嘗試與創(chuàng)造高等數(shù)學(xué)上冊第三章積分技術(shù)精簡

1、第三分技第一節(jié) 不定積分一、 不定積分的定IFxfxFx f x不定積分 f (x)dx FxdF(x) ff(x)dxdF(x)dxdF(x)Fx其中 dF(x)dxdF(x) 看上去就像約去一個(gè)dx ，這使得不定積分在上更為便利，這也是萊布尼茨將不定積分形式記為 f (x)dxf (x) f (x)f(x)dx f x二、 二階導(dǎo)數(shù)的情fxdf(x) f f(xf(xf (x)dxdf(x)dx f(x)f(x)dxdxf(xCdx f(xCxC1 比如已知 f (x) 的二階導(dǎo)數(shù) f (x) 1f(x)2xC，f(x) x2 Cx1f (x) x2 CxC11f(x)x2CxC2x1f(

2、x)f(x) 2xC 三、 不定積分性質(zhì)函數(shù)和差的不定積 f (x) g(x)dx f (x)dx 如 x2 x3dx x2dx x3 x d 3 C1 2 性質(zhì)被積函數(shù)中的常數(shù)因子可以提到積分號外面來 kf(x)dxkf1 已知曲線 y f (x) 上任意一點(diǎn)(x物體在t0 x0位置，在t1時(shí)刻的速度為v1advF 2tx(tx(t) x(t)dt 2tdtt2 t3t3x(t) x(t)dt (t2 C1)dt3x(0)0 x(0) 0 x(tx(tC1tx(0) 03 C 0C x(0)02C1于是x(tt3 x(tt23 0 x(t ) t03 C t C 031 3x(t )t2 C

3、 解出C1 、C2 學(xué)到的物理方法，一些同學(xué)看到 x(t0) x0 ，x(t1) v1 這種初始條件便頭皮發(fā)還分析過一個(gè)物體受到合力為F vk x的情形，這種物體的運(yùn)動規(guī)律遠(yuǎn)中能力范圍，但其實(shí)從本質(zhì)上來說，只要分析出maF3-1（刪減第二節(jié) 基本不定積(1) kdxkxx dx a1exdxex axa dx lnaa cosxdxsinxsinxdxcosxdxsec2xdxtanxdxsin2csc2 xdxcotx1 dxarctanx11 dxarcsinx1 secxtan xdx secxcscxcotdxcscxx常見無法轉(zhuǎn)換為初等函數(shù)的不定積分有ex2 dx 、 xexdx 、

4、sin x dx x練（冪函數(shù)xx xxdx2dx12x C x2dxx dx 21C x x3dxx31C 1 32（對數(shù)函數(shù)對數(shù)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)lnx 1 ln x 限制了定義域必須是0，xx常常先取x0時(shí)，1dxlnxC去掉絕對值，然后再擴(kuò)展到xx 11xx xdx lnxC 3 x2 lnxCxx(x dx (x3 )dx 3x3ln| x|3（指數(shù)函數(shù)(ex 3cosx)dx exdx3cosxdx ex 3sinx1xx(1x2x(1x2)dx x(1x2) dx(1 x2 x)dxarctanxln|x|4（三角函數(shù)tan2xdx(sec2 x1)dxsec2 xdxdxtanxxsi

5、n2 x dx1cosxdx 1(1cosx)dx 1(xsinx)dxdx4cotxsin2 xcos2 sin2 1 2 1 lnarcsin x3-2（刪減第三節(jié) 不定積分的換一、 第一類換dy dy du 在上式兩邊同時(shí)乘上ddy dx dy du du dy dy yeuu x2du eu 2xdu eu 2x兩邊同時(shí)乘上dx 的逆向過程dy 2xex2 dxex2 (2xdx)ex2 d(x2)2xex2dxex2 (x2)dxex2 d(x2)eudueu Cex2 定理設(shè)y g(u)具有原函數(shù)u f (x)可導(dǎo) 則有換元公gf (x)f (x)dx gf (2x)dx xxa

6、1 1d(xa) 1 1 d(xa) xaxa 1 ln|xa|1 ln|xa|C1 ln xxxx練習(xí)cosxdx d(sin sinxdx d(cossec2 xdxd(tantanxdx sinxdx d(cosx)1coscosln|u|C ln cosx cotxdx 1 cosxdx d(sinx)1duln|u|Clnsinx sinsincsc1： cscxdxdxsinx dxd(cossinsin21cos2 du1 1 du 11 2 11u 11 1ln 1cos x 2cscxdx1cos1dx 2 2xdxdxln tan x x 222ln cscxcotx 11

7、cos1cos2lntan2ln cscxcotx ，其中的三角轉(zhuǎn)換的故cscxdxln cscxcotx sec解：由secx cscx ，很容易得 secxdxln secxtanx 2secxdx、cscxdx最后都轉(zhuǎn)換成secx、cscx的形式，是為了便于定sec3 sec3xdxcosxdxd(sin cos4(1sin2 du du(1u2(1u)2(1 1 2 2 1u) 1(1 1111444111 1141sin 1sin 1 sinx C1lnsecxtanx 1secxtanx1sin 1sin cos2練習(xí)exdx d(ex1dxd(ln x) xdxd(lnx) (x

8、0絕對值會帶來額外的計(jì)算不便，故有時(shí)候 1dxx0 xx(1 dln 1 d(12ln2ln12lnx 1 2ln 12ln 1ln12lnx 2注：這里lnxx0，但12lnxdx u 3e23e2) du arctan33333 ex arctan二、 第二類換定理設(shè)x g(t)是單調(diào)的、可導(dǎo)的函數(shù)，可得到微分f(x)dxf g(t)f(xfg(t)g(t則會是一個(gè)很容x g(t沒有約定為單調(diào)函數(shù)，則求反函數(shù)t g1(x1 a2x2dx解：利用1sin2 x cos2 x去掉根式x asint 其中在 t xasinta2 a2 a2a2sin2由于dxacostdt acosa2 x2d

9、x (acost) (acostdt)a2 cos2 tdt a2 1t1sin2t a2 因?yàn)閠 arcsina ，sin2t 2sintcost a2 arcsin 2 a2 x2dx 2 a 2a2 x2 C總結(jié)并比較兩類換元法 a2x2dx與x a2 x2dx的異同cos2tdta21t1sin2tC是x2 例x2 、x2 a2dx，其中a0解：利用tan2 x1sec2 x，去掉根設(shè) t xatantdxasec2 tdt，(asec2t)dt sectdtlnsecttant x2 ax2 x2 a2dx(asect)(asec2t)dt a2sec3 a2 ln secttant

10、 asecttantx2 由sect ，tantx2 x2 x2 ax2 aC1ln(xaax2a2)x2 x2 a2x2 ln(x2x2a2)2x2 x2 x2 x2 解：利用sec2 x1 tan2 x，去掉根xa 時(shí) x asectdxatantsectdt，其中0t 2a2sec2t a2sec2t x2 sec2tatanx2 asect tan tdt sectdt ln(sect tant)x2 x2 因?yàn)閠ant ，sect xx2 x2 ln(xx2 a2x2 x2 x2 x2 x2 a2 x2xa2 x2x2cos2x+sin2xtan2 x1sec2 給查表法或計(jì)算機(jī)，應(yīng)

11、著重于數(shù)學(xué)原理和數(shù)學(xué)技巧。x 例4 x x解 u，即x u2 1，則有dx=2uduxxxdxu2 1 2udu 2u2 21 1u2 du 2(uarctanu)2( x1x1)C 3 x53 x3 x2 u，x u3 2，則有dx=3u2du 3u2du3(u1 3 x3 x u13 2 uln|1u|3 3 3 3 (x23 x33 x2ln|3 x6 求 (1 3 x) x t6 ，于是dx 6t5dt，(1 3 x) (1t2)t3 dt611t(1 3 x) 6(t arctant)6(6 xarctan6 x)1 1 x11 x解 t，即x t2 1，于1tt1 xdx (t2

12、dt 2 )dt 2ttt(t2 (t2 1 xln 1 x1 x1 1 3-3（刪減第四節(jié) 不定積分的分部積f (x)g(x) f (x)g(x) f f (x)g(x)dx f (x)g(x)f這個(gè)過程中會遇到二個(gè)原函數(shù)及兩個(gè)導(dǎo)數(shù)，一般采用下面的視角以防止形式上的：f (x)dg(x) f (x)g(x)g(x)df f (x)g(x) x2 xcosxdxcosxxdxcosx cosx 2 2dcosxnex 、ex sinx xln xxarctanx1 xcosxdxxd(sinx xsinxsinxdxxsinxcosx2 xexdxxdex xex exdx xex ex C

13、3 x2exdx x2dex x2ex exdx2 x2ex 2x2exdxex(x2 2x2 )同樣，可以想到 xnex 的不定積分推導(dǎo)過程4 2lnxd(x2) 1 x2lnx1dx1dx2x2lnx1 x2 41 例5 arccosxdx xarccosxxd(arccosx) xarccosx1 1 1 16 xarctanxdx1(arctanx)d(x21(arctanx)(x211x2arctanx1x1arctanxC gg(t)d 2x d dt m dtdxmdx g(t) d p g(t) p 7 ex sinexsinxdxsinxdex exsinxexdsinxex

14、sinxexcosxdx excosxdxcosxdex excosxexdcosxexcosxexsinxdx將(2)代入(1)得： exsinxdx1ex(sinxcosx28 f (xF(xf (xf 1(x)dxf1(x)dx=xf1(x)-xdfy=f1(x，則x=f y)故f1(x)dxxf1(x)Ff1(x)f (x)g(x) f (xg(xf (xf (x)g(x) f (x)g(x) f (x)g(x便可直接消去 g(x) 。下冊變分法中“歐拉日公式”便運(yùn)用了這種技巧。d2的加速度公式 F ma m dt2 完全等價(jià)的m3-4（刪減第五節(jié) 萬能公式?jīng)]關(guān)系，因?yàn)橛腥f能公式。把s

15、inx、cosxtanx表示成tan x 的函數(shù) 然后令t tan 2sinxsinx2sec2 tan 21tan2 1t1tan2 cosxcos2 xsin2 x tan sec2 22 11ttanx 1tan2 21tx2arctant，可得dx1，變換后原積分變成了有理函數(shù)的積分1sinsinx(1cos1t解：令t tan2，則dx1t2 dtsinx1t2 cosx 1t 1sin dx dt (t2 sinx(1cos 2t 1t2 1t2 1t2 11tx21tan2 xtanx1ln x22cos解 令t tan dt 1t則dx 1cosx1t2cos11t21 dt

16、arctan t 32333232313tan xC23132說明：并非所有的三角函數(shù)有理式的積分都需要用萬能公式，例如cos1sin dxd(1sinx)ln(1sinx)1sin 3-5（刪減第六節(jié) 定積分(部分刪減一、 黎曼積分概念（部分刪減f(xx2x0,1間圍成的面積時(shí)，先將區(qū)域均勻分割成n份，再取每個(gè)小矩形的最小高度或最大高度，當(dāng)n為無限大時(shí)，3-1最小之間的任意高度值 f (i ) ，也能得到精確面積。向于 0，一樣能得出精確面積。圖 3-黎曼積分是這樣一種積分，它將區(qū)域分成任意的 n 份（非均勻分割 xi1xi 之間任選一個(gè)i ，取一個(gè)任意函數(shù)值 f i 來表示小矩形的高度，只

17、要每一個(gè)寬度都 xi xi xi1 0，最終也能算得的面積的精確值。1854定積分（黎曼積分）的定義f x在a，b上有界，在a，b中任意 n 個(gè)分割點(diǎn)：a x0 x1x2 x0,x1，x1,x2xn1 xn xi1, xi， xn1, xnx1x1x0, x2 x2, xi xi , xn xn 在每個(gè)小區(qū)間xi1xi上任取一點(diǎn)i f i與小區(qū)間長度xi的乘積為 f i xi ，并求和（稱為黎曼和：nS f(i設(shè) 是所有小區(qū)間寬度中的最大值， maxx1,x2, xn，bn 0 ，S 總趨于確定的極限 I，稱這個(gè)極限I為函數(shù)fx在區(qū)間a，b上的定積分，記作a f xdx，即：bnbI bf(x

18、)dx limf(i0 0時(shí)，n 趨向于fx叫作被積函數(shù)f xdx叫作被積表達(dá)式，x 叫作積分變量，a 叫作積分下限，b 叫作積分上限，a，b叫作積分區(qū)間f x 在a，b上的定積分存在，就說 f (x)在區(qū)間a，b上可積。黎曼積分概念解析（刪減二、 定積分的b有些初學(xué)者可能會把定積分a f (x)dx 的概念等價(jià)于“ 萊布尼茨定積b參照圖 3-3，在區(qū)間ab上abf x0b f xdx為正值。a f xdxf 中的xifx0b fxdxfxfafxdxfxf 、xbaf xf xx 軸上方，一些x軸下方。則在a fxdxxxbab f xdxx f x 圖 3-b ba f(x)dxa f(y

19、)dya fbbaba f(x)dx a f(x)dxb faf(x)g(x)dxa f(x)dxa a kf(x)dxka fa f(x)dxa f(x)dxc f如果在區(qū)間abf x gxa f(x)dxa 圖 3-M m f(x)在區(qū)間abbm(ba)b3-4f(x)dxM(ba) b積分區(qū)間a， b上至少存在一個(gè)點(diǎn) ，使下式成立ba f(x)dx f()(bb證明：由于m(ba a f(x)dxM(bb各項(xiàng)除以ba，得mb f(x)dxba l ba 介值定理，在a， b上至少存在一點(diǎn)f () b f(x)dx ba aba f(x)dx f()(bb 這個(gè)定理將用于證明-萊布尼茨定積

20、分公式b變上限定積分積分a f(t)dt是一個(gè)面積值，是一個(gè)數(shù)值而不是函數(shù)，且與積分變量 t 的形式無關(guān)。bxFxa f txa 要注意兩個(gè)x之間的區(qū)別ahhf tdtFah f tdt，F(xiàn)bh f ta f tdt h f tdth f tdt F(b)Ff(xx2的在a區(qū)間的面積為S b3 a3 圖 3-圖 3-hF(xxftdtfxh3-5b：在h ftdt這個(gè)面積基礎(chǔ)上，再增加一點(diǎn)點(diǎn)面積變成f tdt ，這ftdtf tftdtf tdt，這個(gè)面積區(qū)域就定理如果函數(shù)f x在區(qū)間a，b上連續(xù)，則函xFxa f txxdxdFx dxa f tdt f FxxFFx ftdta f tdt

21、 lim ft應(yīng)用積分中值定理： xxf(t)dt f()x，其中xxxx定理，當(dāng)x0時(shí)，x，f() f x于是Fx lim lim f()x lim f() f bx2dx b3 a3 x2x3 （一一對應(yīng)三、 -萊布尼茨公式x3 3C（一對多的關(guān)系Fx是函f x在區(qū)間a，b上的一個(gè)Fx f (x，ba f xdxFbFb稱為“萊布尼茨公式也稱為“微積分基本公式F(b F(aF(x) aa證明：(1)必要性證明，即已知b f xdx FbFaFx a這就是發(fā)現(xiàn)微積分的推導(dǎo)思路f (x)a由2 可知，變上限定積分x f xdx f xaaf xFx x f xdxC aFbFa b f xdx

22、Ca f xdxC a fxdxa f xdxa f 注意上面主要證明過程其實(shí)在定理 2 及積分中值定理，這里只是證明 Fx可以是任意一個(gè)原函數(shù)，而變上限定積分a f xdxxa(2)充分性證明，F(xiàn)x f(x，則bf xdxFbFaa已知Fx f(x)，根日中值定理，在xi,xi1上存在一點(diǎn)i （F(xi1)F(xi) f (i在abnF(x1)F(x0) fF(x2)F(x1) f(2F(xn)F(xn1) f(nx0 axn bnF(b)F(a)f (i 0 任意點(diǎn)顯然也包括具體的點(diǎn) ，即f( )八x 是黎曼積分中一種特例，故0 n且所有的xi0時(shí)limf(i)xif (x)dx0 F(b

23、)F(a) f (i)xi f0 4 2解：由面積的定義及-萊布尼茨公式 4 sinxdxcos2 sinxdx coscoscos0 1 42cos cos0 2例 21 xf(x)x2x22f(x)dx，(2f (xx y 0 y 22 f(x)dx 1(1x)dx 2(1x2x2 x3 x x1 32 1(1x)dx2(1x2)dx 14 ae2t(m/s2)做運(yùn)動，(1) 求粒子的速度與隨時(shí)間的變化規(guī)律，及粒子在t 100s (2) 解：(1)速度v(t與加速度a v(t)v(0)t 0 將粒子的初速度v(0)100和加速度a dv(t) e2tv(t) t 02t)dt 100 t

24、10099.5 22 v(100)99.52 ) ts(t)s(0)0 ts(0)s(0)將粒子的初始位與v(t) 99.524s(t) t 99.5e2t dt 99.5tt 99.5t42 4 4v(t)1342(e09t 110e09t 圖 3-圖 3-t 1342(e09tS(t) S(t)S(0) 0 v(t)dt 0110e09t 12.2 找到v(t) ebt cebt1 (aaebtcdt caebt cdt c aebt c 1 aaebt cdtcad(aebtc)aebtacln aebt c t 故t 1342(e09t 0110e09t dt ln(110e09t 1

25、2.2)12.2 1112.2 ln(110e09t 12.2) 3-6（刪減第七節(jié) 定積分的換元法一、 定積分的換元積分 a2 x2dx a 1 a2 a2 2 a2 x2dxxasint(acost)(acostdt)a2 cos2tdt a21t 1sin2t2與不定積分的換元法 f y(x)dy(x) f y(x)y(x)dx相比，定積分的換元法只是多了積分上下限的處理，為此，定積分寫成下面形式：x3 x2dxy3 y2dy 32d積分與積分變量的符號形式無關(guān)，將替換成t3 x (t) t3t33 3 t32 (t ) d(t ) 3 3 其中t3 3，t3 2等價(jià)于t ，t 3 3

26、t3 3t3 2 3t dt3 2 3t dt t3 t33 3 t33 3 3 令t3 x3 t33t dtt3(t ) 3t dtt3(t ) d(t x b定理假設(shè)函數(shù)f (x)在區(qū)間x1,x2上連續(xù)，定積分為bx(t(t1)x1 (t2)f (x)dxx (t在t1,t2上具有連續(xù)導(dǎo)數(shù)，且其值域不越出x1x2x2 f (x)dx t2 f證設(shè)F(x)是f (x) 的一個(gè)原函數(shù)，x2 f (x)dx Fx Fx dF(t)dF(x) dx f(x)(t) f F(tf (t)(t的一個(gè)原函數(shù)，對函數(shù)f (t)(t在區(qū)間t1,t2t2 f(t)(t)dt)F(t ) F(x )F(x 11

27、因此x2 f(x)dxt2 f(t)(t)dt 二、 偶函數(shù)與奇函數(shù)的如果連續(xù)函數(shù) f (x) 在aaa f(x)dx20 f如果連續(xù)函數(shù) f (x) 在aaaa f(x)dxa圖 3-3-7中能直觀地看出上面結(jié)論的成立。通過定積分的換元法技a f(x)dxa f(x)dxfx0 f(x)dx令xtf (t)d(t) f (t)dt ff (xf (t) f (tta f(x)dx0 f(t)dt0 f(t)dt0 f即a f(x)dxa f(x)dx0 f(x)dx20 f11 計(jì)算11 x2xsintx1 1x2dx 令xsint sintcostcostdt t 1cos2t2 sint

28、t0 sin2t 2 如果試圖從原函數(shù)來計(jì)算1x2dx 1arcsin x 1 1 1 1 例2 計(jì)算 cosxsin03 cosxsinxdx cosxd(cosx) 3cosx或者，在這個(gè)過程中令t cos xxcosxsinxdx cosxcos cos xd(cos 2cos xcos 2t costtdt 2 x3 0 222x3 計(jì)算 4 x2x0t22x解：，得dx2x2 2x4 xt2 2x02x1 t 3202x1 13 (t2 3)dt 2 2012 413 4：求 2cosxcos3 解： cosxcos3xcosxcos3 xdx2 cosxcos3 xdx2 cosxsinxdx 3 300cosxcos3xdx005 計(jì)算sin3 xsin5 解： sin3 xsin5 xdx sin2 x|cosx|2sin2 xcosxdxsin2 x(cos2 sin2 xdsinx sin2 xdsin02 2 2 sin2 xsin2 x 3-7（刪減第八節(jié) 定積分的分部積分法f (x)g(x) f (