江蘇省常州市溧陽市2020-2021學(xué)年高一數(shù)學(xué)下學(xué)期期末考試試題含解析

1、PAGE PAGE 23江蘇省常州市溧陽市2020-2021學(xué)年高一數(shù)學(xué)下學(xué)期期末考試試題（含解析）一、單項選擇題（共8小題，每小題5分，共40分）.1某種彩票中獎的概率為，這是指（）A買10000張彩票一定能中獎B買10000張彩票只能中獎1次C若買9999張彩票未中獎，則第10000張必中獎D買一張彩票中獎的可能性是2已知z2i，則z（+i）（）A62iB42iC6+2iD4+2i3甲、乙兩個同學(xué)下棋，若甲獲勝的概率為0.2，甲不輸?shù)母怕蕿?.7，則甲、乙下成和棋的概率為（）A0.5B0.7C0.9D0.44在ABC中，若acosB+bcosAa，則ABC的形狀是（）A等腰三角形B直角三角

2、形C等腰或直角三角形D等邊三角形5已知數(shù)據(jù)x1，x2，x10的平均數(shù)為2，方差為3，那么數(shù)據(jù)2x1+1，2x2+1，2x10+1的平均數(shù)和方差分別為（）A2，3B5，6C5，12D4，126已知，則sin2的值是（）ABCD7如圖，在同一個平面內(nèi)，向量，的模分別為1，與的夾角為，且tan7，與的夾角為135若，則mn（）A3BC3D8在棱長為2的正方體ABCDA1B1C1D1中，點M，N分別是棱BC，CC1的中點，動點P在正方形BCC1B1（包括邊界）內(nèi)運(yùn)動若PA1平面AMN，則PA1的最小值是（）A2BCD二、多項選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項中，有多項符合題

3、目要求.全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分.9新中國成立以來，我國共進(jìn)行了7次人口普查，這7次人口普查的城鄉(xiāng)人口數(shù)據(jù)如右圖根據(jù)該圖數(shù)據(jù)，這7次人口普查中（）A鄉(xiāng)村人口數(shù)均高于城鎮(zhèn)人口數(shù)B鄉(xiāng)村人口數(shù)達(dá)到最高峰是第3次C城鎮(zhèn)人口總數(shù)逐次增加D和前一次相比，城鎮(zhèn)人口比重增量最大的是第7次10下列結(jié)論正確的是（）A若復(fù)數(shù)z滿足z+0，則z為純虛數(shù)B若復(fù)數(shù)z1，z2滿足|z1+z2|z1z2|，則z1z20C若復(fù)數(shù)z滿足，則zRD若復(fù)數(shù)z滿足|z3i|1，則|z|2，411如圖是一個正方體的平面展開圖，則在該正方體中（）ABFCDBDGBHCCH與BG成60角DBE與平面ABCD所成角為

4、4512“奔馳定理”是平面向量中一個非常優(yōu)美的結(jié)論，因為這個定理對應(yīng)的圖形與“奔馳”（Mercedesbenz）的logo很相似，故形象地稱其為“奔馳定理”奔馳定理：已知O是ABC內(nèi)的一點，BOC，AOC，AOB的面積分別為SA，SB，SC，則若O是銳角ABC內(nèi)的一點，A，B，C是ABC的三個內(nèi)角，且點O滿足則（）AO為ABC的外心BBOC+ACD三、填空題：本題共4個小題，每小題5分，共20分。13設(shè)k為實數(shù)，若向量，且，則的值為 14滿足等式（1+tan）（1+tan）2的數(shù)組（，）有無窮多個，試寫出一個這樣的數(shù)組 15九章算術(shù)是我國古代數(shù)學(xué)名著，它在幾何學(xué)中的研究比西方早1000多年在九

5、章算術(shù)中，將底面為矩形且一側(cè)棱垂直于底面的四棱錐稱為陽馬如圖PABCD是陽馬，PA平面ABCD，PA5，AB4，AD3，則該陽馬的外接球的表面積為 16甲、乙二人做射擊游戲，甲、乙射擊擊中與否是相互獨(dú)立事件規(guī)則如下：若射擊一次擊中，則原射擊人繼續(xù)射擊；若射擊一次不中，就由對方接替射擊已知甲、乙二人射擊一次擊中的概率均為，且第一次由甲開始射擊求前3次射擊中甲恰好擊中2次的概率 ；求第4次由甲射擊的概率 四、解答題：本題共6小題，共70分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟。17已知復(fù)數(shù)z滿足z2，且z的虛部為1，z在復(fù)平面內(nèi)所對應(yīng)的點在第四象限（1）求z；（2）若z，z2在復(fù)平面上對應(yīng)的點分

6、別為A，B，O為坐標(biāo)原點，OAB18如圖，在三棱錐PABC中，PAPC，BC4，AC2，M為BC的中點，N為AC上一點，且MN平面PAB，求證：（1）直線AB平面PMN；（2）ACPM19某中學(xué)高一年級舉行了一次數(shù)學(xué)競賽，從中隨機(jī)抽取了一批學(xué)生的成績經(jīng)統(tǒng)計，這批學(xué)生的成績?nèi)拷橛?0至100之間，將數(shù)據(jù)按照50，60），60，70），70，80），80，90），90，100）的分組作出頻率分布直方圖如圖所示（1）求頻率分布直方圖中a的值，并估計本次競賽成績的第80百分位數(shù)；（2）若按照分層隨機(jī)抽樣從成績在50，60），90，100）的兩組中抽取6人，再從這6人中隨機(jī)抽取2人，求至少有1人的成績

7、在50，60）內(nèi)的概率20已知在ABC中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，（1）若，求cosC的值；（2）若點D在邊AC上，且AD2DC，BD2，求ABC面積的最大值21已知在正三棱柱ABCA1B1C1中，ABAA1，E是棱BB1的中點（1）求證：平面A1EC平面AA1C1C；（2）設(shè)AB2，求三棱錐AA1CE的體積；（3）若把平面A1EC與平面A1B1C1所成的銳二面角為60時的正三棱柱稱為“黃金棱柱”，請判斷此三棱柱是否為“黃金棱柱”，并說明理由22如圖，某小區(qū)準(zhǔn)備將閑置的一直角三角形地塊開發(fā)成公共綠地，圖中設(shè)計時要求綠地部分（如圖中陰影部分所示）有公共綠地走道MN，且兩邊是兩個關(guān)于走

8、道MN對稱的三角形（AMN和AMN）現(xiàn)考慮方便和綠地最大化原則，要求點M與點A，B均不重合，A落在邊BC上且不與端點B，C重合，設(shè)AMN（1）若，求此時公共綠地的面積；（2）為方便小區(qū)居民的行走，設(shè)計時要求AN，AN的長度最短，求此時綠地公共走道MN的長度參考答案一、單項選擇題（共8小題，每小題5分，共40分）.1某種彩票中獎的概率為，這是指（）A買10000張彩票一定能中獎B買10000張彩票只能中獎1次C若買9999張彩票未中獎，則第10000張必中獎D買一張彩票中獎的可能性是解：如果某種彩票的中獎概率為，則買10000張這種彩票仍然是隨機(jī)事件，即買10000張彩票，可能有多張中獎，也可能

9、不能中獎，排除A，B；若買9999張彩票未中獎，則第10000張也是隨機(jī)事件，且發(fā)生概率仍然是，故C錯誤，這里的中獎的概率為，是指買一張彩票中獎的可能性是，故D正確故選：D2已知z2i，則z（+i）（）A62iB42iC6+2iD4+2i解：z2i，z（+i）（2i）（2+i+i）（2i）（2+2i）4+4i2i2i26+2i故選：C3甲、乙兩個同學(xué)下棋，若甲獲勝的概率為0.2，甲不輸?shù)母怕蕿?.7，則甲、乙下成和棋的概率為（）A0.5B0.7C0.9D0.4解：甲不輸包含甲、乙兩人下成和棋與甲獲勝，且甲、乙兩人下成和棋與甲獲勝是互斥事件，甲、乙下成和棋的概率P0.70.20.5故選：A4在A

10、BC中，若acosB+bcosAa，則ABC的形狀是（）A等腰三角形B直角三角形C等腰或直角三角形D等邊三角形解：由acosB+bcosAa，結(jié)合正弦定理可得：sinAcosB+sinBcosAsinA，sin（B+A）sinA，可得：sinCsinA，ac，則ABC的形狀為等腰三角形故選：A5已知數(shù)據(jù)x1，x2，x10的平均數(shù)為2，方差為3，那么數(shù)據(jù)2x1+1，2x2+1，2x10+1的平均數(shù)和方差分別為（）A2，3B5，6C5，12D4，12解：因為數(shù)據(jù)x1，x2，x10的平均數(shù)為2，方差為3，所以數(shù)據(jù)2x1+1，2x2+1，2x10+1的平均數(shù)為22+15，方差為22312故選：C6已知

11、，則sin2的值是（）ABCD解：，對等式兩邊平方，可得，解得故選：A7如圖，在同一個平面內(nèi)，向量，的模分別為1，與的夾角為，且tan7，與的夾角為135若，則mn（）A3BC3D解：由已知可得角為銳角，則由1+tan2，解得cos，因為，所以，即1m，則，所以mn，故選：B8在棱長為2的正方體ABCDA1B1C1D1中，點M，N分別是棱BC，CC1的中點，動點P在正方形BCC1B1（包括邊界）內(nèi)運(yùn)動若PA1平面AMN，則PA1的最小值是（）A2BCD解：取B1C1的中點E，BB1的中點F，連結(jié)A1E，A1F，EF，取EF中點O，連結(jié)A1O，點M，N分別是棱長為2的正方體ABCDA1B1C1D

12、1中棱BC，CC1的中點，AMA1E，MNEF，AMMNM，A1EEFE，平面AMN平面A1EF，動點P在正方形BCC1B1（包括邊界）內(nèi)運(yùn)動，且PA1面AMN，點P的軌跡是線段EF，A1EA1F，EF，A1OEF，當(dāng)P與O重合時，PA1的長度取最小值，為A1O，當(dāng)P與E（或F）重合時，PA1的長度取最大值，為A1EA1FPA1的長度范圍為，即其最小值為：故選：B二、多項選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分.9新中國成立以來，我國共進(jìn)行了7次人口普查，這7次人口普查的城鄉(xiāng)人口數(shù)據(jù)如右圖根據(jù)該圖數(shù)

13、據(jù)，這7次人口普查中（）A鄉(xiāng)村人口數(shù)均高于城鎮(zhèn)人口數(shù)B鄉(xiāng)村人口數(shù)達(dá)到最高峰是第3次C城鎮(zhèn)人口總數(shù)逐次增加D和前一次相比，城鎮(zhèn)人口比重增量最大的是第7次解：對于A，2020年，城鎮(zhèn)人口比重為63.89%50%，即城鎮(zhèn)人口數(shù)高于鄉(xiāng)村人口數(shù)，故選項A錯誤；對于B，由統(tǒng)計圖可知，鄉(xiāng)村人口數(shù)達(dá)到最高峰是第4次，故選項B 錯誤；對于C，由統(tǒng)計圖可知，城鎮(zhèn)人口總數(shù)逐次增加，故選項C正確；對于D，第二次與第一次相比，城鎮(zhèn)人口比重增量為18.40%13.26%5.04%，第三次與第二次相比，城鎮(zhèn)人口比重增量為20.91%18.40%2.61%，第四次與第三次相比，城鎮(zhèn)人口比重增量為26.44%20.91%5.5

14、3%，第五次與第四次相比，城鎮(zhèn)人口比重增量為36.22%26.44%9.78%，第六次與第五次相比，城鎮(zhèn)人口比重增量為49.68%36.22%13.46%，第七次與第六次相比，城鎮(zhèn)人口比重增量為63.89%49.68%14.21%，和前一次相比，城鎮(zhèn)人口比重增量最大的是第7次，故選項D正確故選：CD10下列結(jié)論正確的是（）A若復(fù)數(shù)z滿足z+0，則z為純虛數(shù)B若復(fù)數(shù)z1，z2滿足|z1+z2|z1z2|，則z1z20C若復(fù)數(shù)z滿足，則zRD若復(fù)數(shù)z滿足|z3i|1，則|z|2，4解：對于A：設(shè)za+bi（a，bR），則，由于z+0，所以a0，故zbi，當(dāng)b0時，z為實數(shù)，故A錯誤；對于B：設(shè)z1

15、a+bi，z2c+di，所以，由于復(fù)數(shù)z1，z2滿足|z1+z2|z1z2|，所以（a+c）2+（b+d）2（ac）2+（bd）2，則4ac+4bd0，整理得ac+bd0所以z1z2（a+bi）（c+di）（acbd）+（ad+bc）i0，故B錯誤；對于C：設(shè)za+bi，所以，由于復(fù)數(shù)z滿足，所以b0，故zR，故C正確；對于D：設(shè)za+bi（a，bR），因為|z3i|1，所以a2+（b3）21（b0），所以該曲線為以（0，3）為圓心，1為半徑的圓，故|z|max4，|z|min312，所以|z|2，4，故D正確故選：CD11如圖是一個正方體的平面展開圖，則在該正方體中（）ABFCDBDGBHC

16、CH與BG成60角DBE與平面ABCD所成角為45解：由正方體的平面展開圖還原原正方體如圖，由正方體的結(jié)構(gòu)特征可知，BF與CD異面垂直，故A錯誤；DGCH，而CH為BH在平面DCGH上的射影，DGBH，故B正確；連接AH，由ABGH，ABGH，可得四邊形ABGH為平行四邊形，則AHBG，AHC為異面直線CH與BG所成角，連接AC，可得AHC為等邊三角形，得CH與BG成60角，故C正確；AE平面ABCD，EBA為BE與平面ABCD所成角為45，故D正確故選：BCD12“奔馳定理”是平面向量中一個非常優(yōu)美的結(jié)論，因為這個定理對應(yīng)的圖形與“奔馳”（Mercedesbenz）的logo很相似，故形象地

17、稱其為“奔馳定理”奔馳定理：已知O是ABC內(nèi)的一點，BOC，AOC，AOB的面積分別為SA，SB，SC，則若O是銳角ABC內(nèi)的一點，A，B，C是ABC的三個內(nèi)角，且點O滿足則（）AO為ABC的外心BBOC+ACD解：因為，同理OACB，OCAB，故O為ABC的垂心，故A錯誤；，所以O(shè)BC+C+OCB+B，又OBC+OCB+BOC，所以BOCC+B，又A+B+C，所以BOC+A，故B正確；故ABOC，同理BAOC，延長CO交AB與點P，則，同理可得cosA：cosCOA：OC，所以cosA：cosB：cosCOA：OB：OC，故C正確；tanBOC：tanAOCtan（A）：tan（B）tanA

18、：tanB，同理可得SA：SCtanA：tanC，所以SA：SB：SCtanA：tanB：tanC，又，所以，故D正確故選：BCD三、填空題：本題共4個小題，每小題5分，共20分。13設(shè)k為實數(shù)，若向量，且，則的值為 4解：向量，且，可得k2，解得k2，所以（2，2）（1，1）4故答案為：414滿足等式（1+tan）（1+tan）2的數(shù)組（，）有無窮多個，試寫出一個這樣的數(shù)組 解：當(dāng)0時，等式（1+tan）（1+tan）2，可化簡為1+tan2，tan1，可取，滿足等式（1+tan）（1+tan）2的數(shù)組（，）可?。?，）故答案為：15九章算術(shù)是我國古代數(shù)學(xué)名著，它在幾何學(xué)中的研究比西方早10

19、00多年在九章算術(shù)中，將底面為矩形且一側(cè)棱垂直于底面的四棱錐稱為陽馬如圖PABCD是陽馬，PA平面ABCD，PA5，AB4，AD3，則該陽馬的外接球的表面積為 50解：把四棱錐PABCD放置在長方體中，則長方體的外接球即為四棱錐的外接球，PA5，AB3，BC4，長方體的對角線長為5，則長方體的外接球的半徑R，該“陽馬”外接球的表面積為S4R24（）250故答案為：5016甲、乙二人做射擊游戲，甲、乙射擊擊中與否是相互獨(dú)立事件規(guī)則如下：若射擊一次擊中，則原射擊人繼續(xù)射擊；若射擊一次不中，就由對方接替射擊已知甲、乙二人射擊一次擊中的概率均為，且第一次由甲開始射擊求前3次射擊中甲恰好擊中2次的概率；

20、求第4次由甲射擊的概率解：由題意，前3次射擊中甲恰好擊中2次，即前2次甲都擊中目標(biāo)，但第三次沒有擊中目標(biāo)，故它的概率為第4次由甲射擊包括甲連續(xù)射擊3次且都擊中；第一次甲射擊擊中，但第二次沒有擊中，第三次由乙射擊沒有擊中；第一次甲射擊沒有擊中，且乙射擊第二次擊中，但第三次沒有擊中；第一次甲射擊沒有擊中，且乙射擊第二次沒有擊中，第三次甲射擊擊中；故這件事的概率為+，故答案為：；四、解答題：本題共6小題，共70分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟。17已知復(fù)數(shù)z滿足z2，且z的虛部為1，z在復(fù)平面內(nèi)所對應(yīng)的點在第四象限（1）求z；（2）若z，z2在復(fù)平面上對應(yīng)的點分別為A，B，O為坐標(biāo)原點，O

21、AB解：（1）設(shè)zxi（xR），z2，|z|2x2+12，得x1或x1，又z在復(fù)平面內(nèi)所對應(yīng)的點在第四象限，z1i；（2）z2（1i）22i，A（1，1），B（0，2），O（0，0），則cosOAB，OAB9018如圖，在三棱錐PABC中，PAPC，BC4，AC2，M為BC的中點，N為AC上一點，且MN平面PAB，求證：（1）直線AB平面PMN；（2）ACPM【解答】證明：（1）MN平面PAB，MN平面ABC，平面ABC平面PABAB，MNAB，又MN平面PMN，AB平面PMN，AB平面PMN（2）由（1）得，MNAB，又M是BC的中點，N是AC的中點，又BC4，AC2，AB2+AC2BC2，

22、即ABAC，MNAB，ACMN，PAPC，且N是AC的中點，ACPN，又MNPNN，MN平面PMN，PN平面PMN，AC平面PMN，PM平面PMN，故ACPM19某中學(xué)高一年級舉行了一次數(shù)學(xué)競賽，從中隨機(jī)抽取了一批學(xué)生的成績經(jīng)統(tǒng)計，這批學(xué)生的成績?nèi)拷橛?0至100之間，將數(shù)據(jù)按照50，60），60，70），70，80），80，90），90，100）的分組作出頻率分布直方圖如圖所示（1）求頻率分布直方圖中a的值，并估計本次競賽成績的第80百分位數(shù)；（2）若按照分層隨機(jī)抽樣從成績在50，60），90，100）的兩組中抽取6人，再從這6人中隨機(jī)抽取2人，求至少有1人的成績在50，60）內(nèi)的概率解：

23、（1）由題意得，10（0.005+0030+0.035+a+0.010）1，所以a0.020，因為100.0050.05，100.0300.3，100.0350.35，100.010.1，100.020.2，所以成績在80（分）以下的頻率為0.05+0.3+0.350.70.8，成績在90（分）以下的頻率為0.05+0.3+0.35+0.20.90.8，所以第80百分位數(shù)p（80，90），即（2）因為50，60），90，100）的頻率之比為0.005：0.0101：2，所以從50，60）中隨機(jī)抽取人，從90，100）中隨機(jī)抽取從50，60）中抽取的2人記為a，b，從90，100）中抽取的4人記

24、為1，2，3，4，從這6人中隨機(jī)抽取2人的樣本空間為12，13，14，1a，1b，23，24，2a，2b，34，3a，3b，4a，4b，ab，共有15個樣本點，設(shè)事件A表示“至少有1人的成績在50，60）內(nèi)”，則A1a，1b，2a，2b，3a，3b，4a，4b，ab共有9個樣本點，所以至少有1人在50，60）內(nèi)的概率為20已知在ABC中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，（1）若，求cosC的值；（2）若點D在邊AC上，且AD2DC，BD2，求ABC面積的最大值解：（1）由余弦定理得，整理可得，a2+c2b2ac，又B（0，），又0B+C，故cosCcos（B+C）Bcos（B+C）cosB

25、+sin（B+C）sinB（2）法1：AD2DC，即，ac6當(dāng)且僅當(dāng)ac，等號成立，又，ABC面積的最大值為法2：AD2DC，在ABD中，由余弦定理得，在CBD中，由余弦定理得，又ADB+CDB，所以cosADBcosCDB，整理得，又在ABC中，由余弦定理得，b2a2+c22accosBa2+c2ac，由得，ac，ac6當(dāng)且僅當(dāng)ac，等號成立，又，ABC面積的最大值為21已知在正三棱柱ABCA1B1C1中，ABAA1，E是棱BB1的中點（1）求證：平面A1EC平面AA1C1C；（2）設(shè)AB2，求三棱錐AA1CE的體積；（3）若把平面A1EC與平面A1B1C1所成的銳二面角為60時的正三棱柱稱為“黃金棱柱”，請判斷此三棱柱是否為“黃金棱柱”，并說明理由解：（1）證明：連接A1C與AC1交于點F，連接EF，如圖1所示：證法1：因為ABCA1B1C1為正三棱柱，且E是棱BB1的中點，所以，且AA1C1C為平行四邊形，所以F為AC1的中點，因此EFA1C同理得EC1EA，則EFAC1，A1C平面A1EC，AC1A1CF，所以EF平面AA1C1C；而EF平面A1EC，所以平面A1EC平面AA1C1C證法2：因為ABCA1B1C1為正三棱柱，得ABC為正AA1C1C為平行四邊形，又ABAA1，所以AA1C1C為菱形，所以AC1A1C，由AA1C1C為菱形得F為AC1的中點，又E是