第02節(jié)可分離變量的微分方程課件

1、第二節(jié) 可分離變量的微分方程 一、一階微分方程 二、可分離變量的微分方程及其求解華南理工大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院 楊立洪 博士第二節(jié) 可分離變量的微分方程 一、一階微分方程 二一、一階微分方程首先，對(duì)一階微分方程作一次概要的介紹：例 一階微分方程：可以寫成 即 也可以寫成一般，一階微分方程都具有以下三種等價(jià)形式： （1） （2） （3）一、一階微分方程首先，對(duì)一階微分方程作一次概要的介紹：例 一 問(wèn)題：如何求解一階微分方程？難！ 問(wèn)題的簡(jiǎn)化：以下幾節(jié)我們只討論幾種特殊 類型的一階微分方程： 問(wèn)題：如何求解一階微分方程？難！ 問(wèn)題的簡(jiǎn)化：以下幾節(jié)我們二、可分離變量的微分方程及其求解 如果一階微分方程能化

2、成(特點(diǎn):左邊只含有變量y和dy；右邊只含有變量x和dx)（4）的形式，則該一階微分方程稱為可分離變量的微分方程 二、可分離變量的微分方程及其求解 如果一階微分方程能化成(特什么方程是可分離變量的微分方程呢？ 形如 （5）（6）的一階微分方程都是可分離變量的微分方程?；蚴裁捶匠淌强煞蛛x變量的微分方程呢？ 形如 （5）（6）的一第二步：兩邊積分解法：第一步：分離變量或 或 第二步：兩邊積分解法：第一步：分離變量或 或 針對(duì) 和 依次為 和 的原函數(shù)，設(shè)( )H x為微分方程的解(又叫隱式通解)則 針對(duì) 和 依次為 和 的原函數(shù)，設(shè)( )H x為微分方程的 三、例題 例1 求微分方程 的通解 解

3、原方程是一個(gè)可分離變量的方程；分離變量 兩邊積分 得： 從而 （C任意常數(shù)）， 即 為所求通解。 三、例題 例1 求微分方程 的通解 解 原方程是一例2 求解初值問(wèn)題 解 原方程化為它是可分離變量方程分離變量 兩邊積分 例2 求解初值問(wèn)題 解 原方程化為它是可分離變量方程分離得： 即： 記 則通解為 將 代入上式，得 故所求特解為 得： 即： 記 則通解為 將 代入上式，得 故所求特解為解 設(shè) 由題設(shè)，有 這是一個(gè)可分離變量的方程。分離變量 例3 衰變問(wèn)題：已知鐳的分解速度與所存鐳 的質(zhì)量M 成正比，已知 ，求各個(gè)時(shí)的存鐳量。 刻解 設(shè) 由題設(shè)，有 這是一個(gè)可分離變量的方程。分離變量?jī)蛇叿e分

4、， 即 由初始條件 ，得 為所求 兩邊積分 ， 即 由初始條件 ，得 例4 求方程 的通解。 這是一個(gè)可分離變量方程。 解 令 ，則 分離變量 例4 求方程 的通解。 這是一個(gè)可分離變量方程。 解 令兩邊積分 通解為 兩邊積分 通解為 本節(jié)學(xué)習(xí)內(nèi)容是： 1. 可分離變量方程的“標(biāo)準(zhǔn)型”； 四、小結(jié)2. 分離變量法步驟： (1)分離變量; (2)兩邊積分; (3)求得隱式通解 本節(jié)學(xué)習(xí)內(nèi)容是： 1. 可分離變量方程的“標(biāo)準(zhǔn)型”； 四、五、重點(diǎn)掌握分離變量法。六、難點(diǎn)對(duì)某些一階方程，尋找變量找換， 將原方程化為可分離變量方程。 五、重點(diǎn)掌握分離變量法。六、難點(diǎn)對(duì)某些一階方程，尋找變量找換七、主要題

5、型1. 對(duì)可分離變量的一階微分方程，求通解和特解 2. 簡(jiǎn)單的應(yīng)用題七、主要題型1. 對(duì)可分離變量的一階微分方程，求通解和特解 八、學(xué)習(xí)方法指導(dǎo) 熟記“標(biāo)準(zhǔn)型”，掌握可分離變量方程的特征和一些簡(jiǎn)單的變量代換；會(huì)使用分離變量法，并要加強(qiáng)不定積分運(yùn)算訓(xùn)練。八、學(xué)習(xí)方法指導(dǎo) 熟記“標(biāo)準(zhǔn)型”，掌握可分離變量方九、常見(jiàn)問(wèn)題輔導(dǎo)： 1.為什么在微分方程中， 和 常常通用，而不嚴(yán)格區(qū)分其的細(xì)微之處？ 九、常見(jiàn)問(wèn)題輔導(dǎo)： 1.為什么在微分方程中， 和 常常通用答：我們用一個(gè)例子來(lái)說(shuō)明： 例 求解微分方程 的通解 解一 原方程是一個(gè)可分離變量的方程；分離變量且 兩邊積分 ： 得： 是任意常數(shù)； 從而: C 是任

6、意常數(shù)， 即 為所求通解。 答：我們用一個(gè)例子來(lái)說(shuō)明： 例 求解微分方程 的通解 解二 原方程是一個(gè)可分離變量的方程；分離變量且兩邊積分 ： ， 得： 是任意常數(shù) 從而 C 是任意正常數(shù) (這個(gè)表達(dá)式與解一中的表達(dá)式形式完全一樣，只要在此處依然理解C是任意常數(shù)，約束 兩個(gè)解便完全一致)消失，也就即 （C任意常數(shù)）為所求通解。 解二 原方程是一個(gè)可分離變量的方程；分離變量且兩邊積分 ： 2.為什么有時(shí)候把積分常數(shù)C寫成 、 ？ 常將C寫成 或 這樣， 。如果 時(shí) 也是方程的解，那未 還是任意常數(shù)。 于是，將解直接寫成 答：當(dāng)積分一個(gè)微分方程出現(xiàn)自然對(duì)數(shù)（如： ） 時(shí)， 2.為什么有時(shí)候把積分常數(shù)

7、C寫成 、 ？ 常將C寫成 或 十、課堂練習(xí) 1.解方程 2.解微分方程初值問(wèn)題 ， 十、課堂練習(xí) 1.解方程 2.解微分方程初值問(wèn)題 ， 十一、課堂練習(xí)題解1.解 這是可分離變量方程；分離變量 兩邊積分 通解為 十一、課堂練習(xí)題解1.解 這是可分離變量方程；分離變量 兩2.解 這是對(duì)稱形式的可分離變量方程；分離變量并積分之，得 通解 將 代入，得 故特解為 2.解 這是對(duì)稱形式的可分離變量方程；分離變量并積分之，得十二、自測(cè)題 一、求下列微分方程的通解： 1. 2. 二、求下列微分方程的特解 1. ， 2. ， 十二、自測(cè)題 一、求下列微分方程的通解： 1. 2. 三、（熱水降溫問(wèn)題）設(shè)熱水

8、瓶?jī)?nèi)熱水溫度為T，室溫為To，時(shí)間單位為小時(shí)，根據(jù)試驗(yàn)，熱水溫度降低率與 TTo成正比，求T與t的函數(shù)關(guān)系.又設(shè) ， 時(shí)T100， T50，問(wèn)幾小時(shí)后水溫為95？時(shí)三、（熱水降溫問(wèn)題）設(shè)熱水瓶?jī)?nèi)熱水溫度為T，室溫為To，時(shí)間十三、自測(cè)題題解一、1解 這是可分離變量方程，分離變量并兩邊積分，得 ： 通解為 十三、自測(cè)題題解一、1解 這是可分離變量方程，分離變量并兩一、2解 這是可分離變量方程， 通解為 分離變量并兩邊積分得：一、2解 這是可分離變量方程， 通解為 分離變量并兩邊二、1解 這是可分離變量方程，分離變量，兩邊積分得 即：將 代入得 故特解為 二、1解 這是可分離變量方程，分離變量，兩邊積分得 即二、2 解 這是對(duì)稱形式的可分離變量方程； 分離變量，兩邊積分，得故