解析幾何直線與圓錐曲線綜合題的合理消參策略

1、 直線與圓錐曲線綜合題的合理消參策略本文通過幾個經典的例題說明線與圓錐曲線綜合題的合理消參策略.例題1 已知橢圓，過且斜率為的直線交橢圓于，在橢圓上，且滿足.求的值.解法1:直接求解法，適合于消參后的一元二次方程的根比較好解的情況，注意利用乘法公式化簡 過且斜率為的直線為，代入橢圓方程中，消去并整理得:，解得，注意到，可得，即.設，則，又，去分母得: ，展開整理得: ，.解法2: 利用一元二次的方程的根與系數關系，注意利用整體代入.過且斜率為的直線為，代入橢圓方程中，消去并整理得:，設，則，又，整理得: ，注意到，于是上式化為，即.又，.解法3: 轉化結論，間接求解，就是求出直線上兩個點的坐標

2、即可，一般不用此法，但對于本題，卻是非常簡單，就是充分利用題目的特殊性.設，又，于是，即，又，在橢圓上，于是即消去得: ，.即，又，例題2 雙曲線與橢圓有相同的焦點，直線為的一條漸近線.(1)求雙曲線的方程.(2)過點的直線交雙曲線于、兩點，交軸于點（點與的頂點不重合）.當，且時，求點的坐標.解:(1)設雙曲線方程為().由題意: ，.雙曲線的方程為.解法一：構造關于參數的一元二次方程由題意知直線的斜率存在且不為零.設直線的方程為:，則可求.設， ， )在雙曲線上， ， .同理有: 若，則， 過頂點，不合題意， ，是一元二次方程的兩個根， ，驗知， ， 所求點的坐標是.仔細分析上面的解法，我們

3、發(fā)現本題中涉及7個未知數，它們是: .上面的解法先把作為一組，構建關于的一元二次方程，再把作為一組，構建關于的一元二次方程，由于這兩個運算過程完全相同， 兩個一元二次方程也完全相同，因此，是同一個一元二次方程的兩個根，然后就可以利用一元二次方程的根與系數的關系了.解法二：利用根與系數的關系把代入雙曲線的方程為并整理得：，當時，直線與雙曲線只有一個交點，不合題意，故，.由已知 ， (1) ， (2)又，故由(1)得: ，由(2)得: ， ，解得：，驗知， ，所求Q點的坐標是(2，0)解法三：利用根與系數的關系，但是考慮結論中涉及到的怎樣用表示，解法二可以演變?yōu)橄旅娴慕夥ǎ?，然后把，代入上式化簡? ，解得：，驗知， ，所求Q點的坐標是(2，0)例題已知橢圓的短軸長為，右焦點與拋物線的焦點重合，為坐標原點（1）求橢圓的方程；（2）設、是橢圓上的不同兩點，點，且滿足，若，求直線的斜率的取值范圍解法，、三點共線，而，且直線的斜率一定存在，所以設的方程為，與橢圓的方程聯立得，由，得設，又由得， ，把代入得，消去得：，當時，是減函數， ，解得，又，所以，的取值范圍是.解法設，則又，則由得得 代入得， 由得，聯立消去得：，這實際