2013年普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試數(shù)學(xué)(廣東卷)文

1、2013年普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試(廣東卷)數(shù)學(xué)(文科)本試卷共4頁,21小題,滿分150分?？荚囉脮r120分鐘。注意事項:1.答卷前,考生務(wù)必用黑色字跡的鋼筆或簽字筆將自己的姓名和考生號、考場號、座位號填寫在答題卡上。用2B鉛筆將試卷類型(A)填涂在答題卡相應(yīng)位置上。將條形碼橫貼在答題卡右上角“條形碼粘貼處”。2.選擇題每小題選出答案后,用2B鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目選項的答案信息點涂黑,如需改動,用橡皮擦干凈后,再選涂其他答案,答案不能答在試卷上。3.非選擇題必須用黑色字跡鋼筆或簽字筆作答,答案必須寫在答題卡各題目指定區(qū)域內(nèi)相應(yīng)位置上;如需改動,先劃掉原來的答案,然后再寫上新的答案;不準(zhǔn)

2、使用鉛筆和涂改液。不按以上要求作答的答案無效。4.作答選做題時,請先用2B鉛筆填涂選做題的題號對應(yīng)的信息點,再作答。漏涂、錯涂、多涂的,答案無效。5.考生必須保持答題卡的整潔?？荚嚱Y(jié)束后,將試卷和答題卡一并交回。參考公式:錐體的體積公式V=13Sh,其中S為錐體的底面積,h為錐體的高一、選擇題:本大題共10小題,每小題5分,滿分50分.在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的.1.(2013廣東,文1)設(shè)集合S=x|x2+2x=0,xR,T=x|x2-2x=0,xR,則ST=(). A.0B.0,2C.-2,0D.-2,0,2答案:A解析:S=-2,0,T=0,2,ST=0.2.(2

3、013廣東,文2)函數(shù)y=lg(x+1)x-A.(-1,+)B.-1,+)C.(-1,1)(1,+)D.-1,1)(1,+)答案:C解析:要使函數(shù)有意義,則x+10解得x-1且x1,故函數(shù)的定義域為(-1,1)(1,+).3.(2013廣東,文3)若i(x+yi)=3+4i,x,yR,則復(fù)數(shù)x+yi的模是().A.2B.3C.4D.5答案:D解析:i(x+yi)=-y+xi=3+4i,x=4x+yi=4-3i.|x+yi|=424.(2013廣東,文4)已知sin52+=15,那么cosA.-25B.-15C.15答案:C解析:sin52=sin2+=cos cos =155.(2013廣東,

4、文5)執(zhí)行如圖所示的程序框圖,若輸入n的值為3,則輸出s的值是().A.1B.2C.4D.7答案:C解析:i=1,s=1,i3,s=1+0=1,i=2;i3,s=1+1=2,i=3;i3,s=2+2=4,i=4;i3,s=4.6.(2013廣東,文6)某三棱錐的三視圖如圖所示,則該三棱錐的體積是().A.16B.13C.23答案:B解析:由俯視圖知底面為直角三角形,又由正視圖及側(cè)視圖知底面兩直角邊長都是1,且三棱錐的高為2,故V三棱錐=1317.(2013廣東,文7)垂直于直線y=x+1且與圓x2+y2=1相切于第象限的直線方程是().A.x+y-2=0B.x+y+1=0C.x+y-1=0D.

5、x+y+2=0答案:A解析:由于所求切線垂直于直線y=x+1,可設(shè)所求切線方程為x+y+m=0.由圓心到切線的距離等于半徑得|m|2=1,解得又由于與圓相切于第象限,則m=-2.8.(2013廣東,文8)設(shè)l為直線,是兩個不同的平面.下列命題中正確的是().A.若l,l,則B.若l,l,則C.若l,l,則D.若,l,則l答案:B解析:如圖,在正方體A1B1C1D1-ABCD中,對于A,設(shè)l為AA1,平面B1BCC1,平面DCC1D1為,.A1A平面B1BCC1,A1A平面DCC1D1,而平面B1BCC1平面DCC1D1=C1C;對于C,設(shè)l為A1A,平面ABCD為,平面DCC1D1為.A1A平

6、面ABCD,A1A平面DCC1D1,而平面ABCD平面DCC1D1=DC;對于D,設(shè)平面A1ABB1為,平面ABCD為,直線D1C1為l,平面A1ABB1平面ABCD,D1C1平面A1ABB1,而D1C1平面ABCD.故A,C,D都是錯誤的.而對于B,根據(jù)垂直于同一直線的兩平面平行,知B正確.9.(2013廣東,文9)已知中心在原點的橢圓C的右焦點為F(1,0),離心率等于12,則C的方程是()A.x23+y2C.x24+y2答案:D解析:由中心在原點的橢圓C的右焦點F(1,0)知,c=1.又離心率等于12,則ca=由b2=a2-c2=3,故橢圓C的方程為x210.(2013廣東,文10)設(shè)a

7、是已知的平面向量且a0.關(guān)于向量a的分解,有如下四個命題:給定向量b,總存在向量c,使a=b+c;給定向量b和c,總存在實數(shù)和,使a=b+c;給定單位向量b和正數(shù),總存在單位向量c和實數(shù),使a=b+c;給定正數(shù)和,總存在單位向量b和單位向量c,使a=b+c.上述命題中的向量b,c和a在同一平面內(nèi)且兩兩不共線,則真命題的個數(shù)是().A.1B.2C.3D.4答案:B解析:對于,由向量加法的三角形法則知正確;對于,由平面向量基本定理知正確;對于,以a的終點作長度為的圓,這個圓必須和向量b有交點,這個不一定能滿足,故不正確;對于,利用向量加法的三角形法則,結(jié)合三角形兩邊之和大于第三邊,即必須|b|+|

8、c|=+|a|,故不正確.二、填空題:本大題共5小題,考生作答4小題,每小題5分,滿分20分.(一)必做題(1113題)11.(2013廣東,文11)設(shè)數(shù)列an是首項為1,公比為-2的等比數(shù)列,則a1+|a2|+a3+|a4|=.答案:15解析:由數(shù)列an首項為1,公比q=-2,則an=(-2)n-1,a1=1,a2=-2,a3=4,a4=-8,則a1+|a2|+a3+|a4|=1+2+4+8=15.12.(2013廣東,文12)若曲線y=ax2-ln x在(1,a)處的切線平行于x軸,則a=.答案:1解析:由曲線在點(1,a)處的切線平行于x軸得切線的斜率為0,由y=2ax-1x及導(dǎo)數(shù)的幾何

9、意義得y|x=1=2a-1=0,解得a=113.(2013廣東,文13)已知變量x,y滿足約束條件x-y+30,答案:5解析:由線性約束條件畫出可行域如下圖,平移直線l0,當(dāng)l過點A(1,4),即當(dāng)x=1,y=4時,zmax=5.(二)選做題(1415題,考生只能從中選做一題)14.(2013廣東,文14)(坐標(biāo)系與參數(shù)方程選做題)已知曲線C的極坐標(biāo)方程為=2cos .以極點為原點,極軸為x軸的正半軸建立直角坐標(biāo)系,則曲線C的參數(shù)方程為.答案:x=1+cos,y=解析:由曲線C的極坐標(biāo)方程=2cos 知以極點為原點,極軸為x軸的正半軸建立直角坐標(biāo)系知曲線C是以(1,0)為圓心,半徑為1的圓,其

10、方程為(x-1)2+y2=1,故參數(shù)方程為x=1+cos,y=sin15.(2013廣東,文15)(幾何證明選講選做題)如圖,在矩形ABCD中,AB=3,BC=3,BEAC,垂足為E,則ED=.答案:21解析:在RtABC中,AB=3,BC=3,tanBAC=BCAB則BAC=60,AE=12AB=3在AED中,EAD=30,AD=3,ED2=AE2+AD2-2AEADcosEAD=322+32-2323=34+9-232=214ED=212三、解答題:本大題共6小題,滿分80分.解答須寫出文字說明、證明過程和演算步驟.16.(2013廣東,文16)(本小題滿分12分)已知函數(shù)f(x)=2co

11、sx-12,x(1)求f3的值(2)若cos =35,32,2解:(1)f3=2cos3-(2)cos =35,3sin =-1-cosf-=2coscos17.(2013廣東,文17)(本小題滿分12分)從一批蘋果中,隨機(jī)抽取50個,其重量(單位:克)的頻數(shù)分布表如下:分組(重量)80,85)85,90)90,95)95,100)頻數(shù)(個)5102015(1)根據(jù)頻數(shù)分布表計算蘋果的重量在90,95)的頻率;(2)用分層抽樣的方法從重量在80,85)和95,100)的蘋果中共抽取4個,其中重量在80,85)的有幾個?(3)在(2)中抽出的4個蘋果中,任取2個,求重量在80,85)和95,10

12、0)中各有1個的概率.解:(1)蘋果的重量在90,95)的頻率為2050=0.4(2)重量在80,85)的有455+15=1個(3)設(shè)這4個蘋果中80,85)分段的為1,95,100)分段的為2,3,4,從中任取兩個,可能的情況有:(1,2),(1,3),(1,4),(2,3),(2,4),(3,4),共6種.任取2個,重量在80,85)和95,100)中各有1個記為事件A,則事件A包含有(1,2),(1,3),(1,4),共3種,所以P(A)=3618.(2013廣東,文18)(本小題滿分14分)如圖(1),在邊長為1的等邊三角形ABC中,D,E分別是AB,AC上的點,AD=AE,F是BC的

13、中點,AF與DE交于點G.將ABF沿AF折起,得到如圖(2)所示的三棱錐A-BCF,其中BC=22圖(1)圖(2)(1)證明:DE平面BCF;(2)證明:CF平面ABF;(3)當(dāng)AD=23時,求三棱錐F-DEG的體積VF-DEG(1)證明:在等邊三角形ABC中,AD=AE,ADDB又ADDB=AEEC,DEBC.DE平面BCF,BC平面BCF,DE平面BCF.(2)證明:在等邊三角形ABC中,F是BC的中點,BC=1,AFCF,BF=CF=12在三棱錐A-BCF中,BC=22BC2=BF2+CF2.CFBF.BFAF=F,CF平面ABF.(3)解:由(1)可知GECF,結(jié)合(2)可得GE平面D

14、FG.VF-DEG=VE-DFG=1312DGFG19.(2013廣東,文19)(本小題滿分14分)設(shè)各項均為正數(shù)的數(shù)列an的前n項和為Sn,滿足4Sn=an+12-4n-1,nN*,且a2,a5,a14(1)證明:a2=4a(2)求數(shù)列an的通項公式;(3)證明:對一切正整數(shù)n,有1a1a(1)證明:當(dāng)n=1時,4a1=a22-5,a2an0,a2=4a(2)解:當(dāng)n2時,4Sn-1=an2-4(n-1)-14Sn=an+12-4n-1由-,得4an=4Sn-4Sn-1=an+12an+12=an2+4an+4=(an0,an+1=an+2,當(dāng)n2時,an是公差d=2的等差數(shù)列.a2,a5,

15、a14構(gòu)成等比數(shù)列,a52=a2a14,(a2+6)2=a2(a2+24),解得a由(1)可知,4a1=a22-5=4,aa2-a1=3-1=2,an是首項a1=1,公差d=2的等差數(shù)列.數(shù)列an的通項公式為an=2n-1.(3)證明:1a1a2=1+=1220.(2013廣東,文20)(本小題滿分14分)已知拋物線C的頂點為原點,其焦點F(0,c)(c0)到直線l:x-y-2=0的距離為322.設(shè)P為直線l上的點,過點P作拋物線C的兩條切線PA,PB,其中A,B(1)求拋物線C的方程;(2)當(dāng)點P(x0,y0)為直線l上的定點時,求直線AB的方程;(3)當(dāng)點P在直線l上移動時,求|AF|BF

16、|的最小值.解:(1)依題意d=|0-c-2|2拋物線C的方程為x2=4y.(2)設(shè)點A(x1,y1),B(x2,y2).由x2=4y,即y=14x2,得y=1拋物線C在點A處的切線PA的方程為y-y1=x12(x-x即y=x12x+y1-y1=14x12,y=點P(x0,y0)在切線PA上,y0=x12x0-y1同理,y0=x22x0-y2綜合,得,點A(x1,y1),B(x2,y2)的坐標(biāo)都滿足方程y0=x2x0經(jīng)過A(x1,y1),B(x2,y2)兩點的直線是唯一的,直線AB的方程為y0=x2x0-y,即x0 x-2y-2y0(3)由拋物線的定義可知|AF|=y1+1,|BF|=y2+1

17、,|AF|BF|=(y1+1)(y2+1)=y1+y2+y1y2+1.聯(lián)立x消去x得y2+(2y0-x02)y+yy1+y2=x02-2y0,y1y2=點P(x0,y0)在直線l上,x0-y0-2=0.|AF|BF|=x02-2y0+=y02-2y0+(y0+2)=2y02+2y0+5=2當(dāng)y0=-12時,|AF|BF|取得最小值為921.(2013廣東,文21)(本小題滿分14分)設(shè)函數(shù)f(x)=x3-kx2+x(kR).(1)當(dāng)k=1時,求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間;(2)當(dāng)k0時,求函數(shù)f(x)在k,-k上的最小值m和最大值M.解:f(x)=3x2-2kx+1,(1)當(dāng)k=1時,f(x)=3x2-2x+1,=4-12=-80,即f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為R.(2)(方法一)當(dāng)k0時,f(x)=3x2-2kx+1,其開口向上,對稱軸x=k3,且過(0,1)當(dāng)=4k2-12=4(k+3)(k-3)0,即-3k0,即kk,從而kx2x10;m=minf(k),f(x1),M=maxf(-k),f(x2).f(x1)-f(k)=x13-kx1=(x1-k)(x12+1)f(x)的最小值m=f(k)=k.f(x2)-f(-k)=x23-kx22+x2-(-k3-k