2015年普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試文科數(shù)學(xué)(課標(biāo)全國Ⅱ)

1、2015年普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試課標(biāo)全國文科數(shù)學(xué)注意事項(xiàng):1.本試卷分第卷(選擇題)和第卷(非選擇題)兩部分.答卷前,考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號填寫在本試卷和答題卡相應(yīng)位置上.2.回答第卷時,選出每小題答案后,用鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑.如需改動,用橡皮擦干凈后,再選涂其他答案標(biāo)號.寫在本試卷上無效.3.回答第卷時,將答案寫在答題卡上,寫在本試卷上無效.4.考試結(jié)束后,將本試卷和答題卡一并交回.第卷一、選擇題:本大題共12小題,每小題5分.在每小題給出的四個選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.(2015課標(biāo)全國,文1)已知集合A=x|-1x2,B=x|0 x3,則AB=

2、()A.(-1,3)B.(-1,0)C.(0,2)D.(2,3)答案:A解析:由題意,得AB=x|-1x3,即AB=(-1,3).2.(2015課標(biāo)全國,文2)若a為實(shí)數(shù),且2+ai1+i=3+i,則a=(A.-4B.-3C.3D.4答案:D解析:由題意,得2+ai=(3+i)(1+i)=2+4i,則a=4.3.(2015課標(biāo)全國,文3)根據(jù)下面給出的2004年至2013年我國二氧化硫年排放量(單位:萬噸)柱形圖,以下結(jié)論中不正確的是()A.逐年比較,2008年減少二氧化硫排放量的效果最顯著B.2007年我國治理二氧化硫排放顯現(xiàn)成效C.2006年以來我國二氧化硫年排放量呈減少趨勢D.2006年

3、以來我國二氧化硫年排放量與年份正相關(guān)答案:D解析:由柱形圖知,2006年以來我國二氧化硫年排放量呈減少趨勢,故其排放量與年份負(fù)相關(guān).4.(2015課標(biāo)全國,文4)向量a=(1,-1),b=(-1,2),則(2a+b)a=()A.-1B.0C.1D.2答案:C解析:2a+b=(1,0),又a=(1,-1),(2a+b)a=1+0=1.5.(2015課標(biāo)全國,文5)設(shè)Sn是等差數(shù)列an的前n項(xiàng)和,若a1+a3+a5=3,則S5=()A.5B.7C.9D.11答案:A解析:由a1+a3+a5=3,得3a3=3,解得a3=1.故S5=5(a1+a5)6.(2015課標(biāo)全國,文6)一個正方體被一個平面截

4、去一部分后,剩余部分的三視圖如右圖,則截去部分體積與剩余部分體積的比值為()A.18B.C.16D.答案:D解析:由題意知該正方體截去了一個三棱錐,如圖所示,設(shè)正方體棱長為a,則V正方體=a3,V截去部分=16a3,故截去部分體積與剩余部分體積的比值為16a356a3=17.(2015課標(biāo)全國,文7)已知三點(diǎn)A(1,0),B(0,3),C(2,3),則ABC外接圓的圓心到原點(diǎn)的距離為()A.53B.213C.25答案:B解析:由題意知,ABC外接圓的圓心是直線x=1與線段AB垂直平分線的交點(diǎn)為P,而線段AB垂直平分線的方程為y-32=33x-12,它與x=1聯(lián)立得圓心8.(2015課標(biāo)全國,文

5、8)下邊程序框圖的算法思路源于我國古代數(shù)學(xué)名著九章算術(shù)中的“更相減損術(shù)”.執(zhí)行該程序框圖,若輸入的a,b分別為14,18,則輸出的a=()A.0B.2C.4D.14答案:B解析:由程序框圖,得(14,18)(14,4)(10,4)(6,4)(2,4)(2,2),則輸出的a=2.9.(2015課標(biāo)全國,文9)已知等比數(shù)列an滿足a1=14,a3a5=4(a4-1),則a2=(A.2B.1C.12D.答案:C解析:a3a5=4(a4-1),a42=4(a4-1),解得a4=又a4=a1q3,且a1=14,q=2,a2=a1q=110.(2015課標(biāo)全國,文10)已知A,B是球O的球面上兩點(diǎn),AOB

6、=90,C為該球面上的動點(diǎn).若三棱錐O-ABC體積的最大值為36,則球O的表面積為()A.36B.64C.144D.256答案:C解析:由AOB面積確定,若三棱錐O-ABC的底面OAB上的高最大,則其體積才最大.因?yàn)楦咦畲鬄榘霃絉,所以VO-ABC=1312R2R=36,解得R=6,故S球=4R211.(2015課標(biāo)全國,文11)如圖,長方形ABCD的邊AB=2,BC=1,O是AB的中點(diǎn).點(diǎn)P沿著邊BC,CD與DA運(yùn)動,記BOP=x.將動點(diǎn)P到A,B兩點(diǎn)距離之和表示為x的函數(shù)f(x),則y=f(x)的圖像大致為()答案:B解析:(方法一)當(dāng)點(diǎn)P在線段BC上時,如圖,x0,PB=OBtan x=

7、tan x,PA=PB所以f(x)=PB+PA=tan x+tan顯然函數(shù)f(x)在0,故f(0)f(x)f4,即2f(x)1+5取線段CD的中點(diǎn)E,當(dāng)點(diǎn)P在線段CE上時,x4如圖,過點(diǎn)P作PHAB,垂足為H.則OH=1tanx,BH=1-所以PB=PHPA=PH所以f(x)=PB+PA=1+1-1tanx2+1+1+1當(dāng)點(diǎn)P在點(diǎn)E處,f(x)=PB+PA=221+5.當(dāng)點(diǎn)P在線段DE上時,x2由圖形的對稱性可知,此時函數(shù)圖像與當(dāng)點(diǎn)P在線段CE上時的圖像關(guān)于x=2對稱當(dāng)點(diǎn)P在線段DA上時,x3由圖形的對稱性可知,此時的函數(shù)圖像與當(dāng)點(diǎn)P在線段BC上時的圖像關(guān)于x=2對稱綜上選B.(方法二)由題意

8、可知f2=22,f4=5+1,則f2f(2x-1)成立的x的取值范圍是(A.13,1B.-,13C.-13,答案:A解析:函數(shù)f(x)的定義域?yàn)镽,又由題意可知f(-x)=f(x),故f(x)為偶函數(shù).當(dāng)x0時,f(x)=ln(1+x)-11+x2,因?yàn)閥1=ln(1+x)單調(diào)遞增,y2=-11+x2亦為單調(diào)遞增,所以f(x)在(0由f(x)f(2x-1)f(|x|)f(|2x-1|),得|x|2x-1|,解得x13第卷本卷包括必考題和選考題兩部分.第13題第21題為必考題,每個試題考生都必須做答.第22題第24題為選考題,考生根據(jù)要求做答.二、填空題:本大題共4小題,每小題5分.13.(20

9、15課標(biāo)全國,文13)已知函數(shù)f(x)=ax3-2x的圖像過點(diǎn)(-1,4),則a=.答案:-2解析:由題意知f(-1)=4,得-a+2=4,a=-2.14.(2015課標(biāo)全國,文14)若x,y滿足約束條件x+y-50,2x-答案:8解析:如圖所示,可行域?yàn)殛幱安糠?由可行域可知,目標(biāo)函數(shù)8=2x+y過點(diǎn)B取得最大值.聯(lián)立x+y-5=0,x-2y+1=0,解得x=3,y=2,則15.(2015課標(biāo)全國,文15)已知雙曲線過點(diǎn)(4,3),且漸近線方程為y=12x,則該雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為.答案:x24-y2解析:由漸近線方程y=12x,可設(shè)雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為x24-y2=(0),將點(diǎn)(4,3)代入得

10、=1,故雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為x2416.(2015課標(biāo)全國,文16)已知曲線y=x+ln x在點(diǎn)(1,1)處的切線與曲線y=ax2+(a+2)x+1相切,則a=.答案:8解析:y=1+1x,k=y|x=1=2切線方程為y=2x-1.由y=2x-1與y=ax2+(a+2)x+1聯(lián)立,得ax2+ax+2=0,再由相切知=a2-8a=0,解得a=0或a=8.當(dāng)a=0時,y=ax2+(a+2)x+1并非曲線而是直線,a=0舍去,故a=8.三、解答題:解答應(yīng)寫出文字說明,證明過程或演算步驟.17.(本小題滿分12分)(2015課標(biāo)全國,文17)ABC中,D是BC上的點(diǎn),AD平分BAC,BD=2DC.(1)

11、求sin(2)若BAC=60,求B.解:(1)由正弦定理得ADsin因?yàn)锳D平分BAC,BD=2DC,所以sin(2)因?yàn)镃=180-(BAC+B),BAC=60,所以sinC=sin(BAC+B)=32cosB+12sin由(1)知2sinB=sinC,所以tanB=33,即B=3018.(本小題滿分12分)(2015課標(biāo)全國,文18)某公司為了解用戶對其產(chǎn)品的滿意度,從A,B兩地區(qū)分別隨機(jī)調(diào)查了40個用戶,根據(jù)用戶對產(chǎn)品的滿意度評分,得到A地區(qū)用戶滿意度評分的頻率分布直方圖和B地區(qū)用戶滿意度評分的頻數(shù)分布表.A地區(qū)用戶滿意度評分的頻率分布直方圖B地區(qū)用戶滿意度評分的頻數(shù)分布表滿意度評分分組

12、50,60)60,70)70,80)80,90)90,100頻數(shù)2814106(1)在答題卡上作出B地區(qū)用戶滿意度評分的頻率分布直方圖,并通過直方圖比較兩地區(qū)滿意度評分的平均值及分散程度(不要求計(jì)算出具體值,給出結(jié)論即可);B地區(qū)用戶滿意度評分的頻率分布直方圖(2)根據(jù)用戶滿意度評分,將用戶的滿意度分為三個等級:滿意度評分低于70分70分到89分不低于90分滿意度等級不滿意滿意非常滿意估計(jì)哪個地區(qū)用戶的滿意度等級為不滿意的概率大?說明理由.解:(1)通過兩地區(qū)用戶滿意度評分的頻率分布直方圖可以看出,B地區(qū)用戶滿意度評分的平均值高于A地區(qū)用戶滿意度評分的平均值;B地區(qū)用戶滿意度評分比較集中,而A

13、地區(qū)用戶滿意度評分比較分散.(2)A地區(qū)用戶的滿意度等級為不滿意的概率大.記CA表示事件:“A地區(qū)用戶的滿意度等級為不滿意”;CB表示事件:“B地區(qū)用戶的滿意度等級為不滿意”.由直方圖得P(CA)的估計(jì)值為(0.01+0.02+0.03)10=0.6,P(CB)的估計(jì)值為(0.005+0.02)10=0.25.所以A地區(qū)用戶的滿意度等級為不滿意的概率大.19.(本小題滿分12分)(2015課標(biāo)全國,文19)如圖,長方體ABCD-A1B1C1D1中,AB=16,BC=10,AA1=8,點(diǎn)E,F分別在A1B1,D1C1上,A1E=D1F=4,過點(diǎn)E,F的平面與此長方體的面相交,交線圍成一個正方形.

14、(1)在圖中畫出這個正方形(不必說明畫法和理由);(2)求平面把該長方體分成的兩部分體積的比值.解:(1)交線圍成的正方形EHGF如圖:(2)作EMAB,垂足為M,則AM=A1E=4,EB1=12,EM=AA1=8.因?yàn)镋HGF為正方形,所以EH=EF=BC=10.于是MH=EH2-EM2=6,因?yàn)殚L方體被平面分成兩個高為10的直棱柱,所以其體積的比值為9720.(本小題滿分12分)(2015課標(biāo)全國,文20)已知橢圓C:x2a2+y2b2=1(ab0)的離心率為22,點(diǎn)(1)求C的方程;(2)直線l不過原點(diǎn)O且不平行于坐標(biāo)軸,l與C有兩個交點(diǎn)A,B,線段AB的中點(diǎn)為M.證明:直線OM的斜率與

15、直線l的斜率的乘積為定值.解:(1)由題意有a2-b解得a2=8,b2=4.所以C的方程為x28+(2)設(shè)直線l:y=kx+b(k0,b0),A(x1,y1),B(x2,y2),M(xM,yM).將y=kx+b代入x28+得(2k2+1)x2+4kbx+2b2-8=0.故xM=x1+x22=-2kb2于是直線OM的斜率kOM=yMxM=-12k,即k所以直線OM的斜率與直線l的斜率的乘積為定值.21.(本小題滿分12分)(2015課標(biāo)全國,文21)已知函數(shù)f(x)=ln x+a(1-x).(1)討論f(x)的單調(diào)性;(2)當(dāng)f(x)有最大值,且最大值大于2a-2時,求a的取值范圍.解:(1)f

16、(x)的定義域?yàn)?0,+),f(x)=1x-a若a0,則f(x)0,所以f(x)在(0,+)單調(diào)遞增.若a0,則當(dāng)x0,1a時,f(x)當(dāng)x1a,+時,f(x所以f(x)在0,1a單調(diào)遞增,在(2)由(1)知,當(dāng)a0時,f(x)在(0,+)無最大值;當(dāng)a0時,f(x)在x=1a取得最大值,最大值為f1a=ln1a+a1-1a因此f1a2a-2等價于ln a+a-10令g(a)=ln a+a-1,則g(a)在(0,+)單調(diào)遞增,g(1)=0.于是,當(dāng)0a1時,g(a)1時,g(a)0.因此,a的取值范圍是(0,1).請考生在第22、23、24題中任選一題做答,如果多做,則按所做的第一題記分,做答

17、時請寫清題號.22.(本小題滿分10分)(2015課標(biāo)全國,文22)選修41:幾何證明選講如圖,O為等腰三角形ABC內(nèi)一點(diǎn),O與ABC的底邊BC交于M,N兩點(diǎn),與底邊上的高AD交于點(diǎn)G,且與AB,AC分別相切于E,F兩點(diǎn).(1)證明:EFBC;(2)若AG等于O的半徑,且AE=MN=23,求四邊形EBCF的面積.解:(1)由于ABC是等腰三角形,ADBC,所以AD是CAB的平分線.又因?yàn)镺分別與AB,AC相切于點(diǎn)E,F,所以AE=AF,故ADEF.從而EFBC.(2)由(1)知,AE=AF,ADEF,故AD是EF的垂直平分線.又EF為O的弦,所以O(shè)在AD上.連結(jié)OE,OM,則OEAE.由AG等

18、于O的半徑得AO=2OE,所以O(shè)AE=30.因此ABC和AEF都是等邊三角形.因?yàn)锳E=23,所以AO=4,OE=2.因?yàn)镺M=OE=2,DM=12MN=3所以O(shè)D=1.于是AD=5,AB=103所以四邊形EBCF的面積為12103323223.(本小題滿分10分)(2015課標(biāo)全國,文23)選修44:坐標(biāo)系與參數(shù)方程在直角坐標(biāo)系xOy中,曲線C1:x=tcos,y=tsin,(t為參數(shù),t0),其中 0.在以O(shè)為極點(diǎn),x軸正半軸為極軸的極坐標(biāo)系中,曲線C2:=2sin (1)求C2與C3交點(diǎn)的直角坐標(biāo);(2)若C1與C2相交于點(diǎn)A,C1與C3相交于點(diǎn)B,求|AB|的最大值.解:(1)曲線C2的直角坐標(biāo)方程為x2+y2-2y=0,曲線