【八年級數(shù)學(xué)】三元一次方程組 -教師講義

1、中 正 教 育 教 師 輔 導(dǎo) 講 義年 級： 八年級 課 時(shí) 數(shù)：3 學(xué)員姓名： 輔導(dǎo)科目： 數(shù)學(xué) 學(xué)科教師：王夢珠課程主題 三元一次方程組授課類型T 理解三元一次方程(或組)的含義C 會解簡單的三元一次方程組T 會列三元一次方程組解決有關(guān)實(shí)際問題.授課日期時(shí)段年 月 日 A段（8：00-10：00）教學(xué)內(nèi)容 一、立足課本 要點(diǎn)梳理要點(diǎn)一、三元一次方程及三元一次方程組的概念1.三元一次方程的定義含有三個(gè)未知數(shù)，并且含有未知數(shù)的項(xiàng)的次數(shù)都是1的整式方程如x+y-z1，2a-3b+4c5等都是三元一次方程要點(diǎn)詮釋： (1)三元一次方程的條件：是整式方程，含有三個(gè)未知數(shù)，含未知數(shù)的項(xiàng)的最高次數(shù)是1

2、次(2) 三元一次方程的一般形式：ax+by+cz+d=0，其中a、b、c不為零2三元一次方程組的定義一般地，由幾個(gè)一次方程組成，并且含有三個(gè)未知數(shù)的方程組，叫做三元一次方程組. 要點(diǎn)詮釋：(1) 三個(gè)方程中不一定每一個(gè)方程中都含有三個(gè)未知數(shù)，只要三個(gè)方程共含有三個(gè)未知量即可（2）在實(shí)際問題中含有三個(gè)未知數(shù)，當(dāng)這三個(gè)未知數(shù)同時(shí)滿足三個(gè)相等關(guān)系時(shí)，可以建立三元一次方程組求解要點(diǎn)二、三元一次方程組的解法 解三元一次方程組的一般步驟(1)利用代入法或加減法，把方程組中一個(gè)方程與另兩個(gè)方程分別組成兩組，消去兩組中的同一個(gè)未知數(shù)，得到關(guān)于另外兩個(gè)未知數(shù)的二元一次方程組；(2)解這個(gè)二元一次方程組，求出兩

3、個(gè)未知數(shù)的值；(3)將求得的兩個(gè)未知數(shù)的值代入原方程組中的一個(gè)系數(shù)比較簡單的方程，得到一個(gè)一元一次方程；(4)解這個(gè)一元一次方程，求出最后一個(gè)未知數(shù)的值；(5)將求得的三個(gè)未知數(shù)的值用“”合寫在一起要點(diǎn)詮釋：（1）解三元一次方程組的基本思路是：通過“代入”或“加減”消元，把“三元”化為“二元”使解三元一次方程組轉(zhuǎn)化為解二元一次方程組，進(jìn)而轉(zhuǎn)化為解一元一次方程其思想方法是：（2）有些特殊的方程組可用特殊的消元法，解題時(shí)要根據(jù)各方程特點(diǎn)尋求其較簡單的解法要點(diǎn)三、三元一次方程組的應(yīng)用列三元一次方程組解應(yīng)用題的一般步驟1弄清題意和題目中的數(shù)量關(guān)系，用字母(如x，y，z)表示題目中的兩個(gè)(或三個(gè))未知數(shù)

4、； 2找出能夠表達(dá)應(yīng)用題全部含義的相等關(guān)系； 3根據(jù)這些相等關(guān)系列出需要的代數(shù)式，從而列出方程并組成方程組； 4解這個(gè)方程組，求出未知數(shù)的值； 5寫出答案(包括單位名稱)要點(diǎn)詮釋：(1)解實(shí)際應(yīng)用題必須寫“答”，而且在寫答案前要根據(jù)應(yīng)用題的實(shí)際意義，檢查求得的結(jié)果是否合理，不符合題意的應(yīng)該舍去(2)“設(shè)”、“答”兩步，都要寫清單位名稱，應(yīng)注意單位是否統(tǒng)一(3)一般來說，設(shè)幾個(gè)未知數(shù)，就應(yīng)列出幾個(gè)方程并組成方程組二、例題解析類型一、三元一次方程及三元一次方程組的概念1.下列方程組中是三元一次方程組的是( ) A B C D【答案】D【解析】A選項(xiàng)中與中未知數(shù)項(xiàng)的次數(shù)為2次，故A選項(xiàng)不是；B選項(xiàng)中

5、，不是整式，故B選項(xiàng)不是；C選項(xiàng)中有四個(gè)未知數(shù)，故C選項(xiàng)不是；D項(xiàng)符合三元一次方程組的定義【總結(jié)升華】理解三元一次方程組的定義要注意以下幾點(diǎn)：(1)方程組中的每一個(gè)方程都是一次方程；(2)一般地，如果三個(gè)一次方程合起來共有三個(gè)未知數(shù)，它們就能組成一個(gè)三元一次方程組類型二、三元一次方程組的解法2. (韶關(guān))解方程組【思路點(diǎn)撥】方程是用未知數(shù)x表示y的式子，將代入可得二元一次方程組【答案與解析】解：將代入得：5x+3(2x-7)+2z2，整理得：11x+2z23 由此可聯(lián)立方程組，+2得：25x50，x2把x2分別代入可知：y-3，所以方程組的解為【總結(jié)升華】解三元一次方程組的思想仍是消元，是用加

6、減消元法，還是用代入消元法，要根據(jù)方程組的特征來確定，一定要選擇較簡便的方法舉一反三：【變式】解方程組：【答案】解：+得： 2+得：由此可得方程組：得：，將代入知： 將，代入得： 所以方程組的解為：3. 解方程組【答案與解析】解法一：原方程可化為：由得：， 將代入得：，得： 將代入中兩式，得：，所以方程組的解為：解法二：設(shè)，則將代入得：，將代入得：，所以方程組的解為：【總結(jié)升華】對于這類特殊的方程組，可根據(jù)其方程組中方程的特點(diǎn)，采用一些特殊的解法(如設(shè)比例系數(shù)等)來解舉一反三：【變式】方程組的解為 【答案】 （提示：將三式左右分別相加，求得，再分別計(jì)算較簡單）類型三、三元一次方程組的應(yīng)用4.黃

7、岡市在國慶節(jié)前夕舉辦了慶祝建國六十一周年足球聯(lián)賽活動，這次足球聯(lián)賽共賽11輪，勝一場記3分，平一場記一分，負(fù)一場記0分某校隊(duì)所負(fù)場數(shù)是勝的場數(shù)的，結(jié)果共得20分問該校隊(duì)勝、平、負(fù)各多少場?【思路點(diǎn)撥】該題中的已知量有比賽總場數(shù)、總得分?jǐn)?shù)、勝的場數(shù)與負(fù)的場數(shù)之間的關(guān)系，等量關(guān)系有： 勝場數(shù)+負(fù)場數(shù)+平場數(shù)11；勝得分+平得分+負(fù)得分總得分；勝場數(shù)負(fù)場數(shù)2將以上相等關(guān)系轉(zhuǎn)化成方程(組)可得解【答案與解析】解：設(shè)該校隊(duì)勝x場、平y(tǒng)場、負(fù)z場，根據(jù)題意，得：，解這個(gè)三元一次方程組，得答：該校隊(duì)勝6場、平2場、負(fù)3場【總結(jié)升華】用三元一次方程組解答實(shí)際問題的方法與用二元一次方程組解答實(shí)際問題的方法類似，

8、根據(jù)題目給出的條件尋找相等關(guān)系是利用方程解應(yīng)用題的重要一環(huán)舉一反三：【變式】現(xiàn)有面值為2元、1元和5角的人民幣共24張，幣值共計(jì)29元，其中面值為2元的比1元的少6張，求三種人民幣各多少張?【答案】解：設(shè)面值為2元、1元和5角的人民幣分別為x張、y張和z張依題意，得把分別代入和，得2，得6x+z46 -，得4x28，x7把x7代入，得y13把x7，y13代入，得z4方程組的解是答：面值為2元、l元和5角的人民幣分別為7張、13張和4張 一、選擇題1.下列四組數(shù)，是方程2+0的解的是（ ）A B C D2已知方程組，則a+b+c的值為（ ） A6 B-6 C5 D-53已知與是同類項(xiàng)，則x-y+

9、z的值為 ( ) A1 B2 C3 D44若x+2y+3z10，4x+3y+2z15，則x+y+z的值為 ( ) A2 B3 C4 D55.已知甲、乙、丙三個(gè)人各有一些錢，其中甲的錢是乙的2倍，乙比丙多1元，丙比甲少11元，則三人共有（ ）A30元 B33元 C36元 D39元6. 如圖所示，兩個(gè)天平都平衡，則三個(gè)球的質(zhì)量等于（ ）正方體的質(zhì)量.A2個(gè) B3個(gè) C4個(gè) D5個(gè)二、填空題7. 解三元一次方程組的基本思路是 .8. 三元一次方程7+341用含、z的代數(shù)式表示y .9. 在三元一次方程3中，若1，2，則 .10. 若方程3+46是三元一次方程，則的取值范圍是 .11. 如果方程組的解

10、滿足方程kx+2y-z10，則k_12.已知方程組，若消去z，得到二元一次方程組_；若消去y，得到二元一次方程組_，若消去x，得到二元一次方程組_三、解答題13解方程組： （1） （2）14. 在等式中，當(dāng)x1時(shí)，y4；當(dāng)x2時(shí)，y3；當(dāng)x-1時(shí)，y0，求a、b、c的值15. 2003年全國足球甲A聯(lián)賽的前12輪(場)比賽后，前三名比賽成績?nèi)缦卤韯伲▓觯┢剑▓觯┴?fù)（場）積分大連實(shí)德隊(duì)82226上海申花隊(duì)65123北京現(xiàn)代隊(duì)57022問每隊(duì)勝一場、平一場、負(fù)一場各得多少分?【答案與解析】一、選擇題1. 【答案】B； 【解析】依次代入驗(yàn)證.2. 【答案】C； 【解析】將方程組中的三個(gè)方程左右分別相

11、加，得，兩邊同除以2便得答案.3. 【答案】D； 【解析】由同類項(xiàng)的定義得：，解得：，所以.4. 【答案】D； 【解析】將三個(gè)等式左右分別相加，可得，進(jìn)而得 .5. 【答案】D；【解析】解：設(shè)甲乙丙分別有，則有：，解得：，所以三人共有：（元）.6. 【答案】D；【解析】解：設(shè)一個(gè)球的質(zhì)量為，一個(gè)圓柱的質(zhì)量為，一個(gè)正方體的質(zhì)量為. 則：由得 ，把代入，得，解得，故正確答案為D.二、填空題7. 【答案】消元；8. 【答案】；9. 【答案】2； 【解析】將1，2代入得：，所以.10【答案】；【解析】三元一次方程的定義.11.【答案】；【解析】解原方程組得：，代入kx+2y-z10得，.12. 【答案

12、】 ； 【解析】加減或代入消元.三、解答題13.【解析】解：（1） 由得：，將代入，整理得：，解得：，代入得：，所以，原方程組的解是（2） 由+得：，即，由+得：，由5，整理得：，將代入，解得：，將，代入，解得，所以，原方程組的解是14.【解析】解：由題意可得方程組，解得15.【解析】解：設(shè)每隊(duì)勝一場、平場、負(fù)場分別得x分，y分，z分根據(jù)題意，得由得4x+y+z13 一，得x+2y5 5-，得y1把y1代入，得x5-213，即x3把x3，y1代入，得z0答：每隊(duì)勝一場得3分，平一場得1分，負(fù)一場得0分 一、選擇題1. 下列方程組中是三元一次方程組的是 （ ）. A B C D2. 已知方程，有

13、公共解，則的值為（ ）. A. 3 B.4 C.0 D.-13. 下列說法正確的是（ ）.A.方程有唯一組解.B.若x、y、z是非負(fù)數(shù)，則三元一次方程3x+5y+2z0只有一組解.C. 方程4x+y+2z7是三元一次方程.D.三元一次方程組有且只有一組解.4已知代數(shù)式，當(dāng)x-1時(shí)，其值為4；當(dāng)x1時(shí)，其值為8；當(dāng)x2時(shí)，其值為25；則當(dāng)x3時(shí)，其值為 （ ）.A4 B8 C62 D52 5一對夫婦現(xiàn)在年齡的和是其子女年齡和的6倍，他們兩年前年齡和是子女兩年前年齡和的10倍，6年后，他們的年齡和是子女6年后年齡和的3倍，問這對夫婦共多少個(gè)子女？（ ）. A1個(gè) B2個(gè) C3個(gè) D4個(gè)6為了獎(jiǎng)勵(lì)進(jìn)

14、步較大的學(xué)生，某班決定購買甲、乙、丙三種鋼筆作為獎(jiǎng)品，其單價(jià)分別為4元、5元、6元，購買這些鋼筆需要花60元；經(jīng)過協(xié)商，每種鋼筆單價(jià)下降1元，結(jié)果只花了48元，那么甲種鋼筆可能購買( ) .A11支 B9支 C7支 D5支二、填空題7. 若是一個(gè)三元一次方程，那么a_，b_8已知，則x+2y+z_9當(dāng)a_時(shí)，方程組的解x、y互為相反數(shù)10已知，則x:y:z_11有甲、乙、丙三種商品，如果購甲3件、乙2件、丙1件共需315元；購甲1件、乙2件、丙3件共需285元錢，那么購甲、乙、丙三種商品各一件共需_元錢12. 方程x+2y+3z14 (xyz)的正整數(shù)解是 三、解答題13解方程組：（1） （2

15、） 14. 已知等式對于一切有理數(shù)都成立，求A，B的值15.某工程由甲、乙兩隊(duì)合作需6天完成，廠家需付甲、乙兩隊(duì)共8700元，乙、丙兩隊(duì)合作需10天完成，廠家需支付乙、丙兩隊(duì)共8000元；甲、丙兩隊(duì)合作5天完成全部工程的，此時(shí)廠家需付甲、丙兩隊(duì)共5500元 (1)求甲、乙、丙各隊(duì)單獨(dú)完成全部工程各需多少天? (2)若要不超過15天完成全部工程，問由哪隊(duì)單獨(dú)完成此項(xiàng)工程花錢最少？請說明理由【答案與解析】一、選擇題1. 【答案】D； 2. 【答案】B； 【解析】聯(lián)立，可得：，將其代入，得值3. 【答案】C；4. 【答案】D； 【解析】由條件知，解得 當(dāng)x3時(shí)， 5. 【答案】C；【解析】解：設(shè)夫婦

16、現(xiàn)在的總年齡為M,子女現(xiàn)在總年齡m,設(shè)子女共k名,則有：解三元一次方程組得：.6. 【答案】D；【解析】解：設(shè)購買甲、乙、丙三種鋼筆分別為x、y、z支，由題意，得4-5得x-z0，所以xz，將zx代入，得4x+5y+6x60即y+2x12 y0， x6， x為小于6的正整數(shù)， 選D.二、填空題7. 【答案】-1，0；【解析】由題意得，解得.8.【答案】-10；9.【答案】8； 【解析】將a看作常數(shù)，解出x,y的值，再令x+y=0，便得a的值10【答案】15:7:6； 【解析】原方程組化為得2x5z，故 11.【答案】150；【解析】設(shè)甲種商品的單價(jià)為x元，乙種商品的單價(jià)為y元，丙種商品的單價(jià)為z元，根據(jù)題意可得： 根據(jù)三元一次方程組中每一個(gè)三元一次方程中系數(shù)的特點(diǎn)和所求的結(jié)論可將方程與方程相加得：4(x+y+z)600， x+y+z15012. 【答案】；【解析】解：xyz，所以，所以，同理可得：，又因?yàn)榫鶠檎麛?shù)，經(jīng)驗(yàn)證,滿足條件的解只有一組，即答案 三、解答題13.【解析】解：（1） 由得：， 由得：， 將代入得：，解得：