2016年普通高等學(xué)校招生全國(guó)統(tǒng)一考試文科數(shù)學(xué)乙卷

1、絕密 啟用前2016年普通高等學(xué)校招生全國(guó)統(tǒng)一考試文科數(shù)學(xué)本試題卷共5頁(yè),24題(含選考題)。全卷滿分150分?？荚囉脮r(shí)120分鐘。?？荚図樌⒁馐马?xiàng):1、答題前,先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫(xiě)在試題卷和答題卡上,并將準(zhǔn)考證號(hào)條形碼粘貼在答題卡上的指定位置。用2B鉛筆將答題卡上試卷類型A后的方框涂黑。2、選擇題的作答:每小題選出答案后,用2B鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑。寫(xiě)在試題卷、草稿紙和答題卡上的非答題區(qū)域均無(wú)效。3、填空題和解答題的作答:用簽字筆直接答在答題卡上對(duì)應(yīng)的答題區(qū)域內(nèi)。寫(xiě)在試題卷、草稿紙和答題卡上的非答題區(qū)域均無(wú)效。4、選考題的作答:先把所選題目的題號(hào)在答題卡上指定的位置

2、用2B鉛筆涂黑。答案寫(xiě)在答題卡上對(duì)應(yīng)的答題區(qū)域內(nèi),寫(xiě)在試題卷、草稿紙和答題卡上的非答題區(qū)域均無(wú)效。5、考試結(jié)束后,請(qǐng)將本試題卷和答題卡一并上交。第卷一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。(1) 設(shè)集合A=1,3,5,7,B=x|2x5,則AB=(A)1,3(B)3,5(C)5,7(D)1,7(2) 設(shè)(1+2i)(a+i)的實(shí)部與虛部相等,其中a為實(shí)數(shù),則a=(A)-3(B)-2(C)2(D)3(3) 為美化環(huán)境,從紅、黃、白、紫4種顏色的花中任選2種花種在一個(gè)花壇中,余下的2種花種在另一個(gè)花壇中,則紅色和紫色的花不在同一花壇的概率是(A)

3、13(B)12(C)2(4) ABC的內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c.已知a=5,c=2,cosA=23,則(A)2(B)3(C)2(D)3(5) 直線l經(jīng)過(guò)橢圓的一個(gè)頂點(diǎn)和一個(gè)焦點(diǎn),若橢圓中心到l的距離為其短軸長(zhǎng)的14,(A)13(B)12(C)2(6) 將函數(shù)y=2sin(2x+6)的圖像向右平移14個(gè)周期后(A)y=2sin(2x+4)(B)y=2sin(2x+(C)y=2sin(2x-4)(D)y=2sin(2x-(7) 如圖,某幾何體的三視圖是三個(gè)半徑相等的圓及每個(gè)圓中兩條互相垂直的半徑.若該幾何體的體積是283(A)17(B)18(C)20(D)28(8) 若ab0,0c1,

4、則(A)logaclogbc(B)logcalogcb(C)accb(9) 函數(shù)y=2x2-e|x|在-2,2的圖像大致為(10) 執(zhí)行右面的程序框圖,如果輸入的x=0,y=1,n=1,則輸出x,y的值滿足(A)y=2x(B)y=3x(C)y=4x(D)y=5x(11) 平面過(guò)正方體ABCD-A1B1C1D1的頂點(diǎn)A,平面CB1D1,平面ABCD=m,平面ABB1A1=n,則m,n所成角的正弦值為(A)32(B)22(C)3(12) 若函數(shù)f(x)=x-13sin2x+asinx在(-,+)單調(diào)遞增,則a(A)-1,1(B)-1,13(C)-13,13(D)第卷本卷包括必考題和選考題兩部分。第

5、(13)(21)題為必考題,每個(gè)試題考生都必須作答。第(22)(24)題為選考題,考生根據(jù)要求作答。二、填空題:本題共4小題,每小題5分。(13) 設(shè)向量a=(x,x+1),b=(1,2),且ab,則x=.(14) 已知是第四象限角,且sin(+4)=35,則tan(-4)=(15) 設(shè)直線y=x+2a與圓C:x2+y2-2ay-2=0相交于A,B兩點(diǎn),若|AB|=23,則圓C的面積為.(16) 某高科技企業(yè)生產(chǎn)產(chǎn)品A和產(chǎn)品B需要甲、乙兩種新型材料.生產(chǎn)一件產(chǎn)品A需要甲材料1.5kg,乙材料1kg,用5個(gè)工時(shí);生產(chǎn)一件產(chǎn)品B需要甲材料0.5kg,乙材料0.3kg,用3個(gè)工時(shí).生產(chǎn)一件產(chǎn)品A的利

6、潤(rùn)為2 100元,生產(chǎn)一件產(chǎn)品B的利潤(rùn)為900元.該企業(yè)現(xiàn)有甲材料150kg,乙材料90kg,則在不超過(guò)600個(gè)工時(shí)的條件下,生產(chǎn)產(chǎn)品A、產(chǎn)品B的利潤(rùn)之和的最大值為元.三、解答題:解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。(17) (本小題滿分12分)已知an是公差為3的等差數(shù)列,數(shù)列bn滿足b1=1,b2=13,anbn+1+bn+1=nbn()求an的通項(xiàng)公式;()求bn的前n項(xiàng)和.(18) (本小題滿分12分)如圖,已知正三棱錐P-ABC的側(cè)面是直角三角形,PA=6.頂點(diǎn)P在平面ABC內(nèi)的正投影為點(diǎn)D,D在平面PAB內(nèi)的正投影為點(diǎn)E,連結(jié)PE并延長(zhǎng)交AB于點(diǎn)G.()證明:G是AB的中點(diǎn);(

7、)在答題卡第(18)題圖中作出點(diǎn)E在平面PAC內(nèi)的正投影F(說(shuō)明作法及理由),并求四面體PDEF的體積.(19)(本小題滿分12分)某公司計(jì)劃購(gòu)買(mǎi)1臺(tái)機(jī)器,該種機(jī)器使用三年后即被淘汰.機(jī)器有一易損零件,在購(gòu)進(jìn)機(jī)器時(shí),可以額外購(gòu)買(mǎi)這種零件作為備件,每個(gè)200元.在機(jī)器使用期間,如果備件不足再購(gòu)買(mǎi),則每個(gè)500元.現(xiàn)需決策在購(gòu)買(mǎi)機(jī)器時(shí)應(yīng)同時(shí)購(gòu)買(mǎi)幾個(gè)易損零件,為此搜集并整理了100臺(tái)這種機(jī)器在三年使用期內(nèi)更換的易損零件數(shù),得下面柱狀圖:記x表示1臺(tái)機(jī)器在三年使用期內(nèi)需更換的易損零件數(shù),y表示1臺(tái)機(jī)器在購(gòu)買(mǎi)易損零件上所需的費(fèi)用(單位:元),n表示購(gòu)機(jī)的同時(shí)購(gòu)買(mǎi)的易損零件數(shù).()若n=19,求y與x的函

8、數(shù)解析式;()若要求“需更換的易損零件數(shù)不大于n”的頻率不小于0.5,求n的最小值;()假設(shè)這100臺(tái)機(jī)器在購(gòu)機(jī)的同時(shí)每臺(tái)都購(gòu)買(mǎi)19個(gè)易損零件,或每臺(tái)都購(gòu)買(mǎi)20個(gè)易損零件,分別計(jì)算這100臺(tái)機(jī)器在購(gòu)買(mǎi)易損零件上所需費(fèi)用的平均數(shù),以此作為決策依據(jù),購(gòu)買(mǎi)1臺(tái)機(jī)器的同時(shí)應(yīng)購(gòu)買(mǎi)19個(gè)還是20個(gè)易損零件?(20)(本小題滿分12分)在直角坐標(biāo)系xOy中,直線l:y=t(t0)交y軸于點(diǎn)M,交拋物線C:y2=2px(p0)于點(diǎn)P,M關(guān)于點(diǎn)P的對(duì)稱點(diǎn)為N,連結(jié)ON并延長(zhǎng)交C于點(diǎn)H.()求|OH()除H以外,直線MH與C是否有其它公共點(diǎn)?說(shuō)明理由.(21)(本小題滿分12分)已知函數(shù)f(x)=(x-2)ex+

9、a(x-1)2.()討論f(x)的單調(diào)性;()若f(x)有兩個(gè)零點(diǎn),求a的取值范圍.請(qǐng)考生在第(22)、(23)、(24)題中任選一題作答,如果多做,則按所做的第一題計(jì)分。(22)(本小題滿分10分)選修41:幾何證明選講如圖,OAB是等腰三角形,AOB=120,以O(shè)為圓心,12OA為半徑作圓()證明:直線AB與O相切;()點(diǎn)C,D在O上,且A,B,C,D四點(diǎn)共圓,證明:ABCD.(23)(本小題滿分10分)選修44:坐標(biāo)系與參數(shù)方程在直角坐標(biāo)系xOy中,曲線C1的參數(shù)方程為x=acost,y=1+asint,(t為參數(shù),a0).在以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn),x()說(shuō)明C1是哪一種曲線,并將C1的方程化

10、為極坐標(biāo)方程;()直線C3的極坐標(biāo)方程為=0,其中0滿足tan0=2,若曲線C1與C2的公共點(diǎn)都在C3上,求a.(24)(本小題滿分10分)選修45:不等式選講已知函數(shù)f(x)=|x+1|-|2x-3|.()在答題卡第(24)題圖中畫(huà)出y=f(x)的圖像;()求不等式|f(x)|1的解集.試卷全解全析全國(guó)乙卷文科(1)BA=1,3,5,7,B=x|2x5,AB=3,5,故選B.(2)A由已知(1+2i)(a+i)=a-2+(2a+1)i.(1+2i)(a+i)的實(shí)部與虛部相等,a-2=2a+1,解得a=-3,故選A.(3)C總的基本事件是:紅黃,白紫;紅白,黃紫;紅紫,黃白,共3種.滿足條件的

11、基本事件是:紅黃,白紫;紅白,黃紫,共2種.故所求事件的概率為P=23(4)D由余弦定理得a2=b2+c2-2bccos A,即5=b2+4-4b23即3b2-8b-3=0,又b0,解得b=3,故選D.(5)B設(shè)橢圓的一個(gè)頂點(diǎn)坐標(biāo)為(0,b),一個(gè)焦點(diǎn)坐標(biāo)為(c,0),則直線l的方程為xc+yb=短軸長(zhǎng)為2b,由題意得bcb2+c2=142b,與b2+c故e=12(6)D由已知周期T=,右移14T=4后得y=2sin2x-4+(7)A由三視圖可知該幾何體是球截去18后所得幾何體則7843R3=所以它的表面積為784R2+34R2=14+3=17(8)B對(duì)于A,logac=1logca,log0

12、c1,對(duì)數(shù)函數(shù)y=logcx在(0,+)上為減函數(shù),若0ba1,則0logca1logc若0b1a,則logca0,1logca1logc若1ba,則logcalogcb1logc故A不正確;由以上解析可知,B正確;對(duì)于C,0cb0,acbc,故C不正確;對(duì)于D,0cb0,cacb,故D不正確.(9)D特殊值驗(yàn)證法,取x=2,則y=24-e28-2.71820.6(0,1),排除A,B;當(dāng)0 x0恒成立當(dāng)0t1時(shí),a43t-5令h(t)=43t-53t,則h(t)=所以h(t)在(0,1上單調(diào)遞增.所以h(t)max=h(1)=-13.所以a-1當(dāng)-1t19時(shí),y=3 800+500(x-19

13、)=500 x-5 700.所以y與x的函數(shù)解析式為y=3(xN).()由柱狀圖知,需更換的零件數(shù)不大于18的頻率為0.46,不大于19的頻率為0.7,故n的最小值為19.()若每臺(tái)機(jī)器在購(gòu)機(jī)同時(shí)都購(gòu)買(mǎi)19個(gè)易損零件,則這100臺(tái)機(jī)器中有70臺(tái)在購(gòu)買(mǎi)易損零件上的費(fèi)用為3 800,20臺(tái)的費(fèi)用為4 300,10臺(tái)的費(fèi)用為4 800,因此這100臺(tái)機(jī)器在購(gòu)買(mǎi)易損零件上所需費(fèi)用的平均數(shù)為1100(3 80070+4 30020+4 80010)=4 000若每臺(tái)機(jī)器在購(gòu)機(jī)同時(shí)都購(gòu)買(mǎi)20個(gè)易損零件,則這100臺(tái)機(jī)器中有90臺(tái)在購(gòu)買(mǎi)易損零件上的費(fèi)用為4 000,10臺(tái)的費(fèi)用為4 500,因此這100臺(tái)機(jī)

14、器在購(gòu)買(mǎi)易損零件上所需費(fèi)用的平均數(shù)為1100(4 00090+4 50010)=4 050比較兩個(gè)平均數(shù)可知,購(gòu)買(mǎi)1臺(tái)機(jī)器的同時(shí)應(yīng)購(gòu)買(mǎi)19個(gè)易損零件.(20)解 ()由已知得M(0,t),Pt2又N為M關(guān)于點(diǎn)P的對(duì)稱點(diǎn),故Nt2p,t,ON的方程為y=ptx,代入y2=2px整理得px2-2t2x=0,解得x1=0,因此H2t所以N為OH的中點(diǎn),即|OH|()直線MH與C除H以外沒(méi)有其它公共點(diǎn).理由如下:直線MH的方程為y-t=p2tx,即x=2tp代入y2=2px得y2-4ty+4t2=0,解得y1=y2=2t,即直線MH與C只有一個(gè)公共點(diǎn),所以除H以外直線MH與C沒(méi)有其它公共點(diǎn).(21)解 ()f(x)=(x-1)ex+2a(x-1)=(x-1)(ex+2a).()設(shè)a0,則當(dāng)x(-,1)時(shí),f(x)0.所以f(x)在(-,1)單調(diào)遞減,在(1,+)單調(diào)遞增.()設(shè)a-e2,則ln(-2a)0;當(dāng)x(ln(-2a),1)時(shí),f(x)0.所以f(x)在(-,ln(-2a),(1,+)單調(diào)遞增,在(ln(-2a),1)單調(diào)遞減.若a故當(dāng)x(-,1)(ln(-2a),+)時(shí),f(x)0;當(dāng)x(1,ln(-2a)時(shí),f(x)0,則由()知,f(x)在(-,1)單調(diào)遞減,在(