多元函數(shù)積分概念和性質(zhì)

1、關(guān)于多元函數(shù)積分概念與性質(zhì)第1頁(yè)，共48頁(yè)，2022年，5月20日，19點(diǎn)36分，星期三1.曲頂柱體的體積曲頂柱體：以XOY平面上的閉區(qū)域D為底，以D 的邊界曲線(xiàn)為準(zhǔn)線(xiàn)，母線(xiàn)平行于Z 軸的柱面為側(cè)面，并以z=f(x,y) 為頂?shù)目臻g立體.一. 兩個(gè)實(shí)例：如何求此曲頂柱體的體積V？微元法思想.分割： 把 D 任意分成 n 個(gè)小區(qū)域 (同時(shí)用 表示第 i 個(gè)小區(qū)域的面積），分別以 的邊界為準(zhǔn)線(xiàn)作母線(xiàn)平行于 z 軸的柱面，則原曲頂柱體分成了 n 個(gè)小的曲頂柱體。第2頁(yè)，共48頁(yè)，2022年，5月20日，19點(diǎn)36分，星期三近似 ： 任取 ， 則以 為底的小曲頂柱體體積:yxzDo求和：取極限：區(qū)域中

2、任意兩點(diǎn)距離的最大值稱(chēng)為該區(qū)域的直徑，記則：第3頁(yè)，共48頁(yè)，2022年，5月20日，19點(diǎn)36分，星期三 設(shè)有一物體對(duì)應(yīng)于空間曲面 ,(x,y,z) 為密度函數(shù)(連續(xù)）， 現(xiàn)要求該物體的質(zhì)量 m。2. 質(zhì)量：分割：把任意分成n 小塊 ， 表示 第 i 小塊曲面的面積。近似：任取 ，則第 i小塊曲面的質(zhì)量取極限：求和：第4頁(yè)，共48頁(yè)，2022年，5月20日，19點(diǎn)36分，星期三二. 數(shù)量函數(shù)積分的概念定義1第5頁(yè)，共48頁(yè)，2022年，5月20日，19點(diǎn)36分，星期三二重積分；三重積分：其中稱(chēng)為積分域，f 稱(chēng)為被積函數(shù)，f(M)d 稱(chēng)為被積式或積分微元。幾種具體的類(lèi)型：第6頁(yè)，共48頁(yè)，20

3、22年，5月20日，19點(diǎn)36分，星期三第一型曲線(xiàn)積分（對(duì)弧長(zhǎng)的曲線(xiàn)積分）：第一型曲面積分（對(duì)面積的曲面積分）：L稱(chēng)為積分路徑。第7頁(yè)，共48頁(yè)，2022年，5月20日，19點(diǎn)36分，星期三 數(shù)量函數(shù)積分的幾何意義： 當(dāng) 時(shí)， = 以D為底,以 為頂?shù)那斨w的體積；第8頁(yè)，共48頁(yè)，2022年，5月20日，19點(diǎn)36分，星期三 數(shù)量函數(shù)積分的物理應(yīng)用之一：第9頁(yè)，共48頁(yè)，2022年，5月20日，19點(diǎn)36分，星期三三. 積分存在的條件和性質(zhì). 必要條件: f 在上可積，則f 在上有界。第10頁(yè)，共48頁(yè)，2022年，5月20日，19點(diǎn)36分，星期三 1.線(xiàn)性性質(zhì)：2.可加性3.積分不等式

4、若 則第11頁(yè)，共48頁(yè)，2022年，5月20日，19點(diǎn)36分，星期三5.中值定理特別地，有若 則第12頁(yè)，共48頁(yè)，2022年，5月20日，19點(diǎn)36分，星期三的邊界為準(zhǔn)線(xiàn)，母線(xiàn)平行于 z 軸的柱面為側(cè)面，D為底面，曲面 由二重積分的幾何意義知：以 xoy 平面上的區(qū)域?yàn)轫斆娴那斨w的體積為第2節(jié) 二重積分的計(jì)算一. 直角坐標(biāo)系中二重積分的計(jì)算：xbxaoyz第13頁(yè)，共48頁(yè)，2022年，5月20日，19點(diǎn)36分，星期三 任取 ，過(guò) x 軸作平行于yoz坐標(biāo)面的平面，此平面與曲頂柱體之交為一曲邊梯形，設(shè)其面積為 ，則先y后x的二次積分(累次積分) 而該體積也可用定積分的方法求得: bxa

5、oxyz第14頁(yè)，共48頁(yè)，2022年，5月20日，19點(diǎn)36分，星期三X -型區(qū)域：任一平行 y 軸的直線(xiàn)與D的邊界的交點(diǎn)至多只有兩個(gè)。 上面假定 ，但實(shí)際上上公式對(duì)一般的 也成立。對(duì)各種不同類(lèi)型的積分區(qū)域D，二重積分化為二次積分的情況總結(jié)如下： 第15頁(yè)，共48頁(yè)，2022年，5月20日，19點(diǎn)36分，星期三DaboyxoyxDab第16頁(yè)，共48頁(yè)，2022年，5月20日，19點(diǎn)36分，星期三DdcoyxDcdoyxY -型區(qū)域：任一平行 x 軸的直線(xiàn)與D的邊界的交點(diǎn)至多只有兩個(gè)。第17頁(yè)，共48頁(yè)，2022年，5月20日，19點(diǎn)36分，星期三oy第18頁(yè)，共48頁(yè)，2022年，5月20

6、日，19點(diǎn)36分，星期三例 1 計(jì)算解oxy11第19頁(yè)，共48頁(yè)，2022年，5月20日，19點(diǎn)36分，星期三解 法一 先對(duì)y后對(duì)x積分oyx例 2第20頁(yè)，共48頁(yè)，2022年，5月20日，19點(diǎn)36分，星期三法二 先對(duì)x后對(duì)y積分oyx第21頁(yè)，共48頁(yè)，2022年，5月20日，19點(diǎn)36分，星期三解 由于 的原函數(shù)不能用初等函數(shù)表示，故不能先對(duì)y積分例3 計(jì)算oyx1D第22頁(yè)，共48頁(yè)，2022年，5月20日，19點(diǎn)36分，星期三注意：在例2中，法1比法2簡(jiǎn)便，在例3中，由于被積函數(shù)中含有 ，只能先對(duì)x積分. 因此，在把二重積分化為二次積分時(shí)，選擇恰當(dāng)?shù)姆e分次序是非常重要的，而要計(jì)算

7、二重積分，關(guān)鍵的是要化為二次積分。例4 作出積分域，并改變積分次序：解 原積分=(4,2)o第23頁(yè)，共48頁(yè)，2022年，5月20日，19點(diǎn)36分，星期三解 原積分=o(2,1)o解 原積分=第24頁(yè)，共48頁(yè)，2022年，5月20日，19點(diǎn)36分，星期三解 原積分o第25頁(yè)，共48頁(yè)，2022年，5月20日，19點(diǎn)36分，星期三例5 求兩個(gè)底面半徑相同的正交圓柱體所圍成的立體的體積。解第26頁(yè)，共48頁(yè)，2022年，5月20日，19點(diǎn)36分，星期三二. 極坐標(biāo)系下二重積分的計(jì)算則得極坐標(biāo)系下的二重積分計(jì)算公式: 作極坐標(biāo)變換第27頁(yè)，共48頁(yè)，2022年，5月20日，19點(diǎn)36分，星期三o

8、xD第28頁(yè)，共48頁(yè)，2022年，5月20日，19點(diǎn)36分，星期三若區(qū)域D可用極坐標(biāo)的不等式oxDoxD第29頁(yè)，共48頁(yè)，2022年，5月20日，19點(diǎn)36分，星期三若區(qū)域D可用極坐標(biāo)的不等式oxD第30頁(yè)，共48頁(yè)，2022年，5月20日，19點(diǎn)36分，星期三若區(qū)域D可用極坐標(biāo)的不等式oxD第31頁(yè)，共48頁(yè)，2022年，5月20日，19點(diǎn)36分，星期三若區(qū)域D可用極坐標(biāo)的不等式oxDab第32頁(yè)，共48頁(yè)，2022年，5月20日，19點(diǎn)36分，星期三解 令 則在極坐標(biāo)系中，于是例6 計(jì)算第33頁(yè)，共48頁(yè)，2022年，5月20日，19點(diǎn)36分，星期三顯然由于從而例 7 計(jì)算反常積分解

9、設(shè)例6例6第34頁(yè)，共48頁(yè)，2022年，5月20日，19點(diǎn)36分，星期三而從而因此第35頁(yè)，共48頁(yè)，2022年，5月20日，19點(diǎn)36分，星期三例8 將下列二次積分化為極坐標(biāo)形式下的 二次積分：解第36頁(yè)，共48頁(yè)，2022年，5月20日，19點(diǎn)36分，星期三 積分區(qū)域：D:在極坐標(biāo)下，D：于是解第37頁(yè)，共48頁(yè)，2022年，5月20日，19點(diǎn)36分，星期三在極坐標(biāo)下，將D分為二部分表示：于是解第38頁(yè)，共48頁(yè)，2022年，5月20日，19點(diǎn)36分，星期三在極坐標(biāo)下，D分為二部分表示：于是解第39頁(yè)，共48頁(yè)，2022年，5月20日，19點(diǎn)36分，星期三例9 求Bernoulli雙紐線(xiàn)

10、圍成的面積A.解 雙紐線(xiàn)在極坐標(biāo)下的方程為：第40頁(yè)，共48頁(yè)，2022年，5月20日，19點(diǎn)36分，星期三由 的周期性得圖形的對(duì)稱(chēng)性，而且當(dāng) 從 增加到 時(shí)， 由零增加到 ，再減少到零，于是可得如圖所示的雙紐線(xiàn)圖形。 第41頁(yè)，共48頁(yè)，2022年，5月20日，19點(diǎn)36分，星期三（2）變換T： 把 uov平面上的區(qū)域 一對(duì)一的變?yōu)?D， 定理1 設(shè)（1）（3）(u,v),(u,v)在 上具有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)， 且：三.二重積分的換元法二重積分的換元公式第42頁(yè)，共48頁(yè)，2022年，5月20日，19點(diǎn)36分，星期三例10 計(jì)算解于是第43頁(yè)，共48頁(yè)，2022年，5月20日，19點(diǎn)36分，星期三例 11 求由曲線(xiàn) 所圍區(qū)域 D 的面積S。解 令D第44頁(yè)，共48頁(yè)，2022年，5月20日，19點(diǎn)36分，星期三于是第45頁(yè)，共48頁(yè)，2022年，5月20日，19點(diǎn)36分，星期三例12 求橢圓 圍成區(qū)域的面積A。解 令廣義極坐標(biāo)，第46頁(yè)，共48頁(yè)，2022年，5月20日，19點(diǎn)36分，星期三作 業(yè)P93-97 習(xí)題6.2 1(1)(b) 2(3)