2023全國高中數(shù)學聯(lián)賽填空題訓練三

2023全國高中數(shù)學聯(lián)賽填空題訓練三注：每題5分，共200分。1、表示n的個位數(shù)，，那么數(shù)列的前項之和＝．答案：10．解析：∵，∴an是一個以10為周期的數(shù)列，而0，故＝S6＝10．2、，，那么＝．答案：．解析：令A，B，那么知A，B在圓上，AB中點C〔m，n〕，，，且koc＝，kAB＝－，AB⊥OC，由射影定理及C〔m，n〕，知AB：，并代入圓的方程，得0．，為此方程兩根，∴有，以y為主元，同理有，∴．3、非負實數(shù)a，b，c滿足a＋b＋c＝1，那么的最小值是．答案：．解析：不妨設(shè)a≥b≥c，那么a≥，c≤∴＝≥≥≥〔當a＝b＝，c＝0時取等號〕．4、設(shè)x、y、zR+，滿足xyz＋x＋z＝y(tǒng)，P＝，那么Pmax＝．答案：．解析：由令，，γ那么，γ∈[0，〕且γ＝π那么P＝2cos2－2cos2＋3cos2γ＝－2sin()sin()＋3cos2γ∵－1≤sin()≤1故P≤2sin()＋3cos2γ＝2sinγ＋3－3sin2γ＝－3(sinγ－)2＋≤∴Pmax＝5、經(jīng)過一個直平行六面體內(nèi)的一點作出3個平面分別平行于它的各面，這時它被分成8個較小的體積不等的平行六面體，那么在這些小平行六面體中至少有a個體積小于原平行六面體體積的，那么a最大值是．答案：4．解析：8個較小的平行六面體可分為4對，其中每一對平行六面體中含有原六面體中相對的兩個頂點．設(shè)d、b、c和x、y、z、是一對六面體的棱長，那么原六面體的棱長為d＋x，b＋y，c＋z．所以有(d＋x)(b＋y)(c＋z)≥2＝8，從而V2＝64V1V2，V，V1，V2為原來及2個小的六面體的體積，因為V1≠V2，假設(shè)V1＜，那么V2＞，所以amax＝4．6、假設(shè)數(shù)列{an}使得，那么．答案：0．解析：由題設(shè)知：令那么有∴{an}是以12為周期的周期函數(shù)．而2023≡7〔mod12〕∴即0．7、如圖4×4的正方形網(wǎng)格，每個小正方形邊長為1，從網(wǎng)格上任一點出發(fā)，沿著網(wǎng)格線行走．要求不能走重復的線段，那么一次行走能走過的最長路程為．答案：34．解析：對于每一個頂點引出2或4條邊的稱為“偶結(jié)點〞，引出3條邊的稱為“奇結(jié)點〞．顯然，一次行走最多穿過兩個奇結(jié)點上所有線段〔一首一尾〕．圖中奇結(jié)點共3×4＝12個，有10個奇結(jié)點上有一條線段走不到．而每條邊上，有且只有一對相鄰奇結(jié)點，可以共同省去一條公共邊．假設(shè)出發(fā)與結(jié)尾所走完的奇結(jié)點〔稱走過結(jié)點上所有邊為“走完〞〕在一條邊上，那么至少有2×3＋1條線段走不到．假設(shè)不在一邊上，那么至少有2×2＋2＝6條走不到．故最長路程為4×5×2－6＝34，如圖給出一種走法：8、整數(shù)的末兩位數(shù)字是．答案：00解析：＝由于〔0、1〕故＝≡320－1〔mod100〕由歐拉定理3(100)≡1〔mod100〕，即310≡1〔mod100〕∴≡(310)2－1≡0〔mod100〕故末兩位數(shù)字為009、將8本不同的書分別給3名學生，要求每個學生至少分得1本，有種分法〔用數(shù)字作答〕。答案：5796．解析：學生分得的書的本數(shù)有以下5種情形：{6，1，1}、{5，2，1}、{4，3，1}、{4，2，2}、{3，3，2}，故分法種數(shù)為：+＝579610、在20名把戲滑冰運發(fā)動表演完以后，9名裁判員分別給他們判定從1～20的名次，每一個運發(fā)動得到的名次中，各名次之差不超過3，假設(shè)每個運發(fā)動所得到的名次的和排成遞增序列：≤c2≤…≤c20，那么c1的最大值為．答案：24解析：如果9名裁判都給某運發(fā)動判第一名，那么c1＝9；如果有兩名運發(fā)動都被判為第一名，那么其中1人得到不少于5個第一名，而其余4個名次不高于第四名，故c1＝5×1＋4×4＝21．如果有3個運發(fā)動都得第一名，那么他們所得的其余名次不高于第四名，他們的名次之和不大于1×9＋3×9＋4×9＝72，故c1≤24．如果有4名運發(fā)動都得第一名，那么他們的名次之和不大于1×9＋2×9＋3×9＋4×9＝90，所以他們中之一的名次不大于24；而有5個或更多個運發(fā)動都得第一情況是不可能的，所以c1≤24．給出一個c1＝24的例子，前三名名次都是1，1，1、3，3，3、4，4，4．后三名名次是2，2，2、5，5，5、6，6，6．11、假設(shè)為銳角，且那么的最大值為。答案：解析：由故同理：故故12、以正方體的頂點為頂點可以構(gòu)成的棱錐個數(shù)為。解答：106個此題中并未指明是幾棱錐，由于棱錐底面頂點共面，故只可能是三棱錐或四棱錐?！?〕當構(gòu)成三棱錐時，即從8個頂點中取出4個，其中四點共面的有12組〔從外表或?qū)敲婵紤]〕，故有個三棱錐；〔2〕當構(gòu)成四棱錐時，底面頂點只能從12組四點共面的情形中選取，再從其余四頂點中取一個，共可構(gòu)成個四棱錐，綜上，共可構(gòu)成58+48=106個棱錐。13、雙曲線以兩坐標軸為對稱軸，焦點在軸上，實軸長為，又雙曲線上任一點到點的最短距離為，那么該雙曲線的離心率的取值范圍是答案：解析：設(shè)雙曲線方程為那么因，故又因從而解不等式得又因令那么因在上是遞增函數(shù)，故14、數(shù)列由全體正奇數(shù)自小到大排列而成，并且每個奇數(shù)連續(xù)出現(xiàn)次，，如果這個數(shù)列的通項公式為那么答案：3解析：由，即當時，，所以，于是，。15、假設(shè)集合中的每個元素都可表為中兩個不同的數(shù)之積，那么集中元素個數(shù)的最大值為.答案：31解析：從中每次取一對作乘積，共得個值，但其中有重復，重復的情況為，共種，因此集合中至多有個數(shù).16、．用五種不同的顏色給圖中的“五角星〞的五個頂點染色，〔每點染一色，有的顏色也可以不用〕使每條線段上的兩個頂點皆不同色，那么不同的染色方法有種.答案：種解析：將其轉(zhuǎn)化為具有五個扇形格的圓盤染五色，使鄰格不同色的染色問題．設(shè)有個扇形格的圓盤染五色的方法數(shù)為，那么有，于是。17、以為六條棱長的四面體個數(shù)為。答案：3解析：以這些邊為三角形僅有四種：，，，。固定四面體的一面作為底面：當?shù)酌娴娜厼闀r，另外三邊的取法只有一種情況，即；當?shù)酌娴娜厼闀r，另外三邊的取法有兩種情形，即。18、正三棱柱的所有棱長都相等，是的中點，在棱上，當點使得最小時，異面直線所成角的大小為。答案：解析：如圖可知為中點時，滿足題意.又，又19、，是的一個子集，假設(shè)，且同時滿足和，那么稱為的一個“孤立點〞，那么的無孤立點的所有5元子集的個數(shù)為____________.答案：10000解析：由于的五元子集無孤立點，那么S只有如下3種情況：〔1〕〔2〕〔3〕綜上可得共10000個20、設(shè)點P在橢圓上，直線的方程為，且點F的坐標為，作于點Q，假設(shè)點P、Q、F三點構(gòu)成一個等腰三角形，那么該橢圓的離心率。答案：解析：設(shè)T為直線與軸交點的坐標，作軸于點R，由題意，∠PFQ=，PF=QF，PQ//RT，那么TF=QT=PR=FR，從而，有，其中，故，代入橢圓方程得即即整理得：，因為，所以，。21、設(shè)向量，滿足，且與的夾角為，假設(shè)與的夾角為鈍角，那么實數(shù)的取值范圍是_______________答案：，且解析：由()()，得，此外必須與的夾角不是平角，因此.122、一個九宮格，每個小方格內(nèi)都是一個復數(shù)，它得每行、每列及對角線上三個格內(nèi)的復數(shù)和都相等，那么表示的復數(shù)為。答案：解析：設(shè)第一行令兩個格內(nèi)的數(shù)為，那么按題設(shè)每行、每列及對角線三個數(shù)的和都是，于是，中間格為，中間行左邊第一格為，第三行右邊第一格為，最后，由含的對角線三個數(shù)的和得，解得。23、在平面直角坐標系中，正方形OABC的頂點坐標分別是O〔0，0〕，A〔100，0〕，B〔100，100〕，C〔0，100〕，假設(shè)正方形OABC內(nèi)部〔邊界和頂點除外〕一格點P滿足：，就稱格點P為“好點〞，那么正方形OABC內(nèi)部好點的個數(shù)為____________。答案：197解析：過點P分別作PD、PE、PF、PG垂直于邊OA、AB、BC、CO于點D、E、F、G，易知PF+PD=100，PE+PG=100由題意，可得PDPF=PEPGPD〔100PD〕=PG〔100PG〕化簡得，所以PD=PG或PG=PF于是點P在對角線OB上或點P在對角線AC上；同理，當P為對角線OB或?qū)蔷€AC上的點時，有因此當P為對角線OB或?qū)蔷€AC上的格點時，點P為好點；所以共197個好點。24、函數(shù)在[1,2]上恒正,那么實數(shù)的取值范圍是。答案：解析：當時,,由知;當時,,再由可得。25、過橢圓內(nèi)一點作兩條弦和,過作橢圓的兩切線交于,過作橢圓的兩切線交于,那么直線的方程是____________________。答案：解析：設(shè),那么的方程為,再由過點有,即點在直線上.同理可知點也在該直線上,由兩點確定一直線知所求直線即。26、由正邊形的個頂點構(gòu)成的梯形的個數(shù)是________________.答案：解析：正邊形共有條直徑,而所有梯形可分為兩類:一類平行于某條直徑,這類梯形有個;另一類垂直于某條直徑,這類梯形有個,于是梯形的總個數(shù)為.27、假設(shè)、，其中，，并且，那么實數(shù)對表示平面上不同點的個數(shù)為。答案：90解析：個位的情況只有一類：；十位和百位有進位和不進位兩類：①十位：；百位：②十位：；百位：所以點的個數(shù)為個。28、正三角形在平面內(nèi)的射影是邊長為、、的三角形，那么正三角形的邊長等于。答案：解析：設(shè)正三角形的邊長為，三角形的三個頂點到平面的距離為、、，那么．令，，，即，，得，解得，。29、定義區(qū)間，，，的長度均為，其中．實數(shù)，那么滿足的構(gòu)成的區(qū)間的長度之和為。答案：2解析：由，得，整理，得，令，那么，，設(shè)方程的兩根為、，又因為，所以．不等式的解集為，構(gòu)成的區(qū)間長度之和為．30、除以的余數(shù)是。答案：16解析：，那么，所以，所求為中減掉后，除以．而，可以看作是的的系數(shù)，所以，而可被整除，除以的余數(shù)為．31、在平面直角坐標系中，圓與圓相交于點、，其中點的坐標為，兩圓半徑的乘積為．假設(shè)直線與軸均與圓和圓相切，那么______________．答案：解析：由題意設(shè)圓心，圓心．圓和圓的方程分別為和，將代入兩方程，得，，所以、是方程的兩根，所以，所以直線的傾斜角為，直線的傾斜角為．32、一個12小時標準時鐘．在12:00后的分鐘，時針與分針的夾角恰好是．設(shè)是整數(shù)，且．那么所有可能的的值為。答案：262或458．解析：分針每小時〔60分鐘〕轉(zhuǎn)動一周，那么分鐘轉(zhuǎn)動了，即；時針每12小時〔720分鐘〕轉(zhuǎn)動一周，分鐘轉(zhuǎn)動了，即．由題意，得，其中是某些整數(shù)．那么．因為，所以，從而．而是整數(shù)，故必須能被11整除．設(shè)，其中是整數(shù)，那么，于是．因為，所以，從而．又是整數(shù)，能被5整除，故或．于是或．從而或．因此所有滿足題意的可能的的值是262與458．33、甲、乙兩人輪流擲一枚均勻的硬幣，誰先擲出正面，誰獲勝．他們連玩了數(shù)局，并規(guī)定前一局的輸家下一局先擲．假設(shè)甲第一局先擲，那么第六局甲獲勝的概率值為。答案：解析：任一局先擲的人獲勝的概率是．后擲的人獲勝的概率是．令為甲第局獲勝的概率，那么有，．即．從而．即．故．即第六局甲獲勝的概率是．34、滿足對每個，且的8元非負整數(shù)組的個數(shù)是。答案：1540解析：．只要考慮只要考慮因此所求個數(shù)為．35、使得不等式〔，〕恒成立的最大正實數(shù)的值為。答案：解析：取，不等式化為，即，解得。當時，。36、如果2023個數(shù)，，…，滿足：〔其中n＝2，3，4，…，2023〕，那么可能到達的最大值為．答案：解答：，故或，故，∴．37、在圓周上隨機取四點A、B、C、D，那么線段AB與CD相交的概率是。答案：解析：．圓周上任取四點，將其標為A、B、C、D，共有24種標法，其中有8種使得AB與CD相交，因此概率為．38、設(shè)集合，是S的子集，且滿足：，，那么滿足條件的子集的個數(shù)為答案：371．解析：當時，有種選擇方法，有6種選擇方法，所以共有種選擇方法；當時，一旦取定，有種選擇方法，有種選擇方法，所以選擇的方法有種．綜上，滿足條件的子集共有371個。39、對任意實數(shù)x，表示不超過x的最大整數(shù)。當0≤x≤100時，的值域中有個不同的整數(shù)。答案：1201解析：由于將分為區(qū)間和。注意到在分母為3，4，5或6的分數(shù)處有一個“跳躍〞〔也可以認為是分母為4，因為〕，而內(nèi)分母為3，4，5或6的不同分數(shù)有11個，故被分為12個左閉右開的小區(qū)間，每個小區(qū)間對應的一個不同值，所以在上取得了12個不同的值，于是當時，的值域中有1201個不同的整數(shù)。40、一次考試共30題,評分標準規(guī)定每題答對得5分,答錯得0分,不答得2分,一個參賽選手在每題所得分的和叫做該選手的總分.假設(shè)參賽選手足夠多,那么所有可能給出的不同總分的種數(shù)是____________.答案：145解析：用表示某選手答對和不答的題數(shù),那么要求的元素個數(shù).假設(shè),那么易知,故當且時必.注意到對每個,可取從0到共個值,故的元素個數(shù)為31+30+29+28+27=145個。一試填空題訓練注：每題5分，共200分。1、表示n的個位數(shù)，，那么數(shù)列的前項之和＝．2、，，那么＝．3、非負實數(shù)a，b，c滿足a＋b＋c＝1，那么的最小值是．4、設(shè)x、y、zR+，滿足xyz＋x＋z＝y(tǒng)，P＝，那么Pmax＝．5、經(jīng)過一個直平行六面體內(nèi)的一點作出3個平面分別平行于它的各面，這時它被分成8個較小的體積不等的平行六面體，那么在這些小平行六面體中至少有a個體積小于原平行六面體體積的，那么a最大值是．6、假設(shè)數(shù)列{an}使得，那么．7、如圖4×4的正方形網(wǎng)格，每個小正方形邊長為1，從網(wǎng)格上任一點出發(fā)，沿著網(wǎng)格線行走．要求不能走重復的線段，那么一次行走能走過的最長路程為．8、整數(shù)的末兩位數(shù)字是．9、將8本不同的書分別給3名學生，要求每個學生至少分得1本，有種分法〔用數(shù)字作答〕。10、在20名把戲滑冰運發(fā)動表演完以后，9名裁判員分別給他們判定從1～20的名次，每一個運發(fā)動得到的名次中，各名次之差不超過3，假設(shè)每個運發(fā)動所得到的名次的和排成遞增序列：≤c2≤…≤c20，那么c1的最大值為．11、假設(shè)為銳角，且那么的最大值為。12、以正方體的頂點為頂點可以構(gòu)成的棱錐個數(shù)為。13、雙曲線以兩坐標軸為對稱軸，兩焦點均在軸上，實軸長為，又雙曲線上任一點到點的最短距離為，那么該雙曲線的離心率的取值范圍是。14、數(shù)列由全體正奇數(shù)自小到大排列而成，并且每個奇數(shù)連續(xù)出現(xiàn)次，，如果這個數(shù)列的通項公式為那么15、假設(shè)集合中的每個元素都可表為中兩個不同的數(shù)之積，那么集中元素個數(shù)的最大值為.16、．用五種不同的顏色給圖中的“五角星〞的五個頂點染色，〔每點染一色，有的顏色也可以不用〕使每條線段上的兩個頂點皆不同色，那么不同的染色方法有種.17、以為六條棱長的四面體個數(shù)為。18、正三棱柱的所有棱長都相等，是的中點，在棱上，當點使得最小時，異面直線所成角的大小為。19、，是的一個子集，假設(shè)，且同時滿足和，那么稱為的一個“孤立點〞，那么的無孤立點的所有5元子集的個數(shù)為____________.20、設(shè)點P在橢圓上，直線的方程為，且點F的坐標為，作于點Q，假設(shè)點P、Q、F三點構(gòu)成一個等腰三角形，那么該橢圓的離心率。21、設(shè)向量，滿足，且與的夾角為，假設(shè)與的夾角為鈍角，那么實數(shù)的取值范圍是_______________122、一個九宮格，每個小方格內(nèi)都是一個復數(shù)，它得每行、每列及對角線上三個格內(nèi)的復數(shù)和都相等，那么表示的復數(shù)為。23、在平面直角坐標系中，正方形OABC的頂點坐標分別是O〔0，0〕，A〔100，0〕，B〔100，100〕，C〔0，100〕，假設(shè)正方形OABC內(nèi)部〔邊界和頂點除外〕一格點P滿足：，就稱格點P為“好點〞，那么正方形OABC內(nèi)部好點的個數(shù)為____________。24、函數(shù)在[1,2]上恒正,那么實數(shù)的取值范圍是。25、過橢圓內(nèi)一點作兩條弦和,過