零件參數(shù)設(shè)計

1、零件的參數(shù)設(shè)計摘要：本文通過研究成批生產(chǎn)粒子分離器某參數(shù)與7個零件參數(shù)的標定值和容 差的關(guān)系，建立了一個有約束條件的非線性規(guī)劃模型。首先，對參數(shù)y的經(jīng)驗公式進行線性化處理，確定了參數(shù)y近似服從正態(tài)分 布，在此基礎(chǔ)上，以7個零件參數(shù)的標定值和容差等級為決策變量，以生產(chǎn)產(chǎn)品 的總費用為目標函數(shù)建立非線性規(guī)劃模型，用matlab軟件編程計算，對108種容差 等級組合逐一進行求解，選取最優(yōu)的參數(shù)標定值和容差等級組合，使得生產(chǎn)1000 個產(chǎn)品的總費用最低，最后求得7個零件參數(shù)的標定值分別為0.0750，0.3750， 0.1143，0.1200，1.2903，13.4292，0.5791，容差等級組合為

2、B,B,B,C,C,B,B， 總費用是42.2073萬元，與原設(shè)計費相比，降低了 265.4842萬元。然后用蒙特卡 洛隨機數(shù)法對模型進行檢驗，模擬結(jié)果吻合很好。最后對模型進行了誤差分析和 靈敏度分析，對產(chǎn)品生產(chǎn)提出了合理化建議。關(guān)鍵詞：非線性規(guī)劃標定值容差蒙特卡洛隨機數(shù)法問題重述一件產(chǎn)品由若干零件組裝而成，標志產(chǎn)品性能的某個參數(shù)取決于這些零件的 參數(shù)。零件參數(shù)包括標定值和容差兩部分。進行成批生產(chǎn)時，標定值表示一批零 件該參數(shù)的平均值，容差則給出了參數(shù)偏離其標定值的容許范圍。若將零件參數(shù) 視為隨機變量，則標定值代表期望值，在生產(chǎn)部門無特殊要求時，容差通常規(guī)定 為均方差的3倍。進行零件參數(shù)設(shè)計，

3、就是要確定其標定值和容差。這時要考慮兩方面因素： 一是當各零件組裝成產(chǎn)品時，如果產(chǎn)品參數(shù)偏離預(yù)先設(shè)定的目標值，就會造成質(zhì) 量損失，偏離越大，損失越大；二是零件容差的大小決定了其制造成本，容差設(shè) 計得越小，成本越高。試通過如下的具體問題給出一般的零件參數(shù)設(shè)計方法。粒子分離器某參數(shù)（記作y）由7個零件的參數(shù)（記作x ,x ,.,x）決定， 經(jīng)驗公式為：1 271 - 2.62x31 - 2.62x3x - x21、0.85J(x 1 - 0.36 -4頃2 J-0.561.16y的目標值（記作y0）為1.50。當y偏離yo0. 1時，產(chǎn)品為次品，質(zhì)量損失為 1,000元；當y偏浦y 0.3時，產(chǎn)品

4、為廢品，損失為9,000元。零件參數(shù)的標定值有一定的容許范圍；容差分為A、B、C三個等級，用與 標定值的相對值表示，A等為土 1%，B等為土 5%，C等為土 10%。7個零件參數(shù)標 定值的容許范圍，及不同容差等級零件的成本（元）如下表（符號/表示無此等 級零件）:標定值容許范圍C等B等A等x 10.075,0.125/25/x 20.225,0.3752050/x 30.075,0.1252050200 x 40.075,0.12550100500 x1.125,1.87550/x12,201025100 x z0.5625,0.935/251007現(xiàn)進行成批生產(chǎn)，每批產(chǎn)量1,000個。在原設(shè)

5、計中，7個零件參數(shù)的標定值為：x=0.1,x=0.3,x=0.1,x=0.1,x=1.5,x=16,x=0.75;容差均取最便宜的等1234567級。請你綜合考慮y偏離y造成的損失和零件成本，重新設(shè)計零件參數(shù)（包括 標定值和容差），并與原設(shè)計比較，總費用降低了多少？二、模型的假設(shè)（1）各個零件的參數(shù)服從正態(tài)分布且相互獨立;各個零件參數(shù)的容差為均方差的3倍；經(jīng)驗公式有較高的精度，即不考慮經(jīng)驗公式的誤差；(4 )當產(chǎn)品參數(shù)y g 1.4,1.6時，產(chǎn)品無質(zhì)量損失；當產(chǎn)品參數(shù)y g1.2,1.4)u(1.6,1.8時，產(chǎn)品為次品，質(zhì)量損失為1000元；當產(chǎn)品參數(shù)y g (-8,1.2)d(1.8,+

6、8)時，產(chǎn)品為廢品，質(zhì)量損失為9000元。三、符號說明Xi第i個零件參數(shù)的實際值(i = 1,2,7 )；X *第i個零件參數(shù)的標定值(i -1,2,. ,7 )；y粒子分離器的某參數(shù)值；y 0粒子分離器參數(shù)y的目標值；ai第i個零件標定值容許范圍的下限(i = 1,2,7 )；pi第i個零件標定值容許范圍的上限(i -1,2,. ,7 )；Dnn - 1表示容差等級為A時，最大偏移量與標定值的相對值，即D1 -1% ； n - 2表示容差等級為B時，最大偏移量與標定值的相對值，即D2 - 5% ； n - 3表示容差等級為C時，最大偏移量與標定值的相對值，即D3 - 10% ；Z1000個產(chǎn)

7、品因參數(shù)y偏離y0造成的損失和零件成本的總費用；Z7個零件參數(shù)的容差等級組合在第k種情況下生產(chǎn)1000個產(chǎn)品的總費用k(k = 1,2,. ,108 )；z7個零件參數(shù)的容差等級組合在第k種情況下生產(chǎn)一件產(chǎn)品的平均費用k(k = 1,2,. ,108 )；C7個零件參數(shù)的容差等級組合在第k種情況下每個產(chǎn)品的零件成本k(k = 1,2,108 )；cki第i個零件在第k種容差等級組合中的成本(k = 1,2, . ,108，i = 1,2, . ,7)；cki7個零件參數(shù)的容差等級組合在第上種情況下平均每個產(chǎn)品質(zhì)量損失的期望(k = 1,2,. ,108)；四、問題分析決定粒子分離器性能的某參數(shù)

8、y由7個零件的參數(shù)決定，這些零件的參數(shù)包 括標定值和容差兩部分。在零件成批生產(chǎn)時，標定值表示一批零件該參數(shù)的平均 值，容差則給出了參數(shù)偏離其標定值的容許范圍。零件的成本只由選擇容差等級 決定，容差設(shè)計得越小，成本越高。零件參數(shù)標定值的選擇和容差等級的設(shè)計會 影響到產(chǎn)品參數(shù)偏離目標值yo的大小，偏離的越大，損失越大。所以，為使生 產(chǎn)1000個產(chǎn)品的總費用達到最小，應(yīng)統(tǒng)籌規(guī)劃，選取最優(yōu)的零件參數(shù)標定值和 容差。假設(shè)每個零件的參數(shù)都符合正態(tài)分布，那么通過對參數(shù)y進行線性化，可以 認為參數(shù)y也符合正態(tài)分布。根據(jù)經(jīng)驗公式，參數(shù)y的分布可由7個零件的參數(shù) 分布求得，從而可以求出平均每個產(chǎn)品質(zhì)量損失的期望。

9、現(xiàn)在把生產(chǎn)1000個產(chǎn)品的總費用設(shè)定為目標函數(shù)，則可通過求解生產(chǎn)每個 產(chǎn)品的平均費用來確定總費用最小時的最優(yōu)解。生產(chǎn)每個產(chǎn)品的平均費用由兩部 分組成：這個零件的成本和參數(shù)偏離目標值y0所造成質(zhì)量損失的期望。根據(jù)題目中所給的條件，我們知道對于每個零件，不同的容差等級對應(yīng)不同 的零件成本，所以一共有1 x 2 x 3 x 3 x 1 x 3 x 2 = 108種不同的容差等級組合，這108 種容差等級組合對應(yīng)了 108種生產(chǎn)1000個產(chǎn)品的零件成本和產(chǎn)品質(zhì)量損失的期 望?？梢韵惹蟪雒糠N容差等級組合中7個零件標定值的最優(yōu)解，再從108組最優(yōu) 解中選取總費用最低的解作為總體的最優(yōu)解。五、模型的建立5.

10、1確定參數(shù)y的統(tǒng)計特征首先，為了簡化模型，我們需把題目中所給出的關(guān)于產(chǎn)品參數(shù)y的經(jīng)驗公式 進行線性化(線性化的可行性見附錄一)，將該公式在x = x*處進行泰勒展開，展開式如下:V dYV dYY (x) = Y (x*) + 乙一dxi=1i(x -x*) + o (% %& - x *)2),i ii=1又因為:(x -x*)2 Y(x) (x -x*)2 Y(x) Y(x*) +Y i=1所以可以略去佩亞諾余項，得：竺Bx i=1 ix, = X：i i又整理得:V byY ( x) = Y ( x*) + 乙Bxi = 1i一 一 *X = Xi i(X 一 X *),ii=1X. =

11、 Xi BYx + Y ( x*)乙i=1iX, = X,記上式為:Y ( x) = Mx + Mi=1其中:MBYM =MBYM =iBXi=X,M 0=Y (X*)- 真X = X * X -ii而由XiN ( ,。2)，且X,間相互獨立，又由Y為X,的線性組合，所以而由Xi服從正態(tài)分布，設(shè)YN(四2)，則根據(jù)概率統(tǒng)計知識:2 = W M 2b 2.i ii =1記Y的概率密度函數(shù)為f (Y)，則:2b 2這樣就確定了參數(shù)y的統(tǒng)計特征。5.2構(gòu)建目標函數(shù)本問題是一個有約束條件的非線性規(guī)劃問題。我們已經(jīng)知道有108種可能的7個零件參數(shù)容差等級組合的情況，如果求出 這108種7個零件參數(shù)的容差

12、等級組合所對應(yīng)的108個總費用，比較這108個總 費用的大小，取最小值，則對應(yīng)的7個零件參數(shù)的標定值和容差組合即為題目所 求。現(xiàn)討論7個零件參數(shù)的容差等級組合在第k種情況下，生產(chǎn)1000個產(chǎn)品的 總費用Zk。因為：總費用z. =1000 x(每個產(chǎn)品的成本+平均每個產(chǎn)品損失的期望).記：匕=C. + E, k=1,2,.，108其中：七=第,種情況下平均每個產(chǎn)品的費用，k=1,2,.，108C二第,種情況下每個產(chǎn)品的成本，k=1,2,.，108kE二第,種情況下平均每個產(chǎn)品損失的期望，k=1,2,.，108 k優(yōu)化的關(guān)鍵在于，要使這種情況下的總費用Z,取得最小，即使得平均每個產(chǎn)品的費用七取得最

13、小。由此，可建立以下模型：minz = C + E ;s.ta. x . p.第，種情況下，每件產(chǎn)品的零件成本為7個零件的成本之和，所以：*=歹*=歹 c,，i=1i = 1,2, .,7其中七為第k種情況下第個零件的成本。若記第k若記第k種情況下，YN (巴。,且Y的概率密度為f (Y)，則:(Y-k )22b k 2，其中：、b 2 b 2 =ii=1b 2kiJ上式中為第上式中為第，中情況下Y(x)對x.的偏導(dǎo)。又上式中b為第k中情況下，第i個零件參數(shù)的標準差。根據(jù)題意容差為均 ki方差的3倍，所以：疽 3 Dn 氣*其中，上式中的Dn是指在第k種情況下，第i個零件選取容差等級為時（n

14、= 1,2,3分別對應(yīng)容差等級A，B，C），最大偏移量與標定值的相對值，題目中已給出：氣=1%,D2 = 5%,D3 = 10%。那么，第k種情況下平均每個產(chǎn)品損失的期望Ek為：E =9000 xfy0一0.3 f (Y)dY +1000一0.1 f (Y)dY +1000 xfW。3 f (Y)dY + 9000 xf+M f (Y)dYk一8 ky0 一 0.3 ky0 +0.1 ky0 +0.3 k化簡得：E = 9000 x1 -fy0+ 0.3f (Y)dY+1000 xf y0-0-1 f (Y)dY + fy0+0.3 f (Y)dYkL y0 -0.3 k-y0 -0.3 ky

15、0 + 0.1k-于是，我們就得到了 Ck,氣的表達式。綜上所述，在綜合考慮y偏離y0造成的損失和零件成本后，構(gòu)建總費用Z的 目標函數(shù)：Z = minZ ,Z ,Z ,k=1,2,，108此目標函數(shù)表明，我們求出這108種容差等級組合以及相應(yīng)零件參數(shù)標定值所對 應(yīng)的產(chǎn)品費用Z*（k=1,2,.，108）后，取Z*（k=1,2,.，108）中的最小值為要 求的總費用Z，那么這個Z所對應(yīng)的零件參數(shù)標定值和容差等級組合即為所求的 最優(yōu)解。六、模型的求解對于原設(shè)計方案，由于其容差等級組合是確定的，我們可求得參數(shù)y的概率 密度函數(shù)，從而求得原設(shè)計方案中每個零件損失的期望，進而可以算得每個產(chǎn)品 的成本，求

16、得如下結(jié)果（如表一）：表總費用/萬元正品率次品率廢品率307.691512.63%62.33%25.04%因為原方案中，參數(shù)y的期望是1.7256，偏離1.5較大；而方差為0.012,較小。所以大部分產(chǎn)品對應(yīng)的y集中在1.7256附近，這樣次品率很大，所以總 費用很大。這與模型求解的結(jié)果是相符的。從這些數(shù)據(jù)可以看出，原方案存在明 顯的缺陷。針對我們建立的模型，對于每一種容差等級組合，可以用matlab工具中求解 非線性規(guī)劃的方法解出一組解，因為有108種容差等級組合，所以就有108組解， 再在這108組解中比較出總費用最小的解，即為最優(yōu)解。在用matlab工具中fmincon命令的時候容易給出

17、局部最優(yōu)解，但這與初始值 的選取有關(guān)。為了盡可能的給出全局最優(yōu)解，可取不同的初始值解出不同的局部 最優(yōu)解，再取其中總費用最小的解為最優(yōu)解。結(jié)果如下（如表二，表三）：表二總費用/萬元正品率次品率廢品率42.207382.6%17.4%0%表三標定值容差等級零件一0.0750B零件二0.3750B零件三0.1143B零件四0.1200C零件五1.2903C零件六13.4292B零件七0.5791B新的參數(shù)設(shè)計比原設(shè)計的費用降低了 265.4842萬元。七、模型的檢驗7.1用正態(tài)分布近似產(chǎn)品參數(shù)y分布的可靠性檢驗在模型的建立中，我們把產(chǎn)品參數(shù)y的經(jīng)驗公式作了線性化處理，用正態(tài)分布近似參數(shù)y的分布，下

18、面驗證其可靠性。一方面，對于蒙特卡洛隨機數(shù)法得到的y的分布：根據(jù)假設(shè)一一各個零件的 參數(shù)服從正態(tài)分布且相互獨立，取表三7個零件的標定值和容差等級，運用蒙特 卡洛隨機數(shù)法，可隨機產(chǎn)生1000組零件參數(shù)的數(shù)據(jù)，由此可計算出1000個產(chǎn)品 的參數(shù)y的模擬值，統(tǒng)計直方圖如圖一所示：圖一由圖形初步判斷數(shù)據(jù)服從正態(tài)分布。利用統(tǒng)計繪圖函數(shù)normplot(x)進行正態(tài)分布檢驗，如圖二：圖二Normal Probability Plot10050201003001 _u D DD0.0.Normal Probability Plot10050201003001 _u D DD0.0.3997985。 5 O

19、5 99.9.9.9.9.75.2 n- n- nu nu nu nu nu nu nuA-l=_*-上圖說明參數(shù)y近似服從正態(tài)分布。用matlab中的lillietest函數(shù)對參數(shù)y是否服從正態(tài)分布做靈敏度為0.01的 檢測，返回值h 0，故參數(shù)y確實服從正態(tài)分布。最后對參數(shù)y進行參數(shù)估計：利用matlab軟件里的命令normfit(x)估計出參 數(shù)y的均值為1.4999，標準差為0.0663，均值的置信度為0.95的置信區(qū)間為 1.4958,1.5040，標準差的置信度為0.95的置信區(qū)間為0.0635, 0.0693。所以，運用蒙特卡洛隨機數(shù)法得到的參數(shù)y服從正態(tài)分布。另一方面，對于線性

20、化時得到的參數(shù)y的正態(tài)分布：其均值為1.4968，標準差為0.0688，它的結(jié)果和蒙特卡洛隨機數(shù)法得到的參數(shù)y的均值和方差基本接近。所以假設(shè)參數(shù)y服從正態(tài)分布是可靠的。7.2對最優(yōu)解的檢驗用我們建立的模型計算出來的最優(yōu)解的總費用實際上是一個期望值，實際成 批生產(chǎn)每1000個產(chǎn)品時的損失費都會不同。現(xiàn)在用蒙特卡洛隨機數(shù)法，在最優(yōu)解 情況下，得到20個成批生產(chǎn)1000個產(chǎn)品的損失費，如表四所示：表四單位：萬元第1次第2次第3次第4次第5次42100414000417000443000425000第6次第7次第8次第9次第10次428000432000404000417000437000第11次第1

21、2次第13次第14次第15次458000417000428000400000418000第16次第17次第18次第19次第20次42100040000041000042900004240000這20個數(shù)據(jù)的平均值為42.2150萬元，與彳模型求出來的42.2073萬元相差不到0.02%，所以模型較好。八、模型的分析8.1誤差分析（1）由于對產(chǎn)品參數(shù)y的經(jīng)驗函數(shù)進行了線性化近似處理，才使它服從正態(tài)分0 （祝（X - x *）2）布，但是我們略去了余項L=1 ，這里引起了一定的誤差。（2）計算機實現(xiàn)模擬的時候，不可避免的引起了一些誤差。尤其在運用matlab軟件中的命令fminCOn時，隨著選取初

22、始點的改變，最優(yōu)解會有所不同，只能做到局部最優(yōu)，不能解出參數(shù)y在其可行域的最優(yōu)解，這里引起了一定誤差。此誤差可以通過多次選取不同的初始點，求取最優(yōu)解之后，選取其中的最優(yōu) 的一組解來減小誤差。其實，這一問題可以通過偏導(dǎo)，取駐點討論，從而求 到x在其可行域的最優(yōu)解，但是計算十分繁瑣。8.2靈敏度分析：我們已經(jīng)求解得到了零件標定值的最優(yōu)解，這組最優(yōu)解是在綜合考慮7個零 件對產(chǎn)品總費用的影響后得出的結(jié)果。現(xiàn)在，我們需評價每個零件參數(shù)對產(chǎn)品總 費用的影響，得到產(chǎn)品總費用對各個零件參數(shù)的敏感程度，以便在今后的設(shè)計中 進一步控制各個零件參數(shù)的變化范圍，使得產(chǎn)品總費用最小。具體操作是：先固定其中6個零件參數(shù)的

23、標定值，改變余下的那一個零件參 數(shù)的標定值，使其在一定的范圍內(nèi)遞增，這時求得其對應(yīng)的總費用變化率。依此 類推，這樣可求出7個零件參數(shù)變化時對應(yīng)的總費用變化率。最后比較這7組總 費用變化率，哪個零件對應(yīng)總費用變化率越大，則可說明這個零件對總費用的影 響越大，也即產(chǎn)品總費用對這個零件參數(shù)越敏感。各零件對產(chǎn)品總費用的影響參照附錄二。所得結(jié)論如下：由附錄各表中數(shù)據(jù)的分析比較，可以得知，在零件參數(shù)的標定值遞增時，零 件5參數(shù)的變化對總費用影響越大，其后依次是零件2、零件1、零件6、零件7、 零件3,零件4參數(shù)的變化對總費用的影響最小。所以，產(chǎn)品總費用對零件5參 數(shù)越敏感，在今后的設(shè)計中，要盡量使零件5參

24、數(shù)的設(shè)定接近最優(yōu)解，而零件4 參數(shù)的設(shè)定則可放寬要求。九、模型的評價9.1模型的優(yōu)點（1）模型的建立中，我們把經(jīng)驗公式進行線性化，求得參數(shù)y近似服從正態(tài)分 布，從而求出了平均每個產(chǎn)品損失的期望，較蒙特卡洛隨機數(shù)法，線性化 模型求解運算速度較快。（2）通過對參數(shù)y進行線性化處理，簡化了模型，最后得到的結(jié)果與蒙特卡洛隨機數(shù)法的結(jié)果近似相等，得到的數(shù)據(jù)較為理想。9.2模型的缺點由于在對參數(shù)y進行線性化處理的過程中略去了佩亞諾余項，隨之引入了一定的誤差，對求解的精度造成了一定的影響。十、參考文獻鄧集賢等，概率論及數(shù)理統(tǒng)計，北京：高等教育出版社，2009蘇金明，MATLAB工具箱應(yīng)用，北京：電子工業(yè)出版

25、社，2004華東師范大學(xué)數(shù)學(xué)系，數(shù)學(xué)分析，北京：高等教育出版社，2009附錄說明參數(shù)y的經(jīng)驗函數(shù)可以進行線性化。X 一3、XX 一3、X 一 X在其可行域內(nèi)是連續(xù)可導(dǎo)的，下面只要說明函數(shù)h=1-2.621 - 0.36(A-0.56X4I X2 )2 (1.16X4I X2 )是連續(xù)可導(dǎo)的即說明y連續(xù)可導(dǎo)，那么y就可以線性化處理。令t = 土，由,X4是相互獨立的，結(jié)合其取值范圍分別為0.225,0.357， 20.075,0.125，所以 t 的取值范圍是0.2000,0.5556。則：h=1-2.62 F1 - 0.36 (t*.56 3； (t).16h對t求導(dǎo)，得：h = -(1- t-25)h = -(1- t-25)2 t-5 +3125025一 一 (1-廠 25)2 廠 25)125025易知h h ht=0.5556=0.5320 0這樣、-0.561.161 這樣、-0.561.161 - 2.621 - 0.36是連續(xù)可導(dǎo)的。綜上知，參數(shù)y可以線性化。附錄二：零件參數(shù)標定值七變化對總費用的影響:附錄表七變化率0%0.1%0.5%1%X10.075000.0750