4定積分的性質(zhì)

第九章第四節(jié)第第九章第四節(jié)第頁(yè)§4定積分的性質(zhì)教學(xué)目的：熟練掌握定積分性質(zhì)及積分中值定理。重點(diǎn)難點(diǎn)：重點(diǎn)為定積分性質(zhì)及第一中值定理,難點(diǎn)為推廣的積分第一中值定理教學(xué)方法：講練結(jié)合。、定積分的基本性質(zhì)性質(zhì)1若f在L,b］上可積，k為常數(shù)，則kf在la,b］上也可積，且\bkf(x=kJbf(x(1)aa證當(dāng)k=0時(shí)結(jié)論顯然成立當(dāng)k二0時(shí)，由于工kf￡}\x-kJ二\k\-工f￡}\x-J,iiiii=1i=1其中J=Jbf(x》x,由/在1a,b]上可積時(shí)，故任給S>0，存在§>0，當(dāng)時(shí)ITI<5時(shí),a￡f￡lx-Jiii=1從而工kf￡)\x-kJ<￡從而iii=1即kf在1a,b］上可積，且卜kf(jc1/x=kJ=kJbf(x1/xaa性質(zhì)2若f,g都在L,b]上可積，則f+g在L,b]上也可積，且TOC\o"1-5"\h\zJb[f(x)±g(jc)]x=JbfCx1/x±Jbg(x1/x,(2)aaa證明與性質(zhì)1類(lèi)同．性質(zhì)1與性質(zhì)2是定積分的線性性質(zhì)，合起來(lái)即為Jblof(x)+Pg(x)]x=aJbf(x)Zx+BJbg(x)dx,aaa性質(zhì)3若f,g都在L,b]上可積；則fg在L,b]上也可積.證由f,g都在［a,b］上可積，從而都有界，設(shè)A=sup|f(xA=sup|f(x),B=xw.,b]supxwlg(x),la,b]且A>0,B>0(否則f,g中至少有一個(gè)恒為零值函數(shù)，于是f-g亦為零值函數(shù)，結(jié)論顯然成立)．任給￡>0，由f,g可積，必分別存在分割T、T"，使得工①fAx<,工①gAAx<.ii2Bii2A令T=T'+T‘‘(表示把T'、T〃的所有分割點(diǎn)合并而成的一個(gè)新的分割T)?對(duì)于L,b］上T所屬的每一個(gè)A.，有i①f-g=supifGJgQ)-fG")gC”)ix,xgAisup|g(x")-|f(x")-f(x")+1f(x")-|g(x")-g(x")］x,xgAiB①f+A①g.B工B工ofAx+A工ogAxiiiiTTbZofAx+aZogAxiiii——B-+A-=￡.2B2A可知f-gAx可知iT這就證得f-g在b］上可積.注意，在一般情形下Af(xL(x)dxHJbf(x)Zx-fbg(x)Zx.性質(zhì)4f在L,b］上可積的充要條件是：任給cg(a,b),f在la,c］與L,b］上都可(3)積.此時(shí)又有等式Af(x=Jcf(xAx+Jbf(x)Zx.(3)TOC\o"1-5"\h\zaac證［充分性］由于f在c］與kb］上都可積，故任給￡>0，分別存在對(duì)L,c］與kb］的分割T與T"，使得工EAx'<—,工EAx"<—.i2ii2現(xiàn)令T二現(xiàn)令T二T'+T"，工①AxiiT它是對(duì)ta,b］的一個(gè)分割，且有=工?rAx'+工?，Ax"<￡iiiT“由此證得f在訂上可積.［必要性］已知f在ta,b］上可積，故任給￡>0,存在對(duì)ta,b］的某分割T,使得

工①Ax<￡在T上再增加一個(gè)分點(diǎn)c,得到一個(gè)新的分割T*.又有iiT工w*Ax*<工①Ax<siiii分割T*在L,」和t,b】上的部分，分別是對(duì)L,」和t,訂的分割，記為T(mén)'和T",則有AxAx'WiiAx*<siT'工?T'工?''Ax''iiT'T**Ax*<sii這就證得f在L,b］與lb,c］上都可積.在證得上面結(jié)果的基礎(chǔ)上最后來(lái)證明等式(3).為此對(duì)L,b］作分割T,恒使點(diǎn)c為其中的一個(gè)分點(diǎn)，這時(shí)T在L,c］與\c,b］上的部分各自構(gòu)成對(duì)L,c］與\c,b］的分割，分別記為T(mén)'與TT''?由于工f《)Ax=工fI'!x?+工f€'')Ax''，iiiiiiTT'T''因此當(dāng)||T||T0(同時(shí)有IT'IT0,||T''||T0)時(shí)，對(duì)上式取極限，就得到(3)式成立.口性質(zhì)4及公式(3)稱為關(guān)于積分區(qū)間的可加性.當(dāng)f(x)>0時(shí)，(3)式的幾何意義就是曲邊梯形面積的可加性.按定積分的定義，記號(hào)Jbf(x》x只有當(dāng)a<b時(shí)才a有意義，而當(dāng)a=b或a>b時(shí)本來(lái)是沒(méi)有意義的.但為了運(yùn)用上的方便，對(duì)它作如下規(guī)定:規(guī)定1當(dāng)a=b時(shí)，令A(yù)fCl/x二0;.a規(guī)定2當(dāng)a>b時(shí)，令Jbf(x》x=—Jaf(x》xab只要f在c］上可積，則有Jcf(x》只要f在c］上可積，則有Jcf(x》x+Jbf(x》x=Jbf(x)dx+Jcf(x)dx—Jcf(x》x=Jbf(x》xac'ab丿baacabba性質(zhì)5設(shè)f為L(zhǎng),b］上的可積函數(shù).若f(x)>0,xwL,b］，則JbfSx>0a5)推論(積分不等式性)若f與g為b］上的兩個(gè)可積函數(shù)，且f(x)<g(x)，xwL,b］，則有Jbf(xAx<Jbg(xAx5)性質(zhì)6若f在b］上可積，則f在la,b］上也可積，且\bf(x)dx<\b\f(x)dx.(6)證由于f在L,b］上可積，故任給\bf(x)dx<\b\f(x)dx.(6)T由絕對(duì)值不等式IlfCq-|f(JC<If(JCJ—f(JC可得3IfI<3f，于是有ii工3IfAx<工3fAx<8.從而證得If|在b］上可積.再由不等式-|f6)<f(JC)<|f(xj，應(yīng)用性質(zhì)5(推論)，即證得不等式(6)成立.注意這個(gè)性質(zhì)的逆命題一般不成立，例如fC)_J1,x為有理數(shù),

f=|-1,x為無(wú)理數(shù)在b,i］上不可積(類(lèi)似于狄利克雷函數(shù))；但|f(x)三1,它在b,i］上可積.例i求J1fGbx,其中J2x—1,-1<x0,|e-x,0<x<1.\x+J1e\x+J1e-xdx來(lái)的f6)=e-x=1改為(2x-1)=-1，由§3習(xí)題第3題知道這一改動(dòng)并不影響fx=0x=0在1—1,0］上的可積性和定積分的值.注2如果要求直接在1—1,1］上使用牛頓一萊布尼次公式來(lái)計(jì)算J1f(x》x=F(1)-F(-1)這時(shí)F6)應(yīng)取怎樣的函數(shù)？讀者可對(duì)照§2習(xí)題第3題來(lái)回答.

例2證明若f在ta,b]上連續(xù)，且f(x)>O,JbfQdx二0,貝f(x)三0,xgla,b]a證用反證法.倘若有某xgL,b1使f(x)0,則由連續(xù)函數(shù)的局部保號(hào)性，存在x000的某領(lǐng)域(x-5,x+5)(當(dāng)x二a或x二b時(shí)，則為右鄰域或左鄰域)，使在其中0000f(f(x)>字>O.由性質(zhì)4和性質(zhì)5推知\bf(xIfx二Jxo-5f(xIfx+fxo+5f(xIfx+\bf(xIfxaaxo-5xo+5f(x)>O+fxo+5o~dx+O=f(x))>O,x-527o0這與假設(shè)fbf(x力x=o相矛盾.所以f(x)三o,xgL,b]a注從此例證明中看到，即使f為一非負(fù)可積函數(shù)，只要它在某一點(diǎn)x0處連續(xù)，且(至于可積函數(shù)必有連續(xù)點(diǎn)，這是一個(gè)較難證明的命題，f(x)>0，則必有fbf(x)dx>00a(至于可積函數(shù)必有連續(xù)點(diǎn)，這是一個(gè)較難證明的命題，讀者可參閱§6習(xí)題第7題．)二積分中值定理定理9.7(積分第一中值定理)若f在b]上連續(xù)，則至少存在一點(diǎn)EgL,b],使得fbf(xI/x=f€)b-a)(7)a證由于f在ta,b]上連續(xù)，因此存在最大值M和最小值m.由m<f(x)<M,xgL,b]使用積分不等式性質(zhì)得到m(b-a)<fbf(xAx<M(b-a)a"<丄f：f(￥<M*再由連續(xù)函數(shù)的介值性，至少存在一點(diǎn)EgL,b],使得f(E)=fbf(x》x,b-a這就證得(7)式成立.

積分第一中值定理幾何意義為，若f在la,b］上非負(fù)連續(xù),則y二fG)在L,b］上的曲邊梯形面積等于以f6)為高,b］為底的矩形面積.而Jbf(x)7xb-aa可理解為f(x)在區(qū)間b］上所有函數(shù)值的平均值.這是通常有限個(gè)數(shù)算術(shù)平均值的推廣.例3試求fG)=sinx在H/上的平均值.解所求平均值為俺)=*嚴(yán)皿一!cosx冗定理9.8(推廣的積分第一中值定理)若f與g都在L,b］上連續(xù)，且g(X)在L,b］上不變號(hào)，則至少存在一點(diǎn)b］,使得8)Jbf(x￡(x)dx_fC)Jbg(xI/x8)aa(當(dāng)g(x)三1時(shí)，即為定理9.6.)證不妨設(shè)g(x)>0，xg\a,b］.這時(shí)有mg(x)<f(x)g(x)<Mg(x)xg\a,b]其中M,m分別為f在L,b］上的最大、最小值?由定積分的不等式性質(zhì)，得到mJbg(xi/x<Jbf(x￡(x)dx<MJbg(xi/x.aaa若，Jbg(xk_0，則由上式知J