(新高考)高考數(shù)學一輪考點復(fù)習7.5.1《空間向量及其應(yīng)用》教案 (含詳解)

PAGEPAGE10第五節(jié)空間向量及其應(yīng)用第1課時系統(tǒng)知識牢基礎(chǔ)——空間向量及其應(yīng)用知識點一空間向量的概念及有關(guān)定理1．空間向量的有關(guān)概念名稱定義空間向量在空間中，具有大小和方向的量相等向量方向相同且模相等的向量相反向量方向相反且模相等的向量共線向量(或平行向量)表示空間向量的有向線段所在的直線互相平行或重合的向量共面向量平行于同一個平面的向量2.空間向量的有關(guān)定理(1)共線向量定理：對空間任意兩個向量a，b(b≠0)，a∥b的充要條件是存在實數(shù)λ，使得a＝λb.(2)共面向量定理：如果兩個向量a，b不共線，那么向量p與向量a，b共面的充要條件是存在唯一的有序?qū)崝?shù)對(x，y)，使p＝xa＋yb.(3)空間向量基本定理：如果三個向量a，b，c不共面，那么對空間任一向量p，存在有序?qū)崝?shù)組{x，y，z}，使得p＝xa＋yb＋zc，其中，{a，b，c}叫做空間的一個基底．[重溫經(jīng)典]1．(教材改編題)若O，A，B，C為空間四點，且向量eq\o(OA,\s\up7(→))，eq\o(OB,\s\up7(→))，eq\o(OC,\s\up7(→))不能構(gòu)成空間的一個基底，則()A．eq\o(OA,\s\up7(→))，eq\o(OB,\s\up7(→))，eq\o(OC,\s\up7(→))共線 B．eq\o(OA,\s\up7(→))，eq\o(OB,\s\up7(→))共線C．eq\o(OB,\s\up7(→))，eq\o(OC,\s\up7(→))共線 D．O，A，B，C四點共面解析：選D∵向量eq\o(OA,\s\up7(→))，eq\o(OB,\s\up7(→))，eq\o(OC,\s\up7(→))不能構(gòu)成空間的一個基底，∴向量eq\o(OA,\s\up7(→))，eq\o(OB,\s\up7(→))，eq\o(OC,\s\up7(→))共面，因此O，A，B，C四點共面，故選D.2．已知正方體ABCD-A1B1C1D1中，點E為上底面A1C1的中心，若eq\o(AE,\s\up7(→))＝eq\o(AA1,\s\up7(→))＋xeq\o(AB,\s\up7(→))＋yeq\o(AD,\s\up7(→))，則x，y的值分別為()A．1,1 B．1，eq\f(1,2)C.eq\f(1,2)，eq\f(1,2)` D.eq\f(1,2)，1解析：選Ceq\o(AE,\s\up7(→))＝eq\o(AA1,\s\up7(→))＋eq\o(A1E,\s\up7(→))＝eq\o(AA1,\s\up7(→))＋eq\f(1,2)eq\o(A1C1,\s\up7(→))＝eq\o(AA1,\s\up7(→))＋eq\f(1,2)(eq\o(AB,\s\up7(→))＋eq\o(AD,\s\up7(→)))，故x＝eq\f(1,2)，y＝eq\f(1,2).3．(多選)如圖所示，M是四面體OABC的棱BC的中點，點N在線段OM上，點P在線段AN上，且AP＝3PN，eq\o(ON,\s\up7(→))＝eq\f(2,3)eq\o(OM,\s\up7(→))，設(shè)eq\o(OA,\s\up7(→))＝a，eq\o(OB,\s\up7(→))＝b，eq\o(OC,\s\up7(→))＝c，則下列等式成立的是()A．eq\o(OM,\s\up7(→))＝eq\f(1,2)b－eq\f(1,2)c B．eq\o(AN,\s\up7(→))＝eq\f(1,3)b＋eq\f(1,3)c－aC．eq\o(AP,\s\up7(→))＝eq\f(1,4)b－eq\f(1,4)c－eq\f(3,4)a D．eq\o(OP,\s\up7(→))＝eq\f(1,4)a＋eq\f(1,4)b＋eq\f(1,4)c解析：選BD對于A，利用向量的四邊形法則，eq\o(OM,\s\up7(→))＝eq\f(1,2)eq\o(OB,\s\up7(→))＋eq\f(1,2)eq\o(OC,\s\up7(→))＝eq\f(1,2)b＋eq\f(1,2)c，A錯；對于B，利用向量的四邊形法則和三角形法則，得eq\o(AN,\s\up7(→))＝eq\o(ON,\s\up7(→))－eq\o(OA,\s\up7(→))＝eq\f(2,3)eq\o(OM,\s\up7(→))－eq\o(OA,\s\up7(→))＝eq\f(2,3)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)eq\o(OB,\s\up7(→))＋\f(1,2)eq\o(OC,\s\up7(→))))－eq\o(OA,\s\up7(→))＝eq\f(1,3)eq\o(OB,\s\up7(→))＋eq\f(1,3)eq\o(OC,\s\up7(→))－eq\o(OA,\s\up7(→))＝eq\f(1,3)b＋eq\f(1,3)c－a，B對；對于C，因為點P在線段AN上，且AP＝3PN，所以eq\o(AN,\s\up7(→))＝eq\f(4,3)eq\o(AP,\s\up7(→))＝eq\f(1,3)b＋eq\f(1,3)c－a，所以eq\o(AP,\s\up7(→))＝eq\f(3,4)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)b＋\f(1,3)c－a))＝eq\f(1,4)b＋eq\f(1,4)c－eq\f(3,4)a，C錯；對于D，eq\o(OP,\s\up7(→))＝eq\o(OA,\s\up7(→))＋eq\o(AP,\s\up7(→))＝a＋eq\f(1,4)b＋eq\f(1,4)c－eq\f(3,4)a＝eq\f(1,4)a＋eq\f(1,4)b＋eq\f(1,4)c，D對，故選B、D.4.如圖所示，在長方體ABCD-A1B1C1D1中，O為AC的中點，用eq\o(AB,\s\up7(→))，eq\o(AD,\s\up7(→))，eq\o(AA1,\s\up7(→))表示eq\o(OC1,\s\up7(→))，則eq\o(OC1,\s\up7(→))＝________________.解析：∵eq\o(OC,\s\up7(→))＝eq\f(1,2)eq\o(AC,\s\up7(→))＝eq\f(1,2)(eq\o(AB,\s\up7(→))＋eq\o(AD,\s\up7(→)))，∴eq\o(OC1,\s\up7(→))＝eq\o(OC,\s\up7(→))＋eq\o(CC1,\s\up7(→))＝eq\f(1,2)(eq\o(AB,\s\up7(→))＋eq\o(AD,\s\up7(→)))＋eq\o(AA1,\s\up7(→))＝eq\f(1,2)eq\o(AB,\s\up7(→))＋eq\f(1,2)eq\o(AD,\s\up7(→))＋eq\o(AA1,\s\up7(→)).答案：eq\f(1,2)eq\o(AB,\s\up7(→))＋eq\f(1,2)eq\o(AD,\s\up7(→))＋eq\o(AA1,\s\up7(→))5.如圖所示，在四面體OABC中，eq\o(OA,\s\up7(→))＝a，eq\o(OB,\s\up7(→))＝b，eq\o(OC,\s\up7(→))＝c，D為BC的中點，E為AD的中點，則eq\o(OE,\s\up7(→))＝________(用a，b，c表示)．解析：eq\o(OE,\s\up7(→))＝eq\o(OA,\s\up7(→))＋eq\o(AE,\s\up7(→))＝a＋eq\f(1,2)eq\o(AD,\s\up7(→))＝a＋eq\f(1,2)(eq\o(OD,\s\up7(→))－eq\o(OA,\s\up7(→)))＝eq\f(1,2)a＋eq\f(1,2)eq\o(OD,\s\up7(→))＝eq\f(1,2)a＋eq\f(1,2)×eq\f(1,2)(eq\o(OB,\s\up7(→))＋eq\o(OC,\s\up7(→)))＝eq\f(1,2)a＋eq\f(1,4)b＋eq\f(1,4)c.答案：eq\f(1,2)a＋eq\f(1,4)b＋eq\f(1,4)c6．設(shè)a＝(2x,1,3)，b＝(1,3,9)，若a∥b，則x＝________.解析：∵a∥b，∴eq\f(2x,1)＝eq\f(1,3)＝eq\f(3,9)，∴x＝eq\f(1,6).答案：eq\f(1,6)7．(易錯題)給出下列命題：①若向量a，b共線，則向量a，b所在的直線平行；②若三個向量a，b，c兩兩共面，則向量a，b，c共面；③已知空間的三個向量a，b，c，則對于空間的任意一個向量p，總存在實數(shù)x，y，z使得p＝xa＋yb＋zc；④若A，B，C，D是空間任意四點，則有eq\o(AB,\s\up7(→))＋eq\o(BC,\s\up7(→))＋eq\o(CD,\s\up7(→))＋eq\o(DA,\s\up7(→))＝0.其中為真命題的是________(填序號)．解析：若a與b共線，則a，b所在的直線可能平行也可能重合，故①不正確；三個向量a，b，c中任兩個一定共面，但它們?nèi)齻€卻不一定共面，故②不正確；只有當a，b，c不共面時，空間任意一個向量p才一定能表示為p＝xa＋yb＋zc，故③不正確；據(jù)向量運算法則可知④正確．答案：④知識點二兩個向量的數(shù)量積及其運算1．空間向量的數(shù)量積及運算律(1)數(shù)量積及相關(guān)概念①兩向量的夾角：已知兩個非零向量a，b，在空間任取一點O，作eq\o(OA,\s\up7(→))＝a，eq\o(OB,\s\up7(→))＝b，則∠AOB叫做向量a與b的夾角，記作a，b，其范圍是[0，π]，若a，b＝eq\f(π,2)，則稱a與b互相垂直，記作a⊥b.②非零向量a，b的數(shù)量積a·b＝|a||b|cosa，b．(2)空間向量數(shù)量積的運算律①結(jié)合律：(λa)·b＝λ(a·b)；②交換律：a·b＝b·a；③分配律：a·(b＋c)＝a·b＋a·c.2．空間向量的坐標表示及其應(yīng)用設(shè)a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3).向量表示坐標表示數(shù)量積a·ba1b1＋a2b2＋a3b3共線a＝λb(b≠0，λ∈R)a1＝λb1，a2＝λb2，a3＝λb3垂直a·b＝0(a≠0，b≠0)a1b1＋a2b2＋a3b3＝0模|a|eq\r(a\o\al(2,1)＋a\o\al(2,2)＋a\o\al(2,3))夾角a，b(a≠0，b≠0)cosa，b＝eq\f(a1b1＋a2b2＋a3b3,\r(a\o\al(2,1)＋a\o\al(2,2)＋a\o\al(2,3))·\r(b\o\al(2,1)＋b\o\al(2,2)＋b\o\al(2,3)))[重溫經(jīng)典]1．在空間四邊形ABCD中，eq\o(AB,\s\up7(→))·eq\o(CD,\s\up7(→))＋eq\o(AC,\s\up7(→))·eq\o(DB,\s\up7(→))＋eq\o(AD,\s\up7(→))·eq\o(BC,\s\up7(→))的值為()A．－1 B．0C．1 D．2解析：選B如圖，令eq\o(AB,\s\up7(→))＝a，eq\o(AC,\s\up7(→))＝b，eq\o(AD,\s\up7(→))＝c，則eq\o(AB,\s\up7(→))·eq\o(CD,\s\up7(→))＋eq\o(AC,\s\up7(→))·eq\o(DB,\s\up7(→))＋eq\o(AD,\s\up7(→))·eq\o(BC,\s\up7(→))＝eq\o(AB,\s\up7(→))·(eq\o(AD,\s\up7(→))－eq\o(AC,\s\up7(→)))＋eq\o(AC,\s\up7(→))·(eq\o(AB,\s\up7(→))－eq\o(AD,\s\up7(→)))＋eq\o(AD,\s\up7(→))·(eq\o(AC,\s\up7(→))－eq\o(AB,\s\up7(→)))＝a·(c－b)＋b·(a－c)＋c·(b－a)＝a·c－a·b＋b·a－b·c＋c·b－c·a＝0.2.如圖所示，已知PA⊥平面ABC，∠ABC＝120°，PA＝AB＝BC＝6，則|eq\o(PC,\s\up7(→))|等于()A．6eq\r(2) B．6C．12 D．144解析：選C∵eq\o(PC,\s\up7(→))＝eq\o(PA,\s\up7(→))＋eq\o(AB,\s\up7(→))＋eq\o(BC,\s\up7(→))，∴eq\o(PC,\s\up7(→))2＝eq\o(PA,\s\up7(→))2＋eq\o(AB,\s\up7(→))2＋eq\o(BC,\s\up7(→))2＋2eq\o(AB,\s\up7(→))·eq\o(BC,\s\up7(→))＝36＋36＋36＋2×36cos60°＝144，∴|eq\o(PC,\s\up7(→))|＝12，故選C.3．(教材改編題)已知a＝(1,2，－2)，b＝(0,2,4)，則a，b夾角的余弦值為________．解析：cosa，b＝eq\f(a·b,|a||b|)＝－eq\f(2\r(5),15).答案：－eq\f(2\r(5),15)4．已知a＝(2,3,1)，b＝(－4,2，x)，且a⊥b，則|b|＝________.解析：∵a⊥b，∴－8＋6＋x＝0，解得x＝2，故|b|＝eq\r(－42＋22＋22)＝2eq\r(6).答案：2eq\r(6)5．已知a＝(cosθ，1，sinθ)，b＝(sinθ，1，cosθ)，則向量a＋b與a－b的夾角是________．解析：∵a＋b＝(cosθ＋sinθ，2，cosθ＋sinθ)，a－b＝(cosθ－sinθ，0，sinθ－cosθ)，∴(a＋b)·(a－b)＝(cos2θ－sin2θ)＋(sin2θ－cos2θ)＝0，∴(a＋b)⊥(a－b)，則a＋b與a－b的夾角是eq\f(π,2).答案：eq\f(π,2)6．(易錯題)如圖所示，在大小為45°的二面角A-EF-D中，四邊形ABFE，CDEF都是邊長為1的正方形，則B，D兩點間的距離是________．解析：∵eq\o(BD,\s\up7(→))＝eq\o(BF,\s\up7(→))＋eq\o(FE,\s\up7(→))＋eq\o(ED,\s\up7(→))，∴|eq\o(BD,\s\up7(→))|2＝|eq\o(BF,\s\up7(→))|2＋|eq\o(FE,\s\up7(→))|2＋|eq\o(ED,\s\up7(→))|2＋2eq\o(BF,\s\up7(→))·eq\o(FE,\s\up7(→))＋2eq\o(FE,\s\up7(→))·eq\o(ED,\s\up7(→))＋2eq\o(BF,\s\up7(→))·eq\o(ED,\s\up7(→))＝1＋1＋1－eq\r(2)＝3－eq\r(2)，故|eq\o(BD,\s\up7(→))|＝eq\r(3－\r(2)).答案：eq\r(3－\r(2))知識點三空間中的平行與垂直的向量表示1．直線的方向向量和平面的法向量(1)直線的方向向量：如果表示非零向量a的有向線段所在直線與直線l平行或重合，則稱此向量a為直線l的方向向量．(2)平面的法向量：直線l⊥α，取直線l的方向向量a，則向量a叫做平面α的法向量．2．空間位置關(guān)系的向量表示位置關(guān)系向量表示直線l1，l2的方向向量分別為n1，n2l1∥l2n1∥n2?n1＝λn2l1⊥l2n1⊥n2?n1·n2＝0直線l的方向向量為n，平面α的法向量為ml∥αn⊥m?n·m＝0l⊥αn∥m?n＝λm平面α，β的法向量分別為n，mα∥βn∥m?n＝λmα⊥βn⊥m?n·m＝0[重溫經(jīng)典]1．已知A(1,0,0)，B(0,1,0)，C(0,0,1)，則下列向量是平面ABC法向量的是()A．(－1,1,1) B．(1，－1,1)C.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(\r(3),3)，－\f(\r(3),3)，－\f(\r(3),3))) D.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),3)，\f(\r(3),3)，－\f(\r(3),3)))解析：選C設(shè)n＝(x，y，z)為平面ABC的法向量，則eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(n·eq\o(AB,\s\up7(→))＝0，,n·eq\o(AC,\s\up7(→))＝0))，化簡得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－x＋y＝0，,－x＋z＝0，))∴x＝y(tǒng)＝z，故選C.2．已知直線l與平面α垂直，直線l的一個方向向量為u＝(1，－3，z)，向量v＝(3，－2,1)與平面α平行，則z等于()A．3 B．6C．－9 D．9解析：選C∵l⊥α，v與平面α平行，∴u⊥v，即u·v＝0，∴1×3＋(－3)×(－2)＋z×1＝0，∴z＝－9.3．平面α的一個法向量為(1,2，－2)，平面β的一個法向量為(－2，－4，k)．若α∥β，則k等于()A．2 B．－4C．4 D．－2解析：選C∵α∥β，∴兩平面的法向量平行，∴－eq\f(2,1)＝－eq\f(4,2)＝eq\f(k,－2)，∴k＝4.4．(教材改編題)已知平面α，β的法向量分別為n1＝(2,3,5)，n2＝(－3,1，－4)，則()A．α∥β B．α⊥βC．α，β相交但不垂直 D．以上均不對解析：選C∵n1≠λn2，且n1·n2＝－23≠0，∴α，β相交但不垂直．5.如圖所示，在正方體ABCD-A1B1C1D1中，O是底面正方形ABCD的中心，M是D1D的中點，N是A1B1的中點，則直線ON，AM的位置關(guān)系是________．解析：以A為原點，分別以eq\o(AB,\s\up7(→))，eq\o(AD,\s\up7(→))，eq\o(AA1,\s\up7(→))所在直線為x，y，z軸，建立空間直角坐標系(圖略)，設(shè)正方體的棱長為1，則A(0,0,0)，Meq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，1，\f(1,2)))，Oeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，\f(1,2)，0))，Neq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，0，1)).∵eq\o(AM,\s\up7(→))·eq\o(ON,\s\up7(→))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，1，\f(1,2)))·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，－\f(1,2)，1))＝0，∴ON與AM垂直．答案：垂直6．(易錯題)如圖所示，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是正方形，側(cè)棱PD⊥底面ABCD，PD＝DC，E是PC的中點，過點E作EF⊥BP交BP于點F.(1)證明：PA∥平面EDB；(2)證明：PB⊥平面EFD.證明：如圖所示，以D為坐標原點，射線DA，DC，DP分別為x軸、y軸、z軸的正方向建立空間直角坐標系．設(shè)DC＝a.(1)連接AC交BD于點G，連接EG.依題意得A(a,0,0)，P(0,0，a)，Eeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(a,2)，\f(a,2))).因為底面ABCD是正方形，所以G是此正方形的中心，故點G的坐標為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a,2)，\f(a,2)，0))，所以eq\o(PA,\s\up7(→))＝(a,0，－a)，eq\o(EG,\s\up7(→))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a,2)，0，－\f(a,2))).則eq\o(PA,\s\up7(→))＝2eq\o(EG,\s\up7(→))，故PA∥EG.而EG?平面EDB，PA?平面EDB，所以PA∥平面EDB.(2)依題意得B(a，a,0)，所以eq\o(PB,\s\up7(→))＝(a，a，－a)．又eq\o(DE,\s\up7(→))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(a,2)，\f(a,2)))，故eq\o(PB,\s\up7(→))·eq\o(DE,\s\up7(→))＝0＋eq\f(a2,2)－eq\f(a2,2)＝0，所以PB⊥DE.由題可知EF⊥PB，且EF∩DE＝E，所以PB⊥平面EFD.知識點四利用空間向量求空間角1．異面直線所成角設(shè)異面直線a，b所成的角為θ，則cosθ＝eq\f(|a·b|,|a||b|)，其中a，b分別是直線a，b的方向向量．2．直線與平面所成角如圖所示，設(shè)l為平面α的斜線，l∩α＝A，a為l的方向向量，n為平面α的法向量，φ為l與α所成的角，則sinφ＝|cosa，n|＝eq\f(|a·n|,|a||n|).3．二面角(1)若AB，CD分別是二面角α-l-β的兩個平面內(nèi)與棱l垂直的異面直線，則二面角(或其補角)的大小就是向量eq\o(AB,\s\up7(→))與eq\o(CD,\s\up7(→))的夾角，如圖a.(2)平面α與β相交于直線l，平面α的法向量為n1，平面β的法向量為n2，n1，n2＝θ，則二面角α-l-β為θ或π－θ.設(shè)二面角大小為φ，則|cosφ|＝|cosθ|＝eq\f(|n1·n2|,|n1||n2|)，如圖b，c.[重溫經(jīng)典]1．(易錯題)已知兩平面的法向量分別為m＝(0,1,0)，n＝(0,1，1)，則兩平面所成的二面角為()A．45° B．135°C．45°或135° D．90°解析：選Ccosm，n＝eq\f(m·n,|m||n|)＝eq\f(1,1×\r(2))＝eq\f(\r(2),2)，即m，n＝45°，∴兩平面所成的二面角為45°或135°.2．(教材改編題)已知向量m，n分別是直線l和平面α的方向向量和法向量，若cosm，n＝－eq\f(1,2)，則l與α所成的角為()A．30° B．60°C．120° D．150°解析：選A由于cosm，n＝－eq\f(1,2)，所以m，n＝120°，所以直線l與α所成的角為30°.3．在正方體ABCD-A1B1C1D1中，BB1與平面ACD1A.eq\f(\r(3),2) B.eq\f(\r(3)