數(shù)值分析分章復(fù)習(xí)(第七章 非線性方程求根)

1、本文格式為Word版，下載可任意編輯 數(shù)值分析分章復(fù)習(xí)(第七章 非線性方程求根) 第七章 非線性方程求根 要點：（1）迭代公式局部收斂性及收斂性判斷 （2）迭代公式收斂階概念 （3）Newton 迭代公式及收斂性定理 復(fù)習(xí)題： 1、建立一個迭代公式計算數(shù) a =要求分析所建迭代公式的收斂性 解： 迭代式為：105 n x x +?=?=? 數(shù)a 應(yīng)是函數(shù)()x ?=()a a ?=） 注意到（1）當(dāng)0,5x 時，恒有,5)(0 x ? （2）當(dāng)0,5x 時，恒有()112x ?-=-, 1.3,1.5x 所以區(qū)間1.3,1.5為有根區(qū)間 (1.3,1.5)1.3,1.5?, 并且當(dāng)1.3,1.

2、5x 時，恒有3|()|211.3x ?，可取0 x a = 6、對于非線性證明方程02ln =-x x （1） 證明在區(qū)間(1,)有一個單根.并大致估計單根的取值范圍. （2） 寫出Newton 迭代求解該根的迭代公式 解：（1）記()ln 2f x x x =-，顯然()f x 四處可微 (1)10f =- 所以，在區(qū)間(1,)內(nèi)有且僅有一個實根 (3)1ln30f =- 可見根 (3,4)x （2）牛頓迭代法形式： 1()()n n n n f x x x f x +=- 即：1ln 211n n n n n x x x x x +-=-， 即21ln 21n n n n n n n x

3、 x x x x x x +-=- 即1ln 1 n n n n n x x x x x +=- 考慮取 04x = 7、據(jù)理證明*1x =是方程432231x x x x -+=的一個二重根， 并構(gòu)造計算* x 的具有平方收斂階的Newton 迭代 解：記4322)31(x x f x x x -+-= 由于 (1)0, (1)0, (1)0f f f = 所以*1x =是方程()0f x =的一個二重根 注意到，當(dāng)是0)(=x f 的m 重根)2(m 時， 牛頓迭代法求解0)(=x f 僅是線性收斂的 事實上，對于牛頓迭代法，其迭代函數(shù)是()()() f x x x f x ?=- ， 由

4、 是0)(=x f 的m 重根，令()()(),m f x x g x =- ()0,g 則 ()()()()()() x g x x x mg x x g x ?-=-+- 簡單驗證：1()1m ?=- ，因1,()0,()1m x ?） 9、為數(shù)值求得方程042=-x x 的正根*x ，可建立如下迭代格式 ,2,1,41=+=-n x x n n , 試?yán)玫ǖ氖諗坷碚撟C明對于00?x ，該迭代序列收斂，且滿足.*lim x x n n = 解：記 () 0 x x ?= 顯然1()14 x ?=，迭代式1()k k x x ?+=均收斂到*x 10、對于非線性方程 1232cos 0

5、 x x -+= （1） 證明方程存在唯一實根 （2） 證明對于任意的0 x R ，迭代式124cos 3k k x x +=+ 產(chǎn)生的序列k x 收斂到方程的根 （3） 構(gòu)造求解該方程根的Newton 迭代式 解：（1）記 ()1232cos f x x x =-+ 顯然()f x 連續(xù)可微，又, lim ()lim ()x x f x f x -+=+=- 所以根據(jù)連續(xù)函數(shù)零點存在定理可知 *(,)x ?-+，成立*()0f x = 另外， ()32sin 0f x x =-，可見函數(shù)()f x 嚴(yán)格單調(diào)遞減 故滿足()0f x =的點*x 唯一，即方程存在唯一實根 （2）記2()4cos 3x x ?=+ 由于22()sin 133x x ?= 所以，對于0 x ?，迭代式1()k k x x ?+=產(chǎn)生的序列k x 均收斂到方程的根*x （3）牛頓迭代法形式： 1()()n n n n f x x x f x +=- 即：1