特選八年級(jí)(上)數(shù)學(xué)培優(yōu)專題-如何做幾何證明題(含答案)

1、八年級(jí)(上)數(shù)學(xué)培優(yōu)專題-如何做幾何證明題(含答案)- PAGE 15 -如何做幾何證明題【知識(shí)精讀】 1. 幾何證明是平面幾何中的一個(gè)重要問題，它對(duì)培養(yǎng)學(xué)生邏輯思維能力有著很大作用。幾何證明有兩種根本類型：一是平面圖形的數(shù)量關(guān)系；二是有關(guān)平面圖形的位置關(guān)系。這兩類問題常常可以相互轉(zhuǎn)化，如證明平行關(guān)系可轉(zhuǎn)化為證明角等或角互補(bǔ)的問題。 2. 掌握分析、證明幾何問題的常用方法： 1綜合法由因?qū)Ч瑥臈l件出發(fā)，通過有關(guān)定義、定理、公理的應(yīng)用，逐步向前推進(jìn)，直到問題的解決； 2分析法執(zhí)果索因從命題的結(jié)論考慮，推敲使其成立需要具備的條件，然后再把所需的條件看成要證的結(jié)論繼續(xù)推敲，如此逐步往上逆求，直到事

2、實(shí)為止； 3兩頭湊法：將分析與綜合法合并使用，比擬起來，分析法利于思考，綜合法易于表達(dá)，因此，在實(shí)際思考問題時(shí)，可合并使用，靈活處理，以利于縮短題設(shè)與結(jié)論的距離，最后到達(dá)證明目的。 3. 掌握構(gòu)造根本圖形的方法：復(fù)雜的圖形都是由根本圖形組成的，因此要善于將復(fù)雜圖形分解成根本圖形。在更多時(shí)候需要構(gòu)造根本圖形，在構(gòu)造根本圖形時(shí)往往需要添加輔助線，以到達(dá)集中條件、轉(zhuǎn)化問題的目的?！痉诸惤馕觥?、證明線段相等或角相等 兩條線段或兩個(gè)角相等是平面幾何證明中最根本也是最重要的一種相等關(guān)系。很多其它問題最后都可化歸為此類問題來證。證明兩條線段或兩角相等最常用的方法是利用全等三角形的性質(zhì)，其它如線段中垂線的性

3、質(zhì)、角平分線的性質(zhì)、等腰三角形的判定與性質(zhì)等也經(jīng)常用到。 例1. ：如圖1所示，中，。 求證：DEDF 分析：由是等腰直角三角形可知，由D是AB中點(diǎn)，可考慮連結(jié)CD，易得，。從而不難發(fā)現(xiàn) 證明：連結(jié)CD 說明：在直角三角形中，作斜邊上的中線是常用的輔助線；在等腰三角形中，作頂角的平分線或底邊上的中線或高是常用的輔助線。顯然，在等腰直角三角形中，更應(yīng)該連結(jié)CD，因?yàn)镃D既是斜邊上的中線，又是底邊上的中線。此題亦可延長(zhǎng)ED到G，使DGDE，連結(jié)BG，證是等腰直角三角形。有興趣的同學(xué)不妨一試。 例2. ：如圖2所示，ABCD，ADBC，AECF。 求證：EF 證明：連結(jié)AC 在和中， 在和中， 說明

4、：利用三角形全等證明線段求角相等。常須添輔助線，制造全等三角形，這時(shí)應(yīng)注意： 1制造的全等三角形應(yīng)分別包括求證中一量；2添輔助線能夠直接得到的兩個(gè)全等三角形2、證明直線平行或垂直 在兩條直線的位置關(guān)系中，平行與垂直是兩種特殊的位置。證兩直線平行，可用同位角、內(nèi)錯(cuò)角或同旁內(nèi)角的關(guān)系來證。證兩條直線垂直，可轉(zhuǎn)化為證一個(gè)角等于90，或利用兩個(gè)銳角互余，或等腰三角形“三線合一來證。 例3. 如圖，ABC=ADC，BF和DE分別平分ABC和ADC，1=2，證明：DEFB 證明：ADC=ABC，且2=ADE，CBF=ABF，故2=ABF，又2=1，因此1=ABF，DEBF. 例4. ：如圖4所示，ABAC

5、，。 求證：FDED 證明一：連結(jié)AD 在和中， 說明：有等腰三角形條件時(shí)，作底邊上的高，或作底邊上中線，或作頂角平分線是常用輔助線。3、證明一線段和的問題 一在較長(zhǎng)線段上截取一線段等一較短線段，證明其余局部等于另一較短線段。截長(zhǎng)法 例5. ：如圖6所示在中，BAC、BCA的角平分線AD、CE相交于O。 求證：ACAECD 分析：在AC上截取AFAE。易知，。由，知。，得： 證明：在AC上截取AFAE 又 即二延長(zhǎng)一較短線段，使延長(zhǎng)局部等于另一較短線段，那么兩較短線段成為一條線段，證明該線段等于較長(zhǎng)線段。補(bǔ)短法 例6. ：如圖7所示，正方形ABCD中，F(xiàn)在DC上，E在BC上，。 求證：EFBE

6、DF 分析：此題假設(shè)仿照例1，將會(huì)遇到困難，不易利用正方形這一條件。不妨延長(zhǎng)CB至G，使BGDF。 證明：延長(zhǎng)CB至G，使BGDF 在正方形ABCD中， 又 即GAEFAE【實(shí)戰(zhàn)模擬】 1. ：如圖11所示，中，D是AB上一點(diǎn)，DECD于D，交BC于E，且有。求證： 2. ：如圖12所示，在中，CD是C的平分線。 求證：BCACAD 3. ：如圖13所示，過的頂點(diǎn)A，在A內(nèi)任引一射線，過B、C作此射線的垂線BP和CQ。設(shè)M為BC的中點(diǎn)。 求證：MPMQ【試題答案】 1. 證明：取CD的中點(diǎn)F，連結(jié)AF 又 2. 分析：此題從和圖形上看好象比擬簡(jiǎn)單，但一時(shí)又不知如何下手，那么在證明一條線段等于兩條線段之和時(shí)，我們經(jīng)常采用“截長(zhǎng)補(bǔ)短的手法。“截長(zhǎng)即將長(zhǎng)的線段截成兩局部，證明這兩局局部