多元函數(shù)積分概念和性質

1、關于多元函數(shù)積分概念與性質第1頁，共48頁，2022年，5月20日，19點36分，星期三1.曲頂柱體的體積曲頂柱體：以XOY平面上的閉區(qū)域D為底，以D 的邊界曲線為準線，母線平行于Z 軸的柱面為側面，并以z=f(x,y) 為頂?shù)目臻g立體.一. 兩個實例：如何求此曲頂柱體的體積V？微元法思想.分割： 把 D 任意分成 n 個小區(qū)域 (同時用 表示第 i 個小區(qū)域的面積），分別以 的邊界為準線作母線平行于 z 軸的柱面，則原曲頂柱體分成了 n 個小的曲頂柱體。第2頁，共48頁，2022年，5月20日，19點36分，星期三近似 ： 任取 ， 則以 為底的小曲頂柱體體積:yxzDo求和：取極限：區(qū)域中

2、任意兩點距離的最大值稱為該區(qū)域的直徑，記則：第3頁，共48頁，2022年，5月20日，19點36分，星期三 設有一物體對應于空間曲面 ,(x,y,z) 為密度函數(shù)(連續(xù)）， 現(xiàn)要求該物體的質量 m。2. 質量：分割：把任意分成n 小塊 ， 表示 第 i 小塊曲面的面積。近似：任取 ，則第 i小塊曲面的質量取極限：求和：第4頁，共48頁，2022年，5月20日，19點36分，星期三二. 數(shù)量函數(shù)積分的概念定義1第5頁，共48頁，2022年，5月20日，19點36分，星期三二重積分；三重積分：其中稱為積分域，f 稱為被積函數(shù)，f(M)d 稱為被積式或積分微元。幾種具體的類型：第6頁，共48頁，20

3、22年，5月20日，19點36分，星期三第一型曲線積分（對弧長的曲線積分）：第一型曲面積分（對面積的曲面積分）：L稱為積分路徑。第7頁，共48頁，2022年，5月20日，19點36分，星期三 數(shù)量函數(shù)積分的幾何意義： 當 時， = 以D為底,以 為頂?shù)那斨w的體積；第8頁，共48頁，2022年，5月20日，19點36分，星期三 數(shù)量函數(shù)積分的物理應用之一：第9頁，共48頁，2022年，5月20日，19點36分，星期三三. 積分存在的條件和性質. 必要條件: f 在上可積，則f 在上有界。第10頁，共48頁，2022年，5月20日，19點36分，星期三 1.線性性質：2.可加性3.積分不等式

4、若 則第11頁，共48頁，2022年，5月20日，19點36分，星期三5.中值定理特別地，有若 則第12頁，共48頁，2022年，5月20日，19點36分，星期三的邊界為準線，母線平行于 z 軸的柱面為側面，D為底面，曲面 由二重積分的幾何意義知：以 xoy 平面上的區(qū)域為頂面的曲頂柱體的體積為第2節(jié) 二重積分的計算一. 直角坐標系中二重積分的計算：xbxaoyz第13頁，共48頁，2022年，5月20日，19點36分，星期三 任取 ，過 x 軸作平行于yoz坐標面的平面，此平面與曲頂柱體之交為一曲邊梯形，設其面積為 ，則先y后x的二次積分(累次積分) 而該體積也可用定積分的方法求得: bxa

5、oxyz第14頁，共48頁，2022年，5月20日，19點36分，星期三X -型區(qū)域：任一平行 y 軸的直線與D的邊界的交點至多只有兩個。 上面假定 ，但實際上上公式對一般的 也成立。對各種不同類型的積分區(qū)域D，二重積分化為二次積分的情況總結如下： 第15頁，共48頁，2022年，5月20日，19點36分，星期三DaboyxoyxDab第16頁，共48頁，2022年，5月20日，19點36分，星期三DdcoyxDcdoyxY -型區(qū)域：任一平行 x 軸的直線與D的邊界的交點至多只有兩個。第17頁，共48頁，2022年，5月20日，19點36分，星期三oy第18頁，共48頁，2022年，5月20

6、日，19點36分，星期三例 1 計算解oxy11第19頁，共48頁，2022年，5月20日，19點36分，星期三解 法一 先對y后對x積分oyx例 2第20頁，共48頁，2022年，5月20日，19點36分，星期三法二 先對x后對y積分oyx第21頁，共48頁，2022年，5月20日，19點36分，星期三解 由于 的原函數(shù)不能用初等函數(shù)表示，故不能先對y積分例3 計算oyx1D第22頁，共48頁，2022年，5月20日，19點36分，星期三注意：在例2中，法1比法2簡便，在例3中，由于被積函數(shù)中含有 ，只能先對x積分. 因此，在把二重積分化為二次積分時，選擇恰當?shù)姆e分次序是非常重要的，而要計算

7、二重積分，關鍵的是要化為二次積分。例4 作出積分域，并改變積分次序：解 原積分=(4,2)o第23頁，共48頁，2022年，5月20日，19點36分，星期三解 原積分=o(2,1)o解 原積分=第24頁，共48頁，2022年，5月20日，19點36分，星期三解 原積分o第25頁，共48頁，2022年，5月20日，19點36分，星期三例5 求兩個底面半徑相同的正交圓柱體所圍成的立體的體積。解第26頁，共48頁，2022年，5月20日，19點36分，星期三二. 極坐標系下二重積分的計算則得極坐標系下的二重積分計算公式: 作極坐標變換第27頁，共48頁，2022年，5月20日，19點36分，星期三o

8、xD第28頁，共48頁，2022年，5月20日，19點36分，星期三若區(qū)域D可用極坐標的不等式oxDoxD第29頁，共48頁，2022年，5月20日，19點36分，星期三若區(qū)域D可用極坐標的不等式oxD第30頁，共48頁，2022年，5月20日，19點36分，星期三若區(qū)域D可用極坐標的不等式oxD第31頁，共48頁，2022年，5月20日，19點36分，星期三若區(qū)域D可用極坐標的不等式oxDab第32頁，共48頁，2022年，5月20日，19點36分，星期三解 令 則在極坐標系中，于是例6 計算第33頁，共48頁，2022年，5月20日，19點36分，星期三顯然由于從而例 7 計算反常積分解

9、設例6例6第34頁，共48頁，2022年，5月20日，19點36分，星期三而從而因此第35頁，共48頁，2022年，5月20日，19點36分，星期三例8 將下列二次積分化為極坐標形式下的 二次積分：解第36頁，共48頁，2022年，5月20日，19點36分，星期三 積分區(qū)域：D:在極坐標下，D：于是解第37頁，共48頁，2022年，5月20日，19點36分，星期三在極坐標下，將D分為二部分表示：于是解第38頁，共48頁，2022年，5月20日，19點36分，星期三在極坐標下，D分為二部分表示：于是解第39頁，共48頁，2022年，5月20日，19點36分，星期三例9 求Bernoulli雙紐線

10、圍成的面積A.解 雙紐線在極坐標下的方程為：第40頁，共48頁，2022年，5月20日，19點36分，星期三由 的周期性得圖形的對稱性，而且當 從 增加到 時， 由零增加到 ，再減少到零，于是可得如圖所示的雙紐線圖形。 第41頁，共48頁，2022年，5月20日，19點36分，星期三（2）變換T： 把 uov平面上的區(qū)域 一對一的變?yōu)?D， 定理1 設（1）（3）(u,v),(u,v)在 上具有一階連續(xù)偏導數(shù)， 且：三.二重積分的換元法二重積分的換元公式第42頁，共48頁，2022年，5月20日，19點36分，星期三例10 計算解于是第43頁，共48頁，2022年，5月20日，19點36分，星期三例 11 求由曲線 所圍區(qū)域 D 的面積S。解 令D第44頁，共48頁，2022年，5月20日，19點36分，星期三于是第45頁，共48頁，2022年，5月20日，19點36分，星期三例12 求橢圓 圍成區(qū)域的面積A。解 令廣義極坐標，第46頁，共48頁，2022年，5月20日，19點36分，星期三作 業(yè)P93-97 習題6.2 1(1)(b) 2(3)