垂直平分線的性質(zhì)(劉瑩)

1、西陵區(qū)“初中數(shù)學(xué)例題教學(xué)的變式研究”課堂教學(xué)觀摩活動PAGE PAGE 7“線段的垂直平分線的性質(zhì)”課堂實錄與評析 課題：人教版數(shù)學(xué)八年級上冊13.1.2線段的垂直平分線的性質(zhì) 執(zhí)教者：宜昌市第二十五中學(xué) 劉瑩 教學(xué)過程： 一、情境引入 師：在前不久老師遇到這樣一個問題，不知道如何解決。問題是這樣的：“在東山大道L的同側(cè)，有兩個工廠A、B，為了便于兩廠的工人看病，準(zhǔn)備在公路邊上修建一所醫(yī)院，使得兩個工廠到醫(yī)院的路程相等，問怎樣選擇院址？”請同學(xué)們思考，如何將這個實際問題抽象成為一個數(shù)學(xué)幾何問題？ ABAB東山大道 L 生：在L上找到一點，使得這個點到A、B兩個工廠的距離相等！ 師：那么，這個點

2、應(yīng)該選在哪里呢？通過本節(jié)課的學(xué)習(xí)，相信同學(xué)們都能幫老師解決這個問題! （引出課題線段的垂直平分線的性質(zhì)） 二、探索新知 探究1 師：請同學(xué)們在草稿紙上畫一條線段AB，然后利用刻度尺、三角板畫出線段AB的垂直平分線MN （師巡視，并指導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行操作） 師：刻度尺、三角板在作圖時有什么作用？生：刻度尺可以度量長度，三角板可以畫出直角師：不錯！那它們在畫線段的垂直平分線的過程中起到了什么作用？生：利用刻度尺，我們可以畫出中點，利用三角板，我們可以畫出垂線（學(xué)生完成作圖） 師：請同學(xué)們在直線MN上任取一點P，連結(jié)線段PA、PB，觀察比較這兩條線段，你能發(fā)現(xiàn)什么？生：PA、PB的長度相等師：大家都發(fā)現(xiàn)了

3、嗎? 生：是的師：這個結(jié)論是偶然的嗎？我們再在直線MN上取另外一點Q試試？你們有什么發(fā)現(xiàn)？生：再取一點，連結(jié)得到的線段QA、QB也是相等的結(jié)論：PA=PB, QA=QB探究2師：大家通過觀察發(fā)現(xiàn)了這個結(jié)論，你們能說說你是怎樣的到這個結(jié)論的嗎？（教師打開幾何畫板，演示圖形） 生1：可以通過“邊角邊”證明AOCBOC ，得到PA=PB. 生2：可以測量PA、PB的長度，得到PA=PB（教師用幾何畫板演示：在直線l上拖動點C時，PA、PB仍然相等,在拖動的過程中點C可以代表直線l上的任意一點.）生3：因為線段是軸對稱圖形，所以通過對折也可以得到PA=PB(教師用幾何畫板動態(tài)演示折疊過程） 師：想一想

4、，你對線段的垂直平分線上的點有了怎樣的認(rèn)識？生4：它和線段的兩個端點連結(jié)的線段是相等的生5：這個點是線段垂直平分線上的任意一點師：這就是線段垂直平分線的一個重要性質(zhì)（教師板書）線段垂直平分線的性質(zhì)定理：線段的垂直平分線上的點到這條線段兩個端點的距離相等 師：我們一起來說一說它的符號語言 （生齊答，師板書） 點P在線段AB的垂直平分線上； PA=PB 師：學(xué)習(xí)了這個定理后，我們證明線段相等又多了一種方法 三、應(yīng)用新知 例1如圖所示，在ABC中，AC=32，MN是AB的垂直平分線，且有BC=21，求BCN的周長 （教師引導(dǎo)學(xué)生先讀題） 師：由MN是AB的垂直平分線能得到什么結(jié)論?生6：AM=BM

5、生7：AN=BN, 師：那如何求BCN的周長呢？請同學(xué)們獨立思考，找到解題方法。 （一名學(xué)生講解解題過程，教師板書） 師：還有沒有其他方法證明AN=BN嗎？生8：有！利用AMNBMN也可以得到此結(jié)論師：這兩種方法你會選擇哪種呢？ 生：選擇利用線段垂直平分線的性質(zhì)定理來證明，因為它書寫起來更簡潔 師：（小結(jié)）本題也可選擇利用全等來解決，但比較起來書寫要簡便得多通過對例1的分析，進(jìn)一步說明了掌握好性質(zhì)定理的應(yīng)用，可以幫我們在證明一些幾何問題中省不少的力四、思維延伸 探究3 師：再回到垂直平分線的性質(zhì)定理中，如果我們將它的條件和結(jié)論互換，就可以得到它的逆命題：（投影）如果PA=PB,那么點P是否在A

6、B的垂直平分線上呢？ （先請同學(xué)們獨立思考，然后小組討論。） 小組1：過點P作AB的垂線，垂足為點D，在RtAPD和RtBPD中，AP=BP，DP=DP，由HL可以證明RtAPDRtBPD，得出AD=BD，所以PD為AB的垂直平分線 小組2：取AB的中點D，連接PD，由“邊邊邊”可以證明APDBPD，得證 小組3：過點P作APB的角平分線，交AB于點D，由“角角邊”可以證明APDBPD，得證 師：在證明過程中我們用的方法是“作垂直，證平分”或者“作平分，證垂直”，有沒有哪位同學(xué)能將我們證明出的結(jié)論用文字語言來描述一下？生9：如果一個點到一條線段的兩個端點的距離相等，那么這個點在這條線段的垂直平

7、分線上師：這就是我們今天要學(xué)習(xí)的第二個定理：（教師板書）線段垂直平分線的性質(zhì)定理：與一條線段兩個端點距離相等的點，在這條線段的垂直平分線上師：我們一起再來說說它的符號語言： （生齊答，師板書） PA=PB；點P在線段AB的垂直平分線上師：這個定理經(jīng)常用于證明點在線上或者直線經(jīng)過某一點，是個非常重要的定理！ 師：綜合這兩個定理，我們可以知道，在線段AB的垂直平分線MN上的點與A、B距離都相等，反過來，與A、B兩點距離相等的點都在MN上 （教師用幾何畫板演示：到A,B兩點距離相等的所有點形成了線段AB的垂直平分線即直線MN可以看成與A,B的距離相等的所有點的集合） 五、鞏固應(yīng)用練習(xí)1、判斷：如右圖

8、PA=PB，點P在直線MN上，則MN是線段AB的垂直平分線（ ） NMNM 師：動動腦，看誰的反應(yīng)最快. 生10：這個結(jié)論是對的，根據(jù)線段的垂直平分線的判定定理可以得到 生11：我認(rèn)為這個結(jié)論是不對的，條件沒告訴MN是AB的垂直平分線 生12：我也認(rèn)為這個結(jié)論不正確，根據(jù)垂直平分線的判定定理，由條件PA=PB，只能得到點P在AB的垂直平分線上，而過點P的直線有無數(shù)條 師：答得非常好！一點不能確定一條直線，過點P的直線由無數(shù)條（屏幕顯示過點P的直線有無數(shù)條），而MN只是其中一條，所以不能說明MN是AB的垂直平分線練習(xí)2、如圖，在ABC中，AB=AC，O是ABC內(nèi)一點且OB=OC 求證：直線AO垂

9、直平分線段BC （學(xué)生獨立思考） 師：想好的同學(xué)請舉手； 生13：可以根據(jù)證明ABOACO,得到BAO=CAO,從而可以證明ABDACD,可以得到AO為BC的角平分線 師：不錯！他是通過兩次證明三角形全等得出結(jié)論，有沒有同學(xué)有更簡單的方法？ 生14：AB=AC 點A在線段BC的垂直平分線上； 又OB=OC 點A在線段BC的垂直平分線上； 直線AO是線段BC的垂直平分線（兩點確定一條直線）. 師：答得非常好！這兩種方法你們認(rèn)為哪種更為簡單呢？生15：第二種更為簡便，理由是證明全等的過程太過于復(fù)雜了 師：好的，通過這個問題，相信同學(xué)們都能很靈活的應(yīng)用垂直平分線的性質(zhì)定理和判定定理 練習(xí)3、 已知：

10、如圖，ABC中，AB的垂直平分線DE與BC的垂直平分線FG交于P求證：（）PA=PB=PC；（）點P在邊AC的垂直平分線上 （教師請一名同學(xué)上臺板演，其他同學(xué)獨立完成，在完成的過程中老師邊巡視邊指導(dǎo)） 師：有沒有哪位同學(xué)想當(dāng)一次小老師，點評黑板上的完成情況？生16：他完成的非常好，只是不夠簡略，重復(fù)的理由我們可以用同理二字，沒必要重復(fù)寫生17：他的字跡不夠工整，并且也沒有寫證明兩字師：點評得非常到位，他們說的也是老師想說的，做錯的同學(xué)請好好對照黑板上的過程進(jìn)行改正，尋找錯誤的原因六、實際運用師：我們再回到新課開始提出的實際問題之中，看看這個問題應(yīng)該怎么解決？ 生（齊答）：連接AB，作AB的垂直

11、平分線與L的交點就是醫(yī)院的院址 師：理由是什么？ 生：理由是線段垂直平分線的判定定理 師：經(jīng)過這節(jié)課的學(xué)習(xí)，同學(xué)們都能幫老師完成這個問題，非常不錯！ 七、歸納總結(jié) 師：接下來，我們一起來回憶一下，本節(jié)課你學(xué)到了什么，又有什么收獲？ 生18：我學(xué)習(xí)了垂直平分線的兩個定理：性質(zhì)定理和判定定理 師：這兩個定理分別能幫助我們解決什么問題呢？ 生19：性質(zhì)定理證明線段相等；判定定理證明點在線上或線經(jīng)過某一點 生20：我還學(xué)會了可以利用垂直平分線的性質(zhì)解決實際生活中的一些問題，比如說距離相等問題，某點在某一條直線上 師：同學(xué)們回答得都非常好！在應(yīng)用這兩個定理的時候我們要注意數(shù)與形的結(jié)合，這樣才能將更加靈活

12、的掌握它們本節(jié)課我們就上到這里，接下來有一道思考題留給大家課后完成下課！八、課后拓展如圖：一個小牧童，從A地出發(fā)，趕著牛群到河岸邊l處飲水，然后再到B地，請問怎樣選擇飲水的地點，才能使牛群所走的路程最短？ BBlA教后反思：本節(jié)課教學(xué)的最大特點在于將數(shù)學(xué)實踐活動與數(shù)學(xué)教學(xué)自然地結(jié)合在一起，幫助學(xué)生加深了對線段垂直平分線的兩個定理的感性認(rèn)識和直觀印象，很好地建立起數(shù)形結(jié)合的意識本節(jié)課的設(shè)計理念主要體現(xiàn)在：1、通過一個實際問題引入新課，先讓學(xué)生感受到學(xué)習(xí)本節(jié)內(nèi)容的重要性以及必要性，再讓學(xué)生動手畫一畫線段的垂直平分線，通過直觀觀察猜想得出線段垂直平分線的性質(zhì)在此基礎(chǔ)上，教師借助幾何畫板中的測量功能，

13、驗證結(jié)論的正確性，并引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行幾何推理證明2、讓學(xué)生直接寫出性質(zhì)定理的逆命題，通過小組合作交流，探究出線段垂直平分線的判定定理在這一環(huán)節(jié)，我設(shè)計了一道判斷題，由PAPB，能說明過點P的直線MN一定在線段AB的垂直平分線上嗎？通過這個問題引導(dǎo)學(xué)生對判定定理的條件進(jìn)行深入分析，加深學(xué)生對定理的正確理解3、在練習(xí)1之后，設(shè)計了一個變式練習(xí)（練習(xí)2），此題既要運用到線段垂直平分線的判定定理，也要運用“兩點確定一條直線”，讓學(xué)生對定理進(jìn)一步鞏固運用4、在教學(xué)中，我注重結(jié)合圖形來引導(dǎo)學(xué)生辨析性質(zhì)定理和判定定理的區(qū)別和聯(lián)系，強調(diào)書寫證明過程時要規(guī)范幾何語言書寫格式，讓學(xué)生能養(yǎng)成良好的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)習(xí)慣當(dāng)然，本節(jié)

14、課也存在不足之處，如：教師的課堂駕馭能力不夠，對于課堂各環(huán)節(jié)的時間把握不準(zhǔn)；在部分教學(xué)環(huán)節(jié)中的語言過于啰嗦、重復(fù)，因而導(dǎo)致時間浪費，出現(xiàn)前松后緊的現(xiàn)象此外，在教學(xué)時，我沒有充分調(diào)動學(xué)生的學(xué)習(xí)積極性，沒有很好地體現(xiàn)“學(xué)為第一，教助學(xué)成”這一教學(xué)理念設(shè)計評析：（宜昌市西陵區(qū)教科院 周靜） 1、重視知識的數(shù)學(xué)化數(shù)學(xué)教育的目標(biāo)在于使學(xué)生學(xué)會“數(shù)學(xué)化”因此，教師在教學(xué)中應(yīng)將數(shù)學(xué)知識與它有關(guān)的現(xiàn)實背景密切聯(lián)系在一起，通過“數(shù)學(xué)化”的途徑來進(jìn)行數(shù)學(xué)教育本節(jié)課的一個亮點就在于用了一個實際問題來引入新課，讓學(xué)生在將實際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)模型的過程中展開對新知的學(xué)習(xí)這一設(shè)計很好地激發(fā)了學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，同時也有助于學(xué)生

15、模型思想的建立，讓學(xué)生感受到數(shù)學(xué)的應(yīng)用價值，并進(jìn)一步獲取將實際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題的經(jīng)驗 2、關(guān)注數(shù)學(xué)實踐活動 著名心理學(xué)家皮亞杰指出：“思維從動作開始，切斷思維與動作的聯(lián)系，思維就不能得到發(fā)展，人手和腦之間有著千絲萬縷的聯(lián)系”操作是思維的起點，也是認(rèn)知的來源在本節(jié)課的新知探究環(huán)節(jié)，教師為學(xué)生提供了一個動手操作的時間與空間，首先讓學(xué)生在畫圖的過程中明確線段的垂直平分線必須具備兩個要素中點和垂線，再讓學(xué)生連接中垂線上的任意一點與線段的兩個端點，觀察并猜想得出這兩條線段相等，由此為后面探究線段的垂直平分線的性質(zhì)定理起到很好的鋪墊作用整個定理的探究過程由豐富的學(xué)生實踐活動組成，有學(xué)生的作圖活動，觀察猜想活動，教師用課件進(jìn)行的動態(tài)演示活動，還有學(xué)生的推理論證活動等等，這些活動讓學(xué)生經(jīng)歷了完整的“操作觀察分析思考?xì)w納”的數(shù)學(xué)思維過程，它們不僅可以幫助學(xué)生發(fā)現(xiàn)、猜想出數(shù)學(xué)命題，也為學(xué)生今后的幾何學(xué)習(xí)提供了有效的方法 3、注重數(shù)學(xué)變式教學(xué)變式教學(xué)法是培養(yǎng)學(xué)生創(chuàng)新思維的一種重要方法，本節(jié)課的另一個亮點就是教師能靈活運用教材資源，又不依賴于教材資源，有效地運用變式教學(xué)法為學(xué)生的思維發(fā)展提供一個個階梯，幫助學(xué)生建構(gòu)完整的新知識如：在對線段的垂直平分線的性質(zhì)定理進(jìn)行驗證時，教師沒有只滿足于一種驗證方法，而是充分調(diào)動學(xué)生的思維積極性，共得到三種