四道高考題　兩對(duì)雙胞胎含參雙變量問題處理方法 講義-高三數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)

1、四道高考題，兩對(duì)“雙胞胎”（含參雙變量處理方法：無關(guān)雙變量同構(gòu)，有關(guān)雙變量減元消參）2009遼寧理(12分)已知函數(shù)；（1）討論函數(shù)的單調(diào)性；（2）求證：若，則對(duì)任意的，有（只有大小關(guān)系，題目背景是拉格朗日中值定理）【解】（1），函數(shù)的定義域?yàn)?，令，則或；若，即，則，函數(shù)在上單調(diào)遞增；若，又，故時(shí)，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；函數(shù)在，上單調(diào)遞增；函數(shù)在上單調(diào)遞減；若，即，同理可得，函數(shù)在，上單調(diào)遞增；函數(shù)在上單調(diào)遞減；（2）令，定義域?yàn)椋瑒t；，；，即；函數(shù)在上單調(diào)遞增，故當(dāng)時(shí)，即，2010年遼寧（21）（本小題滿分12分）已知函數(shù)（ = 1 * ROMAN I）討論函數(shù)的單調(diào)性；（ = 2 * R

2、OMAN II）設(shè).如果對(duì)任意，求的取值范圍。（21）解：（）的定義域?yàn)椋?，+）. .當(dāng)時(shí)，0，故在（0，+）單調(diào)增加；當(dāng)時(shí)，0，故在（0，+）單調(diào)減少；當(dāng)-10時(shí)，令=0，解得.則當(dāng)時(shí)，0；時(shí)，0.故在單調(diào)增加，在單調(diào)減少.（）不妨假設(shè)，而-1，由（）知在（0，+）單調(diào)減少，從而 ，等價(jià)于， 令，則等價(jià)于在（0，+）單調(diào)減少，即. 從而 故a的取值范圍為（-，-2. 12分2011湖南文科22. （本小題滿分13分） 設(shè)函數(shù)。 （）討論函數(shù)的單調(diào)性 （）若有兩個(gè)極值點(diǎn)；記過點(diǎn)的直線斜率為。問：是否存在，使得？若存在，求出的值；若不存在，請(qǐng)說明理由。（有制約關(guān)系）解析：（I）的定義域?yàn)榱町?dāng)故

3、上單調(diào)遞增當(dāng)?shù)膬筛夹∮?，在上，故上單調(diào)遞增當(dāng)?shù)膬筛鶠?，?dāng)時(shí)， ；當(dāng)時(shí)， ；當(dāng)時(shí)， ，故分別在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減（II）由（I）知，因?yàn)?，所以又?I)知，于是若存在，使得則即亦即再由（I）知，函數(shù)在上單調(diào)遞增，而，所以這與式矛盾故不存在，使得2018年全國(guó)卷21.已知函數(shù)（1）討論的單調(diào)性；（2）若存在兩個(gè)極值點(diǎn)，證明：好，我們來先看一看這道題的形式特征：第一問：討論f(x)的單調(diào)性，只要大家有做過一定的了解，想信大家都知道這個(gè)題型特別常見，老師在課堂上肯定也會(huì)講到，高考導(dǎo)數(shù)大題當(dāng)中很大一部分的題型，第一問考的都是討論單調(diào)性，所以，這一點(diǎn)對(duì)大家至關(guān)重要。那么，希望同學(xué)們通過這方面的學(xué)

4、習(xí)，在這方面上面不再丟分。第二問：要證明一個(gè)不等式成立，這個(gè)結(jié)構(gòu)就是大家所說的雙變量問題，這種也是高考中?？嫉牡湫托灶}型。從近幾年的全國(guó)卷的高考題可以看出， 出的考題的結(jié)構(gòu)基本比較固定，雖然他綜合難度比較高，但是只要同學(xué)們經(jīng)過對(duì)這種結(jié)構(gòu)熟練拆分掌握，經(jīng)過大量的訓(xùn)練，相信同學(xué)們?cè)诟呖贾杏龅竭@種同類型題再也不用擔(dān)心做不出來了。那么，接下來就講一講第一問當(dāng)中的關(guān)于含參討論的處理方法。以及解決第二問這種題型的解題思路，只有思路明確了，同學(xué)們要明白自己欠缺的點(diǎn)在哪里，然后在后面的學(xué)習(xí)，找到合適的方法去解決這些問題，相信大家就有能力去完整處理好導(dǎo)數(shù)大題。廢話不多說，直接看第一問：對(duì)這么一個(gè)含參討論單調(diào)性問

5、題，有常見的幾種處理思路：求導(dǎo)、通分 因式分解 0是什么情況？0是什么情況？比較x1、x2 寫出單調(diào)區(qū)間含參單調(diào)性的問題本質(zhì)是二次函數(shù)零點(diǎn)存在性的問題。討論核心是：二次項(xiàng)系數(shù)，根，定義域.最開始一定是求導(dǎo)，求導(dǎo)之后觀察是否能夠通分或者因式分解，這點(diǎn)非常重要。保證討論過程有層次，不重不漏，討論參數(shù)順序可以如下：二次項(xiàng)系數(shù)是否為0是否有根，有幾個(gè)根開口方向兩根大?。ㄌ貏e注意能否相等）根是否在定義域內(nèi)（剛開始就要判斷定義域）這是我們處理導(dǎo)數(shù)單調(diào)性的常用方法，如果能因式分解，那么就可以直接比較x1、x2了，如果不能因式分解，那么我們就要用到第三步了，當(dāng)然，不同的題型，不同的方法，希望大家靈活掌握。有了

6、思路之后，那就開始解題了。第一步：求導(dǎo)。（1）的定義域?yàn)椋?（i）若，則，當(dāng)且僅當(dāng)，時(shí)，所以在單調(diào)遞減.（ii）若，令得，或.當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，.所以在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增.再看第二問：這種類型導(dǎo)數(shù)壓軸題確實(shí)綜合難度比較高，很多同學(xué)對(duì)于第二問是很難完整的做出來，但是，只要同學(xué)們認(rèn)真去學(xué)習(xí)這類問題，經(jīng)過系統(tǒng)的學(xué)習(xí)后，你就會(huì)發(fā)現(xiàn)，這些題型都會(huì)有標(biāo)準(zhǔn)化的解題過程，那么只是因?yàn)樗虚g涉及的障礙或者說細(xì)節(jié)處理相對(duì)會(huì)麻煩的多，所以導(dǎo)致很多同學(xué)以為他做不好，但是只要你的邏輯通了，那么我相信一件事，你就一定可以把這種問題給做好。那我們首先來分析一下這個(gè)結(jié)構(gòu)，可以看出，這道題綜合了兩個(gè)結(jié)構(gòu)：一、雙變量問題；二、含參

7、不等式證明。那么我們應(yīng)該怎么去處理呢？那我們就對(duì)這兩個(gè)結(jié)構(gòu)拆開來分析： 雙變量常見解題思路：1雙變量化為單變量尋找兩變量的等量關(guān)系；2轉(zhuǎn)化為構(gòu)造新函數(shù)；聚焦問題：我們要明白這是一個(gè)與極值取值范圍有關(guān)的問題。解決策略：學(xué)會(huì)轉(zhuǎn)化。求極值取值范圍就是變量轉(zhuǎn)化問題。這是含參的雙變量問題，一般來說，含參雙變量問題我們一般是不采用轉(zhuǎn)化為構(gòu)造新函數(shù)，為什么呢，因?yàn)槲覀儤?gòu)造新函數(shù)后，可能還會(huì)含有參數(shù)a，那么這種問題還是非常難處理。遇到這種問題，我們最好就雙變量化為單變量，這就是我們解這道題的一個(gè)非常重要的思路：1 尋找x1、x2之間的關(guān)系并確定范圍，并且確定a的取值范圍；（當(dāng)所求的代數(shù)式與兩個(gè)極值點(diǎn)都有關(guān)的時(shí)

8、候，我們還需要努力找到兩個(gè)極值點(diǎn)之間的關(guān)系。一般情況下都是二次函數(shù)根據(jù)韋達(dá)定理確定找出兩根之和，兩根之積的關(guān)系，實(shí)現(xiàn)變量之間的代換。）2化簡(jiǎn)和嘗試消參；3雙變量化為單變量。4證明函數(shù)恒成立（求導(dǎo)、求極值） 含參不等式常見解題思路：1參數(shù)分離；2通過運(yùn)算化簡(jiǎn)消參（化簡(jiǎn)或不等關(guān)系）；3將參數(shù)看成未知數(shù)，通過它的單調(diào)關(guān)系來進(jìn)行消參。當(dāng)雙變量變?yōu)閱巫兞康臅r(shí)候，就可以確定它的范圍了，當(dāng)成普通函數(shù)求單調(diào)性最值問題即可。那么我們來看一下具體是如何操作的：（2）由（1）知，存在兩個(gè)極值點(diǎn)當(dāng)且僅當(dāng).由于的兩個(gè)極值點(diǎn)滿足，所以，不妨設(shè)，則.由于，所以等價(jià)于.設(shè)函數(shù)，由（1）知，在單調(diào)遞減，又，從而當(dāng)時(shí)，.所以，即.那么通過上面的解題過程，我們可以得出一個(gè)結(jié)論，我們首先要確定題型的結(jié)構(gòu)，然后確定解題方法，再確定解題思路，最后就是書寫計(jì)算過程，是不是就變得很順暢？大家是不是有一個(gè)感覺，都能聽懂老師的課，而且思路也變