數(shù)學(xué)物理方程05正交曲面坐標(biāo)中的分離變量及二階常微分方程的特征值【OK】-課件

1、第五章 正交曲面坐標(biāo)中的分離變量及 二階常微分方程的本征值第五章 正交曲面坐標(biāo)中的分離變量及 數(shù)學(xué)物理方程二維、三維各種方程分離變量的結(jié)果二維極坐標(biāo)系中分離變量波動(dòng)方程（三個(gè)變量，在直角坐標(biāo)系中可以分離完成） m階貝塞爾方程熱傳導(dǎo)方程（三個(gè)變量，在直角坐標(biāo)系中可以分離完成） m階貝塞爾方程拉普拉斯方程（兩個(gè)變量，在直角坐標(biāo)系中可以分離完成） 沒(méi)有產(chǎn)生特殊方程 歐拉型方程數(shù)學(xué)物理方程二維、三維各種方程分離變量的結(jié)果二維極坐標(biāo)系中分?jǐn)?shù)學(xué)物理方程二維極坐標(biāo)系中分離變量（續(xù)）亥姆霍茲方程（兩個(gè)變量，在直角坐標(biāo)系中可以分離完成） m階貝塞爾方程三維坐標(biāo)系（球坐標(biāo)或極坐標(biāo)）中分離變量波動(dòng)方程（四個(gè)變量，在

2、直角坐標(biāo)系中可以分離完成） 亥姆霍茲方程熱傳導(dǎo)方程（四個(gè)變量，在直角坐標(biāo)系中可以分離完成） 亥姆霍茲方程數(shù)學(xué)物理方程二維極坐標(biāo)系中分離變量（續(xù)）亥姆霍茲方程（兩個(gè)變?nèi)S球坐標(biāo)和柱坐標(biāo)系中分離變量（續(xù)）拉普拉斯方程（三個(gè)變量，在直角坐標(biāo)系中可以分離完成）球坐標(biāo)L階連帶勒讓德方程。若物理問(wèn)題為軸對(duì)稱時(shí)，方程可變?yōu)槔兆尩路匠?。柱坐?biāo) 當(dāng) 時(shí)，R的方程為m階貝塞爾函數(shù)；當(dāng) 時(shí)，均不是特殊方程；當(dāng) 時(shí)，R的方程為修正的貝塞爾方程。數(shù)學(xué)物理方程歐拉型方程三維球坐標(biāo)和柱坐標(biāo)系中分離變量（續(xù)）球坐標(biāo)柱坐標(biāo) 數(shù)學(xué)物理方程三維球坐標(biāo)和柱坐標(biāo)系中分離變量（續(xù)）亥姆霍茲方程（三個(gè)變量，在直角坐標(biāo)系中可以分離完成）球坐

3、標(biāo)L階球貝塞爾函數(shù)L階連帶勒讓德方程柱坐標(biāo) 當(dāng) 時(shí)，R的方程為m階貝塞爾方程；當(dāng) 時(shí)，均不是特殊方程；當(dāng) 時(shí)，R的方程為m階貝塞爾方程。數(shù)學(xué)物理方程三維球坐標(biāo)和柱坐標(biāo)系中分離變量（續(xù)）球坐標(biāo)柱坐標(biāo)說(shuō)明：（1）在上述分離中，出現(xiàn)了許多的系數(shù) ，這些都是特征值，是方程與邊界（初始）值共同決定的。（2）特殊方程如貝塞爾方程、勒讓德方程均是可以或者必須具有特征值的，這是求解數(shù)理方程的前提。（3）接下來(lái)的分析均是針對(duì)上述變量分離的總表格來(lái)敘述的。說(shuō)明：（1）在上述分離中，出現(xiàn)了許多的系數(shù) 數(shù)學(xué)物理方程5.1 球坐標(biāo)系與柱坐標(biāo)系中的分離變量1.球坐標(biāo)系（拉普拉斯方程）rxyz拉普拉斯方程在球坐標(biāo)中的表達(dá)式

4、為：（5.1.1）數(shù)學(xué)物理方程5.1 球坐標(biāo)系與柱坐標(biāo)系中的分離變量1.球坐標(biāo)數(shù)學(xué)物理方程分離變量，令：則：遍乘 并移項(xiàng)得到：令常數(shù)為 。（5.1.2）（5.1.3）數(shù)學(xué)物理方程分離變量，令：則：遍乘 并移項(xiàng)得到：令這樣，就得到兩個(gè)微分方程：（5.1.4）（5.1.5）方程（5.1.4）化為：歐拉型方程上述方程的解為：（5.1.6）數(shù)學(xué)物理方程這樣，就得到兩個(gè)微分方程：（5.1.4）（5.1.5）方程（方程（5.1.5）叫做球函數(shù)方程，可進(jìn)一步分離變量，令：則：遍乘 并移項(xiàng)得到：（5.1.7）（5.1.8）令常數(shù)為 。數(shù)學(xué)物理方程方程（5.1.5）叫做球函數(shù)方程，可進(jìn)一步分離變量，令：則：這樣

5、，又得到兩個(gè)微分方程：（5.1.9）（5.1.10）方程（5.1.9）的本征值和本征函數(shù)為：= m 2 ( m = 0,1,2,3），方程（5.1.10）可變?yōu)椋海?.1.11）數(shù)學(xué)物理方程這樣，又得到兩個(gè)微分方程：（5.1.9）（5.1.10）方程數(shù)學(xué)物理方程作變量替換，令：則：帶入方程（5.1.11），可得：（5.1.12）稱上述方程為L(zhǎng)階連帶勒讓德方程。數(shù)學(xué)物理方程作變量替換，令：則：帶入方程（5.1.11），可數(shù)學(xué)物理方程如果球坐標(biāo)的極軸為對(duì)稱軸，則m=0,方程簡(jiǎn)化為：稱上述方程為L(zhǎng)階勒讓德方程。關(guān)于勒讓德方程及連帶勒讓德方程，將在第六章介紹。（5.1.13）數(shù)學(xué)物理方程如果球坐標(biāo)的極

6、軸為對(duì)稱軸，則m=0,方程簡(jiǎn)化為：數(shù)學(xué)物理方程rxyzx,y,z2.柱坐標(biāo)系（拉普拉斯方程）拉普拉斯方程在柱坐標(biāo)中的表達(dá)式為：（5.1.14）數(shù)學(xué)物理方程rxyzx,y,z2.柱坐標(biāo)系（拉普拉斯方程）數(shù)學(xué)物理方程分離變量，令：則：（5.1.15）遍乘 并移項(xiàng)得到：令常數(shù)為 。（5.1.16）數(shù)學(xué)物理方程分離變量，令：則：（5.1.15）遍乘 數(shù)學(xué)物理方程這樣，就得到兩個(gè)微分方程：（5.1.18）（5.1.17）方程（5.1.17）的本征值和本征函數(shù)為：= m2 ( m = 0,1,2,3）將= m2 帶入，并遍乘 ，得到：令常數(shù)為 。數(shù)學(xué)物理方程這樣，就得到兩個(gè)微分方程：（5.1.18）（5.

7、數(shù)學(xué)物理方程這樣，又得到兩個(gè)微分方程：(1)（5.1.19）（5.1.20）討論方程（5.1.19）和方程（5.1.20）的解，有：（5.1.21）（5.1.22）數(shù)學(xué)物理方程這樣，又得到兩個(gè)微分方程：(1)（5.1.19）數(shù)學(xué)物理方程（2）（5.1.23）（5.1.24）數(shù)學(xué)物理方程（2）（5.1.23）（5.1.24）數(shù)學(xué)物理方程（3）關(guān)于貝塞爾方程及修正的貝塞爾方程，將在第七章介紹。（5.1.25）（5.1.26）數(shù)學(xué)物理方程（3）關(guān)于貝塞爾方程及修正的貝塞爾方程，將在第七數(shù)學(xué)物理方程3.球坐標(biāo)或者柱坐標(biāo)系（波動(dòng)方程）（5.1.27）（5.1.28）令常數(shù)為 。（5.1.29）（5.1.

8、30）方程（5.1.30）為亥姆霍茲方程數(shù)學(xué)物理方程3.球坐標(biāo)或者柱坐標(biāo)系（波動(dòng)方程）（5.1.27數(shù)學(xué)物理方程4.球坐標(biāo)或者柱坐標(biāo)系（熱傳導(dǎo)方程）（5.1.31）（5.1.32）（5.1.33）（5.1.34）令常數(shù)為 。方程（5.1.34）也為亥姆霍茲方程數(shù)學(xué)物理方程4.球坐標(biāo)或者柱坐標(biāo)系（熱傳導(dǎo)方程）（5.1.3數(shù)學(xué)物理方程5.球坐標(biāo)系（亥姆霍茲方程）亥姆霍茲方程在球坐標(biāo)中的表達(dá)式為：數(shù)學(xué)物理方程5.球坐標(biāo)系（亥姆霍茲方程）亥姆霍茲方程在球坐標(biāo)數(shù)學(xué)物理方程數(shù)學(xué)物理方程數(shù)學(xué)物理方程半奇數(shù)階Bessel方程數(shù)學(xué)物理方程半奇數(shù)階Bessel方程數(shù)學(xué)物理方程6.柱坐標(biāo)系（亥姆霍茲方程）亥姆霍茲方

9、程在球坐標(biāo)中的表達(dá)式為：分離變量,令:數(shù)學(xué)物理方程6.柱坐標(biāo)系（亥姆霍茲方程）亥姆霍茲方程在球坐標(biāo)數(shù)學(xué)物理方程數(shù)學(xué)物理方程數(shù)學(xué)物理方程小結(jié)：本征值： = m2 ( m = 0,1,2,3）本征函數(shù)：數(shù)學(xué)物理方程小結(jié)：本征值： = m2 ( m = 數(shù)學(xué)物理方程05正交曲面坐標(biāo)中的分離變量及二階常微分方程的特征值【OK】-課件1. 標(biāo)準(zhǔn)二階線性齊次常微分方程 5.2 常點(diǎn)鄰域上的級(jí)數(shù)解法1. 標(biāo)準(zhǔn)二階線性齊次常微分方程 5.2 常點(diǎn)鄰域上的級(jí)數(shù)解數(shù)學(xué)物理方程05正交曲面坐標(biāo)中的分離變量及二階常微分方程的特征值【OK】-課件2. 勒讓德方程的級(jí)數(shù)解 2. 勒讓德方程的級(jí)數(shù)解 數(shù)學(xué)物理方程05正交曲

10、面坐標(biāo)中的分離變量及二階常微分方程的特征值【OK】-課件數(shù)學(xué)物理方程05正交曲面坐標(biāo)中的分離變量及二階常微分方程的特征值【OK】-課件(3)(3)3. 收斂半徑 3. 收斂半徑 4.勒讓德方程的本征值問(wèn)題, L多項(xiàng)式4.勒讓德方程的本征值問(wèn)題, L多項(xiàng)式以后專門討論以后專門討論1. 奇點(diǎn)鄰域上的級(jí)數(shù)解 5.3 正則奇點(diǎn)鄰域上的級(jí)數(shù)解法 1. 奇點(diǎn)鄰域上的級(jí)數(shù)解 5.3 正則奇點(diǎn)鄰域上的級(jí)數(shù)解數(shù)學(xué)物理方程05正交曲面坐標(biāo)中的分離變量及二階常微分方程的特征值【OK】-課件2. 正則奇點(diǎn)鄰域上的級(jí)數(shù)解 若解（2）中含有限個(gè)負(fù)冪項(xiàng)，則z0為方程（1）的正則奇點(diǎn)，其解為正則解。2. 正則奇點(diǎn)鄰域上的級(jí)數(shù)

11、解 若解（2）中含3. Bessel方程的級(jí)數(shù)解 1) Bessel方程和 Bessel方程函數(shù)3. Bessel方程的級(jí)數(shù)解 1) Bessel方程和數(shù)學(xué)物理方程05正交曲面坐標(biāo)中的分離變量及二階常微分方程的特征值【OK】-課件數(shù)學(xué)物理方程05正交曲面坐標(biāo)中的分離變量及二階常微分方程的特征值【OK】-課件數(shù)學(xué)物理方程05正交曲面坐標(biāo)中的分離變量及二階常微分方程的特征值【OK】-課件數(shù)學(xué)物理方程05正交曲面坐標(biāo)中的分離變量及二階常微分方程的特征值【OK】-課件數(shù)學(xué)物理方程05正交曲面坐標(biāo)中的分離變量及二階常微分方程的特征值【OK】-課件-階Bessel函數(shù)階Bessel函數(shù)-階Bessel函數(shù)

12、階注：注：2) Neumann函數(shù)2) Neumann函數(shù)3) 半奇數(shù)階Bessel函數(shù)3) 半奇數(shù)階Bessel函數(shù)如：如：同理：同理：4) 整數(shù)階Bessel函數(shù)4) 整數(shù)階Bessel函數(shù)數(shù)學(xué)物理方程05正交曲面坐標(biāo)中的分離變量及二階常微分方程的特征值【OK】-課件數(shù)學(xué)物理方程05正交曲面坐標(biāo)中的分離變量及二階常微分方程的特征值【OK】-課件5) Bessel方程的本征值問(wèn)題5) Bessel方程的本征值問(wèn)題4. 虛宗量Bessel方程 1) 階虛宗量Bessel方程4. 虛宗量Bessel方程 1) 階虛宗量Bessel數(shù)學(xué)物理方程05正交曲面坐標(biāo)中的分離變量及二階常微分方程的特征值【OK】-課件數(shù)學(xué)物理方程05正交曲面坐標(biāo)中的分離變量及二階常微分方程的特征值【OK】-課件2) m 階虛宗量Bessel函數(shù)2) m 階虛