中級(jí)宏觀配套練習(xí)及答案

中級(jí)宏觀配套練習(xí)及答案-------------------------------------------------------------------------- 作者:_____________-------------------------------------------------------------------------- 日期:_____________第二講 配套習(xí)題及答案若效用函數(shù)現(xiàn)為：u(c,l)cl1（01）其他條件與實(shí)例中給出的相同，試分別求分散經(jīng)濟(jì)與計(jì)劃經(jīng)濟(jì)的最優(yōu)解。計(jì)劃者目標(biāo)函數(shù)為：max{cl1}c,ls.t.cyzk0(hl)1代約束條件進(jìn)目標(biāo)函數(shù)，可以得到無約束的最大化問題：max[zk0(h l)1 ]l1l一階條件為：(FOCl) zk0(1 )(h l)(1 ) 1l1 zk0(h l)(1 ) (1 )l求解可得：(1)hl1h(1)n1代n進(jìn)生產(chǎn)函數(shù)可得：1h(1 )c y zk01企業(yè)利潤(rùn)函數(shù)為：zkn1 (1 r)k wn企業(yè)利潤(rùn)最大化的一階條件為：2zk1n1(1r)0kz(1)knw0n利用這兩個(gè)一階條件可以取得均衡的價(jià)格解，為：wh(1)zk011h(11rz)k0112.假設(shè)行為人的效用函數(shù)如下： U ln(c) ln(l)，其中c是行為人的消費(fèi)，l是行為人每天用于閑暇的時(shí)間。行為人每天的時(shí)間除了用于閑暇，就是用于工作，但他既可以為自己工作也可以為別人工作。他為自己工作時(shí)的產(chǎn)出函數(shù)為 y 4(ns)0.5，其中ns為用于自己工作的時(shí)間。如果他為別人工作，每小時(shí)得到的報(bào)酬是工資，記為 w（當(dāng)然是用消費(fèi)品衡量的）。試寫出該行為人的最優(yōu)化問題，并求解之。max{ln(c) ln(l)c,l,nss.t. c 4(ns)0.5 (24 l ns)w代約束條件進(jìn)目標(biāo)函數(shù)，分別對(duì) l和ns兩個(gè)變量求一階導(dǎo)數(shù)，并令其為零，有：(FOCl)w10.5(24lns)wl4(ns)(FOCn)2(ns)0.5w0.5(24l04(ns)ns)w求解上述聯(lián)立方程，可得：ns

4w32l12w282c12ww0.54w3.考慮一個(gè)具有如下代表性行為人的模型。代表性消費(fèi)者的效用函數(shù)如下：u(c,l) c l其中，c是消費(fèi)，l是閑暇，且 0。消費(fèi)者擁有一單位的時(shí)間稟賦和k0單位的資本。代表性企業(yè)生產(chǎn)消費(fèi)品的技術(shù)由如下的生產(chǎn)函數(shù)來表示：y Akn1其中，y是產(chǎn)出，A是全要素生產(chǎn)率， k是資本投入，n是勞動(dòng)投入，且0 1。記w為市場(chǎng)的實(shí)際工資， r為資本的租金率。a.試求解實(shí)現(xiàn)競(jìng)爭(zhēng)均衡時(shí)的所有價(jià)格和數(shù)量。b.試分析全要素生產(chǎn)率 A的一個(gè)變化會(huì)對(duì)消費(fèi)、產(chǎn)出、就業(yè)、實(shí)際工資以及資本租金率產(chǎn)生怎樣的影響。解：a.第一步，分析消費(fèi)者行為：maxu(c,l) max c lc,l c,ls.t. c w(1 l) (1 r)k0代約束條件進(jìn)目標(biāo)函數(shù)，可轉(zhuǎn)化為無約束的最大化問題。max[w(1l)(1r)k0]ll對(duì)l求一階導(dǎo)數(shù)，并令其為零，可得：1w4第二步，分析企業(yè)的行為：Akdnd1wnd(1r)kd(1)kdFOCn(1)Akdndw0FOCkdAkd1nd1r0根據(jù)市場(chǎng)出清條件，可得如下方程組：(1)Akdnd1Akd1nd1rkdk0求解得：1nA(1)k011rA(1)第三步，全部均衡解：1l1n1A(1)k0111ycAk0A(1)k0A(1)k0w1或者，考慮計(jì)劃經(jīng)濟(jì)情形：maxu(c,l) max c lc,l c,ls.t. c Ak0(1 l)1代約束條件進(jìn)目標(biāo)函數(shù)，可轉(zhuǎn)化為無約束的最大化問題：max Ak0(1 l)1 ll對(duì)l求一階導(dǎo)數(shù)，并令其為零，可得：(1 )Ak0(1 l) 15解得：1l1A(1)k01nA(1)k0b.l1(1)A(1)10k0An1(1)(110)k0AA11yc1A(1)0k0AAr11A(1)0Aw0A說明：閑暇將隨技術(shù)進(jìn)步而減少，因而就業(yè)將隨技術(shù)進(jìn)步而增加；產(chǎn)出、消費(fèi)和資本租金率將隨技術(shù)進(jìn)步而上升；實(shí)際工資不會(huì)隨技術(shù)進(jìn)步的變化而變化?？紤]一個(gè)如下的含有政府的代表性行為人的經(jīng)濟(jì)。消費(fèi)者的偏好由如下的效用函數(shù)代表：u(c,l) lnc lnl lng這里，c是消費(fèi)；l是閑暇；g是政府購(gòu)買； , 0。消費(fèi)者擁有一單位的時(shí)間稟賦。私人消費(fèi)品的生產(chǎn)技術(shù)如下：y zn這里，y是產(chǎn)出，n是勞動(dòng)投入， z 0。假設(shè)政府通過向消費(fèi)者征收一個(gè)總額稅來為自己的購(gòu)買融資。61）對(duì)于一個(gè)給定的g，試求均衡時(shí)的消費(fèi)、產(chǎn)出和就業(yè)。證明這些均衡數(shù)量是帕累托最優(yōu)的。2）試分析當(dāng)政府購(gòu)買發(fā)生變化時(shí)，這些均衡數(shù)量會(huì)受到怎樣的影響。平衡預(yù)算乘數(shù)時(shí)大于1還是小于1，解釋之。3）現(xiàn)在假設(shè)政府是一個(gè)“仁慈”的政府，它將選擇一個(gè)最優(yōu)的g。也就是說，政府將選擇一個(gè)合適的g去最大化代表性行為人的福利。試求解最優(yōu)水平的政府購(gòu)買數(shù)量。解：1）在給定g,0時(shí)，消費(fèi)者的最優(yōu)規(guī)劃問題可以表述如下：max[lnc lnl lng]c,ls.t. c w(1 l)代約束條件進(jìn)目標(biāo)函數(shù)，可以轉(zhuǎn)化為無約束的極值問題：maxln[w(1 l) ] lnl lngl該最大化問題的一階條件為：w

0w(1 l) l利用這一一階條件，可以求得消費(fèi)者的閑暇需求函數(shù)：l 11 w(w )w(1 )利用閑暇的需求函數(shù)，再加上消費(fèi)者的時(shí)間約束和預(yù)算約束，我們可以進(jìn)一步求得消費(fèi)者的勞動(dòng)供給和消費(fèi)需求函數(shù)：7w wn ， cw(1 ) 1可以注意到，閑暇和消費(fèi)都是都是隨總額稅的增加而減少的，這確保在我們假設(shè)的效用函數(shù)下，這兩種商品都是正常商品。也可以注意到，閑暇和消費(fèi)都隨 w的增加而增加，這意味著在我們的模型中，相對(duì)于收入效應(yīng)而言，替代效應(yīng)是占主導(dǎo)地位的。從企業(yè)的利潤(rùn)最大化問題中，我們能得到：w z競(jìng)爭(zhēng)均衡的定義要求政府的預(yù)算要平衡：g代這些表達(dá)式進(jìn)入消費(fèi)者的閑暇和消費(fèi)需求函數(shù)中，可以得到如下的競(jìng)爭(zhēng)均衡數(shù)量：l(zg)，nzg，czgz(1)z(1)1注意，當(dāng)我們把消費(fèi)者的時(shí)間預(yù)算代進(jìn)其預(yù)算約束的時(shí)候，我們已經(jīng)運(yùn)用了勞動(dòng)市場(chǎng)的出清條件， n 1 l。利用或者商品市場(chǎng)出清條件，c g y，或者生產(chǎn)函數(shù)， y zn，并與上述均衡數(shù)量相結(jié)合，可以求得均衡產(chǎn)量：y

z g1給定時(shí)，g 0我們可以借助如下的社會(huì)計(jì)劃者最優(yōu)問題來求得帕累托最優(yōu)的均衡數(shù)量：max[lnc lnl lng]c,ls.t. c g z(1 l)代約束條件進(jìn)目標(biāo)函數(shù)，可以轉(zhuǎn)化為無約束的極值問題：8maxln[z(1 l) g] lnl lngl該最大化問題的一階條件為：z0z(1 l) g l利用該一階條件，可以求得消費(fèi)者的閑暇需求函數(shù)：l 1

g1 z(z g)z(1 )利用閑暇的需求函數(shù)，再加上消費(fèi)者的時(shí)間約束、生產(chǎn)函數(shù)和資源約束，我們可以進(jìn)一步求得如下的均衡數(shù)量：nzg，yzg，czgz(1)11因?yàn)檫@些解與上面我們已經(jīng)推導(dǎo)出來的競(jìng)爭(zhēng)均衡數(shù)量是相同的，因此，競(jìng)爭(zhēng)均衡分配是帕累托最優(yōu)的分配。在這一例子中，之所以兩者的結(jié)果相同是因?yàn)榭傤~稅并不會(huì)產(chǎn)生扭曲效應(yīng)。2）因?yàn)樵陬}（1）中我們已經(jīng)求得均衡數(shù)量解，因而，我們之需要簡(jiǎn)單地讓這些均衡解對(duì)g求全導(dǎo)數(shù)，就可以得到結(jié)論：dn0dgz(1)dy0dg1dc10dg19可以注意到，平衡預(yù)算乘數(shù)是小于 1的。因?yàn)椋?1 ，所以，dy1。（回憶：政府預(yù)算約束g必須成立，因而，g的任dg1何一個(gè)變化一定對(duì)應(yīng)著的一個(gè)相同變化：ddg。因此，我們有“平衡預(yù)算乘數(shù)”這一名詞。）也可以注意到，擠出是不完全的：因?yàn)?，所以dc11。dg13）為了確定最優(yōu)水平的政府購(gòu)買數(shù)量，政府在給定行為人對(duì)g變化的最優(yōu)反應(yīng)的基礎(chǔ)上通過選擇一個(gè)合適的g來最大化代表性行為人的福利。我們可以把在題（1）中求得的行為人的決策規(guī)則看成是一個(gè)g的函數(shù)：cc(g)和ll(g)。這些函數(shù)告訴我們行為人的最優(yōu)選擇c和l是如何隨著g的變化而變化的。政府的最優(yōu)化問題可以描述如下：maxlnc(g) lnl(g) lngg或者，等價(jià)地：maxlnzg(zg)lnlngg1z(1)一階條件如下：10zgzgg或者1（1）zgg注意，方程（1）的左邊代表的是政府購(gòu)買的邊際成本。這些成本是借助純財(cái)富效應(yīng)通過減少消費(fèi)和閑暇的形式實(shí)現(xiàn)的。方程（ 1）的右10邊代表的是政府購(gòu)買的邊際收益。因此，最優(yōu)的 g平衡著政府購(gòu)買的邊際收益和邊際成本。注意到邊際成本隨著 g的增加而增加，而邊際收益則隨著 g的增加而減少。求解（ 1）式可以得到最優(yōu)的政府購(gòu)買水平：gz（2）1考慮一個(gè)具有和題3相同的偏好和生產(chǎn)技術(shù)的代表性行為人經(jīng)濟(jì)。假設(shè)現(xiàn)在政府通過向消費(fèi)者的勞動(dòng)收入征收比例稅來為自己的購(gòu)買進(jìn)行融資。讓t代表稅率，因而政府的總稅收收入等于tw(1l)，這里，w是實(shí)際工資。（1）寫出政府的預(yù)算約束。（2）對(duì)于給定的g，試求競(jìng)爭(zhēng)均衡中的消費(fèi)、產(chǎn)出和就業(yè)。討論這一均衡是否是帕累托最優(yōu)均衡。3）證明競(jìng)爭(zhēng)均衡的最優(yōu)數(shù)量將隨著g的變化而變化。4）求解實(shí)現(xiàn)福利最大化的政府購(gòu)買g的水平。這里的答案為什么與在題1中征總額稅時(shí)的答案不同？請(qǐng)解釋之。解：（1）政府的預(yù)算約束是政府購(gòu)買等于稅收收入：g tw(1 l)2）由于稅收扭曲的存在，我們不能用社會(huì)計(jì)劃者的最優(yōu)問題去求解競(jìng)爭(zhēng)均衡。在給定g,0時(shí)，消費(fèi)者的最優(yōu)規(guī)劃問題可描述如下：max[lnc lnl lng]c,l11s.t. c w(1 l)(1 t)代約束條件進(jìn)目標(biāo)函數(shù)，可以轉(zhuǎn)化為無約束的極值問題：maxln[w(1 l)(1 t)] lnl lngl該最大化問題的一階條件為：w(1 t)

0w(1 l)(1 t) l利用該一階條件，可以求得消費(fèi)者的閑暇需求函數(shù)：l1可以注意到該表達(dá)式與稅后實(shí)際工資無關(guān)。在這種情形下，替代效應(yīng)在數(shù)值上等于收入效應(yīng)，因此正好相互抵消。代閑暇的需求函數(shù)進(jìn)預(yù)算約束方程，我們可以進(jìn)一步求得消費(fèi)者的消費(fèi)需求函數(shù)：c

w(1 t)1可以注意到消費(fèi)與稅后收入成正比關(guān)系。因此，消費(fèi)將隨稅率的提高而下降。從企業(yè)的最大化問題中，我們可以得到：w z市場(chǎng)出清條件是：n 1 lc g y( zn)因此，競(jìng)爭(zhēng)均衡的數(shù)量解將由如下的表達(dá)式給出：l，n1，yz，czg1111我們?cè)诘谝活}的（1）部分已經(jīng)求得帕累托最優(yōu)的數(shù)量解。通過對(duì)比，可以發(fā)現(xiàn)只有在 g 0時(shí)兩個(gè)解才一致。只要 g 0，競(jìng)爭(zhēng)均衡分配將總是次優(yōu)的。12（3）dn0，dy0，dc1dgdgdgdc注意，在這種情況下，擠出效應(yīng)是完全的： 1。dg（4）政府的最優(yōu)化問題能描述如下：maxlnc(g) lnl(g) lngg這里，c(g)和l(g)代表了競(jìng)爭(zhēng)均衡的數(shù)量（我們已經(jīng)在（2）中求得）。代入c(g)和l(g)的表達(dá)式，可以得到政府的最優(yōu)化問題：maxlnzlnlnggg11或者，更簡(jiǎn)潔地：maxlnzglng1一階條件如下：1（3）z g(1 ) g再一次，可以注意到，方程（ 3）的左邊代表的是政府購(gòu)買的邊際成本。方程（3）的右邊代表的是政府購(gòu)買的邊際收益。求解（ 3）式可以得到最優(yōu)的政府購(gòu)買水平：gz（4）1比較表達(dá)式（4）和第一題中的表達(dá)式（ 2），我們可以看到在目前的情形下，政府的購(gòu)買水平更?。ㄒ?yàn)?0）。也就是說，最優(yōu)水平的g在征總額稅時(shí)要比在征比例稅時(shí)來得大。因?yàn)?，在征比例稅時(shí)，稅收將對(duì)勞動(dòng)供給和消費(fèi)需求產(chǎn)生一個(gè)扭曲效應(yīng)。而這些額外13的成本是伴隨著政府的行為而產(chǎn)生的，因此， g自然會(huì)下降。比較1）和（3）式可以發(fā)現(xiàn)，在g給定時(shí)，在征比例稅時(shí)，政府活動(dòng)的邊際成本更大，而邊際收益兩者卻是一樣的。第三講配套習(xí)題及答案在我們的講義的實(shí)例中曾描述了一個(gè)兩期模型，現(xiàn)在，若在這個(gè)兩期模型中的期效用函數(shù)成為：1u(ct) ct21）.試推導(dǎo)出歐拉方程。2）.試求代表性消費(fèi)者的最優(yōu)消費(fèi)組合(c1,c2,b1)。3）.試求均衡的利率r。1）歐拉方程為u(ct)(1 r)u(ct1)111因?yàn)閡(ct)ct2，所以u(píng)(ct)2，因而有：ct21c22(1r)c1（2）我們有三個(gè)未知數(shù)，但相應(yīng)的也有三個(gè)方程，一個(gè)是歐拉方程，另兩個(gè)就是約束條件。c2c12(1r)2y1c1b1y2b1(1r)c2求解得：y2y1(1r)c12(1r)(1r)114c22(1r)[y2y1(1r)]12(1r)b1y1y2y1(1r)2(1r)(1r)1（3）在均衡時(shí)，b1 0，因此：1y22r12y12.假設(shè)瑪麗只生活兩期。在每一期里她都可以不勞而獲地得到一些消費(fèi)品：第一期記為 e1；第二期記為e2。她對(duì)兩期消費(fèi)品的偏好可由如下的效用函數(shù)來表達(dá)： u(c1,c2) ln(c1) ln(c2)，其中，c1和c2分別是她在第一期和第二期的消費(fèi)； 是一個(gè)間于0和1之間的參數(shù)，表示的是時(shí)間偏好。當(dāng)然，如果瑪麗覺得第一期的稟賦，也即e1太多，她是可以把它儲(chǔ)蓄起來，以供第二期消費(fèi)的。我們把她儲(chǔ)蓄的數(shù)量記為s。非常不幸，老鼠會(huì)偷吃她儲(chǔ)蓄的物品，因此，假如她在第一期儲(chǔ)蓄 s單位的物品，在第二期她只能得到 (1 )s單位，其中， 是一個(gè)間于0和1之間的參數(shù)。.試寫出瑪麗的最優(yōu)化問題。（你應(yīng)該描述出她的選擇變量、目標(biāo)函數(shù)和約束條件。）b.試求解最優(yōu)化問題的解。（當(dāng)然，你應(yīng)給把諸如 e1、e2、 、等參數(shù)看作外生給定的。）c.假如瑪麗現(xiàn)在發(fā)現(xiàn)了一種可以減少老鼠偷吃的方法，這會(huì)對(duì)她的最優(yōu)選擇產(chǎn)生怎樣的影響？（無非是對(duì) 的變化作一個(gè)比較靜態(tài)分析!）15a. max{ln(c1) ln(c2)c1,c2,ss.t. c1 s e1c2 e2 (1 )sb.構(gòu)建拉格朗日函數(shù)：ln(c1) ln(c2) 1[e1 c1 s] 2[e2 (1 )s c2]一階條件為：(FOCc1)11c1(FOCc2)2c2

00(FOCs)12(1)0利用三個(gè)一階條件可求得歐拉方程：c2c1

(1 )結(jié)合約束方程，可求得：s(1)e1e2(1)(1)c1e1(1)e1e2(1)(1)c2e2(1)e1e2(1)c.分別對(duì) 求導(dǎo)數(shù)，可得：c1e20(1)2(1)c2 e11

016se2(1)0(1)2(1)2因?yàn)楝旣悓W(xué)會(huì)了防止老鼠偷吃的技術(shù)，因此， 將下降。根據(jù)偏導(dǎo)數(shù)的符號(hào)，我們可以判斷：第一期的消費(fèi)將減少，而第二期的消費(fèi)和第一期的儲(chǔ)蓄都將增加。在講義中，我們假設(shè)行為人在初始時(shí)擁有外生給定的資本k0，并且這些資本是不能直接用于消費(fèi)的?，F(xiàn)在如果我們?nèi)∠Y本不能直接用于消費(fèi)這一強(qiáng)制性規(guī)定（這樣，第一期的收入就不需要自己去生產(chǎn)了）。效用函數(shù)與生產(chǎn)函數(shù)的具體形式仍與講義中的相同，試求每一期的均衡數(shù)量解和價(jià)格解。解：考慮計(jì)劃經(jīng)濟(jì)的情形maxu(c1) u(c2)c1,c2,ks.t.c1 k0 k1c2 zf(k1)如果u(ct) ln(ct)，y zf(k) zk ，可解得：k1k01c11k01c2zk01企業(yè)利潤(rùn)函數(shù)為：zf(kd) (1 r)kd (1 )kd17假設(shè) 1,企業(yè)利潤(rùn)最大化的一階條件為：zf(kd) 1 r利用這一條件，可求得：1rzk0112.考慮如下這樣一個(gè)兩期問題：行為人在第一期和第二期分別得到外生收入Y1和Y2，行為人需要選擇一個(gè)最優(yōu)的消費(fèi)組合 (C1,C2)來實(shí)現(xiàn)自己的效用最大化。我們假設(shè)期效用函數(shù)是一階導(dǎo)數(shù)大于零二階導(dǎo)數(shù)小于零的，并記利率為 r。a.以現(xiàn)值的形式寫出行為人的跨期預(yù)算約束條件。b.現(xiàn)在假設(shè)政府以 t的稅率對(duì)利息收入征稅。當(dāng)然，我們也假定，如果你是債務(wù)人，當(dāng)你在向債權(quán)人支付利息時(shí)，政府也會(huì)安相同的比率對(duì)你的利息支出進(jìn)行補(bǔ)償。現(xiàn)在寫出新情形的現(xiàn)值跨期預(yù)算約束條件。c.假設(shè)在最優(yōu)的情況下，行為人是一個(gè)儲(chǔ)蓄者而不是一個(gè)借貸者，也即Y1 C1。請(qǐng)計(jì)算政府在每一期的稅收收入。d.現(xiàn)在假設(shè)政府取消了對(duì)利息征稅，轉(zhuǎn)而決定對(duì)每一期都征收一個(gè)固定數(shù)量的總額稅，分別記為 T1和T2：ⅰ.寫出行為人新的預(yù)算約束條件。.為了維持政府稅收收入的現(xiàn)值不變，新的總額稅應(yīng)該滿足怎樣的條件？ⅲ.假如新總額稅滿足了（ⅱ）中的條件，行為人在新的情況形下還能承擔(dān)原先的消費(fèi)組合嗎？18.假如新總額稅滿足了（ⅱ）中的條件，行為人在第一期的消費(fèi)是上升的、下降的、還是不變的？1.a.行為人的預(yù)算約束為：C2Y2C1Y11r1r行為人新的預(yù)算約束為：C2Y2C1Y1[1(1t)r][1(1t)r]政府兩期的總稅收收入為：tr(Y1 C1)ⅰ.行為人新的預(yù)算約束為：C2(Y2T2)C1(Y1T1)r1r1ⅱ.政府在征總額稅以后，其稅收的現(xiàn)值收入為：T2T11 r要保證政府稅收的現(xiàn)值收入不變，要求下式成立，即：tr(Y1C1)T21rT11r.假如（ⅱ）中所給出的條件成立，意味著在兩種稅收體制下，行為人的收入現(xiàn)值是相同的，因此，老的消費(fèi)組合(C1,C2)在新的稅收制度下一定是消費(fèi)的起得。ⅳ.假如（ⅱ）中所給出的條件成立，行為人第一期得消費(fèi)將減少，因?yàn)?，在新的稅收制度下，第二期的價(jià)格為 1 ，要比在老的稅收1 r191制度下的價(jià)格 更低，因此，行為人會(huì)減少第一期的消費(fèi)而1 (1 t)r增加第二期的消費(fèi)?？紤]一個(gè)僅生活兩期的代表性行為人。在第一期行為人參加工作并可獲得w的工資收入，在第二期行為人退休并以自己在第一期的儲(chǔ)蓄為生。行為人一生的效用為 u(c1) 1 u(c2)，其中期效用函數(shù)是1遞增且嚴(yán)格凹的，c1,c2分別表示行為人在第一期和第二期的消費(fèi)數(shù)量。假定行為人在第一期的儲(chǔ)蓄（記為s）可以獲得的報(bào)酬率，也即利率為r。（1）寫出行為人的最優(yōu)化問題（目標(biāo)函數(shù)和約束條件）（2）推導(dǎo)出行為人實(shí)現(xiàn)效用最大化時(shí)的一階條件，并用儲(chǔ)蓄 s表達(dá)出來。3）根據(jù)題（2）的結(jié)果，推導(dǎo)出s/w的表達(dá)式。從中你可以判斷出工資收入變動(dòng)會(huì)對(duì)儲(chǔ)蓄產(chǎn)生怎樣的影響？對(duì)你的結(jié)論給出一個(gè)簡(jiǎn)單的經(jīng)濟(jì)解釋。（4）根據(jù)題（2）的結(jié)果，推導(dǎo)出 s/ r的表達(dá)式。從中你可以判斷出利率變動(dòng)會(huì)對(duì)儲(chǔ)蓄產(chǎn)生怎樣的影響？請(qǐng)?jiān)囍茖?dǎo)該偏導(dǎo)數(shù)的符號(hào)與跨期替代彈性（我們定義為(c)u(c)）之間的關(guān)系。cu(c)2.（1）1maxu(c1)u(c2)c1,c21s.t.c1swc2 (1 r)s202）代約束條件進(jìn)目標(biāo)函數(shù)，消掉變量c1和c2，對(duì)另一變量s求一階導(dǎo)數(shù)并令其為零，可得：u(c1)1ru(c2)01或者u(ws)1ru[(1r)s]01（3）（2）式中的一階條件實(shí)際上以隱函數(shù)的形式給出了變量的s、w、r之間的關(guān)系，我們把這個(gè)隱函數(shù)記為：F(w,s,r)u(ws)1ru[(1r)s]1利用隱函數(shù)求導(dǎo)定理，有sF/wu(c1)(0,1)wF/s(1r)2u(c2)u(c1)1由偏導(dǎo)數(shù)的值域可知，當(dāng)工資收入上升時(shí)，行為人的儲(chǔ)蓄也會(huì)隨之增加。（4）利用隱含數(shù)求導(dǎo)法則，可以得到：u(c2)(1r)su(c)u(c2)c2u(c)sF/r112112rF/s(1r)2u(c2)u(c1)(1r)2u(c2)u(c1)11u(c2)c2u(c2)(1 r)2u(c2) (1 )u(c1)1u(c2)1＝(c2)2u(c2)(1)u(c1)(1r)21該符號(hào)不確定，依賴于跨期替代彈性的大小。當(dāng)1時(shí)，s/r0；當(dāng)1時(shí)，s/r0；當(dāng)1時(shí)，s/r0。第五講 配套習(xí)題及答案考慮一個(gè)有如下效用函數(shù)的生活無限期的行為人：1lnctt 1假定該行為人不擁有任何初始資產(chǎn)（ A1 0）。該行為人可以進(jìn)入一個(gè)資本市場(chǎng)，在這里，他（她）可以以固定的利率 r借入或借出收入。假設(shè)行為人在每一期的收入固定等于 y 0。1）寫出行為人的最優(yōu)化問題。確信包含了轉(zhuǎn)換條件。2）試用拉格朗日和動(dòng)態(tài)規(guī)劃兩種方法推導(dǎo)出行為人的歐拉方程。3）用行為人的歐拉方程和跨期預(yù)算約束條件求出她的最優(yōu)消費(fèi)路徑。4）比較行為人的最優(yōu)消費(fèi)路徑和收入路徑，并解釋他們的差異。解：1）行為人的最優(yōu)化問題可描述如下：maxt1lnctt1s.t.ctAt1(1r)Aty,t1,2,limAT10(1r)TT222）用拉格朗日方法推導(dǎo)跨期歐拉方程，我們首先需要求出如下最大化問題的一階條件：maxt1lnctt(1r)AtyctAt1ct,At1,tt1t1這里，t0是時(shí)期t預(yù)算約束的拉格朗日乘子。對(duì)于所有的t1,2,，關(guān)于ct,At1,t的一階條件分別如下：t1ctt0t(1r)t10(1r)AtyctAt10利用前兩個(gè)一階條件，可以得到跨期歐拉方程：t1t11(1r)ct(1r)ctct1ct1用動(dòng)態(tài)規(guī)劃的方法求解，我們首先需要用遞規(guī)的形式構(gòu)建出行為人的最優(yōu)化問題：v(At)maxlnctv(At1)ct,At1s.t.ctAt1(1r)Aty或v(At) maxln(1 r)At y At1 v(At1)At 1對(duì)應(yīng)于該值函數(shù)右邊最大化問題的一階條件為：1ct

v(At1)貝爾曼方程兩邊同時(shí)對(duì) At求導(dǎo)并應(yīng)用包洛定理，有：v(At)

1 rct23利用上式替代掉一階條件中的 v(At1)，可以得到跨期歐拉方程：1(1r)1ctct1（3）以如下的方式表述歐拉方程：11ct1(1r)ct1(1r)ct(1r)ct1ctct我們可以看到，給定 c1，這最優(yōu)的消費(fèi)路徑由如下形式給出：c2(1r)c1c3(1r)c2[(1r)]2c1c4(1r)c3[(1r)]3c1或者，更簡(jiǎn)潔地表示為：ct [ (1 r)]t1c1,t 1,2,現(xiàn)在，我們需要從跨期預(yù)算約束中決定出 c1。應(yīng)用轉(zhuǎn)換條件、初始資本A1 0這些條件，跨期預(yù)算約束可以寫為：ct yt1(1 r)t1 t1(1 r)t1y

t11t1 1 r然后，運(yùn)用幾何級(jí)數(shù)求和公式，有：ct1ryt1(1r)t1r替代掉ct，我們可以求解出 c1：[(1r)]t1c11ryt1(1r)t1r24c1t11ryt1rc1(1)1ryr因此，最優(yōu)的消費(fèi)路徑將由下式給出：ct[(1r)]t1(1)1ry,t1,2,r（4）注意。假如(1r)1，那么，對(duì)于所有的t1,2,，有ct y。在這一特殊的情形中，消費(fèi)路徑等于收入路徑（為常數(shù)y）。假如 (1 r) 1，那么，最優(yōu)的消費(fèi)路徑是單調(diào)增加的。假如(1 r) 1，那么，最優(yōu)消費(fèi)路徑是單調(diào)減少的。第六講 配套習(xí)題及答案我們知道，在連續(xù)時(shí)間下，一個(gè)變量的增長(zhǎng)率可以表示為該變量的自然對(duì)數(shù)對(duì)時(shí)間的導(dǎo)數(shù)，也即如下結(jié)論：

z(t)dlnz(t)。請(qǐng)利用這一事實(shí)證明z(t)dt(a).兩個(gè)變量乘積的增長(zhǎng)率等于它們各自增長(zhǎng)率之和。也即，如果z(t)x(t)y(t)，那么，z(t)x(t)y(t)。z(t)x(t)y(t)(b).兩個(gè)變量比率的增長(zhǎng)率等于它們各自增長(zhǎng)率之差。也即，如果z(t)x(t)，那么，z(t)x(t)y(t)。y(t)z(t)x(t)y(t)(c).如果z(t)x(t)，那么，z(t)x(t)。z(t)x(t)25考慮一處于平衡增長(zhǎng)路徑上的索洛經(jīng)濟(jì)，為了簡(jiǎn)單，假定無技術(shù)進(jìn)步?，F(xiàn)在假定人口增長(zhǎng)率下降。(a).處于平衡增長(zhǎng)路徑上的每工人平均資本、每工人平均產(chǎn)量和每工人平均消費(fèi)將發(fā)生什么變化？畫出經(jīng)濟(jì)向其新平衡增長(zhǎng)路徑移動(dòng)的過程中這些變量的路徑。(b).說明人口增長(zhǎng)率下降對(duì)產(chǎn)量路徑的影響。假定生產(chǎn)函數(shù)為柯布－道格拉斯函數(shù)。(a).將k、y和c表示為模型的參數(shù) s、n、g、 和 的函數(shù)。(b).k 的黃金值是多少？(c).為得到黃金資本存量，所需要的儲(chǔ)蓄率是多少？4.考慮不變替代彈性（CES）生產(chǎn)函數(shù)，Y[K(1)/(1)/(1)/(AL)]，其中，0且1。(a).證明：該生產(chǎn)函數(shù)為規(guī)模報(bào)酬不變的。(b).求出該生產(chǎn)函數(shù)的密集形式。(c).在什么條件下該密集形式滿足f()0,f()0？(d).在什么條件下該密集形式滿足稻田條件？假定對(duì)資本和勞動(dòng)均按其邊際產(chǎn)品支付報(bào)酬。用w表示F(K,AN)/ N，r表示 F(K,AN)/K。(a).試證明勞動(dòng)的邊際產(chǎn)出 w為A[f(k) kf(k)]。(b).試證明如果勞動(dòng)和資本均按其邊際產(chǎn)出取得報(bào)酬，規(guī)模報(bào)酬不變意味著：生產(chǎn)要素總收入等于總產(chǎn)量。也就是證明在規(guī)模報(bào)酬不變的情形下， wN rK F(K,AN)。26(c).如果生產(chǎn)函數(shù)的具體形式為一柯布 -道格拉斯型生產(chǎn)函數(shù)，也即F(K,AN) K (AN)1 ，試證明這里 就是資本這種生產(chǎn)要素所獲得的收入在總收入（也即總產(chǎn)出）中所占的份額。(d).卡爾多（1961年）曾列出了一些關(guān)于經(jīng)濟(jì)增長(zhǎng)的典型特征，其中的兩個(gè)是：(1)資本的報(bào)酬率（r）近似不變；（2）產(chǎn)量中分配向資本和勞動(dòng)收入比例也大致不變。處于平衡增長(zhǎng)路徑上的索洛經(jīng)濟(jì)是否表現(xiàn)出這些性質(zhì)？在平衡增長(zhǎng)路徑上， w和r的增長(zhǎng)率各是多少？(e).假定經(jīng)濟(jì)開始時(shí)，k k。隨著k移向k，w的增長(zhǎng)率是高于、低于還是等于其在平衡增長(zhǎng)路徑上的增長(zhǎng)率？對(duì) r來說，結(jié)果又是什么？6.設(shè)生產(chǎn)函數(shù)為YK(AL)R1，其中R為土地?cái)?shù)量。假設(shè)且1。生產(chǎn)要素按照KsYK、AgA、LnL和0,0，＋R 0變動(dòng)。(a).該經(jīng)濟(jì)是否有唯一且穩(wěn)定的平衡增長(zhǎng)路徑？也就是說，該經(jīng)濟(jì)是否收斂于這樣一種情形：在此情形下， Y、K、L、A和R均以不變（但不必相同）速率增長(zhǎng)？如果這樣，其增長(zhǎng)率各為多少？若非如此，為什么？(b).根據(jù)你的答案，土地存量不變這一事實(shí)是否意味著持久增長(zhǎng)是不可能的？請(qǐng)直觀地解釋。第七講 配套習(xí)題及答案27考慮一個(gè)如下的新古典增長(zhǎng)模型，其中，代表性的家庭的偏好由如下的效用函數(shù)給出：ctt 0這里，01，ct是人均消費(fèi)，且。人口以固定速率n增10長(zhǎng)，因此：Nt (1 n)tN0這里，N0 0。生產(chǎn)技術(shù)由下述函數(shù)所代表：Yt KtN1t這里，0 1，Yt是總產(chǎn)出，Kt是總資本存量。資本使用一期就完全折舊，初始資本存量是正的： K0 0。政府通過向家庭征收總額稅的方式來為自己的購(gòu)買融資，其數(shù)量為 gNt，其中，g 0。出于簡(jiǎn)單化，我們假設(shè)政府把它所購(gòu)買的商品均扔入大海里。(1).以動(dòng)態(tài)規(guī)劃的形式構(gòu)建社會(huì)計(jì)劃者的最優(yōu)化問題。這一規(guī)劃能被用作去求競(jìng)爭(zhēng)均衡解嗎？為什么可以或不可以？(2).求解均衡路徑上的資本勞動(dòng)比率、人均消費(fèi)和儲(chǔ)蓄率。(3).在第(2)部分的解是否依賴g？解釋原因。解：（1）社會(huì)計(jì)劃者的問題可以寫為：maxtctct,Kt1t028s.t. Ntct Kt1 KtNt1 gNtNt (1 n)tN0預(yù)算約束方程兩邊同時(shí)除以 Nt，可以構(gòu)建如下的貝爾曼方程：v(kt)maxctv(kt1)ct,kt1s.t.ct(1n)kt1ktg這里，kt Kt。因?yàn)椴淮嬖诙愂张で?、外部性，或者市?chǎng)失靈，社Nt會(huì)計(jì)劃者的最優(yōu)問題可以用作去求競(jìng)爭(zhēng)均衡的最優(yōu)解。注意，社會(huì)計(jì)劃者把政府支出看作是外生的變量，也即，在上述的計(jì)劃最優(yōu)問題中，g是作為一個(gè)參數(shù)而加以考慮的。2）代預(yù)算約束條件進(jìn)目標(biāo)函數(shù)，我們可以重寫題（1）中的動(dòng)態(tài)規(guī)劃問題為如下形式：kt (1 n)kt1 gv(kt) max v(kt1)kt1求解右邊的貝爾曼方程，一階條件由下式給定：(1 n)ct1 v(kt1) 0ct1v(kt1)1n包洛定理意味著如下的等式成立：v(kt) kt 1ct1聯(lián)合包洛定理和一階條件可以得到歐拉方程：ct1kt11ct111n代平衡增長(zhǎng)條件，ctct1c,ktkt1k進(jìn)歐拉方程，可以求得：2911k1 n代平衡增長(zhǎng)條件和 k的表達(dá)式進(jìn)預(yù)算約束條件，可以得到：1c11nngn1儲(chǔ)蓄率由下式給出：Kt1Nt1kt1(1n)kt1stNtktktYt因此，Kt1(1n)(k)1sYt（3）讓每個(gè)平衡增長(zhǎng)的表達(dá)式對(duì) g求導(dǎo)數(shù)，有：k0,c1,s0ggg也就是說，儲(chǔ)蓄和資本積累是不受政府支出變化的影響的。產(chǎn)出也不受影響，穩(wěn)定狀態(tài)的消費(fèi)將被政府購(gòu)買的增加而一對(duì)一地?cái)D出?？紤]一個(gè)由許多相同行為人組成的經(jīng)濟(jì)。每個(gè)行為人的偏好由如下的效用函數(shù)給出：lnctt 0這里，0 1， ct是時(shí)期t的消費(fèi)。每個(gè)行為人在每一期都擁有一單位的時(shí)間稟賦，并且都有相同的初始資本存量 k0。在時(shí)期t，消費(fèi)者以實(shí)際工資率 wt的價(jià)格出售nt單位的時(shí)間給代表性的企業(yè)作為企業(yè)的勞動(dòng)投入；同時(shí)，以實(shí)際租金率 rt的價(jià)格租kt單位的資本給企業(yè)。企業(yè)的利潤(rùn)歸消費(fèi)者所有，并且消費(fèi)者能以一對(duì)一的方式把當(dāng)30前的產(chǎn)出轉(zhuǎn)化為下一期的資本。每期資本都完全被折舊。因此，消費(fèi)者在時(shí)期t的預(yù)算約束就為：ct kt1 wtnt rtkt t代表性企業(yè)的生產(chǎn)函數(shù)如下：yt Aktn1t Kt這里，Kt代表經(jīng)濟(jì)中所有行為人的平均資本持有量。注意，各參數(shù)受如下的限制：A0,0,01,1。(1).解釋在本模型中生產(chǎn)技術(shù)背后的經(jīng)濟(jì)直覺。(2).設(shè)計(jì)一個(gè)中央計(jì)劃問題，使得勞動(dòng)努力、消費(fèi)和資本積累的路徑與競(jìng)爭(zhēng)均衡的路徑相同。以遞歸的形式寫出這一問題，并標(biāo)明時(shí)期t的狀態(tài)變量和選擇變量。（提示：強(qiáng)制計(jì)劃者把 Kt看作參數(shù)。）(3).假設(shè)值函數(shù)是可微的，推導(dǎo)相應(yīng)的一階條件、包洛定理和歐拉方程。(4).描述出資本和消費(fèi)的競(jìng)爭(zhēng)均衡增長(zhǎng)路徑。(5).競(jìng)爭(zhēng)均衡的增長(zhǎng)率會(huì)比最優(yōu)增長(zhǎng)率更快還是更慢？解釋之。解：1）由于Kt的存在，使得本題中的生產(chǎn)函數(shù)與通常得新古典生產(chǎn)函數(shù)不一樣。這一生產(chǎn)函數(shù)包涵著如下兩方面的含義：第一，企業(yè)資本存量的一個(gè)增加將通過干中學(xué)的機(jī)制導(dǎo)致知識(shí)存量的一個(gè)增加；第二，企業(yè)的知識(shí)是一個(gè)公共產(chǎn)品，可以瞬時(shí)地溢出到整個(gè)經(jīng)濟(jì)中。31（2）給定Kt 0，以動(dòng)態(tài)規(guī)劃的形式，中央計(jì)劃問題可以表述如下：v(kt,Kt)maxlnctv(kt1,Kt1)ct,kt1s.t.ctkt1AKtkt注意，這一問題在概念上與社會(huì)計(jì)劃問題是不同的。這里，“計(jì)劃者”通過把總資本存量看作參數(shù)而被迫接受外部性的存在。對(duì)于這一類型問題的解有時(shí)候也被稱為“限制最優(yōu)”。由于沒有把外部性內(nèi)部化，這一問題與遞歸形式的競(jìng)爭(zhēng)均衡相一致。時(shí)期 t的狀態(tài)變量是kt和Kt；而選擇變量分別是 kt1和ct。資源約束條件可以在給定 wt，rt和Kt 0的情況下，通過考慮企業(yè)的如下潛在最優(yōu)問題而正式地推導(dǎo)出來：maxAktn1t Kt wtnt rtktnt,kt相應(yīng)的一階條件由下式給出：(1 )AKtktnt wtAKtkt 1n1t rt在均衡時(shí)nt 1給出了競(jìng)爭(zhēng)均衡的價(jià)格：wt(1)AKtktrtAKtkt1代這些表達(dá)式以及均衡就業(yè) nt 1進(jìn)入企業(yè)的目標(biāo)函數(shù)意味著均衡利潤(rùn)是零：t Aktn1t Kt wtnt rtkt AktKt (1 )AktKt AKtkt1kt 032接著代均衡價(jià)格，就業(yè)和利潤(rùn)進(jìn)消費(fèi)者的預(yù)算約束可以得到經(jīng)濟(jì)的資源約束：ct kt1 AKtkt（3）代ct進(jìn)目標(biāo)函數(shù)：(kt,Kt)maxlnAKtktkt1(,Kt1)vkt1vkt1假設(shè)值函數(shù)是可微的，相應(yīng)于最優(yōu)化問題右邊的貝爾曼方程的一階條件由下式給出：1(kt1,Kt1)0v1AKtktkt1包洛條件可以通過對(duì)目標(biāo)函數(shù)的兩邊對(duì) kt求全導(dǎo)數(shù)而得到：v1(kt,Kt)

AKtkt

1AKtkt kt1包洛條件往前挪一期，并代結(jié)果進(jìn)一階條件方程，可以得到歐拉方程：1AKt1kt111ctct1（4）對(duì)所有的時(shí)期t，應(yīng)用總一致性條件ktKt1：1AKt111ctct1或者ct1AKt11ctA(1)只要A1，消費(fèi)將以固定速率A1增長(zhǎng)。運(yùn)用總一致條件到資源約束條件中，可以得到如下的等式：33ct kt1 AktktAkt注意在均衡時(shí)，該經(jīng)濟(jì)與簡(jiǎn)單的“AK模型”是相同的。兩邊同除以kt可得：ctkt1Aktkt平衡增長(zhǎng)均衡意味著資本的增長(zhǎng)率等于消費(fèi)的增長(zhǎng)率，因此ct是固kt定的：kt1ct1Aktct因此，在所有的時(shí)期，平衡增長(zhǎng)路徑上的消費(fèi)－資本比率由下式給定：ct A(1 )kt（5）這最優(yōu)的增長(zhǎng)率是通過求解社會(huì)計(jì)劃者的如下最優(yōu)化問題而被確定：v(kt)maxlnctv(kt1)ct,kt1s.t.ctkt1Akt注意社會(huì)計(jì)劃者內(nèi)部化了私人間由一個(gè)企業(yè)的生產(chǎn)活動(dòng)對(duì)其他企業(yè)所產(chǎn)生的外部影響。相應(yīng)于這一問題的歐拉方程由下式給出：1Act ct1上式兩邊都乘以 ct1，我們可以看到消費(fèi)和資本的增長(zhǎng)率由下式給出：34ct1kt1AActkt因?yàn)?1，這一增長(zhǎng)率要比競(jìng)爭(zhēng)均衡的增長(zhǎng)率更大。假如投資的收益不反應(yīng)由干中學(xué)和知識(shí)生產(chǎn)的外部社會(huì)收益，那么，在競(jìng)爭(zhēng)均衡中的資本積累是次優(yōu)的。3.考慮一個(gè)經(jīng)濟(jì)處于平衡增長(zhǎng)路徑上的時(shí)間是連續(xù)的新古典增長(zhǎng)模型。效用函數(shù)與生產(chǎn)函數(shù)均與講義中的相同?，F(xiàn)在假設(shè)政府在某一期，比如說t0時(shí)期宣布他（她）將在未來的某一期，比如說 t1期開始將向行為人征收投資所得稅，稅率為。因此，行為人的實(shí)際利率將成為r(t)(1)f(k(t))。并且假設(shè)政府會(huì)把他（她）征收來的稅收一次性地返還給行為人。1）試畫出t1時(shí)期以后的人均消費(fèi)和人均資本的動(dòng)態(tài)演進(jìn)的相位圖。2）在t1時(shí)期人均消費(fèi)會(huì)出現(xiàn)非連續(xù)的變化嗎？為什么會(huì)或者不會(huì)？3）試畫出t1時(shí)期以前的人均消費(fèi)和人均資本的動(dòng)態(tài)演進(jìn)的相位圖。4）根據(jù)你對(duì)前三個(gè)問題的回答，你認(rèn)為在t0時(shí)期，人均消費(fèi)必須做出怎樣的調(diào)整？5）請(qǐng)根據(jù)你的分析，畫出人均消費(fèi)和人均資本隨時(shí)間推移的演進(jìn)草圖。4.請(qǐng)簡(jiǎn)要回答如下這些問題：a.李嘉圖等價(jià)定理的基本含義是什么？35b.請(qǐng)描述一種經(jīng)濟(jì)環(huán)境，在那里，李嘉圖等價(jià)定理是成立的。在這種經(jīng)濟(jì)環(huán)境中，如果政府頒布了一項(xiàng)稅收的減免政策，這一政策會(huì)對(duì)行為人的消費(fèi)產(chǎn)生怎樣的影響？C.李嘉圖等價(jià)定理成立需要具備怎樣的條件？李嘉圖等價(jià)定理的基本含義是：如果政府的支出路徑是給定的，那么，不管政府是采用何種手段來為自己的支出融資（或者是通過征總額稅的手段或者是發(fā)行債券的方式）都不會(huì)對(duì)經(jīng)濟(jì)的資源配置產(chǎn)生影響。行為人并不會(huì)改變已有的行為決策。只要政府是征收總額稅的話，在新古典增長(zhǎng)理論中，李嘉圖等價(jià)定理就會(huì)成立。在代際交疊模型中，只要行為人是關(guān)心下一代的，也即他們會(huì)為下一代留下正的遺產(chǎn)，那么，李嘉圖等價(jià)定理也將成立。如果李嘉圖等價(jià)定理是成立的，那么，政府實(shí)施的稅收減免政策將會(huì)是中性的，因?yàn)樾袨槿藭?huì)增加自己的儲(chǔ)蓄，并且所增加的數(shù)量恰好等于政府減免的稅收數(shù)量。因而，政府的減稅政策不會(huì)對(duì)行為人的最優(yōu)決策產(chǎn)生影響。李嘉圖等價(jià)定理要成立，以下條件是必須具備的：（1）政府征收的是總額稅，也就是說不能有稅收扭曲；（2）行為人是生活無限期的，他們無法把稅收轉(zhuǎn)移到下一代；（3）信貸市場(chǎng)是完善的，當(dāng)政府突然增加稅收時(shí)，他們能從信貸市場(chǎng)上借到相應(yīng)數(shù)額的資金，從而維持自己當(dāng)前的消費(fèi)不變。第八講 配套習(xí)題及答案36考慮如下一個(gè)代際交疊增長(zhǎng)模型。我們用t0,1,2,,來表示時(shí)間。在時(shí)期t期里，有Nt個(gè)生活兩期的消費(fèi)者出生，這里，Nt N0(1 n)t，其中，N0外生給定，n 0代表人口增長(zhǎng)率。在 t=0時(shí)期，有一些僅生活一期的老年行為人，他們集體擁有 K0單位資本并最大化在t=0時(shí)期的消費(fèi)。每個(gè)時(shí)期t出生的消費(fèi)者的偏好由下式給定：u(c1t,c2t1) u(c1t) u(c2t1) lnc1t lnc2t1這里，c1t和c2t1分別表示第t期的年輕人和第 t+1期的老年人的消費(fèi)，也就是同一個(gè)行為人在青年期和老年期的消費(fèi)， 0為折現(xiàn)因子。每個(gè)消費(fèi)者在第一期擁有 1單位的勞動(dòng)稟賦，而在第二期則擁有0單位的勞動(dòng)稟賦。生產(chǎn)技術(shù)由下式給出：F(Kt,Nt)AKtNt1這里，Yt是產(chǎn)出，Kt和Nt是資本和勞動(dòng)投入，A0，01。消費(fèi)品能被一對(duì)一地轉(zhuǎn)化為資本，反之亦然，即資本品也能一對(duì)一轉(zhuǎn)化為消費(fèi)品。當(dāng)期的資本品只有到下一期才能具有生產(chǎn)性，我們也假設(shè)生產(chǎn)中不存在折舊。在時(shí)期t，政府發(fā)行Bt1單位期限為一期的債券。每一單位債券承諾到時(shí)期t+1，將支付1＋rt1單位的消費(fèi)品給債券的擁有者。在時(shí)期t，政府向每個(gè)年輕消費(fèi)者征t單位的是總額稅。我們假設(shè)Bt1 bNt， 這里，b是一個(gè)固定的數(shù)，也就是說，人均政府的債務(wù)是固定的。37（a）假設(shè)b＝0，試求解實(shí)現(xiàn)社會(huì)最優(yōu)穩(wěn)定均衡時(shí)的人均資本存量?。k（b）假設(shè)b＝0，試求解實(shí)現(xiàn)競(jìng)爭(zhēng)均衡時(shí)的人均資本存量 k。(c)現(xiàn)在假設(shè)b 0，試證明政府可以通過選擇一個(gè)合適的 b來使得社?與競(jìng)爭(zhēng)均衡穩(wěn)定解k相同，若定義這個(gè)合適的b會(huì)最優(yōu)穩(wěn)定均衡解k???為b，試求解最優(yōu)的b值，判斷b是正的還是負(fù)的，并說明理由。解：(a)在時(shí)期t，社會(huì)計(jì)劃者面臨的資源約束條件如下所示：c1tNtc2tNt1Kt1F(Kt,Nt)Kt在長(zhǎng)期中，這一模型具有人均數(shù)量趨于常數(shù)的特征。因此，我們把每個(gè)變量都表示成人均的形式將會(huì)更為方便。定義ktKt，Ntf(kt)F(kt,1)，我們能重寫上式為：(1n)kt1c1tc2tf(kt)kt1n在穩(wěn)定狀態(tài)下，有kt?c1和c2t?，c1和c2都????是固定不變的。在給定約束條件下，社會(huì)計(jì)劃者要實(shí)現(xiàn)在穩(wěn)定狀態(tài)下每個(gè)消費(fèi)者的效用最大化，實(shí)際上就相當(dāng)于在求解如下一個(gè)最大化問題：maxlnc1 lnc2c2s.t. c1 f(k) nk1 n代約束條件進(jìn)目標(biāo)函數(shù)，消掉目標(biāo)函數(shù)中的 c2，我們可以得到如下一個(gè)無約束的最大化問題：38maxlnc1 ln(1 n)f(k) nk c1c1,k相應(yīng)于該最大化問題的兩個(gè)一階條件分別為：10c1 f(k) nk c1以及Ak1n利用這兩個(gè)一階條件，我們能求得實(shí)現(xiàn)社會(huì)最優(yōu)的穩(wěn)定均衡解：Akn

11（b）出生在t期的消費(fèi)者將求解如下的最優(yōu)化問題：maxlnc1t)lnc2t1c1t,c2t1,sts.t. c1t st wtc2t1 st(1 rt1)代把約束條件進(jìn)目標(biāo)函數(shù)，消掉目標(biāo)函數(shù)中的 c1t和c2t1，就可以得到一個(gè)僅含一個(gè)決策變量 st的最