選修45-第2講證明不等式的基本方法

1、PAGE PAGE 7選修4-5 第2講：證明不等式的基本方法內(nèi)容：4-5第一章(不包括：柯西不等式、排序不等式)一、選擇題1. 若|ac|b|，則下列不等式中正確的是()A. acbC. |a|b|c|D. |a|0，b0.則(abeq f(1,a)(a2eq f(1,b)eq f(1,a2)的最小值為()A. 7B. 8C. 9D. 104. 2013柳州模擬已知關(guān)于x的不等式2xeq f(2,xa)7在x(a，)上恒成立，則實(shí)數(shù)a的最小值為()A. eq f(1,2)B. 1C. eq f(3,2)D. 25. 2013金版原創(chuàng)若q0且q1，m，nN*，則1qmn與qmqn的大小關(guān)系是(

2、)A. 1qmnqmqnB. 1qmneq r(3)，求證：y0，且xy0.(1)求證：x3y3x2yy2x；(2)如果eq f(x,y2)eq f(y,x2)eq f(m,2)(eq f(1,x)eq f(1,y)恒成立，試求實(shí)數(shù)m的取值范圍或值13.(2014版金版教程-第2講PPT) 2013廣州模擬已知0，b0，求證：14. (2014版金版教程-第2講PPT)設(shè)，求證：15.(王新廠2.1.2不等式證明(2)習(xí)題-8題)設(shè)，分別用綜合法與分析法求證: 16. .(王新廠2.1.2不等式證明(2)習(xí)題-9題)（1）已知是正常數(shù),求證：,指出等號(hào)成立的條件； （2）利用（1）的結(jié)論求函數(shù)

3、()的最小值，指出取最小值時(shí)的值17.(遼寧省五校08-09學(xué)年高二下學(xué)期期末聯(lián)考(數(shù)學(xué)理)-24題).設(shè)為正數(shù)，證明：選修-45 第2講 證明不等式的基本方法答案.1.答案：D.解析：|a|c|ac|b|，即|a|0，b0，所以abeq f(1,a)3eq r(3,abf(1,a)3eq r(3,b)0，同理可證：a2eq f(1,b)eq f(1,a2)3eq r(3,f(1,b)0.由及不等式的性質(zhì)得(abeq f(1,a)(a2eq f(1,b)eq f(1,a2)3eq r(3,b)3eq r(3,f(1,b)9.4. 答案：C.解析：2xeq f(2,xa)2(xa)eq f(2,

4、xa)2a2eq r(2xaf(2,xa)2a2a47，aeq f(3,2).5. 答案：A解析：1qmnqmqnqm(qn1)(qn1)(qn1)(qm1)，當(dāng)0q1時(shí)，qn1，qm1時(shí)，qn1，qm1.(qn1)(qm1)0，1qmnqmqn，故選A.6.提示：7.解析：，即，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，取等號(hào).此時(shí)，又，等號(hào)當(dāng)時(shí)，取得.8. 答案：6解析：因?yàn)閨ab|1，|2a1|1，所以|3a3b|3，|aeq f(1,2)|eq f(1,2)，所以|4a3b2|(3a3b)(aeq f(1,2)eq f(5,2)|3a3b|aeq f(1,2)|eq f(5,2)3eq f(1,2)eq f(5,2

5、)6，即|4a3b2|的最大值為6.9. 答案：36解析：解法一：由柯西不等式，得x4y9z(eq r(x)2(2eq r(y)2(3eq r(z)2(eq f(1,r(x)2(eq f(1,r(y)2(eq f(1,r(z)2(eq r(x)eq f(1,r(x)2eq r(y)eq f(1,r(y)3eq r(z)eq f(1,r(z)236.當(dāng)且僅當(dāng)x2y3z時(shí)等號(hào)成立，此時(shí)x6，y3，z2.所以當(dāng)x6，y3，z2時(shí)，x4y9z取得最小值36.解法二：eq f(1,x)eq f(1,y)eq f(1,z)1， x4y9z(x4y9z)(eq f(1,x)eq f(1,y)eq f(1,z

6、)，即x4y9z14eq f(4y,x)eq f(9z,x)eq f(x,y)eq f(9z,y)eq f(x,z)eq f(4y,z)142eq r(f(4y,x)f(x,y)2eq r(f(9z,x)f(x,z)2eq r(f(9z,y)f(4y,z)36.(當(dāng)且僅當(dāng)x2y3z時(shí)取“”)，即x6，y3，z2時(shí)，(x4y9z)min36.故填36.三、解答題10.由是非負(fù)實(shí)數(shù)，作差得當(dāng)時(shí)，從而，得；當(dāng)時(shí)，從而，得.所以11. 證明：(1)yeq r(3)1eq f(2,1x)eq r(3)eq f(3r(3)xr(3)x,1x)eq f(1r(3)xr(3),1x)，xeq r(3)，xeq

7、 r(3)0，而1eq r(3)0，y0，eq r(3)20，|yeq r(3)|xeq r(3)|0，即|yeq r(3)|0，(xy)20，x3y3(x2yy2x)0.x3y3x2yy2x.(2)()若xy0，則eq f(x,y2)eq f(y,x2)eq f(m,2)(eq f(1,x)eq f(1,y)等價(jià)于eq f(m,2)eq f(x3y3,xyxy)eq f(x2xyy2,xy)，又eq f(x2xyy2,xy)eq f(xy23xy,xy)eq f(3xy,xy)3，即eq f(x3y3,xyxy)6；()若xy0，則eq f(x,y2)eq f(y,x2)eq f(m,2)(

8、eq f(1,x)eq f(1,y)等價(jià)于eq f(m,2)eq f(x3y3,xyxy)eq f(x2xyy2,xy)，又eq f(x2xyy2,xy)eq f(2xyxy,xy)1，即eq f(x3y3,xyxy)1，m2.綜上所述，實(shí)數(shù)m的取值范圍是(6,213. 證明(eq r(a)3b3(abeq r(a)b2)(eq r(a)3abb3eq r(a)b2a(eq r(a)b)b2(eq r(a)b)(eq r(a)b)(ab2)(eq r(a)b)(eq r(a)2b2(eq r(a)b)2(eq r(a)b)因?yàn)閍0，b0，所以eq r(a)b0，又(eq r(a)b)20，所以

9、(eq r(a)b)2(eq r(a)b)0，從而(eq r(a)3b3(abeq r(a)b2)0，即(eq r(a)3b3abeq r(a)b2.此題用的是作差比較法，其步驟：作差、變形、判斷差的符號(hào)、結(jié)論.其中判斷差的符號(hào)為目的，變形是關(guān)鍵.常用的變形技巧有因式分解、配方、拆項(xiàng)、拼項(xiàng)等方法.14. 證明：證法一(綜合法)ab0，a2b2，則3a22b2，則3a22b2又ab0，(ab)(3a22b2)0，即3a32ab23a2b2b3則3a32b33a2b2ab2. 故原不等式成立證法二(分析法)要證3a32b33a2b2ab只需證3a32b33a2b2ab20，即3a2(ab)2b2(ba)也即(ab)(3a22b2)0，(*)ab0，ab又a2b2，則3a22b2，3a22b20. (*)式顯然成立，故原不等式成立15. 證法一 分析法:要證成立.只需證成立，又因，只需證成立，又需證成立，即需證成立