垂直平分線(xiàn)的性質(zhì)(劉瑩)

1、西陵區(qū)“初中數(shù)學(xué)例題教學(xué)的變式研究”課堂教學(xué)觀摩活動(dòng)PAGE PAGE 7“線(xiàn)段的垂直平分線(xiàn)的性質(zhì)”課堂實(shí)錄與評(píng)析 課題：人教版數(shù)學(xué)八年級(jí)上冊(cè)13.1.2線(xiàn)段的垂直平分線(xiàn)的性質(zhì) 執(zhí)教者：宜昌市第二十五中學(xué) 劉瑩 教學(xué)過(guò)程： 一、情境引入 師：在前不久老師遇到這樣一個(gè)問(wèn)題，不知道如何解決。問(wèn)題是這樣的：“在東山大道L的同側(cè)，有兩個(gè)工廠(chǎng)A、B，為了便于兩廠(chǎng)的工人看病，準(zhǔn)備在公路邊上修建一所醫(yī)院，使得兩個(gè)工廠(chǎng)到醫(yī)院的路程相等，問(wèn)怎樣選擇院址？”請(qǐng)同學(xué)們思考，如何將這個(gè)實(shí)際問(wèn)題抽象成為一個(gè)數(shù)學(xué)幾何問(wèn)題？ ABAB東山大道 L 生：在L上找到一點(diǎn)，使得這個(gè)點(diǎn)到A、B兩個(gè)工廠(chǎng)的距離相等！ 師：那么，這個(gè)點(diǎn)

2、應(yīng)該選在哪里呢？通過(guò)本節(jié)課的學(xué)習(xí)，相信同學(xué)們都能幫老師解決這個(gè)問(wèn)題! （引出課題線(xiàn)段的垂直平分線(xiàn)的性質(zhì)） 二、探索新知 探究1 師：請(qǐng)同學(xué)們?cè)诓莞寮埳袭?huà)一條線(xiàn)段AB，然后利用刻度尺、三角板畫(huà)出線(xiàn)段AB的垂直平分線(xiàn)MN （師巡視，并指導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行操作） 師：刻度尺、三角板在作圖時(shí)有什么作用？生：刻度尺可以度量長(zhǎng)度，三角板可以畫(huà)出直角師：不錯(cuò)！那它們?cè)诋?huà)線(xiàn)段的垂直平分線(xiàn)的過(guò)程中起到了什么作用？生：利用刻度尺，我們可以畫(huà)出中點(diǎn)，利用三角板，我們可以畫(huà)出垂線(xiàn)（學(xué)生完成作圖） 師：請(qǐng)同學(xué)們?cè)谥本€(xiàn)MN上任取一點(diǎn)P，連結(jié)線(xiàn)段PA、PB，觀察比較這兩條線(xiàn)段，你能發(fā)現(xiàn)什么？生：PA、PB的長(zhǎng)度相等師：大家都發(fā)現(xiàn)了

3、嗎? 生：是的師：這個(gè)結(jié)論是偶然的嗎？我們?cè)僭谥本€(xiàn)MN上取另外一點(diǎn)Q試試？你們有什么發(fā)現(xiàn)？生：再取一點(diǎn)，連結(jié)得到的線(xiàn)段QA、QB也是相等的結(jié)論：PA=PB, QA=QB探究2師：大家通過(guò)觀察發(fā)現(xiàn)了這個(gè)結(jié)論，你們能說(shuō)說(shuō)你是怎樣的到這個(gè)結(jié)論的嗎？（教師打開(kāi)幾何畫(huà)板，演示圖形） 生1：可以通過(guò)“邊角邊”證明AOCBOC ，得到PA=PB. 生2：可以測(cè)量PA、PB的長(zhǎng)度，得到PA=PB（教師用幾何畫(huà)板演示：在直線(xiàn)l上拖動(dòng)點(diǎn)C時(shí)，PA、PB仍然相等,在拖動(dòng)的過(guò)程中點(diǎn)C可以代表直線(xiàn)l上的任意一點(diǎn).）生3：因?yàn)榫€(xiàn)段是軸對(duì)稱(chēng)圖形，所以通過(guò)對(duì)折也可以得到PA=PB(教師用幾何畫(huà)板動(dòng)態(tài)演示折疊過(guò)程） 師：想一想

4、，你對(duì)線(xiàn)段的垂直平分線(xiàn)上的點(diǎn)有了怎樣的認(rèn)識(shí)？生4：它和線(xiàn)段的兩個(gè)端點(diǎn)連結(jié)的線(xiàn)段是相等的生5：這個(gè)點(diǎn)是線(xiàn)段垂直平分線(xiàn)上的任意一點(diǎn)師：這就是線(xiàn)段垂直平分線(xiàn)的一個(gè)重要性質(zhì)（教師板書(shū)）線(xiàn)段垂直平分線(xiàn)的性質(zhì)定理：線(xiàn)段的垂直平分線(xiàn)上的點(diǎn)到這條線(xiàn)段兩個(gè)端點(diǎn)的距離相等 師：我們一起來(lái)說(shuō)一說(shuō)它的符號(hào)語(yǔ)言 （生齊答，師板書(shū)） 點(diǎn)P在線(xiàn)段AB的垂直平分線(xiàn)上； PA=PB 師：學(xué)習(xí)了這個(gè)定理后，我們證明線(xiàn)段相等又多了一種方法 三、應(yīng)用新知 例1如圖所示，在ABC中，AC=32，MN是AB的垂直平分線(xiàn)，且有BC=21，求BCN的周長(zhǎng) （教師引導(dǎo)學(xué)生先讀題） 師：由MN是AB的垂直平分線(xiàn)能得到什么結(jié)論?生6：AM=BM

5、生7：AN=BN, 師：那如何求BCN的周長(zhǎng)呢？請(qǐng)同學(xué)們獨(dú)立思考，找到解題方法。 （一名學(xué)生講解解題過(guò)程，教師板書(shū)） 師：還有沒(méi)有其他方法證明AN=BN嗎？生8：有！利用AMNBMN也可以得到此結(jié)論師：這兩種方法你會(huì)選擇哪種呢？ 生：選擇利用線(xiàn)段垂直平分線(xiàn)的性質(zhì)定理來(lái)證明，因?yàn)樗鼤?shū)寫(xiě)起來(lái)更簡(jiǎn)潔 師：（小結(jié)）本題也可選擇利用全等來(lái)解決，但比較起來(lái)書(shū)寫(xiě)要簡(jiǎn)便得多通過(guò)對(duì)例1的分析，進(jìn)一步說(shuō)明了掌握好性質(zhì)定理的應(yīng)用，可以幫我們?cè)谧C明一些幾何問(wèn)題中省不少的力四、思維延伸 探究3 師：再回到垂直平分線(xiàn)的性質(zhì)定理中，如果我們將它的條件和結(jié)論互換，就可以得到它的逆命題：（投影）如果PA=PB,那么點(diǎn)P是否在A

6、B的垂直平分線(xiàn)上呢？ （先請(qǐng)同學(xué)們獨(dú)立思考，然后小組討論。） 小組1：過(guò)點(diǎn)P作AB的垂線(xiàn)，垂足為點(diǎn)D，在RtAPD和RtBPD中，AP=BP，DP=DP，由HL可以證明RtAPDRtBPD，得出AD=BD，所以PD為AB的垂直平分線(xiàn) 小組2：取AB的中點(diǎn)D，連接PD，由“邊邊邊”可以證明APDBPD，得證 小組3：過(guò)點(diǎn)P作APB的角平分線(xiàn)，交AB于點(diǎn)D，由“角角邊”可以證明APDBPD，得證 師：在證明過(guò)程中我們用的方法是“作垂直，證平分”或者“作平分，證垂直”，有沒(méi)有哪位同學(xué)能將我們證明出的結(jié)論用文字語(yǔ)言來(lái)描述一下？生9：如果一個(gè)點(diǎn)到一條線(xiàn)段的兩個(gè)端點(diǎn)的距離相等，那么這個(gè)點(diǎn)在這條線(xiàn)段的垂直平

7、分線(xiàn)上師：這就是我們今天要學(xué)習(xí)的第二個(gè)定理：（教師板書(shū)）線(xiàn)段垂直平分線(xiàn)的性質(zhì)定理：與一條線(xiàn)段兩個(gè)端點(diǎn)距離相等的點(diǎn)，在這條線(xiàn)段的垂直平分線(xiàn)上師：我們一起再來(lái)說(shuō)說(shuō)它的符號(hào)語(yǔ)言： （生齊答，師板書(shū)） PA=PB；點(diǎn)P在線(xiàn)段AB的垂直平分線(xiàn)上師：這個(gè)定理經(jīng)常用于證明點(diǎn)在線(xiàn)上或者直線(xiàn)經(jīng)過(guò)某一點(diǎn)，是個(gè)非常重要的定理！ 師：綜合這兩個(gè)定理，我們可以知道，在線(xiàn)段AB的垂直平分線(xiàn)MN上的點(diǎn)與A、B距離都相等，反過(guò)來(lái)，與A、B兩點(diǎn)距離相等的點(diǎn)都在MN上 （教師用幾何畫(huà)板演示：到A,B兩點(diǎn)距離相等的所有點(diǎn)形成了線(xiàn)段AB的垂直平分線(xiàn)即直線(xiàn)MN可以看成與A,B的距離相等的所有點(diǎn)的集合） 五、鞏固應(yīng)用練習(xí)1、判斷：如右圖

8、PA=PB，點(diǎn)P在直線(xiàn)MN上，則MN是線(xiàn)段AB的垂直平分線(xiàn)（ ） NMNM 師：動(dòng)動(dòng)腦，看誰(shuí)的反應(yīng)最快. 生10：這個(gè)結(jié)論是對(duì)的，根據(jù)線(xiàn)段的垂直平分線(xiàn)的判定定理可以得到 生11：我認(rèn)為這個(gè)結(jié)論是不對(duì)的，條件沒(méi)告訴MN是AB的垂直平分線(xiàn) 生12：我也認(rèn)為這個(gè)結(jié)論不正確，根據(jù)垂直平分線(xiàn)的判定定理，由條件PA=PB，只能得到點(diǎn)P在AB的垂直平分線(xiàn)上，而過(guò)點(diǎn)P的直線(xiàn)有無(wú)數(shù)條 師：答得非常好！一點(diǎn)不能確定一條直線(xiàn)，過(guò)點(diǎn)P的直線(xiàn)由無(wú)數(shù)條（屏幕顯示過(guò)點(diǎn)P的直線(xiàn)有無(wú)數(shù)條），而MN只是其中一條，所以不能說(shuō)明MN是AB的垂直平分線(xiàn)練習(xí)2、如圖，在ABC中，AB=AC，O是ABC內(nèi)一點(diǎn)且OB=OC 求證：直線(xiàn)AO垂

9、直平分線(xiàn)段BC （學(xué)生獨(dú)立思考） 師：想好的同學(xué)請(qǐng)舉手； 生13：可以根據(jù)證明ABOACO,得到BAO=CAO,從而可以證明ABDACD,可以得到AO為BC的角平分線(xiàn) 師：不錯(cuò)！他是通過(guò)兩次證明三角形全等得出結(jié)論，有沒(méi)有同學(xué)有更簡(jiǎn)單的方法？ 生14：AB=AC 點(diǎn)A在線(xiàn)段BC的垂直平分線(xiàn)上； 又OB=OC 點(diǎn)A在線(xiàn)段BC的垂直平分線(xiàn)上； 直線(xiàn)AO是線(xiàn)段BC的垂直平分線(xiàn)（兩點(diǎn)確定一條直線(xiàn)）. 師：答得非常好！這兩種方法你們認(rèn)為哪種更為簡(jiǎn)單呢？生15：第二種更為簡(jiǎn)便，理由是證明全等的過(guò)程太過(guò)于復(fù)雜了 師：好的，通過(guò)這個(gè)問(wèn)題，相信同學(xué)們都能很靈活的應(yīng)用垂直平分線(xiàn)的性質(zhì)定理和判定定理 練習(xí)3、 已知：

10、如圖，ABC中，AB的垂直平分線(xiàn)DE與BC的垂直平分線(xiàn)FG交于P求證：（）PA=PB=PC；（）點(diǎn)P在邊AC的垂直平分線(xiàn)上 （教師請(qǐng)一名同學(xué)上臺(tái)板演，其他同學(xué)獨(dú)立完成，在完成的過(guò)程中老師邊巡視邊指導(dǎo)） 師：有沒(méi)有哪位同學(xué)想當(dāng)一次小老師，點(diǎn)評(píng)黑板上的完成情況？生16：他完成的非常好，只是不夠簡(jiǎn)略，重復(fù)的理由我們可以用同理二字，沒(méi)必要重復(fù)寫(xiě)生17：他的字跡不夠工整，并且也沒(méi)有寫(xiě)證明兩字師：點(diǎn)評(píng)得非常到位，他們說(shuō)的也是老師想說(shuō)的，做錯(cuò)的同學(xué)請(qǐng)好好對(duì)照黑板上的過(guò)程進(jìn)行改正，尋找錯(cuò)誤的原因六、實(shí)際運(yùn)用師：我們?cè)倩氐叫抡n開(kāi)始提出的實(shí)際問(wèn)題之中，看看這個(gè)問(wèn)題應(yīng)該怎么解決？ 生（齊答）：連接AB，作AB的垂直

11、平分線(xiàn)與L的交點(diǎn)就是醫(yī)院的院址 師：理由是什么？ 生：理由是線(xiàn)段垂直平分線(xiàn)的判定定理 師：經(jīng)過(guò)這節(jié)課的學(xué)習(xí)，同學(xué)們都能幫老師完成這個(gè)問(wèn)題，非常不錯(cuò)！ 七、歸納總結(jié) 師：接下來(lái)，我們一起來(lái)回憶一下，本節(jié)課你學(xué)到了什么，又有什么收獲？ 生18：我學(xué)習(xí)了垂直平分線(xiàn)的兩個(gè)定理：性質(zhì)定理和判定定理 師：這兩個(gè)定理分別能幫助我們解決什么問(wèn)題呢？ 生19：性質(zhì)定理證明線(xiàn)段相等；判定定理證明點(diǎn)在線(xiàn)上或線(xiàn)經(jīng)過(guò)某一點(diǎn) 生20：我還學(xué)會(huì)了可以利用垂直平分線(xiàn)的性質(zhì)解決實(shí)際生活中的一些問(wèn)題，比如說(shuō)距離相等問(wèn)題，某點(diǎn)在某一條直線(xiàn)上 師：同學(xué)們回答得都非常好！在應(yīng)用這兩個(gè)定理的時(shí)候我們要注意數(shù)與形的結(jié)合，這樣才能將更加靈活

12、的掌握它們本節(jié)課我們就上到這里，接下來(lái)有一道思考題留給大家課后完成下課！八、課后拓展如圖：一個(gè)小牧童，從A地出發(fā)，趕著牛群到河岸邊l處飲水，然后再到B地，請(qǐng)問(wèn)怎樣選擇飲水的地點(diǎn)，才能使牛群所走的路程最短？ BBlA教后反思：本節(jié)課教學(xué)的最大特點(diǎn)在于將數(shù)學(xué)實(shí)踐活動(dòng)與數(shù)學(xué)教學(xué)自然地結(jié)合在一起，幫助學(xué)生加深了對(duì)線(xiàn)段垂直平分線(xiàn)的兩個(gè)定理的感性認(rèn)識(shí)和直觀印象，很好地建立起數(shù)形結(jié)合的意識(shí)本節(jié)課的設(shè)計(jì)理念主要體現(xiàn)在：1、通過(guò)一個(gè)實(shí)際問(wèn)題引入新課，先讓學(xué)生感受到學(xué)習(xí)本節(jié)內(nèi)容的重要性以及必要性，再讓學(xué)生動(dòng)手畫(huà)一畫(huà)線(xiàn)段的垂直平分線(xiàn)，通過(guò)直觀觀察猜想得出線(xiàn)段垂直平分線(xiàn)的性質(zhì)在此基礎(chǔ)上，教師借助幾何畫(huà)板中的測(cè)量功能，

13、驗(yàn)證結(jié)論的正確性，并引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行幾何推理證明2、讓學(xué)生直接寫(xiě)出性質(zhì)定理的逆命題，通過(guò)小組合作交流，探究出線(xiàn)段垂直平分線(xiàn)的判定定理在這一環(huán)節(jié)，我設(shè)計(jì)了一道判斷題，由PAPB，能說(shuō)明過(guò)點(diǎn)P的直線(xiàn)MN一定在線(xiàn)段AB的垂直平分線(xiàn)上嗎？通過(guò)這個(gè)問(wèn)題引導(dǎo)學(xué)生對(duì)判定定理的條件進(jìn)行深入分析，加深學(xué)生對(duì)定理的正確理解3、在練習(xí)1之后，設(shè)計(jì)了一個(gè)變式練習(xí)（練習(xí)2），此題既要運(yùn)用到線(xiàn)段垂直平分線(xiàn)的判定定理，也要運(yùn)用“兩點(diǎn)確定一條直線(xiàn)”，讓學(xué)生對(duì)定理進(jìn)一步鞏固運(yùn)用4、在教學(xué)中，我注重結(jié)合圖形來(lái)引導(dǎo)學(xué)生辨析性質(zhì)定理和判定定理的區(qū)別和聯(lián)系，強(qiáng)調(diào)書(shū)寫(xiě)證明過(guò)程時(shí)要規(guī)范幾何語(yǔ)言書(shū)寫(xiě)格式，讓學(xué)生能養(yǎng)成良好的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)習(xí)慣當(dāng)然，本節(jié)

14、課也存在不足之處，如：教師的課堂駕馭能力不夠，對(duì)于課堂各環(huán)節(jié)的時(shí)間把握不準(zhǔn)；在部分教學(xué)環(huán)節(jié)中的語(yǔ)言過(guò)于啰嗦、重復(fù)，因而導(dǎo)致時(shí)間浪費(fèi)，出現(xiàn)前松后緊的現(xiàn)象此外，在教學(xué)時(shí)，我沒(méi)有充分調(diào)動(dòng)學(xué)生的學(xué)習(xí)積極性，沒(méi)有很好地體現(xiàn)“學(xué)為第一，教助學(xué)成”這一教學(xué)理念設(shè)計(jì)評(píng)析：（宜昌市西陵區(qū)教科院 周靜） 1、重視知識(shí)的數(shù)學(xué)化數(shù)學(xué)教育的目標(biāo)在于使學(xué)生學(xué)會(huì)“數(shù)學(xué)化”因此，教師在教學(xué)中應(yīng)將數(shù)學(xué)知識(shí)與它有關(guān)的現(xiàn)實(shí)背景密切聯(lián)系在一起，通過(guò)“數(shù)學(xué)化”的途徑來(lái)進(jìn)行數(shù)學(xué)教育本節(jié)課的一個(gè)亮點(diǎn)就在于用了一個(gè)實(shí)際問(wèn)題來(lái)引入新課，讓學(xué)生在將實(shí)際問(wèn)題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)模型的過(guò)程中展開(kāi)對(duì)新知的學(xué)習(xí)這一設(shè)計(jì)很好地激發(fā)了學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，同時(shí)也有助于學(xué)生

15、模型思想的建立，讓學(xué)生感受到數(shù)學(xué)的應(yīng)用價(jià)值，并進(jìn)一步獲取將實(shí)際問(wèn)題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問(wèn)題的經(jīng)驗(yàn) 2、關(guān)注數(shù)學(xué)實(shí)踐活動(dòng) 著名心理學(xué)家皮亞杰指出：“思維從動(dòng)作開(kāi)始，切斷思維與動(dòng)作的聯(lián)系，思維就不能得到發(fā)展，人手和腦之間有著千絲萬(wàn)縷的聯(lián)系”操作是思維的起點(diǎn)，也是認(rèn)知的來(lái)源在本節(jié)課的新知探究環(huán)節(jié)，教師為學(xué)生提供了一個(gè)動(dòng)手操作的時(shí)間與空間，首先讓學(xué)生在畫(huà)圖的過(guò)程中明確線(xiàn)段的垂直平分線(xiàn)必須具備兩個(gè)要素中點(diǎn)和垂線(xiàn)，再讓學(xué)生連接中垂線(xiàn)上的任意一點(diǎn)與線(xiàn)段的兩個(gè)端點(diǎn)，觀察并猜想得出這兩條線(xiàn)段相等，由此為后面探究線(xiàn)段的垂直平分線(xiàn)的性質(zhì)定理起到很好的鋪墊作用整個(gè)定理的探究過(guò)程由豐富的學(xué)生實(shí)踐活動(dòng)組成，有學(xué)生的作圖活動(dòng)，觀察猜想活動(dòng)，教師用課件進(jìn)行的動(dòng)態(tài)演示活動(dòng)，還有學(xué)生的推理論證活動(dòng)等等，這些活動(dòng)讓學(xué)生經(jīng)歷了完整的“操作觀察分析思考?xì)w納”的數(shù)學(xué)思維過(guò)程，它們不僅可以幫助學(xué)生發(fā)現(xiàn)、猜想出數(shù)學(xué)命題，也為學(xué)生今后的幾何學(xué)習(xí)提供了有效的方法 3、注重?cái)?shù)學(xué)變式教學(xué)變式教學(xué)法是培養(yǎng)學(xué)生創(chuàng)新思維的一種重要方法，本節(jié)課的另一個(gè)亮點(diǎn)就是教師能靈活運(yùn)用教材資源，又不依賴(lài)于教材資源，有效地運(yùn)用變式教學(xué)法為學(xué)生的思維發(fā)展提供一個(gè)個(gè)階梯，幫助學(xué)生建構(gòu)完整的新知識(shí)如：在對(duì)線(xiàn)段的垂直平分線(xiàn)的性質(zhì)定理進(jìn)行驗(yàn)證時(shí)，教師沒(méi)有只滿(mǎn)足于一種驗(yàn)證方法，而是充分調(diào)動(dòng)學(xué)生的思維積極性，共得到三種