《高等代數(shù)》考研2021考研真題北京大學(xué)考研真題二

1、高等代數(shù)考研2021考研真題北京大學(xué)考研真題第一部分名?？佳姓骖}第6章線性空間一、選擇題.下面哪一種變換是線性變換（）.西北工業(yè)大學(xué)研B.C.【答案】C查看答案【解析】【解析】不一定是線性變換，比如則也不是線性變換，比如給而二小=一不是惟一的.在n維向量空間取出兩個(gè)向量組，它們的秩（）.西北工業(yè)大學(xué)研A.必相等A.必相等B.可能相等亦可能不相等C.不相等【答案】B查看答案【解析】比如在a中選三個(gè)向量組(I)：0(III).-f：.-J；：.若選（1）（11）,秩秩（II）,從而否定A,若選（II）（III）,秩（III）二秩（II）,從而否定C,故選B.二、填空題1.若V,；(4+/晨+Wi)

2、|WR,則V對(duì)于通常的加法和數(shù)乘，在復(fù)數(shù)域C上是維的，而在實(shí)數(shù)域R上是維的.中國人民大學(xué)研【答案】2;4.查看答案【解析】在復(fù)數(shù)域上令.；則是線性無關(guān)的.產(chǎn)目=上+加,+4門6爐則一.C&Af）ir+（c-I-）n=此即證:;可由u線性表出.在實(shí)數(shù)域上，令儆士召堂很偉煦祗=微D.=（0.J）若,匕什.占、:4二,；,其中.，貝口（島+電J,扁+島門=10,門此即在R上線性關(guān).二七：了r口,：可由.，線性表出，所以在實(shí)數(shù)域R上，有.三、分析計(jì)算題1設(shè)V是復(fù)數(shù)域上n維線性空間乂和V2各為V的r1維和r2維子空間試求之維數(shù)的一切可能值.南京大學(xué)研解：取;.的一組基，再取的一組基則%=LQi1，叫），

3、/營(yíng)=LQi.也？”口找）.匕*匕=LQ口八甲11.詼）號(hào)二秩工用”（門，CW/時(shí)%+%）忘ruin|r+r一修；.設(shè)U是由：二r.:一：；-：生成的的子空間，W是由生成的的子空間，求(1)U+W:(2)Lnw的維數(shù)與基底.同濟(jì)大學(xué)研解：(1)令叫.甘於(1,八一同之人如二CE.a.-1.九9);挑2；渺=(L5,-&一1，可得:.,.：1-;-.,所以UkWhLQu由由南，由于，,：為的一個(gè)極大線性無關(guān)組，因此又可得U+W=Lf.披,閉).且13，故為U+W的一組基.(2)令J*ini-T-ra2+.%同十M但二。，因?yàn)橹?”:4日,永3.所以齊次方程組的基礎(chǔ)解系由一個(gè)向量組成:，則3=(必

4、2-1一1了，則再令C1W=I4制ndimiUCWy=I,故Z為unw的一組基.設(shè)A是數(shù)域K上的一個(gè)mXn,矩陣，B是一個(gè)m維非零列向量.令保三|)川|存花，丘凡使4在二思！，(1)證明：W關(guān)于Kn的運(yùn)算構(gòu)成Kn的一個(gè)子空間；(2)設(shè)線性方程組AX=B的增廣矩陣的秩為r.證明W的維數(shù)dimW=n-r+1:(3)對(duì)于非齊次線性方程組(2孫一石中3/=一11*1+2rX-j+3a】X.2I4.T,+3戈；*/=3,求W的一個(gè)基.華東師范大學(xué)研證明：(1)顯然Ww，又，i;.因?yàn)榇嬖趖t2使Aa=t1B,A0=t2B.所以乂ar十儂)即ka+l0W,此說明W是Kn的子空間.(2)對(duì)線性方程組(A,B

5、)Xn+1=0，由題設(shè)，其解空間V的維數(shù)為(口+1)-(A,B)=n-r+1.任取aW,存在tK,使Aa=，艮所以是線性方程組(A,B)Xn+1=0的解.這樣，存在W到V的映射，：一顯然，這是W形到V的一個(gè)雙射.又a1,a盧W,kK,存在t1,t盧K,使Aa1=t1B,Aa2=t2B，則舊十%）=（/,十匕）律，可見W與V同構(gòu)，從而有dimW=dimV=n-r+1.(3)由(2)W與如下齊次線性方程組解空間同構(gòu).2孫一孫+x3+3與一孫二。，相+2算工+戔3-1匚*=0,48+7jt.小熊+3M$=0,該方程組的一個(gè)基礎(chǔ)解系為：2=(-j.o,i三(o4-.0.9j)其在。之下原像叫:所以TO

6、C o 1-5 h z由題設(shè).；所以dim%nVsdimK餐dim】,、AP3+I.即;-”布】.：，.一當(dāng)，：.：？，：；：.時(shí)，由得%門匕不明_此時(shí)-c%=匕十*=%.當(dāng)：.時(shí)diinVt=iliEiCl匕+I=dim(.因?yàn)椋?，此時(shí).設(shè)V是數(shù)域K上n維線性空間，V1,Vs是V的s個(gè)真子空間，證明：(1)存在，一一使得(2)存在V中一組基使3，.一：,二，北京大學(xué)研證明：(1)因V1，,Vs是V的真子空間，由上例，存在(2)令;，同樣有且顯然，線性無關(guān).令:，一，則存在，且線性無關(guān)，如此繼續(xù)下去，可得線性無關(guān)向量組.，.(構(gòu)成V的基)，且有與,冏In(匕u匕uiuFJ&-.設(shè)V是定義域?yàn)閷?shí)數(shù)集R的所有實(shí)值函數(shù)組成的集合，對(duì)于f,gV,aR,分別用下列式子定義f+g與af：(/+K)(J)=/(s)*式用丁=*(/(*)SSftE酩則V成為實(shí)數(shù)域上的一個(gè)線性空間.設(shè)f0(x)=1,f1(x)=cosx,f2(x)=cos2x,f3(x)=cos3x,(1)判斷%,%j，f3是否線性相關(guān)，寫出理由；(2)用f,g表示f,g生成的線性子空間，判斷vfo,fj+vf/%是否為直和，寫出理由.北京大學(xué)研事T解：(1)令k0f0+k1fl+k2f2+k3f3=0，分別取x=0,：-得Ki+k、+M密招=o1&+亨4-g%=0.&-