2022高考數(shù)學（理）一輪通用版講義：10.6.3題型上-全析高考?？嫉?大題型

1、PAGE17第3課時題型上全析高考?？嫉?大題型題型一圓錐曲線中的定點問題圓錐曲線中的定點問題一般是指與解析幾何有關(guān)的直線或圓過定點的問題其他曲線過定點太復(fù)雜，高中階段一般不涉及，其實質(zhì)是：當動直線或動圓變化時，這些直線或圓相交于一點，即這些直線或圓繞著定點在轉(zhuǎn)動這類問題的求解一般可分為以下三步：一選：選擇變量，定點問題中的定點，隨某一個量的變化而固定，可選擇這個量為變量有時可選擇兩個變量，如點的坐標、斜率、截距等，然后利用其他輔助條件消去其中之一二求：求出定點所滿足的方程，即把需要證明為定點的問題表示成關(guān)于上述變量的方程三定點：對上述方程進行必要的化簡，即可得到定點坐標典例2022成都一診已

2、知橢圓C：eqf2,a2eqfy2,b21ab0的右焦點Feqr3，0，長半軸的長與短半軸的長的比值為21求橢圓C的標準方程；2設(shè)不經(jīng)過點B0,1的直線l與橢圓C相交于不同的兩點M，N，若點B在以線段MN為直徑的圓上，證明直線l過定點，并求出該定點的坐標解1由題意得，ceqr3，eqfa,b2，a2b2c2，a2，b1，橢圓C的標準方程為eqf2,4y212當直線l的斜率存在時，設(shè)直線l的方程為ymm1，M1，y1，N2，y2聯(lián)立，得eqblcrcavs4alco1ym，,24y24，消去y可得42128m4m24016421m20，12eqf8m,421，12eqf4m24,421點B在以線

3、段MN為直徑的圓上，eqoBM,su12，2m12112m112m120，21eqf4m24,421m1eqf8m,421m120，整理，得5m22m30，解得meqf3,5或m1舍去直線l的方程為yeqf3,5易知當直線l的斜率不存在時，不符合題意故直線l過定點，且該定點的坐標為eqblcrcavs4alco10，f3,5方法技巧求解圓錐曲線中定點問題的2種方法1特殊推理法：先從特殊情況入手，求出定點，再證明定點與變量無關(guān)2直接推理法：選擇一個參數(shù)建立方程，一般將題目中給出的曲線方程包含直線方程中的常數(shù)當成變量，將變量，y當成常數(shù)，將原方程轉(zhuǎn)化為f，yg，y0的形式；根據(jù)曲線包含直線過定點時

4、與參數(shù)沒有關(guān)系即方程對參數(shù)的任意值都成立，得到方程組eqblcrcavs4alco1f，y0，,g，y0；以中方程組的解為坐標的點就是曲線所過的定點，若定點具備一定的限制條件，可以特殊解決針對訓(xùn)練如圖，已知直線l：y10關(guān)于直線y1對稱的直線為l1，直線l，l1與橢圓E：eqf2,4y21分別交于點A，M和A，N，記直線l1的斜率為11求1的值；2當變化時，試問直線MN是否恒過定點若恒過定點，求出該定點坐標；若不恒過定點，請說明理由解：1設(shè)直線l上任意一點，使eqoOM,su時，點O到直線MN的距離為定值，求這個定值解1依題意知eqblcrcavs4alco1c2a2b2，,bcr3，,fc,

5、af1,2，解得eqblcrcavs4alco1a2，,br3，所以橢圓C的方程為eqf2,4eqfy2,312設(shè)M1，y1，N2，y2，則12y1y2m，當直線MN的斜率存在時，設(shè)其方程為yn，則點O到直線MN的距離deqf|n|,r21eqrfn2,21，聯(lián)立，得eqblcrcavs4alco1324y212，,yn，消去y，得42328n4n2120,由0得42n230，則12eqf8n,423，12eqf4n212,423，所以121n2n2112n12n2m，整理得eqf7n2,2112eqfm423,21因為deqrfn2,21為常數(shù)，則m0，deqrf12,7eqf2r21,7，

6、此時eqf7n2,2112滿足0當MN軸時，由m0得OM1，聯(lián)立，得eqblcrcavs4alco1324y212，,y，消去y，得2eqf12,7，點O到直線MN的距離d|eqf2r21,7亦成立綜上，當m0時，點O到直線MN的距離為定值，這個定值是eqf2r21,7方法技巧圓錐曲線中定值問題的特點及2大解法1特點：待證幾何量不受動點或動線的影響而有固定的值2兩大解法：從特殊入手，求出定值，再證明這個值與變量無關(guān)；引進變量法：其解題流程為針對訓(xùn)練已知F1，F(xiàn)2分別為橢圓：eqf2,4eqfy2,b21b0的左、右焦點1當b1時，若與橢圓相交于A1，y1，B2，y2兩點，且3124y1y20，

7、證明：AOB的面積為定值O為坐標原點解：1當b1時，橢圓方程為eqf2,4y21，則F1eqr3，0，F(xiàn)2eqr3，0設(shè)，,f2,4fy2,31消去y并整理，得34228m4m2120則642m216342m2348342m20，即342m20又12eqf8m,342，12eqf4m23,342，所以y1y21m2m212m12m2eqf3m2122,342，由3124y1y20，得3eqf4m23,3424eqf3m2122,3420，即2m2342因為|AB|eqr12|12|eqr12eqr122412eqr12eqrf48342m2,3422eqr12eqrf482m2m2,2m22e

8、qr12eqrf12,m2，點O到直線AB的距離deqf|m|,r12eqfrm2,r12，所以SAOBeqf1,2|AB|deqf1,2eqr12eqrf12,m2eqfrm2,r12eqr3，即AOB的面積為定值，其定值為eqr3題型三構(gòu)造目標不等式解決范圍問題欲求變量的取值范圍，可設(shè)法構(gòu)造含有變量的不等式組，通過解不等式組來達到目的典例已知A是橢圓E：eqf2,teqfy2,31t3的左頂點，斜率為0的直線交E于A，M兩點，點N在E上，MANA1當t4，|AM|AN|時，求AMN的面積；2當2|AM|AN|時，求的取值范圍解1由|AM|AN|，可得M，N關(guān)于軸對稱，由MANA，可得直線A

9、M的斜率為1因為t4，所以A2，0，所以直線AM的方程為y2，代入橢圓方程E：eqf2,4eqfy2,31，可得721640，解得2或eqf2,7，所以Meqblcrcavs4alco1f2,7，f12,7，Neqblcrcavs4alco1f2,7，f12,7，則AMN的面積為eqf1,2eqf24,7eqblcrcavs4alco1f2,72eqf144,492由題意知t3，0，Aeqrt，0，將直線AM的方程yeqrt代入eqf2,teqfy2,31得3t222eqrtt2t223t0設(shè)M1，y1，則1eqrteqft223t,3t2，即1eqfrt3t2,3t2，故|AM|1eqrt|

10、eqr12eqf6rt12,3t2由題設(shè)知，直線AN的方程為yeqf1,eqrt，故同理可得|AN|eqf6rt12,32t由2|AM|AN|得eqf2,3t2eqf,32t，即32t321當eqr3,2時上式不成立，因此teqf321,32由t3，得eqf321,323，所以eqf3222,32eqf221,320，即eqf2,320由此得eqblcrcavs4alco120，,320或eqblcrcavs4alco120，,320，解得eqr3,22因此的取值范圍是eqr3,2，2eqavs4al方法技巧圓錐曲線中范圍問題的5個解題策略1利用圓錐曲線的幾何性質(zhì)或判別式構(gòu)造不等關(guān)系，從而確定

11、參數(shù)的取值范圍；2利用已知參數(shù)的范圍，求新參數(shù)的范圍，解這類問題的核心是建立兩個參數(shù)之間的等量關(guān)系；3利用隱含的不等關(guān)系建立不等式，從而求出參數(shù)的取值范圍；4利用已知的不等關(guān)系構(gòu)造不等式，從而求出參數(shù)的取值范圍；5利用求函數(shù)的值域的方法將待求量表示為其他變量的函數(shù)，求其值域，從而確定參數(shù)的取值范圍針對訓(xùn)練2022豫南九校聯(lián)考設(shè)橢圓eqf2,a2eqfy2,31aeqr3的右焦點為F，右頂點為A已知|OA|OF|1，其中O為原點，e為橢圓的離心率1求橢圓的方程及離心率e的值；2設(shè)過點A的直線l與橢圓交于點BB不在軸上，垂直于l的直線與l交于點M，HF，且MOAMAO，求直線l的斜率的取值范圍解：

12、1由題意可知|OF|ceqra23，又|OA|OF|1，所以aeqra231，解得a2，所以橢圓的方程為eqf2,4eqfy2,31，離心率eeqfc,aeqf1,22設(shè)MM，yM，易知A2,0，在MAO中，MOAMAOMAMO，即M22yeqoal2,Meqoal2,Myeqoal2,M，化簡得M1設(shè)直線l的斜率為0，則直線l的方程為y2設(shè)BB，yB，由eqblcrcavs4alco1f2,4fy2,31，,y2消去y，整理得4232162162120，解得2或eqf826,423由題意得Beqf826,423，從而yBeqf12,423由1知F1,0，設(shè)H0，yH，則eqoFH,suy1，

13、A1，y1，B2，y2聯(lián)立方程，得eqblcrcavs4alco1f2,4fy2,31，,my1，消去得，3m24y26my90直線過橢圓內(nèi)的點，無論m為何值，直線和橢圓總相交y1y2eqf6m,3m24，y1y2eqf9,3m24SF2ABeqf1,2|F1F2|y1y2|y1y2|eqry1y224y1y212eqrfm21,3m2424eqrfm21,blcrcavs4alco1m21f1,324eqrf1,m21f2,3f1,9m21令tm211，設(shè)ftteqf1,9t，易知teqblcrcavs4alco11，時，函數(shù)ft單調(diào)遞增，當tm211，即m0時，ft取得最小值，ftmine

14、qf10,9，此時，SF2AB取得最大值3題型五圓錐曲線中的證明問題圓錐曲線中的證明問題，常見的有位置關(guān)系方面的，如證明相切、垂直、過定點等；數(shù)量關(guān)系方面的，如存在定值、恒成立、值相等、角相等、三點共線等在熟悉圓錐曲線的定義和性質(zhì)的前提下，要多采用直接法證明，但有時也會用到反證法典例2022全國卷設(shè)橢圓C：eqf2,2y21的右焦點為F，過F的直線l與C交于A，B兩點，點M的坐標為2,01當l與軸垂直時，求直線AM的方程；2設(shè)O為坐標原點，證明：OMAOMB解1由已知得F1,0，l的方程為1則點A的坐標為eqblcrcavs4alco11，fr2,2或eqblcrcavs4alco11，fr2

15、,2又M2,0，所以直線AM的方程為yeqfr2,2eqr2或yeqfr2,2eqr2，即eqr2y20或eqr2y202證明：當l與軸重合時，OMAOMB0當l與軸垂直時，OM為AB的垂直平分線，所以O(shè)MAOMB當l與軸不重合也不垂直時，設(shè)l的方程為y10，A1，y1，B2，y2，則1eqr2，2eqr2，直線MA，MB的斜率之和為MAMBeqfy1,12eqfy2,22由y11，y22，得MAMBeqf2123124,1222將y1代入eqf2,2y21，得2212422220，所以12eqf42,221，12eqf222,221則2123124eqf434123834,2210從而MAM

16、B0，故MA，MB的傾斜角互補所以O(shè)MAOMB綜上，OMAOMB成立方法技巧證明兩角相等問題的方法圓錐曲線中的兩角相等問題，其實就是有公共邊的兩個角公共邊所在直線垂直于坐標軸的不相同的邊所在直線的傾斜角互補的問題，即已知點B，D在垂直于坐標軸的同一直線上，若要證明ABDCBD，需證ABBC0針對訓(xùn)練2022全國卷已知斜率為的直線l與橢圓C：eqf2,4eqfy2,31交于A，B兩點，線段AB的中點為M1，mm01證明：eqf1,2；2設(shè)F為C的右焦點，于是eqf3,4m由題設(shè)得0meqf3,2，故eqf1,22由題意得F1,0設(shè)0又點eqf3,4，從而eqf3,4代入得1，所以l的方程為yeq

17、f7,4，代入C的方程，并整理得7214eqf1,40故122，12eqf1,28，代入解得|d|eqf3r21,28所以該數(shù)列的公差為eqf3r21,28或eqf3r21,28題型六圓錐曲線中的存在性問題存在性問題一般分為探究條件和探究結(jié)論兩種類型，若探究條件，則可先假設(shè)條件成立，再驗證結(jié)論是否成立，成立則存在，否則不存在若探究結(jié)論，則應(yīng)先寫出結(jié)論的表達式，再針對表達式進行討論，往往涉及對參數(shù)的討論典例2022吉林五校聯(lián)考已知橢圓C：eqf2,a2eqfy2,b21ab0的兩個焦點與短軸的一個端點連線構(gòu)成等邊三角形，且橢圓C的短軸長為2eqr31求橢圓C的標準方程；2是否存在過點，n，直線m

18、交E于不同的A，B兩點，直線n交E于不同的兩點C，D，記直線m的斜率為1求的取值范圍；2設(shè)線段AB，CD的中點分別為點M，N，證明：直線MN過定點Q2,0解：1由題設(shè)可知0，所以直線m的方程為y2，與y24聯(lián)立，整理得y24y80由116320，解得eqf1,2直線n的方程為yeqf1,2，與y24聯(lián)立，整理得y24y80，由2162320，解得0或2所以eqblcrcavs4alco10，f1,2，,0或2，故的取值范圍為，2eqblcrcavs4alco10，f1,22證明：設(shè)A1，y1，B2，y2，M0，y0由得，y1y2eqf4,，則y0eqf2,，0eqf2,2eqf2,，則Meqb

19、lcrcavs4alco1f2,2f2,，f2,同理可得N222，2直線MQ的斜率MQeqff2,f2,2f2,2eqf,21，直線NQ的斜率NQeqf2,2222eqf,21MQ，所以直線MN過定點Q2,02已知橢圓C的兩個頂點分別為A2,0，B2,0，焦點在軸上，離心率為eqfr3,21求橢圓C的方程；2如圖所示，點D為軸上一點，過點D作軸的垂線交橢圓C于不同的兩點M，N，過點D作AM的垂線交BN于點E求證：BDE與BDN的面積之比為eqf4,5解：1設(shè)橢圓C的方程為eqf2,a2eqfy2,b21ab0，由題意得eqblcrcavs4alco1a2，,fc,afr3,2，解得ceqr3，所以b2a2c21，所以橢圓C的方程為eqf2,4y212證明：設(shè)D0,0，M0，y0，N0，y0，202，所以AMeqfy0,02，因為AMDE，所以DEeqf20,y0，所以直線DE的方程為yeqf20,y00因為BNeqfy0,02，所以直線BN的方程為yeqfy0,022由eqblcrcavs4alco1yf20,y00，,yfy0,022，解得Eeqblcrcavs4alco1f4,50f2,5，f4,5y0，所以SBDEeqf1,2|BD|yE|，SBDNeqf1,2|BD|yN|，所以eqfSBDE,SBDNeqff1,2|BD|yE|