2023學(xué)年江蘇省揚州市竹西中學(xué)數(shù)學(xué)九年級第一學(xué)期期末檢測試題含解析

1、2023學(xué)年九上數(shù)學(xué)期末模擬試卷注意事項：1 答題前，考生先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號填寫清楚，將條形碼準(zhǔn)確粘貼在考生信息條形碼粘貼區(qū)。2選擇題必須使用2B鉛筆填涂；非選擇題必須使用05毫米黑色字跡的簽字筆書寫，字體工整、筆跡清楚。3請按照題號順序在各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書寫的答案無效；在草稿紙、試題卷上答題無效。4保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，不準(zhǔn)使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題(每小題3分,共30分)1二次函數(shù)的圖象與y軸的交點坐標(biāo)是（ ）A（0，1）B（1，0）C（1，0）D（0，1）2下列圖形中，既是軸對稱圖形又是中心對稱圖形的是（ ）ABCD3如圖，已知直線

2、，直線、與、分別交于點、和、，( )A7B7.5C8D4.54如圖，若點M是y軸正半軸上的任意一點，過點M作PQx軸，分別交函數(shù)y（y0）和y（y0）的圖象于點P和Q，連接OP和OQ，則下列結(jié)論正確是（）APOQ不可能等于90BC這兩個函數(shù)的圖象一定關(guān)于y軸對稱DPOQ的面積是5如圖，在正方形網(wǎng)格中，線段AB是線段AB繞某點逆時針旋轉(zhuǎn)角得到的，點A與A對應(yīng)，則角的大小為（）A30B60C90D1206如圖，AD是半圓O的直徑，AD12，B，C是半圓O上兩點若，則圖中陰影部分的面積是（ ）A6B12C18D247用一個圓心角為120，半徑為4的扇形作一個圓錐的側(cè)面則這個圓錐的底面圓的半徑為（ ）

3、AB1CD28如圖，正五邊形內(nèi)接于，為上的一點（點不與點重合），則的度數(shù)為（ ）ABCD9已知點，在二次函數(shù)的圖象上，則的大小關(guān)系是（ ）ABCD10與y=2（x1）2+3形狀相同的拋物線解析式為（ ）Ay=1+x2By=（2x+1）2Cy=（x1）2Dy=2x2二、填空題(每小題3分,共24分)11擲一枚硬幣三次，正面都朝上的概率是_12如圖，RtABC中，C90，AC10，BC1動點P以每秒3個單位的速度從點A開始向點C移動，直線l從與AC重合的位置開始，以相同的速度沿CB方向平行移動，且分別與CB，AB邊交于E，F(xiàn)兩點，點P與直線l同時出發(fā)，設(shè)運動的時間為t秒，當(dāng)點P移動到與點C重合時，

4、點P和直線l同時停止運動在移動過程中，將PEF繞點E逆時針旋轉(zhuǎn)，使得點P的對應(yīng)點M落在直線l上，點F的對應(yīng)點記為點N，連接BN，當(dāng)BNPE時，t的值為_13一個不透明的袋子中裝有除顏色外其他都相同的2個紅球和1個黃球，隨機摸出一個小球后，放回并搖勻，再隨機摸岀一個，則兩次都摸到黃球的概率為_14如圖，在邊長為的正方形中，點為靠近點的四等分點，點為中點，將沿翻折得到連接則點到所在直線距離為_.15定義符號maxa，b的含義為：當(dāng)ab時，maxa，ba；當(dāng)ab時，maxa，bb，如：max3，13，max3，22，則方程maxx，xx26的解是_16若一個三角形的兩邊長分別是4和6，第三邊的長是方

5、程x217x+600的一個根，則該三角形的第三邊長是_17如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，函數(shù)和的圖象分別為直線，過點(1，0)作軸的垂線交于點，過點作軸的垂線交于點，過點作軸的垂線交于點，過點作軸的垂線交于點，依次進行下去，則點的坐標(biāo)為_.18函數(shù)的自變量的取值范圍是三、解答題(共66分)19（10分）如圖，已知AB為O的直徑，PA與O相切于A點，點C是O上的一點，且PC=PA（1）求證：PC是O的切線；（2）若BAC=45，AB=4，求PC的長20（6分）如圖，轉(zhuǎn)盤A中的6個扇形的面積相等，轉(zhuǎn)盤B中的3個扇形的面積相等分別任意轉(zhuǎn)動轉(zhuǎn)盤A、B各1次，當(dāng)轉(zhuǎn)盤停止轉(zhuǎn)動時，將指針?biāo)渖刃沃械?個數(shù)字分別

6、作為平面直角坐標(biāo)系中一個點的橫坐標(biāo)、縱坐標(biāo)（1）用表格列出這樣的點所有可能的坐標(biāo)；（2）求這些點落在二次函數(shù)yx25x+6的圖象上的概率21（6分）已知二次函數(shù)yax22ax+k（a、k為常數(shù)，a0），線段AB的兩個端點坐標(biāo)分別為A(1，2)，B(2，2)（1）該二次函數(shù)的圖象的對稱軸是直線 ；（2）當(dāng)a1時，若點B(2，2)恰好在此函數(shù)圖象上，求此二次函數(shù)的關(guān)系式；（3）當(dāng)a1時，當(dāng)此二次函數(shù)的圖象與線段AB只有一個公共點時，求k的取值范圍；（4）若ka+3，過點A作x軸的垂線交x軸于點P，過點B作x軸的垂線交x軸于點Q，當(dāng)1x2，此二次函數(shù)圖象與四邊形APQB的邊交點個數(shù)是大于0的偶數(shù)時，

7、直接寫出k的取值范圍22（8分）拋物線與軸交于A，B兩點，與軸交于點C，連接BC（1）如圖1，求直線BC的表達(dá)式；（2）如圖1，點P是拋物線上位于第一象限內(nèi)的一點，連接PC，PB，當(dāng)PCB面積最大時，一動點Q從點P從出發(fā)，沿適當(dāng)路徑運動到軸上的某個點G處，再沿適當(dāng)路徑運動到軸上的某個點H處，最后到達(dá)線段BC的中點F處停止，求當(dāng)PCB面積最大時，點P的坐標(biāo)及點Q在整個運動過程中經(jīng)過的最短路徑的長；（3）如圖2，在（2）的條件下，當(dāng)PCB面積最大時，把拋物線向右平移使它的圖象經(jīng)過點P，得到新拋物線，在新拋物線上，是否存在點E，使ECB的面積等于PCB的面積若存在，請求出點E的坐標(biāo)，若不存在，請說明

8、理由23（8分）京劇臉譜是京劇藝術(shù)獨特的表現(xiàn)形式京劇表演中，經(jīng)常用臉譜象征人物的性格，品質(zhì)，甚至角色和命運如紅臉代表忠心耿直，黑臉代表強悍勇猛現(xiàn)有三張不透明的卡片，其中兩張卡片的正面圖案為“紅臉”，另外一張卡片的正面圖案為“黑臉”，卡片除正面圖案不同外，其余均相同，將這三張卡片背面向上洗勻，從中隨機抽取一張，記錄圖案后放回，重新洗勻后再從中隨機抽取一張請用畫樹狀圖或列表的方法，求抽出的兩張卡片上的圖案都是“紅臉”的概率（圖案為“紅臉”的兩張卡片分別記為A1、A2，圖案為“黑臉”的卡片記為B）24（8分）如圖，ABC的三個頂點和點O都在正方形網(wǎng)格的格點上，每個小正方形的邊長都為1（1）將ABC先

9、向右平移4個單位，再向上平移2個單位得到A1B1C1，請畫出A1B1C1；（2）請畫出A2B2C2，使A2B2C2和ABC關(guān)于點O成中心對稱25（10分）如圖,菱形的頂點在菱形的邊上, 與相交于點,若,求菱形的邊長.26（10分）一只不透明的袋子中裝有3個黑球、2個白球，每個球除顏色外都相同，從中任意摸出2個球（1）“其中有1個球是黑球”是 事件；（2）求2個球顏色相同的概率參考答案一、選擇題(每小題3分,共30分)1、D【詳解】當(dāng)x=0時，y=0-1=-1,圖象與y軸的交點坐標(biāo)是（0,-1）.故選D.2、B【分析】根據(jù)軸對稱圖形和中心對稱圖形的概念對各選項分析判斷即可得解【詳解】A是軸對稱圖

10、形，不是中心對稱圖形，故本選項不符合題意；B是軸對稱圖形，也是中心對稱圖形，故本選項符合題意；C不是軸對稱圖形，是中心對稱圖形，故本選項不符合題意；D是軸對稱圖形，不是中心對稱圖形，故本選項不符合題意故選：B【點睛】本題考查了中心對稱圖形與軸對稱圖形的概念軸對稱圖形的關(guān)鍵是尋找對稱軸，圖形兩部分折疊后可重合，中心對稱圖形是要尋找對稱中心，旋轉(zhuǎn)180度后兩部分重合3、D【分析】根據(jù)平行線分線段成比例定理，列出比例式解答即可.【詳解】 即： 故選：D【點睛】本題考查的是平行線分線段成比例定理，掌握定理的內(nèi)容并能正確的列出比例式是關(guān)鍵.4、D【分析】利用特例對A進行判斷；根據(jù)反比例函數(shù)的幾何意義得到

11、SOMQOMQMk1，SOMPOMPMk2，則可對B、D進行判斷；利用關(guān)于y軸對稱的點的坐標(biāo)特征對C進行判斷【詳解】解：A、當(dāng)k13，k2，若Q（1，），P（3，），則POQ90，所以A選項錯誤；B、因為PQx軸，則SOMQOMQMk1，SOMPOMPMk2，則，所以B選項錯誤；C、當(dāng)k2k1時，這兩個函數(shù)的圖象一定關(guān)于y軸對稱，所以C選項錯誤；D、SPOQSOMQ+SOMP|k1|+|k2|，所以D選項正確故選：D【點睛】本題考查了反比例函數(shù)比例系數(shù)的幾何意義：在反比例函數(shù)的圖象上任意一點向坐標(biāo)軸作垂線，這一點和垂足以及坐標(biāo)原點所構(gòu)成的三角形的面積是，且保持不變5、C【詳解】分析：先根據(jù)題意

12、確定旋轉(zhuǎn)中心，然后根據(jù)旋轉(zhuǎn)中心即可確定旋轉(zhuǎn)角的大小詳解：如圖，連接AA，BB，分別AA，BB作的中垂線，相交于點O.顯然，旋轉(zhuǎn)角為90，故選C點睛：考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是能夠根據(jù)題意確定旋轉(zhuǎn)中心，難度不大先找到這個旋轉(zhuǎn)圖形的兩對對應(yīng)點，連接對應(yīng)兩點，然后就會出現(xiàn)兩條線段，分別作這兩條線段的中垂線，兩條中垂線的交點就是旋轉(zhuǎn)中心.6、A【分析】根據(jù)圓心角與弧的關(guān)系得到AOB=BOC=COD=60，根據(jù)扇形面積公式計算即可【詳解】，AOB=BOC=COD=60.陰影部分面積=.故答案為A.【點睛】本題考查的知識點是扇形面積的計算，解題關(guān)鍵是利用圓心角與弧的關(guān)系得到AOB=BOC=COD=60

13、.7、A【分析】根據(jù)扇形的弧長公式求出弧長，根據(jù)圓錐的底面周長等于它的側(cè)面展開圖的弧長求出半徑【詳解】解：設(shè)圓錐底面的半徑為r，扇形的弧長為：，圓錐的底面周長等于它的側(cè)面展開圖的弧長，根據(jù)題意得2r=，解得：r=，故選A.【點睛】本題考查了圓錐的計算，掌握弧長公式、周長公式和圓錐與扇形的對應(yīng)關(guān)系是解題的關(guān)鍵8、B【分析】根據(jù)圓周角的性質(zhì)即可求解.【詳解】連接CO、DO，正五邊形內(nèi)心與相鄰兩點的夾角為72，即COD=72，同一圓中，同弧或同弦所對應(yīng)的圓周角為圓心角的一半，故CPD=,故選B.【點睛】此題主要考查圓內(nèi)接多邊形的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是熟知圓周角定理的應(yīng)用.9、D【分析】根據(jù)二次函數(shù)的解析

14、式，能得出二次函數(shù)的圖形開口向上，通過對稱軸公式得出二次函數(shù)的對稱軸為x=3，由此可知離對稱軸水平距離越遠(yuǎn)，函數(shù)值越大即可求解.【詳解】解：二次函數(shù)中a0拋物線開口向上，有最小值.離對稱軸水平距離越遠(yuǎn)，函數(shù)值越大，由二次函數(shù)圖像的對稱性可知x=4對稱點x=2故選：D.【點睛】本題主要考查的是二次函數(shù)圖像上點的坐標(biāo)特點，解此題的關(guān)鍵是掌握二次函數(shù)圖像的性質(zhì).10、D【分析】拋物線的形狀只是與a有關(guān)，a相等，形狀就相同【詳解】y=1（x1）1+3中，a=1故選D【點睛】本題考查了拋物線的形狀與a的關(guān)系，比較簡單二、填空題(每小題3分,共24分)11、【分析】根據(jù)題意畫出樹狀圖，再根據(jù)概率公式，即可

15、求解.【詳解】畫樹狀圖如下：擲一枚硬幣三次，共有8種可能，正面都朝上只有1種，正面都朝上的概率是：.故答案是：【點睛】本題主要考查求簡單事件的概率，畫出樹狀圖，是解題的關(guān)鍵.12、【分析】作NHBC于H首先證明PECNEBNBE，推出EHBH，根據(jù)cosPECcosNEB，推出，由此構(gòu)建方程解決問題即可【詳解】解：作NHBC于HEFBC，PEFNEF，F(xiàn)ECFEB90，PEC+PEF90，NEB+FEN90，PECNEB，PEBN，PECNBE，NEBNBE，NENB，HNBE，EHBH，cosPECcosNEB，EFAC，EFEN (13t)，整理得：63t2960t+1000，解得t或 (

16、舍棄)，故答案為：【點睛】本題考查旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，平行線的性質(zhì)，解直角三角形、相似三角形的判定與性質(zhì)等知識，解題的關(guān)鍵是學(xué)會利用參數(shù)構(gòu)建方程解決問題，屬于中考常考題型13、【分析】首先根據(jù)題意畫出樹狀圖，由樹狀圖求得所有等可能的結(jié)果與兩次都摸到黃球的情況，然后利用概率公式求解即可求得答案【詳解】畫樹狀圖如下：由樹狀圖可知，共有9種等可能結(jié)果，其中兩次都摸到黃球的有1種結(jié)果，兩次都摸到黃球的概率為；故答案為：【點睛】此題考查列表法或樹狀圖法求概率解題關(guān)鍵在于掌握注意畫樹狀圖與列表法可以不重復(fù)不遺漏的列出所有可能的結(jié)果，列表法適合于兩步完成的事件；樹狀圖法適合兩步或兩步以上完成的事件；解題時要注意此題

17、是放回實驗還是不放回實驗14、【分析】延長交BC于點M，連接FM，延長交DA的延長線于點P，作DNCP，先證明，利用相似的性質(zhì)求出，然后證明，利用相似的性質(zhì)求出EP，從而得到DP的長，再利用勾股定理求出CP的長，最后利用等面積法計算DN即可【詳解】如圖，延長交BC于點M，連接FM，延長交DA的延長線于點P，作DNCP，由題可得，F(xiàn)為AB中點，又FM=FM，（HL），由折疊可知，又，AD=4，E為四等分點，,，即，EP=6，DP=EP+DE=7，在中，故答案為：【點睛】本題考查了折疊的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)，勾股定理以及等面積法等知識，較為綜合，難度較大，重點在于作

18、輔助線構(gòu)造全等或相似三角形15、1或1【分析】分兩種情況：xx，即x0時；xx，即x0時；進行討論即可求解【詳解】當(dāng)xx，即x0時，x=x26，即x2x6=0，(x1)(x+2)=0，解得：x1=1，x2=2(舍去)；當(dāng)xx，即x0時，x=x26，即x2+x6=0，(x+1)(x2)=0，解得：x1=1，x4=2(舍去)故方程maxx，x=x26的解是x=1或1故答案為：1或1【點睛】考查了解了一元二次方程-因式分解法，關(guān)鍵是熟練掌握定義符號maxa，b的含義，注意分類思想的應(yīng)用16、1【分析】根據(jù)三角形兩邊之和大于第三邊,兩邊之差小于第三邊,結(jié)合一元二次方程相關(guān)知識進行解題即可.【詳解】解：

19、x217x+600，（x1）（x12）0，解得：x11，x212，三角形的兩邊長分別是4和6，當(dāng)x12時，6+412，不能組成三角形這個三角形的第三邊長是1故答案為：1【點睛】本題考查了三角形的三邊關(guān)系和一元二次方程的求解,熟悉三角形三邊關(guān)系是解題關(guān)鍵.17、【解析】根據(jù)一次函數(shù)圖象上點的坐標(biāo)特征可得出點A1、A2、A3、A4、A5、A6、A7、A8等的坐標(biāo)，根據(jù)坐標(biāo)的變化找出變化規(guī)律“A4n+1（22n，22n+1），A4n+2（-22n+1，22n+1），A4n+3（-22n+1，-22n+2），A4n+4（22n+2，-22n+2）（n為自然數(shù)）”，依此規(guī)律結(jié)合2019=5044+3即可

20、找出點A2019的坐標(biāo)【詳解】解：當(dāng)x=1時，y=2，點A1的坐標(biāo)為（1，2）；當(dāng)y=-x=2時，x=-2，點A2的坐標(biāo)為（-2，2）；同理可得：A3（-2，-4），A4（4，-4），A5（4，8），A6（-8，8），A7（-8，-16），A8（16，-16），A9（16，32），A4n+1（22n，22n+1），A4n+2（-22n+1，22n+1），A4n+3（-22n+1，-22n+2），A4n+4（22n+2，-22n+2）（n為自然數(shù)）2019=5044+3，點A2019的坐標(biāo)為（-25042+1，-25042+2），即（-21009，-21010）故答案為（-21009，-2101

21、0）【點睛】本題考查一次函數(shù)圖象上點的坐標(biāo)特征、正比例函數(shù)的圖象以及規(guī)律型中點的坐標(biāo)，根據(jù)坐標(biāo)的變化找出變化規(guī)律“A4n+1（22n，22n+1），A4n+2（-22n+1，22n+1），A4n+3（-22n+1，-22n+2），A4n+4（22n+2，-22n+2）（n為自然數(shù)）”是解題的關(guān)鍵18、x1【解析】該題考查分式方程的有關(guān)概念根據(jù)分式的分母不為0可得X10,即x1那么函數(shù)y=的自變量的取值范圍是x1三、解答題(共66分)19、（1）見解析；（2）2【分析】（1）根據(jù)切線的性質(zhì)得到PAB=90，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得到OAC=OCA，求得PCCO，根據(jù)切線的判定定理即可得到結(jié)論；（2

22、）連接BC，先根據(jù)ACB是等腰直角三角形，得到AC和，從而推出PAC是等腰直角三角形，根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)即可得到PC的值【詳解】（1）連接CO，PA是O的切線，PAB=90，OA=OC，OAC=OCA，PC=PA，PAC=PCA，PCO=PCA+ACO=PAC+OAC=PAB=90，PCCO，OC是半徑PC是O的切線；（2）連接BC，為O直徑，【點睛】本題考查了切線的判定要證某線是圓的切線，已知此線過圓上某點，連接圓心與這點（即為半徑），再證垂直即可同時考查了勾股定理和等腰直角三角形的性質(zhì)20、（1）見解析；（2）【分析】（1）根據(jù)題意列表，展示出所有等可能的坐標(biāo)結(jié)果；（2）由（1）可求

23、得點落在二次函數(shù)yx25x+6的圖象上的結(jié)果數(shù)，再根據(jù)概率公式計算即可解答【詳解】（1）根據(jù)題意列表如下：縱坐標(biāo)橫坐標(biāo)3121（1，3）（1，1）（1，2）0（0，3）（0，1）（0，2）1（1，3）（1，1）（1，2）2（2，3）（2，1）（2，2）3（3，3）（3，1）（3，2）4（4，3）（4，1）（4，2）由表可知，共有18種等可能的情況；（2）由上表可知，點（1，2）、（4，2）都在二次函數(shù)yx25x+6的圖象上，所以P（這些點落在二次函數(shù)yx25x+6的圖象上）【點睛】本題考查列表法或樹狀圖法求概率，解題的關(guān)鍵是不重復(fù)不遺漏地列出所有等可能的結(jié)果21、（1）x1；（2）yx2+2x

24、+2；（3）2k5或k1；（4）2k或k2【分析】（1）根據(jù)二次函數(shù)yax22ax+k（a、k為常數(shù)，a2）即可求此二次函數(shù)的對稱軸；（2）當(dāng)a1時，把B（2，2）代入即可求此二次函數(shù)的關(guān)系式；（3）當(dāng)a1時，根據(jù)二次函數(shù)的圖象與線段AB只有一個公共點，分三種情況說明：當(dāng)拋物線頂點落在AB上時，k+12，k1；當(dāng)拋物線經(jīng)過點B時，k2；當(dāng)拋物線經(jīng)過點A時，k5，即可求此k的取值范圍；（4）當(dāng)ka+3，根據(jù)題意畫出圖形，觀察圖形即可求此k的取值范圍【詳解】解：（1）二次函數(shù)yax22ax+k（a、k為常數(shù)，a2），二次函數(shù)的圖象的對稱軸是直線x1故答案為x1；（2）當(dāng)a1時，yx2+2x+k把B

25、（2，2）代入，得 k2，yx2+2x+2（3）當(dāng)a1時，yx2+2x+k（x1）2+k+1此二次函數(shù)的圖象與線段AB只有一個公共點，當(dāng)拋物線頂點落在AB上時，k+12，k1當(dāng)拋物線經(jīng)過點B時，k2當(dāng)拋物線經(jīng)過點A時，12+k2，k5綜上所述：2k5或k1；（4）當(dāng)ka+3時，yax22ax+a+3a（x1）2+3所以頂點坐標(biāo)為（1，3）a+33a2如圖，過點A作x軸的垂線交x軸于點P，過點B作x軸的垂線交x軸于點Q，P（1，2），Q（2，2）當(dāng)1x2，此二次函數(shù)圖象與四邊形APQB的邊交點個數(shù)是大于2的偶數(shù)，當(dāng)拋物線過點P時，a+2a+a+32，解得aka+3，當(dāng)拋物線經(jīng)過點B時，4a4a+

26、a+32，解得a1，k2，當(dāng)拋物線經(jīng)過點Q時，4a4a+a+32，解得a3，k2綜上所述：2k或k2【點睛】本題考查了二次函數(shù)與系數(shù)的關(guān)系，解決本題的關(guān)鍵是綜合運用一元一次不等式組的整數(shù)解、二次函數(shù)圖象上的點的坐標(biāo)特征、拋物線與xx軸的交點22、（1）（2）點Q按照要求經(jīng)過的最短路徑長為（3）存在，滿足條件的點E有三個，即（，），（，）, （，）【分析】（1）先求出點，的坐標(biāo)，利用待定系數(shù)法即可得出結(jié)論；（2）先確定出，再利用三角形的面積公式得出，即可得出結(jié)論；（3）先確定出平移后的拋物線解析式，進而求出，在判斷出建立方程即可得出結(jié)論【詳解】解：（1）令，得， A（，0），B（，0）令，得C(

27、0,3)設(shè)直線BC的函數(shù)表達(dá)式為，把B（，0）代入，得解得，所以直線BC的函數(shù)表達(dá)式為（2）過P作PD軸交直線BC于M 直線BC表達(dá)式為 ， 設(shè)點M的坐標(biāo)為 ，則點P 的坐標(biāo)為則此時，點P坐標(biāo)為（，）根據(jù)題意，要求的線段PG+GH+HF的最小值，只需要把這三條線段“搬”在一直線上如圖1，作點P關(guān)于軸的對稱點，作點F關(guān)于軸的對稱點，連接，交軸于點G,交軸于點H根據(jù)軸對稱性可得，此時PG+GH+HF的最小值= 點P坐標(biāo)為（，）， 點的坐標(biāo)為（，） 點F是線段BC的中點， 點F的坐標(biāo)為（，） 點的坐標(biāo)為（，） 點，P兩點的橫坐相同，軸 ，P兩點關(guān)于軸對稱，軸 即點Q按照要求經(jīng)過的最短路徑長為（3）如圖2，在拋物線中，令，或，由平移知，拋物線向右平移到，則平移了個單位，設(shè)點，過點作軸交于，直線的解析式為，的面積等于的面積，由（2）知，或或或（舍，或，或，綜上所述，滿足條件的點E有三個，即（，），（，）, （，）【點睛】此題是二次函數(shù)