新高考版數學高中總復習專題8.5空間向量及其在立體幾何中的應用(講解練)教學講練

1、8.5 空間向量及其在立體幾何中的應用高考數學考點一用向量法證明平行、垂直1.空間向量的有關定理(1)共線向量定理:共線向量定理可以分解為兩個命題(a,b(b0)為空間內任意兩個向量):(i)ab存在唯一實數,使得a=b;(ii)若存在實數,使得a=b,則ab,其中命題(ii)是空間向量共線的判定定理.(2)四點共面的充要條件:a.空間一點P位于平面ABC的充要條件是存在有序實數對(x,y),使=x+y成立;b.對空間任意一點O,有=x+y+z,若x+y+z=1,則P,A,B,C四點共面,反之亦成立.(3)空間向量基本定理:a.空間任意三個不共面的向量都可以構成空間的一組基底;b.基底選定后,

2、空間的所有向量均可由基底唯一表示.考點清單2.與空間向量運算有關的結論設a=(a1,a2,a3),b=(b1,b2,b3).(1)aba=b(b0)a1=b1,a2=b2,a3=b3(R);(2)abab=0a1b1+a2b2+a3b3=0;(3)|a|=;(4)cos=.3.與空間向量有關的問題(1)空間直角坐標系(i)一般建立右手直角坐標系;(ii)建立的空間直角坐標系必須滿足三坐標軸兩兩垂直,讓盡可能多的點落到坐標軸上或第一象限(第一象限內點的坐標都為正).(2)直線的方向向量和平面的法向量(i)直線的方向向量是指和這條直線平行(或在這條直線上)的有向線段所表示的向量,一條直線的方向向量

3、可以有無數個.(ii)平面的法向量:a.一個平面的法向量是與平面垂直的直線的方向向量,因此一個平面的法向量有無數個,其中任意兩個都是共線向量,但零向量不能作為平面的法向量.b.平面法向量的求法:首先要建立空間直角坐標系,然后用待定系數法求解.具體的步驟為:設平面的法向量為n=(x,y,z),找出(求出)平面內的兩個不共線的向量a,b,根據法向量的定義得由此可建立關于x、y、z的方程組,解方程組,并取其中的一組解,該組解可作為法向量的坐標.4.利用空間向量解決平行、垂直問題設不同直線l,m的方向向量分別為a,b,不同平面,的法向量分別為u,v,則(1)lmaba=kb,kR且k0;(2)laua

4、u=0;(3)uvu=v,R且0;(4)lmabab=0;(5)laua=ku,kR且k0;(6)uvuv=0.考點二用向量法求空間角與距離1.空間角的計算(1)異面直線所成角公式:設a、b分別為異面直線l1、l2的方向向量,為l1、l2所成的角,則cos =|cos|=.(2)線面所成角公式:設l為平面的斜線,a為l的方向向量,n為平面的法向量,為l與所成的角,則sin =|cos|=.(3)二面角公式:設n1、n2分別為平面、的法向量,二面角為,則=或=-(需要根據具體情況判斷相等或互補),其中cos=.2.點到平面的距離公式P為平面外一點,a、n分別為平面過P點的斜向量、法向量,d為P到

5、的距離,則d=|a|cos|=.注意線面、面面距離均可轉化為點到平面的距離,用點到平面的距離公式求解.3.兩點間的距離:已知點A(x1,y1,z1),B(x2,y2,z2),則A,B兩點間的距離為|=.拓展延伸1.最小角定理:平面的斜線和它在平面內的射影所成的角是這條斜線和這個平面內任一條直線所成的角中最小的角.2.三余弦公式:cos =cos 1cos 2(如圖所示,其中1是斜線OA與平面所成的角,2是斜線OA的射影AB與平面內的直線AC的夾角,是斜線OA與平面內的直線AC的夾角). 考法一求異面直線所成角的方法知能拓展例1在長方體ABCD-A1B1C1D1中,AB=BC=1,AA1=,則異

6、面直線AD1與DB1所成角的余弦值為()A.B.C.D. 解析解法一:以A1為原點建立空間直角坐標系(如圖),則A(0,0,),D1(0,1,0),D(0,1,),B1(1,0,0),所以=(0,1,-),=(1,-1,-),所以cos=.則異面直線AD1與DB1所成角的余弦值為|cos|=,故選C.解法二:如圖,連接A1D,交AD1于點O,四邊形ADD1A1為矩形,A1O=OD,再取A1B1的中點E,連接OE,D1E,則OEDB1,且OE=DB1,AD1與DB1所成角即為D1OE或其補角.AB=BC=1,AA1=,AD1=2,D1E=,DB1=,OD1=AD1=1,OE=.在D1OE中,由余

7、弦定理的推論得cosD1OE=.異面直線AD1與DB1所成角的余弦值為,故選C.答案C例2如圖,在四面體ABCD中,O為BD中點,CA=CB=CD=BD=2,AB=AD=.(1)求證:AO平面BCD;(2)求異面直線AB與CD所成角的余弦值. 解析(1)證明:連接OC,由CB=CD,AB=AD,O為BD的中點,得AOBD,COBD,CO=,AO=1.在AOC中,AC2=AO2+OC2,故AOOC.又BDOC=O,因此AO平面BCD.(2)如圖,建立空間直角坐標系O-xyz,則A(0,0,1),B(1,0,0),C(0,0),D(-1,0,0),=(1,0,-1),=(-1,-,0),|cos|

8、=,異面直線AB與CD所成角的余弦值為.方法總結向量法求異面直線所成角建立空間直角坐標系后,確定兩直線的方向向量a,b,則兩直線所成角滿足cos =.考法二求直線與平面所成角的方法例3(2018浙江,19,15分)如圖,已知多面體ABCA1B1C1,A1A,B1B,C1C均垂直于平面ABC,ABC=120,A1A=4,C1C=1,AB=BC=B1B=2.(1)證明:AB1平面A1B1C1;(2)求直線AC1與平面ABB1所成的角的正弦值. 解題導引解法一:建立空間直角坐標系,求出各點的坐標.(1)利用=0及=0得出AB1平面A1B1C1.(2)求出平面ABB1的法向量n以及直線AC1的方向向量

9、,利用sin =求得.解法二:(1)在AA1B1中,由勾股定理的逆定理得AB1A1B1,在AB1C1中,由勾股定理的逆定理得AB1B1C1,從而得AB1平面A1B1C1.(2)過C1作C1DA1B1,交直線A1B1于點D,利用面面垂直的性質得C1D面ABB1,從而得出AC1與平面ABB1所成的角為C1AD,解三角形得出其正弦值.解析解法一:(1)證明:如圖,以AC的中點O為原點,分別以射線OB,OC為x,y軸的非負半軸,建立空間直角坐標系O-xyz.由題意知各點坐標如下:A(0,-,0),B(1,0,0),A1(0,-,4),B1(1,0,2),C1(0,1).因此=(1,2),=(1,-2)

10、,=(0,2,-3).由=0得AB1A1B1.由=0得AB1A1C1.所以AB1平面A1B1C1.(2)設直線AC1與平面ABB1所成的角為.由(1)可知=(0,2,1),=(1,0),=(0,0,2).設平面ABB1的法向量n=(x,y,z).由得可取n=(-,1,0).所以sin =|cos|=.因此,直線AC1與平面ABB1所成的角的正弦值是.解法二:(1)證明:由AB=2,AA1=4,BB1=2,AA1AB,BB1AB得AB1=A1B1=2,所以A1+A=A,故AB1A1B1.由BC=2,BB1=2,CC1=1,BB1BC,CC1BC得B1C1=,由AB=BC=2,ABC=120得AC

11、=2,由CC1AC,得AC1=,所以A+B1=A,故AB1B1C1.又A1B1B1C1=B1,因此AB1平面A1B1C1.(2)如圖,過點C1作C1DA1B1,交直線A1B1于點D,連接AD.由AB1平面A1B1C1得平面A1B1C1平面ABB1,由C1DA1B1得C1D平面ABB1,所以C1AD是AC1與平面ABB1所成的角.由B1C1=,A1B1=2,A1C1=得cosC1A1B1=,則sinC1A1B1=,所以C1D=,故sinC1AD=.因此,直線AC1與平面ABB1所成的角的正弦值是.方法總結1.定義法(1)作:在斜線上選取恰當的點,過該點向平面引垂線,作出所求角,其中確定垂足的位置

12、是關鍵;(2)證:證明所作的角為直線與平面所成的角;(3)求:構造角所在的三角形,利用解三角形的知識求角.2.公式法sin =(其中h為斜線上除斜足外的任一點到所給平面的距離,l為該點到斜足的距離,為斜線與平面所成的角).3.向量法sin =|cos|=(其中AB為平面的斜線,n為平面的法向量,為斜線AB與平面所成的角).考法三求二面角的方法例4(2017課標,18,12分)如圖,在四棱錐P-ABCD中,ABCD,且BAP=CDP=90.(1)證明:平面PAB平面PAD;(2)若PA=PD=AB=DC,APD=90,求二面角A-PB-C的余弦值. 解題導引(1)由已知得ABPA,ABPD,從而

13、得出AB平面PAD,最后獲證平面PAB平面PAD.(2)解法一:建立空間直角坐標系,寫出各點坐標,分別求出平面PBC與平面PAB的法向量n與m,從而利用向量法求結果.解法二:取PB的中點F,由PAB為等腰三角形得AFPB,由PBC為等邊三角形得CFPB,從而得AFC為二面角A-PB-C的平面角,在AFC中由余弦定理的推論得AFC的余弦值.解析(1)證明:由已知BAP=CDP=90,得ABAP,CDPD.由于ABCD,故ABPD,又APPD=P,AP、PD平面PAD,所以AB平面PAD.又AB平面PAB,所以平面PAB平面PAD.(2)解法一(向量法):在平面PAD內作PFAD,垂足為F.由(1

14、)可知,AB平面PAD,故ABPF,又ADAB=A,可得PF平面ABCD.以 F為坐標原點,的方向為x軸正方向,|為單位長,建立如圖所示的空間直角坐標系F-xyz.由(1)及已知可得A,P,B,C.所以=,=(,0,0),=,=(0,1,0).設n=(x1,y1,z1)是平面PCB的法向量,則即可取n=(0,-1,-).設m=(x2,y2,z2)是平面PAB的法向量,則即可取m=(1,0,1).則cos=-.易知二面角A-PB-C為鈍二面角,所以二面角A-PB-C的余弦值為-.解法二(定義法):根據題意可設AB=1,因為ABCD,APD=BAP=CDP=90,PA=PD=AB=DC,所以四邊形

15、ABCD是平行四邊形,且AD=PC=PB=CB=,取PB的中點F,連接AF,CF,在等腰三角形PAB中,可得AFPB,在等邊三角形PBC中,可得CFPB,所以AFC為二面角A-PB-C的平面角,由(1)知AB平面PAD,又AD平面PAD,所以ABAD.所以平行四邊形ABCD是矩形,連接AC,則AC=.在AFC中,AC=,AF=,FC=,由余弦定理的推論可得cosAFC=-,所以二面角A-PB-C的余弦值為-.方法總結1.向量法:利用公式cos=(n1,n2分別為兩平面的法向量)進行求解,注意與二面角大小的關系,是相等還是互補,需結合圖形進行判斷.2.定義法:在二面角的棱上找一特殊點,過該點在兩

16、個半平面內分別作垂直于棱的射線,如圖(1),AOB為二面角-l-的平面角.3.垂面法:過棱上一點作棱的垂直平面,該平面與二面角的兩個半平面的交線所形成的角即為二面角的平面角,如圖(2),AOB為二面角-l-的平面角.4.垂線法(三垂線定理法):過二面角的一個半平面內一點作另一個半平面所在平面的垂線,從垂足出發(fā)向棱引垂線,利用三垂線定理(線面垂直的性質)即可找到所求二面角的平面角或其補角.如圖(3),ABO為二面角-l-的平面角.立體幾何中常見的探索型問題有以下兩種類型:(1)條件追溯型:解決此類問題的基本策略為執(zhí)果索因,其結論明確,需要求出使結論成立的充分條件,將題設和結論都視為已知條件即可迅

17、速找到切點.但在執(zhí)果索因的過程中,常常會犯的錯誤是將必要條件當成充要條件,應引起注意.(2)存在判斷型:解決與平行、垂直有關的存在性問題的基本策略為:先假設題中的數學對象存在(或結論成立),然后在這個前提下進行邏輯推理,若能導出與條件吻合的數據或事實,說明假設成立,即存在;若導出與條件相矛盾的結果,則說明假設不成立,即不存在.求解此類問題的難點在于涉及的點具有運動性和不確定性,所以用傳統(tǒng)方法解決起來難度比較大,若用空間向量通過待定系數法求解存在性問題,則思路簡單,解法固定,操作方便.實踐探究例如圖,四棱錐P-ABCD中,PA底面ABCD,底面ABCD是直角梯形, ADC=90,ADBC,ABA

18、C,AB=AC=,點E在AD上,且AE=2ED.(1)已知點F在BC上,且CF=2FB,求證:平面PEF平面PAC;(2)當二面角A-PB-E的余弦值為多少時,直線PC與平面PAB所成的角為45? 解題導引(1)欲證平面PEF平面PAC,結合題意只需證EF平面PAC(也許有考慮證明AC平面PEF的,但此路不通),把證“面面垂直”轉化為證明“線面垂直”是通法,PAEF易證,再證EFAC是關鍵,同一平面內證線線垂直問題,用平面幾何知識證明即可.(2)這是已知結論找充分條件的問題,由線面角定義,易得APC=45,反推出AP的長,再通過建系求得二面角A-PB-E的余弦值.解析(1)證明:ABAC,AB=AC,ACB=45,底面ABCD是直角梯形,ADC=90,ADBC,ACD=45,則AD=CD,(1分)又ABAC,BC=AC=2AD,(2分)AE=2ED,CF=2FB,AE=BF=AD,四邊形ABFE是平行四邊形,ABEF,(3分)ACEF,PA底面ABCD,PAEF,(4分)PAAC=A,EF平面PAC,EF平面PEF,平面PEF平面PAC.(5分)(2)PAAC,ACAB,PAAB=