗(yàn)

8、合適； m0時(shí)，不滿足條件； m0時(shí)，由0，求出實(shí)數(shù)m的取值范圍，然后把m的取值范圍取并集【解答】解：當(dāng)m=0時(shí)，f（x）=，值域是0，+），滿足條件；當(dāng)m0時(shí)，f（x）的值域不會(huì)是0，+），不滿足條件；當(dāng)m0時(shí)，f（x）的被開方數(shù)是二次函數(shù)，0，即（m3）24m0，m1或 m9綜上，0m1或 m9，實(shí)數(shù)m的取值范圍是：0，19，+），故答案為：0，19，+）【點(diǎn)評(píng)】本題考查函數(shù)的值域及一元二次不等式的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題17. 若數(shù)列an滿足，=，則=_參考答案：9【分析】由已知條件可得該數(shù)列是以3為首項(xiàng)，3為公差的等差的等差數(shù)列，根據(jù)等差數(shù)列的通項(xiàng)公式即可得結(jié)果.【詳解】數(shù)列是以3為首項(xiàng)，3為

9、公差的等差的等差數(shù)列，故答案為9.【點(diǎn)睛】本題主要考查了等差數(shù)列的基本概念，屬于基礎(chǔ)題.三、 解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟18. 設(shè)關(guān)于的不等式的解集為，不等式的解集為.（）當(dāng)時(shí),求集合；（）若,求實(shí)數(shù)的取值范圍.參考答案：()當(dāng)時(shí), 由已知得. 解得. 所以. () 由已知得. 當(dāng)時(shí), 因?yàn)?，所?因?yàn)椋?，解?若時(shí), ，顯然有，所以成立 若時(shí), 因?yàn)?，所? 又，因?yàn)?，所?解得 綜上所述,的取值范圍是. 19. 設(shè)為實(shí)數(shù)，函數(shù)，（1）當(dāng)時(shí)，討論的奇偶性；（2）當(dāng)時(shí)，求的最大值.參考答案：解：（1）當(dāng)時(shí)，此時(shí)為奇函數(shù)。 當(dāng)時(shí)，由且，此時(shí)既不是

10、奇函數(shù)又不是偶函數(shù) （2） 當(dāng)時(shí)，時(shí)，為增函數(shù)，時(shí)，. 當(dāng)時(shí)，其圖象如圖所示：當(dāng)，即時(shí)，. 當(dāng)，即時(shí)，當(dāng)，即時(shí)， 綜上：當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，； 略20. 定義在上的函數(shù)滿足：對(duì)任意的都有成立， ，且當(dāng)時(shí)， （1）求的值，并判斷的奇偶性；（2）證明：在上的單調(diào)遞增；（3）若關(guān)于的方程在上有兩個(gè)不同的實(shí)根，求實(shí)數(shù)的取值范圍參考答案：解：（1）令，得； 令，得 令，得，所以是偶函數(shù). 4分（2）設(shè) 因?yàn)?，所以所以在上是單調(diào)函數(shù). 7分（3）由得 所以得在上有兩個(gè)不同的實(shí)根ks5u 即在上有兩個(gè)不同的實(shí)根設(shè)，條件轉(zhuǎn)化為在上有兩個(gè)不同的實(shí)根作出函數(shù)在上的圖象可知，當(dāng)所求的范圍是12分略21. （12分

11、）定義在R上的函數(shù)f（x），滿足當(dāng)x0時(shí)，f（x）1，且對(duì)任意的x，yR，有f（x+y）=f（x）?f（y），f（1）=2（1）求f（0）的值；（2）求證：對(duì)任意xR，都有f（x）0；（3）解不等式f（32x）4參考答案：考點(diǎn)：抽象函數(shù)及其應(yīng)用 專題：計(jì)算題；證明題；函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用分析：（1）令x=y=0，得f（0）=0或f（0）=1再令y=0，得f（x）=f（x）?f（0），對(duì)任意xR成立，所以f（0）0，即f（0）=1；（2）對(duì)任意xR，有f（x）=f（+）=f（）?f（）=f（）20由條件即可得證；（3）令x=y=1，求得f（2）=4，再由單調(diào)性的定義，任取x1，x2，x1x2，則x2

12、x10，有f（x2x1）1則f（x2）=f（x2x1+x1）=f（x2x1）f（x1）f（x1），即可判斷f（x）在R上遞增，即有不等式f（32x）4即f（32x）f（2）運(yùn)用單調(diào)性即可解得解答：（1）對(duì)任意x，yR，f（x+y）=f（x）?f（y）令x=y=0，得f（0）=f（0）?f（0），即f（0）=0或f（0）=1令y=0，得f（x）=f（x）?f（0），對(duì)任意xR成立，所以f（0）0，因此f（0）=1（2）證明：對(duì)任意xR，有f（x）=f（+）=f（）?f（）=f（）20假設(shè)存在x0R，使f（x0）=0，則對(duì)任意x0，有f（x）=f（xx0）+x0=f（xx0）?f（x0）=0這與已

13、知x0時(shí)，f（x）1矛盾所以，對(duì)任意xR，均有f（x）0成立（3）令x=y=1有f（2）=f2（1）=4，任取x1，x2，x1x2，則x2x10，有f（x2x1）1f（x2）=f（x2x1+x1）=f（x2x1）f（x1）f（x1），則f（x）在R上遞增，不等式f（32x）4即f（32x）f（2）即有32x2，即x，故不等式的解集為（）點(diǎn)評(píng)：本題考查抽象函數(shù)及應(yīng)用，考查函數(shù)的單調(diào)性及運(yùn)用：解不等式，同時(shí)考查解決抽象函數(shù)的常用方法：賦值法，屬于中檔題22. 某海域的東西方向上分別有A，B兩個(gè)觀測(cè)點(diǎn)（如圖），它們相距海里現(xiàn)有一艘輪船在D點(diǎn)發(fā)出求救信號(hào)，經(jīng)探測(cè)得知D點(diǎn)位于A點(diǎn)北偏東45，B點(diǎn)北偏西6

14、0，這時(shí)，位于B點(diǎn)南偏西60且與B點(diǎn)相距海里的C點(diǎn)有一救援船，其航行速度為30海里/小時(shí)(1)求B點(diǎn)到D點(diǎn)的距離BD；(2)若命令C處的救援船立即前往D點(diǎn)營救，求該救援船到達(dá)D點(diǎn)需要的時(shí)間參考答案：（1）；（2）1【分析】（1）在DAB中利用正弦定理，求出BD；（2）在DCB中，利用余弦定理求出CD，根據(jù)速度求出時(shí)間【詳解】(1)由題意知AB=5（3+）海里，DBA=9060=30，DAB=9045=45，ADB=180（45+30）=105，在DAB中，由正弦定理得=，DB=10（海里）(2)在DBC中，DBC=DBA+ABC=30+（9060）=60，（10分）BC=20（海里），由余弦定理得CD2