2012年普通高等學(xué)校招生全國(guó)統(tǒng)一考試數(shù)學(xué)(大綱全國(guó)卷)理

1、大綱全國(guó)理科1.(2012大綱全國(guó),理1)復(fù)數(shù)=(). A.2+iB.2-iC.1+2iD.1-2iC=1+2i.2.(2012大綱全國(guó),理2)已知集合A=1,3,B=1,m,AB=A,則m=().A.0或B.0或3C.1或D.1或3BA=1,3,B=1,m,AB=A,m=3或m=.m=3或m=0或m=1.當(dāng)m=1時(shí),與集合中元素的互異性不符,故選B.3.(2012大綱全國(guó),理3)橢圓的中心在原點(diǎn),焦距為4,一條準(zhǔn)線為x=-4,則該橢圓的方程為().A.+=1B.+=1C.+=1D.+=1C焦距為4,即2c=4,c=2.又準(zhǔn)線x=-4,-=-4.a2=8.b2=a2-c2=8-4=4.橢圓的方

2、程為+=1,故選C.4.(2012大綱全國(guó),理4)已知正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,AB=2,CC1=2,E為CC1的中點(diǎn),則直線AC1與平面BED的距離為().A.2B.C.D.1D連結(jié)AC交BD于點(diǎn)O,連結(jié)OE,AB=2,AC=2.又CC1=2,則AC=CC1.作CHAC1于點(diǎn)H,交OE于點(diǎn)M.由OE為ACC1的中位線知,CMOE,M為CH的中點(diǎn).由BDAC,ECBD知,BD面EOC,CMBD.CM面BDE.HM為直線AC1到平面BDE的距離.又ACC1為等腰直角三角形,CH=2.HM=1.5.(2012大綱全國(guó),理5)已知等差數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn,a5=5,S5=15,則數(shù)列

3、的前100項(xiàng)和為().A.B.C.D.AS5=15,a1=1.d=1.an=1+(n-1)1=n.=.設(shè)的前n項(xiàng)和為Tn,則T100=+=1-+-+-=1-=.6.(2012大綱全國(guó),理6)ABC中,AB邊的高為CD.若=a,=b,ab=0,|a|=1,|b|=2,則=().A.a-bB.a-bC.a-bD.a-bDab=0,ab.又|a|=1,|b|=2,|=.|=.|=.=(a-b)=a-b.7.(2012大綱全國(guó),理7)已知為第二象限角,sin +cos =,則cos 2=().A.-B.-C.D.Asin +cos =,且為第二象限角,(kZ).2(kZ).由(sin +cos )2=

4、1+sin 2=,sin 2=-.cos 2=-=-.8.(2012大綱全國(guó),理8)已知F1,F2為雙曲線C:x2-y2=2的左、右焦點(diǎn),點(diǎn)P在C上,|PF1|=2|PF2|,則cosF1PF2=().A.B.C.D.C設(shè)|PF2|=m,則|PF1|=2m,由雙曲線定義:|PF1|-|PF2|=2a,2m-m=2.m=2.又2c=2=4,由余弦定理可得cosF1PF2=.9.(2012大綱全國(guó),理9)已知x=ln ,y=log52,z=,則().A.xyzB.zxyC.zyxD.yz1,y=log52log5=,z=,且e0=1,yz0時(shí),x1;當(dāng)y0時(shí),-1x1.函數(shù)的遞增區(qū)間為(-,-1)

5、和(1,+),遞減區(qū)間為(-1,1).x=-1時(shí),取得極大值;x=1時(shí),取得極小值.要使函數(shù)圖象與x軸恰有兩個(gè)公共點(diǎn),只需:f(-1)=0或f(1)=0,即(-1)3-3(-1)+c=0或13-31+c=0,c=-2或c=2.11.(2012大綱全國(guó),理11)將字母a,a,b,b,c,c排成三行兩列,要求每行的字母互不相同,每列的字母也互不相同,則不同的排列方法共有().A.12種B.18種C.24種D.36種A當(dāng)?shù)谝恍袨閍b時(shí),有和兩種情況,當(dāng)?shù)谝恍袨閍,b時(shí),共有4種情況.同理當(dāng)?shù)谝恍袨閍,c時(shí),共有4種情況;當(dāng)?shù)谝恍袨閎,c時(shí),共有4種情況;不同的排列方法共有12種.12.(2012大綱

6、全國(guó),理12)正方形ABCD的邊長(zhǎng)為1,點(diǎn)E在邊AB上,點(diǎn)F在邊BC上,AE=BF=.動(dòng)點(diǎn)P從E出發(fā)沿直線向F運(yùn)動(dòng),每當(dāng)碰到正方形的邊時(shí)反彈,反彈時(shí)反射角等于入射角.當(dāng)點(diǎn)P第一次碰到E時(shí),P與正方形的邊碰撞的次數(shù)為().A.16B.14C.12D.10B結(jié)合已知中的點(diǎn)E,F的位置,由反射與對(duì)稱的關(guān)系,可將點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)路線展開(kāi)成直線,如圖.當(dāng)點(diǎn)P碰到E時(shí),m為偶數(shù),且=,即4m=3n.故m的最小值為6.n=8,線段PE與網(wǎng)格線交點(diǎn)的個(gè)數(shù)為(除E點(diǎn)外)6+8=14個(gè).(PE的方程為:y=x-,即4y=3x-,x,y不能同時(shí)為整數(shù),所以PE不過(guò)網(wǎng)格交點(diǎn))13.(2012大綱全國(guó),理13)若x,y滿足約

7、束條件則z=3x-y的最小值為.-1由題意畫(huà)出可行域,由z=3x-y得y=3x-z,要使z取最小值,只需截距最大即可,故直線過(guò)A(0,1)時(shí),z最小.zmin=30-1=-1.14.(2012大綱全國(guó),理14)當(dāng)函數(shù)y=sin x-cos x(0 x2)取得最大值時(shí),x=.y=sin x-cos x=2=2sin.當(dāng)y取最大值時(shí),x-=2k+,x=2k+.又0 x0,則P(0,0,2),E,B(,-b,0).于是=(2,0,-2),=,=,從而=0,=0,故PCBE,PCDE.又BEDE=E,所以PC平面BDE.(2)=(0,0,2),=(,-b,0).設(shè)m=(x,y,z)為平面PAB的法向量

8、,則m=0,m=0,即2z=0且x-by=0,令x=b,則m=(b,0).設(shè)n=(p,q,r)為平面PBC的法向量,則n=0,n=0,即2p-2r=0且+bq+r=0,令p=1,則r=,q=-,n=.因?yàn)槊鍼AB面PBC,故mn=0,即b-=0,故b=,于是n=(1,-1,),=(-,-,2),cos=,=60.因?yàn)镻D與平面PBC所成角和互余,故PD與平面PBC所成的角為30.19.(2012大綱全國(guó),理19)乒乓球比賽規(guī)則規(guī)定:一局比賽,雙方比分在10平前,一方連續(xù)發(fā)球2次后,對(duì)方再連續(xù)發(fā)球2次,依次輪換.每次發(fā)球,勝方得1分,負(fù)方得0分.設(shè)在甲、乙的比賽中,每次發(fā)球,發(fā)球方得1分的概率為

9、0.6,各次發(fā)球的勝負(fù)結(jié)果相互獨(dú)立.甲、乙的一局比賽中,甲先發(fā)球.(1)求開(kāi)始第4次發(fā)球時(shí),甲、乙的比分為1比2的概率;(2)表示開(kāi)始第4次發(fā)球時(shí)乙的得分,求的期望.解:記Ai表示事件:第1次和第2次這兩次發(fā)球,甲共得i分,i=0,1,2;A表示事件:第3次發(fā)球,甲得1分;B表示事件:開(kāi)始第4次發(fā)球時(shí),甲、乙的比分為1比2.(1)B=A0A+A1,P(A)=0.4,P(A0)=0.42=0.16,P(A1)=20.60.4=0.48,P(B)=P(A0A+A1)=P(A0A)+P(A1)=P(A0)P(A)+P(A1)P()=0.160.4+0.48(1-0.4)=0.352.(2)P(A2)

10、=0.62=0.36.的可能取值為0,1,2,3.P(=0)=P(A2A)=P(A2)P(A)=0.360.4=0.144,P(=2)=P(B)=0.352,P(=3)=P(A0)=P(A0)P()=0.160.6=0.096,P(=1)=1-P(=0)-P(=2)-P(=3)=1-0.144-0.352-0.096=0.408.E()=0P(=0)+1P(=1)+2P(=2)+3P(=3)=0.408+20.352+30.096=1.400.20.(2012大綱全國(guó),理20)設(shè)函數(shù)f(x)=ax+cos x,x0,.(1)討論f(x)的單調(diào)性;(2)設(shè)f(x)1+sin x,求a的取值范圍.

11、解:(1)f(x)=a-sin x.當(dāng)a1時(shí),f(x)0,且僅當(dāng)a=1,x=時(shí),f(x)=0,所以f(x)在0,是增函數(shù);當(dāng)a0時(shí),f(x)0,且僅當(dāng)a=0,x=0或x=時(shí),f(x)=0,所以f(x)在0,是減函數(shù);當(dāng)0a1時(shí),由f(x)=0解得x1=arcsin a,x2=-arcsin a.當(dāng)x0,x1)時(shí),sin x0,f(x)是增函數(shù);當(dāng)x(x1,x2)時(shí),sin xa,f(x)0,f(x)是減函數(shù);當(dāng)x(x2,時(shí),sin x0,f(x)是增函數(shù).(2)由f(x)1+sin x得f()1,a-11,所以a.令g(x)=sin x-,則g(x)=cos x-.當(dāng)x時(shí),g(x)0,當(dāng)x時(shí),

12、g(x)0)有一個(gè)公共點(diǎn)A,且在A處兩曲線的切線為同一直線l.(1)求r;(2)設(shè)m,n是異于l且與C及M都相切的兩條直線,m,n的交點(diǎn)為D,求D到l的距離.解:(1)設(shè)A(x0,(x0+1)2),對(duì)y=(x+1)2求導(dǎo)得y=2(x+1),故l的斜率k=2(x0+1).當(dāng)x0=1時(shí),不合題意,所以x01.圓心為M,MA的斜率k=.由lMA知kk=-1,即2(x0+1)=-1,解得x0=0,故A(0,1),r=|MA|=,即r=.(2)設(shè)(t,(t+1)2)為C上一點(diǎn),則在該點(diǎn)處的切線方程為y-(t+1)2=2(t+1)(x-t),即y=2(t+1)x-t2+1.若該直線與圓M相切,則圓心M到該

13、切線的距離為,即=,化簡(jiǎn)得t2(t2-4t-6)=0,解得t0=0,t1=2+,t2=2-.拋物線C在點(diǎn)(ti,(ti+1)2)(i=0,1,2)處的切線分別為l,m,n,其方程分別為y=2x+1,y=2(t1+1)x-+1,y=2(t2+1)x-+1,-得x=2.將x=2代入得y=-1,故D(2,-1).所以D到l的距離d=.22.(2012大綱全國(guó),理22)函數(shù)f(x)=x2-2x-3,定義數(shù)列xn如下:x1=2,xn+1是過(guò)兩點(diǎn)P(4,5),Qn(xn,f(xn)的直線PQn與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo).(1)證明:2xnxn+13;(2)求數(shù)列xn的通項(xiàng)公式.解:(1)用數(shù)學(xué)歸納法證明:2xnxn+13.當(dāng)n=1時(shí),x1=2,直線PQ1的方程為y-5=(x-4),令y=0,解得x2=,所以2x1x23.假設(shè)當(dāng)n=k時(shí),結(jié)