2021課標(biāo)版理數(shù)高考總復(fù)習(xí)專題9.5拋物線及其性質(zhì)（講解練）理科數(shù)學(xué)教學(xué)講練

1、9.5拋物線及其性質(zhì)高考理數(shù)考點(diǎn)一拋物線的定義及標(biāo)準(zhǔn)方程考點(diǎn)清單考向基礎(chǔ)1.拋物線的定義(1)平面內(nèi)與一個(gè)定點(diǎn)F和一條定直線l(Fl)的距離相等的點(diǎn)的軌跡叫做拋物線,定點(diǎn)F叫做拋物線的焦點(diǎn),定直線l叫做拋物線的準(zhǔn)線.(2)定義的實(shí)質(zhì)可歸結(jié)為“一動(dòng)三定一轉(zhuǎn)化”:一個(gè)動(dòng)點(diǎn)P,一個(gè)定點(diǎn)F(拋物線的焦點(diǎn)),一條定直線l(拋物線的準(zhǔn)線),一個(gè)定值1(拋物線的離心率),一個(gè)轉(zhuǎn)化(拋物線上的點(diǎn)與焦點(diǎn)的距離可轉(zhuǎn)化成該點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離).(3)定義中定點(diǎn)與定直線的位置關(guān)系為:定點(diǎn)F不能在定直線l上.若定點(diǎn)F在定直線l上,則動(dòng)點(diǎn)的軌跡為過點(diǎn)F且垂直于l的一條直線,因此在用拋物線定義解決動(dòng)點(diǎn)軌跡問題前,應(yīng)首先判斷定點(diǎn)

2、與定直線的位置關(guān)系.2.拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程在拋物線中,記焦點(diǎn)F到準(zhǔn)線l的距離為p,以拋物線的焦點(diǎn)F到準(zhǔn)線l的垂線段的中點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn),以拋物線的軸為坐標(biāo)軸建立坐標(biāo)系,可以得到四種不同形式的拋物線標(biāo)準(zhǔn)方程y2=2px,x2=2py,其中p0.考向突破考向一拋物線定義的應(yīng)用例1(2018河南豫南九校期末聯(lián)考,9)若拋物線y2=4x的準(zhǔn)線為l,P是拋物線上任意一點(diǎn),則P到準(zhǔn)線l的距離與P到直線3x+4y+7=0的距離之和的最小值是()A.2B.C.D.3解析由拋物線定義可知點(diǎn)P到準(zhǔn)線l的距離等于點(diǎn)P到焦點(diǎn)F的距離,由拋物線y2=4x及直線方程3x+4y+7=0可得直線與拋物線相離.點(diǎn)P到準(zhǔn)線l的距離與點(diǎn)

3、P到直線3x+4y+7=0的距離之和的最小值為點(diǎn)F(1,0)到直線3x+4y+7=0的距離,即=2.故選A.答案A考向二拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程例2(2019課標(biāo)卷地區(qū)大聯(lián)考,9)已知拋物線的頂點(diǎn)在原點(diǎn),焦點(diǎn)在y軸上,ABC三個(gè)頂點(diǎn)都在拋物線上,且ABC的重心為拋物線的焦點(diǎn),若BC邊所在的直線方程為x+4y-20=0,則拋物線方程為()A.y2=16xB.y2=8xC.x2=16yD.x2=8y解析由題意,設(shè)拋物線的方程為x2=2py.由得2x2+px-20p=0.由p2+160p0,得p0或p0)y2=-2px(p0)x2=2py(p0)x2=-2py(p0)圖形對(duì)稱軸x軸y軸頂點(diǎn)O(0,0)焦點(diǎn)F

4、FFF準(zhǔn)線方程x=-x=y=-y=范圍x0,yRx0,yRy0,xRy0,xR離心率e=12.拋物線的焦半徑與焦點(diǎn)弦拋物線上任意一點(diǎn)P(x0,y0)到焦點(diǎn)F的距離稱為焦半徑,過拋物線焦點(diǎn)的直線與拋物線相交形成的線段稱為拋物線的焦點(diǎn)弦.設(shè)兩交點(diǎn)分別為A(x1,y1),B(x2,y2),則有以下結(jié)論:標(biāo)準(zhǔn)方程y2=2px(p0)y2=-2px(p0)x2=2py(p0)x2=-2py(p0)焦半徑長+x0-x0+y0-y0焦點(diǎn)弦長p+(x1+x2)p-(x1+x2)p+(y1+y2)p-(y1+y2)考向突破考向拋物線的幾何性質(zhì)例(2018貴州貴陽一模,8)過點(diǎn)M作圓x2+y2=1的切線l,l與x

5、軸的交點(diǎn)為拋物線E:y2=2px(p0)的焦點(diǎn),l與拋物線E交于A、B兩點(diǎn),則AB的中點(diǎn)到拋物線E的準(zhǔn)線的距離為()A.B.3C.D.4 解析過點(diǎn)M作圓x2+y2=1的切線l,點(diǎn)M在圓上,可得切線的斜率為1,故切線方程為y+=x-,即x-y-=0,直線與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為(,0),可得拋物線方程為y2=4x,由可得x2-6x+2=0,設(shè)l與拋物線E交于A(x1,y1)、B(x2,y2),可得x1+x2=6,則AB的中點(diǎn)到拋物線E的準(zhǔn)線的距離為3+=4.故選D.答案D考點(diǎn)三直線與拋物線的位置關(guān)系考向基礎(chǔ)1.點(diǎn)P(x0,y0)與拋物線y2=2px(p0)的位置關(guān)系(1)點(diǎn)P(x0,y0)在拋物線內(nèi)2

6、px0.2.直線與拋物線的位置關(guān)系(1)設(shè)直線l:y=kx+b,拋物線y2=2px(p0),直線與拋物線交點(diǎn)的個(gè)數(shù)等價(jià)于方程組解的個(gè)數(shù),也等價(jià)于方程ky2-2py+2bp=0解的個(gè)數(shù).當(dāng)k0時(shí),若0,則直線和拋物線相交,有兩個(gè)公共點(diǎn);若=0,則直線和拋物線相切,有一個(gè)公共點(diǎn);若0)相交,有一個(gè)公共點(diǎn).特別地,當(dāng)直線l的斜率不存在時(shí),設(shè)l:x=m,則當(dāng)m0時(shí),l與拋物線相交,有兩個(gè)公共點(diǎn);當(dāng)m=0時(shí),l與拋物線相切,有一個(gè)公共點(diǎn);當(dāng)m0)為例,設(shè)AB是拋物線的過焦點(diǎn)的一條弦(焦點(diǎn)弦),F是拋物線的焦點(diǎn),A(x1,y1),B(x2,y2),A、B在準(zhǔn)線上的射影為A1、B1,則有以下結(jié)論:(1)x1

7、x2=,y1y2=-p2;(2)若直線AB的傾斜角為,且A位于x軸上方,B位于x軸下方,則|AF|=,|BF|=;(3)|AB|=x1+x2+p=(其中為直線AB的傾斜角),拋物線的通徑長為2p,通徑是最短的焦點(diǎn)弦;(4)SAOB=(其中為直線AB的傾斜角);(5)+=為定值;(6)以AB為直徑的圓與拋物線的準(zhǔn)線相切;(7)以AF(或BF)為直徑的圓與y軸相切;(8)以A1B1為直徑的圓與直線AB相切,切點(diǎn)為F,A1FB1=90;(9)A,O,B1三點(diǎn)共線,B,O,A1三點(diǎn)也共線.【知識(shí)拓展】(1)如圖所示,AB是拋物線x2=2py(p0)的過焦點(diǎn)的一條弦(焦點(diǎn)弦),分別過A,B作拋物線的切線

8、,交于點(diǎn)P,連接PF,則有以下結(jié)論:點(diǎn)P的軌跡是一條直線,即拋物線的準(zhǔn)線l:y=-;兩切線互相垂直,即PAPB;PFAB;點(diǎn)P的坐標(biāo)為.(2)非焦點(diǎn)弦性質(zhì)已知直線l與拋物線y2=2px(p0)交于A、B兩點(diǎn),若OAOB,則直線l過定點(diǎn)(2p,0),反之亦成立;已知M(x0,y0)是拋物線y2=2px(p0)上任意一點(diǎn),點(diǎn)N(a,0)是拋物線的對(duì)稱軸上一點(diǎn),則|MN|min=(3)弦中點(diǎn)設(shè)AB為拋物線的一條弦,AB中點(diǎn)為M(x0,y0).若拋物線為y2=2px,則kAB=;若拋物線為x2=2py,則kAB=.(其中p0,y00)考向突破考向直線與拋物線的位置關(guān)系例(2017課標(biāo),10,5分)已知

9、F為拋物線C:y2=4x的焦點(diǎn),過F作兩條互相垂直的直線l1,l2,直線l1與C交于A,B兩點(diǎn),直線l2與C交于D,E兩點(diǎn),則|AB|+|DE|的最小值為()A.16B.14C.12D.10解析解法一:由拋物線的方程可知焦點(diǎn)F的坐標(biāo)為(1,0),設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),D(x3,y3),E(x4,y4),過點(diǎn)F的直線l1的方程為x=my+1(m0),由得y2-4my-4=0,所以y1+y2=4m,y1y2=-4,所以|y1-y2|=4,所以|AB|=|y1-y2|=4(1+m2).同理可得|DE|=4,因此|AB|+|DE|=4(1+m2)+416,當(dāng)且僅當(dāng)m=1時(shí),等號(hào)成立.所

10、以|AB|+|DE|的最小值為16,故選A.解法二:由題意知焦點(diǎn)F的坐標(biāo)為(1,0),直線l1,l2的斜率不存在時(shí),不合題意.設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),D(x3,y3),E(x4,y4),過F的直線l1的方程為y=k1(x-1),直線l2的方程為y=k2(x-1),則k1k2=-1,聯(lián)立直線l1的方程與拋物線方程,得,消去y,得x2-2x-4x+=0,所以x1+x2=.同理,直線l2與拋物線的交點(diǎn)滿足x3+x4=.由拋物線定義可知|AB|+|DE|=x1+x2+x3+x4+2p=+4=+82+8=16,當(dāng)且僅當(dāng)k1=-k2=1或-1時(shí),取得等號(hào).所以|AB|+|DE|的最小值為16

11、,故選A.解法三:不妨設(shè)A在第一象限,如圖所示,設(shè)直線AB的傾斜角為,過A,B分別作準(zhǔn)線的垂線,垂足為A1,B1,則|AF|=|AA1|,|BF|=|BB1|,過點(diǎn)F向AA1引垂線FG,得=cos ,則|AF|=,同理,|BF|=,則|AB|=|AF|+|BF|=,即|AB|=,因l1與l2垂直,故直線DE的傾斜角為+或-,則|DE|=,則|AB|+|DE|=+=,則易知|AB|+|DE|的最小值為16.故選A.答案A方法拋物線焦點(diǎn)弦問題的求解方法(1)求拋物線的焦點(diǎn)弦長時(shí),可應(yīng)用公式求解,解題時(shí),需要依據(jù)拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程確定弦長是由p與交點(diǎn)橫坐標(biāo)確定,還是由p與交點(diǎn)縱坐標(biāo)確定,進(jìn)一步還要確定是p與交點(diǎn)橫(縱)坐標(biāo)的和還是差,這是正確解題的關(guān)鍵.(2)熟練掌握與焦點(diǎn)弦有關(guān)的結(jié)論是快速解決與焦點(diǎn)弦有關(guān)的選擇題和填空題的關(guān)鍵.方法技巧例(2018清華大學(xué)學(xué)術(shù)能力診斷,10)已知拋物線C:y2=2px(p0),過焦點(diǎn)F且斜率為的直線與C相交于P,Q兩點(diǎn),且P,Q兩點(diǎn)在準(zhǔn)線上的射影分別為M,N兩點(diǎn),則SMFN=()A.p2B.p2C