高考數(shù)學(xué)專(zhuān)題復(fù)習(xí)精課件-導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算(理)

1、導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算 ( )= (v0). uv-uv v2 uv一、復(fù)習(xí)目標(biāo) 掌握兩個(gè)函數(shù)的和、差、積、商的導(dǎo)數(shù)運(yùn)算法則, 了解復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則, 會(huì)求某些函數(shù)的導(dǎo)數(shù).二、重點(diǎn)解析 在運(yùn)用導(dǎo)數(shù)的四則運(yùn)算法則進(jìn)行簡(jiǎn)單函數(shù)的求導(dǎo)時(shí), 要熟記常見(jiàn)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式及運(yùn)算法則. 對(duì)復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo), 要搞清復(fù)合關(guān)系, 選好中間變量, 分清每次是對(duì)哪個(gè)變量求導(dǎo), 最終要把中間變量換成自變量的函數(shù). 三、知識(shí)要點(diǎn)1.函數(shù)的和、差、積、商的導(dǎo)數(shù): (uv)=uv; (uv)=uv+uv; (cu)=cu(c 為常數(shù)); 2.復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù) 設(shè)函數(shù) u=(x) 在點(diǎn) x 處有導(dǎo)數(shù) ux=(x), 函數(shù) y=f(u) 在點(diǎn)

2、 x 的對(duì)應(yīng)點(diǎn) u 處有導(dǎo)數(shù) yu=f (u), 則復(fù)合函數(shù) y=f(x) 在點(diǎn) x 處有導(dǎo)數(shù), 且 yx=yu ux. 或?qū)懽?fx(x)=f(u)(x). 即復(fù)合函數(shù)對(duì)自變量的導(dǎo)數(shù), 等于已知函數(shù)對(duì)中間變量的導(dǎo)數(shù), 乘以中間變量對(duì)自變量的導(dǎo)數(shù). 典型例題 1 解: (1)y=(2x2+3)(3x-2)+(2x2+3)(3x-2) =4x(3x-2)+(2x2+3)3 求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù): (1)y=(2x2+3)(3x-2); (2)y=x2sinx+2cosx; (2)y=(x2sinx)+(2cosx) =18x2-8x+9. 法2 y=(6x3-4x2+9x-6) (3)y=( x+1

3、)( -1). x1=18x2-8x+9. =(x2)sinx+x2(sinx)+2(cosx) =2xsinx+x2cosx-2sinx. 典型例題 1 求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù):(3)y=( x+1)( -1). x1解: (3)y=( x+1)( -1)+( x+1)( -1) x1x1=(x +1)(x- -1)+(x +1)(x- -1) 12121212= x- (x- -1)+(x +1)(- x- ) 121212321212= x-1- x- - x-1- x- 123212121212=- - 2 x12x x1=- . 2x xx+1 =- - 2 x12x x1法2 y=1-

4、x + -1= - x , x1 x1 x1y=( - x ) =- . 2x xx+1 典型例題 2 已知 f(x) 的導(dǎo)數(shù) f(x)=3x2-2(a+1)x+a-2, 且 f(0)=2a, 若 a2, 求不等式 f(x)0 的解集.解: f(x)=3x2-2(a+1)x+a-2, 可設(shè) f(x)=x3-(a+1)x2+(a-2)x+b. f(0)=2a, b=2a. f(x)=x3-(a+1)x2+(a-2)x+2a =x2(x-a)-x(x-a)-2(x-a) =(x-a)(x2-x-2) =(x+1)(x-2)(x-a) 令 (x+1)(x-2)(x-a)0, 由于 a2, 則 當(dāng) a

5、=2 時(shí), 不等式 f(x)2 時(shí), 不等式 f(x)0, 得 0t1; 令 S(t)1. S(t) 在 0, 1) 上為增函數(shù), 在 (1, +) 上為減函數(shù). S(t)max=S(1)2e= . 典型例題 4 求曲線 y=x3+3x2-5 過(guò)點(diǎn) M(1, -1) 的切線方程. 解: 由 y=x3+3x2-5 知 y=3x2+6x, 設(shè)切點(diǎn)為 P(x0, y0), 則 y | x=x0=3x02+6x0, 曲線在點(diǎn) P 處的切線方程為 y-y0=(3x02+6x0)(x-x0). 又切線過(guò)點(diǎn) M(1, -1), -1-y0=(3x02+6x0)(1-x0), 即 y0=3x03+3x02-6

6、x0-1. 而點(diǎn) P(x0, y0)在曲線上, 滿足 y0=x03+3x02-5, x03+3x02-5=3x03+3x02-6x0-1. 整理得 x03-3x0+2=0. 解得 x0=1 或 x0=2. 切點(diǎn)為 P(1, -1) 或 P(-2, -1). 故所求的切線方程為 9x-y-10=0 或 y=-1. 典型例題 5 已知函數(shù) f(x)=2x3+ax 與 g(x)=bx2+c 的圖象都過(guò)點(diǎn) P(2, 0), 且在點(diǎn) P 處有相同的切線. (1)求實(shí)數(shù) a, b, c 的值; (2)設(shè)函數(shù) F(x) =f(x)+g(x), 求 F(x) 的單調(diào)區(qū)間, 并指出函數(shù) F(x) 在該區(qū)間上的單

7、調(diào)性.解: (1)f(x)=2x3+ax 的圖象過(guò)點(diǎn) P(2, 0),a=-8.f(x)=2x3-8x. f(x)=6x2-8. g(x)=bx2+c 的圖象也過(guò)點(diǎn) P(2, 0),4b+c=0. 又g(x)=2bx, 4b=g(2)=f(2)=16, b=4. c=-16. F(x)=2x3+4x2-8x-16. 綜上所述, 實(shí)數(shù) a, b, c 的值分別為 -8, 4, -16. 223+2a=0. f(2)=622-8=16. (2)由(1)知 f(x)=2x3-8x, g(x)=4x2-16. F(x)=6x2+8x-8. 由 F(x)0 得 x ; 23由 F(x)0 得 -2x0,

8、 函數(shù) f(x)= , x(0, +), 設(shè) 0 x1 . 記曲線 y=f(x) 在點(diǎn) M(x1, f(x1) 處的切線為 l. (1)求 l 的方程; (2)設(shè) l 與 x軸的交點(diǎn)為 (x2, 0), 證明: 0 x2 ; 若 x1 , 則 x1x2 .x1-ax 1a2a1a1a(1)解: f(x)=( -a)=(x-1) 1x=-x-2=- . 1x2切線 l 的方程為 y=- (x-x1)+ . x11-ax1 1x12(2)證: 依題意, 在切線 l 的方程中令 y=0, 得 x2=x1(1-ax1)+x1=x1(2-ax1), ax12, 其中 0 x10. 又 x10, x2=x

9、1(2-ax1)0. 當(dāng) x1= 時(shí), x2=-a(x1- )2+ 取得最大值 , 1a1a1a1a1a0 x2 . 當(dāng) x1 時(shí), ax1x1. 又由知 x2 , 1a1ax1x20 得 0 x1; 令 f(x)0 得 1f(2). f(0)=0 為函數(shù) f(x) 在區(qū)間 0, 2 上的最小值; 求函數(shù) f(x)=ln(1+x)- x2 在區(qū)間 0, 2 上的最大值和最小值.14解: f(x)= - x,1+x 112又f(0)=0, f(1)=ln2- , f(2)=ln3-10, 14 f(1)=ln2- 為函數(shù) f(x) 在區(qū)間 0, 2 上的最大值.14又切線過(guò)原點(diǎn), 解得 x0=-

10、3 或 x0=-15. 課后練習(xí) 5 解: 由已知可設(shè)切點(diǎn)為 (x0, ), 其中, x0-5. x0+9 x0+5 試求經(jīng)過(guò)原點(diǎn)且與曲線 y= 相切的切線方程.x+9 x+5 y= =- (x-5), (x+5)2 4 (x+5)2 x+5-x-9 過(guò)切點(diǎn)的切線的斜率為 - (x0-5). (x0+5)2 4 x0+9 x0+5 x0 =- . (x0+5)2 4 當(dāng) x0=-3 時(shí), y0=3. 此時(shí)切線的斜率為 -1, 切線方程為 x+y=0. x+25y=0. 35當(dāng) x0=-15 時(shí), y0= . 此時(shí)切線的斜率為 - , 切線方程為 251課后練習(xí) 6 已知函數(shù) f(x)=2x3+

11、ax 與 g(x)=bx2+c 的圖象都過(guò)點(diǎn) P(2, 0), 且在點(diǎn) P 處有公共切線, 求 f(x)、g(x) 的表達(dá)式.解: f(x)=2x3+ax 的圖象過(guò)點(diǎn) P(2, 0),a=-8. f(x)=2x3-8x. f(x)=6x2-8. g(x)=bx2+c 的圖象也過(guò)點(diǎn) P(2, 0),4b+c=0. 又g(x)=2bx, 4b=g(2)=f(2)=16, b=4. c=-16. g(x)=4x2-16. 綜上所述, f(x)=2x3-8x, g(x)=4x2-16. 課后練習(xí) 7 設(shè)函數(shù) y=ax3+bx2+cx+d 的圖象與 y 軸的交點(diǎn)為 P 點(diǎn), 且曲線在 P 點(diǎn)處的切線方程

12、為 12x-y-4=0. 若函數(shù)在 x=2 處取得極值 0, 試確定函數(shù)的解析式.解: 由已知, P 點(diǎn)的坐標(biāo)為(0, d).曲線在 P 點(diǎn)處的切線方程為 12x-y-4=0, 120-d-4=0. 又切線斜率 k=12, 解得: d=-4. 故函數(shù)在 x=0 處的導(dǎo)數(shù) y|x=0=12. 而 y=3ax2+2bx+c, y|x=0=c, c=12.函數(shù)在 x=2 處取得極值 0, y|x=2=0 且當(dāng) x=2 時(shí), y=0.故有 8a+4b+20=0. 12a+4b+12=0, 解得 a=2, b=-9.y=2x3-9x2+12x-4.課后練習(xí) 8 已知 a0, 函數(shù) f(x)=x3-a, x(0