量子力學(xué)復(fù)習(xí)題-大題

1、-. z.12 在0K附近，鈉的價(jià)電子能量約為3eV，求其德布羅意波長。解根據(jù)德布羅意波粒二象性的關(guān)系，可知E=hv，如果所考慮的粒子是非相對論性的電子，則如果我們考察的是相對性的光子，則E=pc注意到此題所考慮的鈉的價(jià)電子的動能僅為3eV，遠(yuǎn)遠(yuǎn)小于電子的質(zhì)量與光速平方的乘積，即，因此利用非相對論性的電子的能量動量關(guān)系式，這樣，便有在這里，利用了以及最后，對作一點(diǎn)討論，從上式可以看出，當(dāng)粒子的質(zhì)量越大時(shí)，這個粒子的波長就越短，因而這個粒子的波動性較弱，而粒子性較強(qiáng)；同樣的，當(dāng)粒子的動能越大時(shí)，這個粒子的波長就越短，因而這個粒子的波動性較弱，而粒子性較強(qiáng)，由于宏觀世界的物體質(zhì)量普遍很大，因而波動

2、性極弱，顯現(xiàn)出來的都是粒子性，這種波粒二象性，從*種子意義來說，只有在微觀世界才能顯現(xiàn)。13 氦原子的動能是k為玻耳茲曼常數(shù)，求T=1K時(shí)，氦原子的德布羅意波長。解根據(jù)，知此題的氦原子的動能為顯然遠(yuǎn)遠(yuǎn)小于這樣，便有這里，利用了最后，再對德布羅意波長與溫度的關(guān)系作一點(diǎn)討論，由*種粒子構(gòu)成的溫度為T的體系，其中粒子的平均動能的數(shù)量級為kT，這樣，其相應(yīng)的德布羅意波長就為據(jù)此可知，當(dāng)體系的溫度越低，相應(yīng)的德布羅意波長就越長，這時(shí)這種粒子的波動性就越明顯，特別是當(dāng)波長長到比粒子間的平均距離還長時(shí)，粒子間的相干性就尤為明顯，因此這時(shí)就能用經(jīng)典的描述粒子統(tǒng)計(jì)分布的玻耳茲曼分布，而必須用量子的描述粒子的統(tǒng)計(jì)

3、分布玻色分布或費(fèi)米公布。p.522.1.證明在定態(tài)中，幾率流密度與時(shí)間無關(guān)。證：對于定態(tài)，可令可見無關(guān)。2.2 由以下兩定態(tài)波函數(shù)計(jì)算幾率流密度：從所得結(jié)果說明表示向外傳播的球面波，表示向內(nèi)(即向原點(diǎn)) 傳播的球面波。解：在球坐標(biāo)中同向。表示向外傳播的球面波。可見，反向。表示向內(nèi)(即向原點(diǎn)) 傳播的球面波。補(bǔ)充：設(shè)，粒子的位置幾率分布如何？這個波函數(shù)能否歸一化？波函數(shù)不能按方式歸一化。其相對位置幾率分布函數(shù)為表示粒子在空間各處出現(xiàn)的幾率一樣。#3.8.在一維無限深勢阱中運(yùn)動的粒子，勢阱的寬度為，如果粒子的狀態(tài)由波函數(shù)描寫，A為歸一化常數(shù)，求粒子能量的幾率分布和能量的平均值。解：由波函數(shù)的形式可

4、知一維無限深勢阱的分布如圖示。粒子能量的本征函數(shù)和本征值為能量的幾率分布函數(shù)為先把歸一化，由歸一化條件，3.10一粒子在硬壁球形空腔中運(yùn)動，勢能為求粒子的能級和定態(tài)波函數(shù)。解：據(jù)題意，在的區(qū)域，所以粒子不可能運(yùn)動到這一區(qū)域，即在這區(qū)域粒子的波函數(shù)()由于在的區(qū)域內(nèi)，。只求角動量為零的情況，即，這時(shí)在各個方向發(fā)現(xiàn)粒子的幾率是一樣的。即粒子的幾率分布與角度無關(guān)，是各向同性的，因此，粒子的波函數(shù)只與有關(guān)，而與無關(guān)。設(shè)為，則粒子的能量的本征方程為令，得其通解為波函數(shù)的有限性條件知，有限，則 A = 0由波函數(shù)的連續(xù)性條件，有其中B為歸一化，由歸一化條件得歸一化的波函數(shù)4.3 求在動量表象中線性諧振子的能量本征函數(shù)。解：定態(tài)薛定諤方程為即兩邊乘以，得令跟課本P.39(2.7-4)式比擬可知，線性諧振子的能量本征值和本征函數(shù)為式中為歸一化因子，即#4.4.求線性諧振子哈密頓量在動量表象中的矩陣元。解：5.3設(shè)一體系未受微擾作用時(shí)有兩個能級：，現(xiàn)在受到微擾的作用，微擾矩陣元為；都是實(shí)數(shù)。用微擾公式求能量至二級修正值。解：由微擾公式得得能量的二級修正值為5.7 計(jì)算氫原子由2p態(tài)躍遷到1s態(tài)時(shí)所發(fā)出的光譜線強(qiáng)度。解：假設(shè)，則 #7.1.證明：證：由對易關(guān)系及反對易關(guān)系，得上式兩邊乘，得7.5設(shè)氫的狀態(tài)是求軌道角動量z