機構學和機器人學chap2

1、第二章 運動學中的向量法 向量法是描述剛體運動的一種基本方法，可用直角坐標，也可用極坐標表示。2-1 復數(shù)矢量法(復極向量法)一、復數(shù) 用兩個實數(shù)x、y表示一個復數(shù)x、y 分別稱為復數(shù)的實部和虛部，實部單位為“1”，略去不寫，虛部單位“i”有求法規(guī)則： 對實軸的的對稱點點也對應應一個復復數(shù)： 則稱是z的共軛復數(shù)，定義為復數(shù)z的模記為：模等于1的復數(shù)稱稱為單位位復數(shù)：稱為幅角角，由Euler公式：二、復數(shù)數(shù)矢量的的表示如圖的自由矢量的表示為：，則該矢量可表示為：設在復平面上有一個單位矢量（2-1）于是矢量的分量分別為：相當于矢矢量轉過900。1）向量與單位矢矢量相乘：（2-2）表示向量量逆時針轉

2、轉過一個個角。與虛數(shù)單位i的乘積：2）向量（2-3）同理：轉過1800。相當于矢量（2-4）是單位矢矢量的共軛矢矢量3）4）兩個有有用公式式（2-5）（2-6）（2-7）（2-8）5）復數(shù)矢矢量的微微分等式右邊邊可看作作二個復復數(shù)矢量量其中分別為它它們的矢矢量大小?。＃瑸閱挝环椒较蚴?。，表示某一點相對于固定參考系坐標設矢量原點的位置，則一階導數(shù)：（2-9）二階導數(shù)數(shù)：繼續(xù)求導導可求出出高階導導數(shù)。（2-10）JIRO可寫成：則矢量為式中為矢量在復平面面（ORI平面）上上的投影影與J軸的夾角角。與實軸R間夾角，三、空間間矢量的的復數(shù)表表示R為實軸，I、J為虛軸，取坐標系系ORIJ，矢量如圖，

3、（2-11）可看成長長度a與單位向向量矢量由式211的乘積。則單位向向量：（2-12）實虛虛，其一階階導數(shù)，二階導導數(shù)為:式中：（2-13）（2-14）（2-15）2-2利用復數(shù)數(shù)向量進進行機構構的運動動分析機構的運運動分析析是在已已知機構構的結構構和幾何何尺寸的的條件下下，在原原動件的的運動規(guī)規(guī)律給定定時，確確定從動動件任一一運動變量量的變化化規(guī)律。運動分析析包括：位置分析析，速度度和加速速度分析析。其中位位置分析析方程通通常是非非線性的的，只有有簡單的的二級機機構才能能列出輸輸出變量量和輸入入變量的的顯函數(shù)數(shù)表達式式，而其其他情況況下，方方程的求求解就需需要利用用各種數(shù)數(shù)值解法法。1、鉸鏈

4、四四桿機構構建立封閉閉矢量方方程，可可有兩種種形式：a、連續(xù)頭頭尾相接接的封閉閉鏈；b、到達同同一研究究點的兩兩個不同同途徑的的兩個分分支。雷文（Raven）稱為“獨立位置置方程”法，這這一方法對對解決輸輸入和輸輸出構件件都繞各各自固定定點中心轉動動的問題題特別有有效。一、平面面機構的的運動分分析如圖鉸鏈鏈四桿機機構，假假設各桿桿長度為為r1、r2、r3、r4輸入角2已知，可可列出獨獨立位置置方程：位置分析析的目的的是求出出3和4的值。（2-16）（1）位置分分析？解題思路路：1）利用用已知r1、r2和2，求出對對角線矢矢量d。2）利用用矢量d和r4求出矢量量r3，解出3和4。首先確定定對角線

5、線d的長度：將式（217）移項后后，分別別求上它它們各自自的共軛軛復數(shù)：（2-17）或：（2-18）將式（217）分解為為實部和和虛部，得：由此解得得：所以： （2-19）由式（217）計算d，很容易易判別d的象限，當矢量可可確確定后，由于：取（221）實部得得：（2-20）（2-21）移項，兩兩邊分別別乘以各各自的共共軛復數(shù)數(shù)：消去4有兩個可可能解，根據(jù)連連續(xù)條件件確定一一個。同樣，4有可能有有2個解，根根據(jù)連續(xù)續(xù)條件加加以確定定。?。?20）的虛部部得：（2-22）（2）速度分分析由位置方方程進進行求導導：由于鉸鏈鏈四桿機機構中均均為剛體體，因此此利用上上式）矢矢量微分分，將不不包含徑徑向

6、分量量項，由由此得：（2-23）該式由相相對運動動速度多多邊形圖圖示說明明為：分別表示示的方向，它們是是的方向轉轉過所得，是已知的的。將上述矢矢量方程程分解為為實部分分量和虛虛部分量量：未知量左移：（2-24）最后，用用Cramer（克萊姆姆）法則則解（224）于是可得得：類似可求求得： （2-25）（2-26）（3）加速度度分析同樣方法法對（216）進行二二次微分分得：（2-27）將（2-27）分解為實數(shù)分量和虛數(shù)分量，便可得含有未知數(shù) 和 的兩個方程：由此得：2、偏置曲曲柄滑塊塊機構列出B點的獨立立位置方方程，再再由位置置方程一一次、二二次微分分得速度度。加速速度方程程。通過過分離實實數(shù)分

7、量量和虛數(shù)數(shù)分量的的方法最最終求出出未知量量：？3、擺動導導桿機構構，求不同同位置的的已知：構構件1和構件2長度為r1、r2，構件2（曲柄）的角速度度和角加加速度為為（1）位置分分析獨立位置置方程為為：（2-27）？分成實數(shù)數(shù)分量和和虛數(shù)分分量：兩式相除除得：代入（228）：（2-28）（2-29）（2-30）（2）速度分分析兩邊乘以以則：對（227）求導桿桿的速度度方程：（2-31）將上式分分成實數(shù)數(shù)分量和和虛數(shù)分分量得：（3）對位置置方程二二次微分分得加速速度方程程：兩邊同乘乘得：取虛數(shù)分分量：（2-32）（2-33）（2-34）因此：?。?23）實數(shù)分分量：因此得：（2-35）（2-36

8、）如圖所示示RSSR機構，桿桿2在IJ平面旋轉轉，桿4在平衡RJ平面旋轉轉，已知知：時桿3的位置角角二、空間間機構的的運動分分析求當：？由于桿2在IJ平面內(nèi)運運動，所所以矢量量與R軸夾角2=900，又由于于桿4在平行于于RJ平面內(nèi)旋旋轉，因因此向量r4在IR平面內(nèi)的的投影與與R軸夾角4=0。在IR平面內(nèi)的的投影對B點可列兩兩個獨立立位置方方程：(1)位置分析析（2-37）矢量A0B0可表達為：A0B0a+i b+ j c展開：分別取R、I、J分量得：由（2）移項：（1）（2）（3）（4）代入得：由（3）式移項項得：（5） 可對（237）式一次微分后，分別取R、I、J分量，也可直接（1）、（2）

9、、（3）一次微分得速度分量。求導時各長度尺寸為常數(shù)，角不變的。由此得：（2）速度分分析由（6）式移項項得：（6）（7）（8）由（7）式移項項得：（9）（10）（11）（11）代入（8）得：由此得：（3）加速度度分析（略略）三、復數(shù)數(shù)矢量法法進行機機構的綜綜合復數(shù)矢量量法能夠夠方便的的應用于于桿機構構的綜合合，特別別是平面面機構的的綜合。如要綜綜合一平平面鉸鏈鏈四桿機機構，而而該機構構在某一一位置時時各構件件必須滿滿足規(guī)定定的角速速度、角角加速度度，可用用復數(shù)矢矢量法。2-3利用直角角坐標向向量的機機構運動動分析一、直角角坐標向向量標記記法、空間任意一點A的位置在直角坐標系中可用向量來表示， 直

10、角坐標系，若x、y、z方向上的單位向量為： ，則我們可以將向量表示為：分別是向向量在三個方方向上的的分量。二、桿組組分類法法（阿蘇蘇爾運動動鏈）1、桿組的的定義機構可以以認為是是由機架架、主動動件和從從動件系系統(tǒng)三部部分組成成。從動動件系統(tǒng)統(tǒng)的自由由度為零零。因此此，從動動件系統(tǒng)統(tǒng)一定可可以分解解成一個個或若干干個不可可再分解解的自由由度為零零的運動動鏈，這這種運動動鏈稱為為桿組。機構是由由一個或或若干個個自由度度為零的的運動鏈鏈依次聯(lián)聯(lián)接到機機架和主主動件上上而形成成的。2、桿組的的分類桿組的構構件數(shù)n與低副數(shù)數(shù)p滿足：3n-2p=0 運動副A、C為桿組的外副，B為內(nèi)副，外副若為轉動副畫為實

11、心圓，三個運動副為移動副則失去桿組性質。n=4，p=6n=6，p=9桿組按其其包含的的封閉形形是幾邊邊形進行行分級。桿組運動動確定性性：外副副若與運運動已知知的構件件相聯(lián)，則桿組組中每一一構件的的運動都都是確定定的。桿組靜力力確定性性：如桿桿組上作作用的外外力系已已知，則則桿組的的各運動動副中的的約束反反力未知知數(shù)可由由桿組本本身各構構件的平平衡方程程式解出出。三、級機構的的運動分分析平面連桿桿機構利利用拆組組分析的的方法，可以分分為級機構、級機構、級機構等等。其中中級機構有有五種基基本桿組組：RRR、RRP、RPR、PRP、RPP。1RRR級組的分分析平面鉸鏈鏈四桿機機構可以以拆出如如圖所示

12、示的RRR級組，它它是由三三個轉動動副A、B、C和兩個構構件1、2組合而成成。在研研究機構構運動時時，往往往把運動動副看成成一個點點，運動動副A、C即為外點點，外點點分別與與其它桿桿組的構構件i和j相連接，或其中中之一與與機架相相鉸接。？2內(nèi)副為為移動副副的RPR級組的分分析P1、P2為運動已已知點，其坐標標為P1(P1x、P1y)、P2(P2x、P2y)。矢量位位置方程程：向兩坐標標軸投影影得：解得：？速度和加加速度分分析同前前，得到到：3外副之之一為移移動副的的RRP級組的分分析P4為運動已已知點，待求運運動點為為P2?；瑝K在在其上滑滑動的構構件上的的兩點P1和P3的運動為為已知。？例：以

13、飛飛剪機構構為例，構件1、6為原動件件，當原原動件的的運動給給定后，構件3、5組成的是是三轉動動副的二二級組，故可以以調(diào)用RRR公式求解解，構件件2、4組成的是是一外副副為移動動副的二二級組，故可調(diào)調(diào)用RRP公式求解解。四、復雜雜平面連連桿機構構的位置置分析構成機構構的最高高級桿組組為二級級以上桿桿組的機機構稱為為高級機機構或復復雜機構構。n桿的基本本組可以以與相關關構件（圖中虛虛線，一一般由機機架和原原動件確確定）組組成n/2個獨立封封閉形（圖中、表示封閉閉形的序序號）。每個個封閉形形可建立立一個矢矢量環(huán)方方程或兩兩個標量量方程。因而，n桿的基本本組在運運動分析析中引入入n個變量，可以建建立

14、n個獨立方方程，在在一般情情況下可可以得到到確定解解。封閉環(huán)矢矢量方程程：標量方程程：如圖一六六桿機構構，原動動件為l1，轉角1，該機構構可以拆拆分為一一個四桿桿組，可可以列出出兩個獨獨立的位位置方程程：？解位置方方程得到到關于4的一維非非線性方方程，可可用數(shù)值值法迭代代求解。速度和和加速度度求解需需把位置置方程對對時間求求一、二二階導數(shù)數(shù)。型轉換法法數(shù)值迭迭代求解解上述方法法對不同同的機構構都必須須首先進進行公式式推導，因此不不具有通通用性。型轉換換法是把把一個復復雜的桿桿組通過過轉化變變成多個個簡單的的構件或或二桿組組，然后后直接調(diào)調(diào)用求解解二桿組組的標準準程序求求解，適適用于計計算機求求解，具具有通用用性。在阿蘇爾爾組中把把部分外外約束解解除而在在內(nèi)部運運動鏈中中輸入同同樣數(shù)目目的外約約束，這這樣阿蘇蘇爾組內(nèi)內(nèi)部運動動鏈分解解，變成成簡單的的構件和和二桿組組。整個個求解過過程是一一個連續(xù)續(xù)迭代求求解過程程。上述型轉轉換法最最終把復復雜的桿桿組都轉轉化成能能夠直接接求解的的二級桿桿組，若若將前面面給出的的平面機機構中二二級桿組組的求解解公式編編成子程程序，則則作各種種機構的的運動分分析時就就可以直直接調(diào)用用這些子子程序而而不必對對每種機機構推導導方程。2-5其他方法法簡介1、桿長逼逼近法解決用直直角坐標標向量法法分析基本桿組組迭代次次數(shù)多