曲線積分和曲面積分

1、第十章曲線積分與曲面積分一教學(xué)基本要求：1了解兩類曲線積分的概念及它們的性質(zhì)會(huì)計(jì)算兩類曲線積分.掌握格林(Green)公式會(huì)用平面曲線積分與路徑無(wú)關(guān)的條件計(jì)算曲線積分.了解兩類曲面積分的概念會(huì)計(jì)算兩類曲面積分知道高斯(Gauss)公式4能用曲線積分和曲面積分計(jì)算一些幾何量和一些簡(jiǎn)單的物理量二重點(diǎn)：對(duì)坐標(biāo)的曲線積分的概念及其計(jì)算方法格林公式及曲線積分與路徑無(wú)關(guān)的條件對(duì)坐標(biāo)的曲面積分的概念及其計(jì)算方法、高斯公式三應(yīng)該明確的幾個(gè)問(wèn)題：?jiǎn)栴}l為什么可以說(shuō)曲線積分是定積分的推廣？答這可以從兩個(gè)方面來(lái)理解一是它們的物理解釋，二是概念的數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu).福廣(工小)杰從物理上，工表示密度為f(x)的直線段桿的質(zhì)量，

2、表示密度為f(x，y)的曲線段桿的質(zhì)量；兩者定義的數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)相同.因此可以說(shuō)，對(duì)弧長(zhǎng)的曲線積分是定積分的推廣.：4式拉另一方面“在物理上可以解釋為在外力f(x)的作用下，質(zhì)點(diǎn)沿直線段由a移動(dòng)到b時(shí)，&必+。(工方外力f(x)對(duì)質(zhì)點(diǎn)所作的功而可以解釋為在外力F=P(x,y)i+Q(x,y)dy作用下，質(zhì)點(diǎn)AB沿曲線弧，由A移動(dòng)到B時(shí)，外力F對(duì)質(zhì)點(diǎn)所作的功.因此可以認(rèn)為，對(duì)坐標(biāo)的曲線積分也是定積分的推廣。對(duì)弧長(zhǎng)的曲線積分與對(duì)坐標(biāo)的曲線積分概念的數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)也與定積分概念的數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)相同，都可以劃分為“分割，近似、求和，取極限”三個(gè)步驟因此可以說(shuō)，曲線積分是定積分的推廣問(wèn)題2計(jì)算曲線積分的基本途徑是什么？應(yīng)

3、該注意什么條件？答計(jì)算曲線積分的基本途徑是轉(zhuǎn)化為定積分計(jì)算.目小”小翡對(duì)弧長(zhǎng)的曲線積分轉(zhuǎn)換為定積分的條件為：f(x,y)在曲線弧上連續(xù).曲線弧AB的方程x=x(t),y=y(t),at有連續(xù)導(dǎo)數(shù)，當(dāng)t=與t=對(duì)應(yīng)AB的兩個(gè)端點(diǎn)，且x2+y2),則L/O,y)ds=：/*(，)，,()十,二(.品需注意，此處定積分的下限a一定要小于上限對(duì)坐標(biāo)的曲線積分+Q(x,y)dy轉(zhuǎn)換為定積分的條件為：P(x,y),ABAB弧的參數(shù)方程為x=x(t),y=y(t)，Q(x，y)為曲線弧上的連續(xù)函數(shù)，且當(dāng)t單調(diào)地由變到時(shí)，點(diǎn)M(x，y)由A沿曲線弧變動(dòng)到B；弧的參數(shù)方程為x=x(t),y=y(t)，=尸卜尸祗

4、必ABAB的終點(diǎn)=尸卜尸祗必ABAB的終點(diǎn)B.需注意定積分的下限對(duì)應(yīng)于曲線弧的起點(diǎn)A；定積分的上限對(duì)應(yīng)于曲線弧問(wèn)題3使用格林公式應(yīng)該注意什么條件?答格林公式提供一類曲線積分的計(jì)算法，即沿封閉曲線的曲線積分可以轉(zhuǎn)化為二重積分計(jì)算.使用格林公式應(yīng)該注意兩個(gè)條件：(1)P(x，y)與Q(x.y)在有界閉區(qū)域D內(nèi)具有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)；(2)曲線積分是沿區(qū)域D的封閉邊界曲線L的正向如果所求曲線積分是沿區(qū)域D的封閉邊界曲線L的負(fù)向，利用格林公式時(shí)，應(yīng)在二重積分前加一個(gè)負(fù)號(hào)。問(wèn)題4若曲線積分與路徑無(wú)關(guān).怎樣選擇新的積分路徑可以使得運(yùn)算既簡(jiǎn)單又正確？答若與路徑無(wú)關(guān)，則可以選擇折線段.其中和分別為平行于兩個(gè)坐標(biāo)軸

5、的直線段這樣可以簡(jiǎn)化運(yùn)算在平行于x軸的直線段上有dy=0.在-r平行于y軸的直線段上有dx=0.但是，必須注意，在選定的折線路.與路徑圍成的封閉區(qū)域D,應(yīng)滿足下列兩個(gè)條件：(1)D為單連通域；(2)P,Q在D內(nèi)有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù).問(wèn)題5為什么可以說(shuō)曲面積分是定積分的推廣？答這個(gè)問(wèn)題也可以從兩個(gè)方面來(lái)理解一是它們的物理解釋，二是概念的數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu).1y(Kg從物理上解釋Q表示密度為f(x)的直線段桿a.b的質(zhì)量.對(duì)面積的曲面積分丁產(chǎn)/溷S可以解釋為密度為f(x,y,z)的曲面薄板三的質(zhì)量.而且兩種積分定義的數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)相同，都可以分為“分割，近似、求和，取極限”三個(gè)步驟，因此可以認(rèn)為，對(duì)面積的曲面積分是定

6、積分的推廣對(duì)坐標(biāo)的曲面積分定義的數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)也與定積分定義的數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)相同，也可以認(rèn)為是定積分的推廣L/(F)ab丁仿第九章問(wèn)題1,若取為平面曲線C,P：(z,y),貝表示曲線積分njp)do-1y(羽乂司杰TOC o 1-5 h z若為空間曲線C,P=(x,y,z),貝表示曲線積分J/(F)db!43加若為曲面，P=(x,y,z),貝口表示曲面積分.從這個(gè)意義上看曲線積分與曲面積分為定積分的推廣就較為自然了問(wèn)題6計(jì)算曲面積分的基本途徑是什么?應(yīng)該注意什么條件?答計(jì)算曲面積分的基本途徑是轉(zhuǎn)化為二重積分計(jì)算對(duì)面積的曲面積分M，若曲面的方程是單值函數(shù)z=z(x,y),在xOy面上的投影區(qū)域?yàn)镈xy.z=

7、z(x,y)在Dxy上有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù).且f(x,y,z)在上連續(xù)。則有丁j式兀刈Ji+f容,歷+學(xué)九y)dxdy.如果曲面的方程可以表示為單值函數(shù)x=x(y,z)或y=y(z,x),也有上述類似的結(jié)論.JJPdydx+Qdzdx+Rdxdy通常按對(duì)坐標(biāo)的曲面積分Z通常按JJPdydx,JJQdzdx,JJRdxdyJJRdn砂Z三部分計(jì)算，僅以工為例：若曲面為有向曲面，它的方程為單值函數(shù)z=z(x,y)且在xOy面上的投影區(qū)域?yàn)镈xy.函數(shù)z=z(x,y)在D掣上有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)；R(x,y,z)在上連續(xù)，則有尺(式,乂?)出加=出出吩,其中當(dāng)取上側(cè)時(shí)，右端二重積分前取正號(hào)；當(dāng)取下側(cè)時(shí)，上式

8、右端二重積分前取負(fù)號(hào)問(wèn)題7使用高斯公式時(shí)應(yīng)該注意什么條件?答使用高斯公式可以求解封閉曲面積分,避免對(duì)投影區(qū)域的討論,從而簡(jiǎn)化運(yùn)算,但是應(yīng)該注意，在內(nèi)P(x,y,z),Q(x,y,z),R(x,y,z)應(yīng)具有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，曲面積分沿的外側(cè).四思考題思考題下列運(yùn)算是否正確?為什么？，其中C是從A(1,0)沿y=x2曲面積分沿的外側(cè).四思考題思考題下列運(yùn)算是否正確?為什么？，其中C是從A(1,0)沿y=x2一1到B(2,3)的弧段.解由于P=Q=因此所給曲線積分與積分路徑無(wú)關(guān)如果利用平行于坐標(biāo)軸的平行折線段代替如圖101所示解法1取積分路徑為折線段路徑9,則原式=解法2取積分路徑為折線段路徑晨則原

9、式=解法3取積分路徑為折線段路徑，晨+導(dǎo)晨廠小+小:則原式=分析這里先指出上述三種運(yùn)算中，解法1與解法2是錯(cuò)誤的，解法3是正確的BFA對(duì)于解法1,只需注意所給積分路徑c與構(gòu)成封閉曲線，它所圍成的區(qū)域包含原點(diǎn).而P,Q在原點(diǎn)處不存在連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，不符合曲線積分與路徑無(wú)關(guān)的條件，這是解法1錯(cuò)誤的原因AEB對(duì)于解法2，由于所取的積分路徑上含原點(diǎn)，而P，Q在原點(diǎn)沒(méi)有定義.因而解法2也不符合曲線積分轉(zhuǎn)化為定積分的條件，這是解法2錯(cuò)誤的原因解法1與解法2中出現(xiàn)的問(wèn)題應(yīng)該引起我們的注意；運(yùn)算中必須注意滿足運(yùn)算條件.對(duì)于解法3，看起來(lái)似乎復(fù)雜，但是實(shí)際上這種運(yùn)算不僅正確,而且簡(jiǎn)便解法3之所以正確，是因?yàn)樗o積分

10、曲線C3之所以正確，是因?yàn)樗o積分曲線C與折線構(gòu)成封閉曲線，在它們所圍成的區(qū)域里P,Q具有連續(xù)的偏導(dǎo)數(shù)，且區(qū)域?yàn)閱芜B通域在此區(qū)域內(nèi)，所給曲線積分與積分路徑無(wú)關(guān).思考題2檢查下列運(yùn)算是否正確?0)的弧段.求ds,其中C為y2=4x上自A(1,2)至B(0,0)的弧段.而分析上述運(yùn)算不正確而y2=4x,因此而分析上述運(yùn)算不正確而y2=4x,因此J/解因ds=.注意在A點(diǎn)處y=2；在B點(diǎn)處y=0,因?qū)τ诨￠L(zhǎng)的曲線積分轉(zhuǎn)化為定積分時(shí)，一定要保證定積分的下限小于定積分的上限這是因?yàn)閷?duì)于弧長(zhǎng)的曲線積分與路徑的方向無(wú)關(guān)，它總要滿足ds0這是因?yàn)閷?duì)于弧長(zhǎng)的曲線積分與路徑的方向無(wú)關(guān)，它總要滿足ds0.即思考題3

11、檢查下列運(yùn)算是否正確？求，其中A(-1,0),B(1,1),為x2+y2=1在第三象限的弧段。AB解由于為圓弧段，引入?yún)?shù)方程x=s,y=s。由于A(-1,0)對(duì)應(yīng)于=；B(0,1)對(duì)應(yīng)于7F=，因此分析上述運(yùn)算不正確。其錯(cuò)誤的原因在于對(duì)于坐標(biāo)的曲線積分轉(zhuǎn)換為定積分時(shí)，積分曲線弧分析上述運(yùn)算不正確。其錯(cuò)誤的原因在于對(duì)于坐標(biāo)的曲線積分轉(zhuǎn)換為定積分時(shí)，積分曲線弧的起點(diǎn)A所對(duì)應(yīng)的參數(shù)值一定為定積分的下限.因此本例正確做法應(yīng)為cosJcossinS*(sin9)jdtf思考題4檢查下例運(yùn)算是否正確？JJy2zdxdy+z2xdydz+ydzdx求，其中為x2+y2=1,z=x2+y2與z=0所圍成的封

12、閉曲面內(nèi)側(cè).解由于為封閉曲面內(nèi)側(cè).注意P=z2x,Q=x2y,R=y2z.由高斯定理有其錯(cuò)誤的原因在于高斯公式中曲面積分是沿封閉曲面的外側(cè)，而題目中給出的積分是沿曲面的內(nèi)側(cè)因此，正確的做法為原式工-/dydkn注利用高斯公式計(jì)算曲面積分時(shí)必須注意P，Q，R的含義.如果不注意此點(diǎn)，IrryH：?)rdrME在本例中取P=y2z，Q=z2x，R=x2y，則必定導(dǎo)致錯(cuò)誤！思考題5檢查下列運(yùn)算是否正確?求x3dydz+y3dzdx+z3dxdy，其中為x2+y2+z2=a2的外側(cè).解由于所給曲面為封閉曲面，P=x3,Q=y3,R=z3dQdRHF=3(2J24-y2-l-Z2)+汆協(xié)全因此由高斯公式有原式=（x2+y2+z2）dxdydz.由于