量子力學(xué)必考題

量子力學(xué)必考題第二章微擾理論一剛性轉(zhuǎn)子轉(zhuǎn)動慣量為I,它的能量的經(jīng)典表示式是H=L2,L為角動量,求與此對應(yīng)的量子體系在下列情況下的定態(tài)能量及波函數(shù)：（1）轉(zhuǎn)子繞一固定軸轉(zhuǎn)動：（2）轉(zhuǎn)子繞一固定點轉(zhuǎn)動：（考一問）解：（1）設(shè)該固定軸沿Z軸方向，則有哈米頓算符L2€L2Z1€2d2H=L2=，21z21d92其本征方程為（H與t無關(guān)，屬定態(tài)問題）€2d2-?(9)=E?(9)21d92d2?(9)2IE—、=-?(9)d92€22IEm2=-€2d2?(9)d92取其解為?（9）€Ae由波函數(shù)的單值性，應(yīng)有（m可正可負可為零）?(9+2…)€?(9)neim(9+2…)=eim9R卩ei2m…=1?；m=0,±1,±2,…轉(zhuǎn)子的定態(tài)能量為e(m=0,±1,±2,…)可見能量只能取一系列分2立值,構(gòu)成分立譜。定態(tài)波函數(shù)為?=Aeiin9A為歸一化常數(shù)，由歸一化條件1=J2…?*?d9=A2J2…d9=A22…0mm01nA€2…???轉(zhuǎn)子的歸一化波函數(shù)為

,=eim€m2兀綜上所述，除m=0外，能級是二重簡并的。(2)取固定點為坐標原點，則轉(zhuǎn)子的哈米頓算符為1H=L2H與t無關(guān)，屬定態(tài)問題，其本征方程為1一L2Y(0,€)=EY(?,€)(式中Y(?,€)設(shè)為力的本征函數(shù)，E為其本征值)L2Y(0,€)=2IEY(0,€)令2IE=…€2，則有L2Y(?,€)=…€2Y(?,€)此即為角動量L2的本征方程，其本征值為L2=…€2=,(,+1)€2(,=0,1,2,…)Pm(COS0)eim€,m,其波函數(shù)為球諧函數(shù)Pm(COS0)eim€,m,???轉(zhuǎn)子的定態(tài)能量為,(,+1)€2E=,21可見，能量是分立的，且是(2,+“重簡并的。第七章自旋與全同粒子求.€求.€/01]E八€及S=—ro-i]x2<10丿y2<-i0丿的本征值和所屬的本征函數(shù)。(考Sy的本征值和本證函數(shù))ySy的本征值和本證函數(shù))y§的久期方程為x€2解：…2-(-)2???§的本征值為土€。

x2設(shè)對應(yīng)于本征值€的本征函數(shù)為2X1/2由本征方程八€由本征方程八€sX=Xx1/221/2，得€/01、ra、1€ra、1210丿b2b丿<丿v1丿<1丿rbrb?ra?3iajib丿由歸一化1條件1b€a11X+X€1，得1/21/2rbrb?ra?3rbrb?ra?3(a*,a*)1iiaia1rbrb?ra?3rbrb?ra?3對應(yīng)于本征值€的本征函數(shù)為2X1/2r1?同理可求得s的本征值為土€。2其相應(yīng)的本征函數(shù)分別為1r1?1r1?X_€X_€22ii丿-22i_i丿y(7.5設(shè)氫的狀態(tài)是1R(r2213-R(r)Y(0,9)22110丿①求軌道角動量z分量L和自旋角動量z分量S的平均值;八八e-e-L—S2卩卩的Z分量的平均值（用玻爾磁矩子表示）（必考）②求總磁矩M解：中可改寫成1r1?3r0?中€—R(r)Y(0,9)—R(r)Y(0,9)2211110,2211011丿13二一R(r)Y(0,9)X(S)-R(r)Y(0,9)X221111z221102(Sz從中的表達式中可看出L的可能值為z相應(yīng)的幾率為€3L€-z4S的可能值為z相應(yīng)的幾率C|2為i2€12S€x-zi24€214€3—x—24€234€4e€1—x—，M2卩44Bzee-，—L—S2卩z卩zTOC\o"1-5"\h\ze€e€x———x(—)2卩4卩4以下的可能會考，最后一節(jié)課講得)發(fā)0巧巾0冷020rr=000也0V0o◎禺=CE?1例2?有一粒子，其Hamilion量的矩陣形式為：H二坷擊HJ其中禺=CE?1求能級的一級近似和波函數(shù)的0級近似口弘的本征值問題是三重簡并的，這是一個簡并微擾問題。(1)求本征能量由久期方程I田-|=0得:0Or-￡(l>00-￡{l>E(1)[(E0Or-￡(l>00-￡{l>E(1)[(E(1))2—q2]=0tto-*為aaa記E!e2e(1(?-(3EEE+++QGoEEE---123EEE筒并完全消除廣0oQ000400,<C3>由歸一化條件:取買解:3◎T斗魚廣=1取實解：C2=l甥呼=1眄一1旳~420o」AJj第三章量子力學(xué)中的力學(xué)量1、動量算符的本征值方程：-i力，中（r）二p中（r）pp2、兩個表示力學(xué)量的算符之間的關(guān)系1）對易：有組成完全系的共同本征態(tài)（）不對易：若0D工uo,則稱0與u不對易。、量子力學(xué)中的算符表示對波函數(shù)（量子態(tài)）的一種運算如動量算符p三一i能量算符一…二i?…動能算符i=-,動能平均值t=丁中_中_—g角動量算符=rX角動量平均值=『中-\--g…€i€€薛定諤方程i中…一一,+中八方2H=--,2+V(r)算符2m，被稱為哈密頓算符，（求算符的對易）第五章微擾理論1、定態(tài)微擾理論適用范圍：求分立能級及所屬波函數(shù)的修正，適用條件22Hkn<<1E(0)—E(0)nkE（0）€E（0）nk（2分填空）IH'|2kn?….E（o）—E（o）

nk7H'I中>=I中——I中（0）E（0）一E（0）kk€nnk寫公式4分）第七章自旋與全同粒子施特恩-格拉赫實驗——證明電子具有自旋2、光譜線精細結(jié)構(gòu)：鈉原子光譜中的一條亮黃線5893A,用高分辨率的光譜儀觀測，可以看到該譜線其實是由靠的很近的兩條譜線組成。其他原子光譜中也可以發(fā)現(xiàn)這種譜1）非簡并情況：nnk€大題不會or1、S2/X/X+S2+S2二3力2S2二S2xyz4S2=s(s?1)h2=ah2Ts=丄424、（1）or€,€,...,€ijk7.7.13or6、(1)玻色子：凡自旋(s=0，1，2……)2個粒子稱為Bose2