結(jié)構(gòu)可靠度分析中蒙特卡洛模擬的應(yīng)用

1、結(jié)構(gòu)可靠度分析中蒙特卡洛模擬的應(yīng)用蒙特卡洛(Monte Carlo)模擬是一種通過設(shè)定隨機過程，反復(fù)生成時間序列， 計算參數(shù)估計量和統(tǒng)計量，進而研究其分布特征的方法。具體的，當(dāng)系統(tǒng)中各個 單元的可靠性特征量已知，但系統(tǒng)的可靠性過于復(fù)雜，難以建立可靠性預(yù)計的精 確數(shù)學(xué)模型或模型太復(fù)雜而不便應(yīng)用時，可用隨機模擬法近似計算出系統(tǒng)可靠性 的預(yù)計值；隨著模擬次數(shù)的增多，其預(yù)計精度也逐漸增高。由于涉及到時間序列 的反復(fù)生成，蒙特卡洛模擬法是以高容量和高速度的計算機為前提條件的，因此 只是在近些年才得到廣泛推廣。不確定性是工程中存在的客觀現(xiàn)象，它影響著結(jié)構(gòu)的安全性。結(jié)構(gòu)概率設(shè)計 考慮了實際工程中設(shè)計、施工、

2、使用工程中的不確定因素，因此概率設(shè)計方法有 廣泛的應(yīng)用價值，結(jié)構(gòu)可靠度分析是以概率理論為基礎(chǔ)的。蒙特卡洛法又稱隨機抽樣法或統(tǒng)計試驗法。該方法是通過隨機模擬和統(tǒng)計試 驗來求解結(jié)構(gòu)可靠性的近似數(shù)值方法。當(dāng)用蒙特卡洛方法求解某一事件的概率時, 可以通過抽樣試驗的方法，得到該事件出現(xiàn)的頻率，將其作為問題的解。采用蒙特 卡洛法進行可靠度分析，可以回避結(jié)構(gòu)可靠度分析中的數(shù)學(xué)困難，既可以不考慮功 能函數(shù)的復(fù)雜性，而且其收斂速度與隨機變量的維數(shù)無關(guān)，極限狀態(tài)函數(shù)的復(fù)雜程 度與模擬過程無關(guān)，更無需將狀態(tài)函數(shù)線性化和隨機變量“當(dāng)量正態(tài)”化，具有直接 解決問題的能力。用蒙特卡洛方法模擬結(jié)構(gòu)失效概率時，由于模擬次數(shù)總

3、是有限的，所以模擬 結(jié)果是一個隨機變量。評價蒙特卡洛方法模擬結(jié)果好壞或模擬效率的指標(biāo)是失效 概率模擬結(jié)果的變異系數(shù)。當(dāng)變異系數(shù)較小時，說明失效概率的變異性小，模擬 的準(zhǔn)確性較高，模擬結(jié)果的可信度較大。相反，當(dāng)變異系數(shù)較大時，說明失效概 率的變異性較大，模擬的準(zhǔn)確性不高，模擬結(jié)果的可信度不大。為了提高蒙特卡 洛方法估算的精度，一種方法是增加模擬的次數(shù)，稱為一般抽樣法；另一種方法 是采用一定的方法降低失效概率的變異系數(shù)，稱為重要抽樣方法。一、一般抽樣法一般抽樣方法是結(jié)構(gòu)可靠度蒙特卡洛模擬最基本的方法，重要抽樣方法是以 一般抽樣法為基礎(chǔ)的。作為結(jié)構(gòu)可靠度分析的基本問題，設(shè)X1,X2，X.為n個隨機變

4、量，其概率密度函數(shù)分別為fX1 (氣)，fX(X2),密度函數(shù)分別為fX1 (氣)，fX結(jié)構(gòu)失效概率由下式計算：P =j j f (結(jié)構(gòu)失效概率由下式計算：P =j j f (尤)f (尤)，f (尤)d d - dfX1 1 X2 2Xn n X X2Xn= j+8 j+3 g (x , x , x ) f (x ) f (x ) , f (x )d d d 一8_8一8X 12nX11 X22Xnnx】x2xn=EI gX (X1, X2 , X ) 其中1 s (x , x ,)表示示性函數(shù)，如圖所示。式(1)表示結(jié)構(gòu)失效 X 12其中概率為示性函數(shù)的期望值。對隨機變量X1，X2.,X進

5、行抽樣產(chǎn)生一個樣本向量(X(1),x?)，x(1),(X(2) , X(2),X(2),(X( n), X( n),X( n)其中:a 1力rPf=s1j=1n Ng (x( j), X2 j其中:a 1力rPf=s1j=1n Ng (x( j), X2 j),xy )=N(2)N攔fj =1表示N次模擬中結(jié)構(gòu)失效的次數(shù)。I g ( X (j), X (j),X (j) IL 12 n -I(3)由式(2)可以看出，用蒙特卡洛方法模擬分析結(jié)構(gòu)的失效概率時，不需要具體考慮極限狀態(tài)曲面形狀和復(fù)雜性，只需要根據(jù)隨即抽取的樣本計算功能函數(shù) 的值，并判斷該值是大于0還是小于0.當(dāng)隨機點落入可靠域即gX

6、(氣,x2 ,氣) 0 時示性函數(shù)的值取為0,當(dāng)隨機點落入可靠域即gX(氣,、,xn)st g (x , x ,x ) = 0X12 n也可以選在由一次二階矩方法分析得到的驗算點處，而重要抽樣隨機變量的方差 可以取原隨機變量的方差，概率分布可以取為原來的概率分布，也可以取為其他 便于抽樣的分布。直接重要抽樣法使用了驗算點，而用一次二階矩方法求驗算點的過程也同時 得到了可靠指標(biāo)。，進而得到一次失效概率pl，但這并不意味著用蒙特卡洛方 法估計結(jié)構(gòu)失效概率就失去了意義。事實上，一次失效概率p億只是用線性極限 L狀態(tài)面代替了原非線性極限狀態(tài)面時得到結(jié)果，其與精確結(jié)果的誤差取決于原極 限狀態(tài)面的非線性程度，而在有些情況下，也正是需要用重要抽樣法來分析這種 誤差，判斷pl的準(zhǔn)確性。對于線性功能函數(shù)而且隨機變量服從正態(tài)分布的情形，在相同的抽樣次數(shù)N 下，與一般抽樣法相比，直接抽樣效率的提高與失效概率的量級有關(guān)，失效概率 的量級越小，一般重要抽樣法的效率越高；對于非線性極限狀態(tài)方程及隨機變量 不服從正態(tài)分布的情形，分析得到的基本結(jié)論是一致的，但還與極限正態(tài)方程的 非線性程度有關(guān)。用一般重要抽樣法古今結(jié)構(gòu)失效概率的步驟為：1）由式（12）或借助與一次二階矩方法，確定重要抽樣中心（可取一次二 階矩分析的驗算