破解概率與統(tǒng)計大題

微信：miqing100微信：miqing100概率與統(tǒng)計問題一．方法綜述概率與統(tǒng)計應(yīng)用性問題是歷年高考命題的主要題型之一，解答這類問題的關(guān)鍵是能閱讀、理解陳述的材料，深刻理解題意，學(xué)會文字語言向數(shù)學(xué)的符號語言的轉(zhuǎn)化，能結(jié)合所學(xué)知識解決問題．解答應(yīng)用問題要過三關(guān)：一是事理關(guān)，即讀懂題意，需要一定的閱讀理解能力；二是文理關(guān)，即把文字語言轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)的符號語言；三是數(shù)理關(guān)，即構(gòu)建相應(yīng)的數(shù)學(xué)模型，構(gòu)建之后還需要扎實的基礎(chǔ)知識和較強的數(shù)理能力．除以上過“三關(guān)”外，對于概率與統(tǒng)計應(yīng)用問題還應(yīng)再過三關(guān)，即文字關(guān)、圖表關(guān)、計算關(guān)．本專題重點說明破解概率與統(tǒng)計問題的方法與技巧.二．解題策略類型一過“文字關(guān)”——抓關(guān)鍵語句，破干擾信息【例1】【2019?新課標(biāo)Ⅰ，21】為治療某種疾病，研制了甲、乙兩種新藥，希望知道哪種新藥更有效，為此進行動物試驗．試驗方案如下：每一輪選取兩只白鼠對藥效進行對比試驗．對于兩只白鼠，隨機選一只施以甲藥，另一只施以乙藥．一輪的治療結(jié)果得出后，再安排下一輪試驗．當(dāng)其中一種藥治愈的白鼠比另一種藥治愈的白鼠多4只時，就停止試驗，并認為治愈只數(shù)多的藥更有效．為了方便描述問題，約定：對于每輪試驗，若施以甲藥的白鼠治愈且施以乙藥的白鼠未治愈則甲藥得1分，乙藥得分；若施以乙藥的白鼠治愈且施以甲藥的白鼠未治愈則乙藥得1分，甲藥得分；若都治愈或都未治愈則兩種藥均得0分．甲、乙兩種藥的治愈率分別記為和，一輪試驗中甲藥的得分記為．（1）求的分布列；（2）若甲藥、乙藥在試驗開始時都賦予4分，，1，，表示“甲藥的累計得分為時，最終認為甲藥比乙藥更有效”的概率，則，，，2，，，其中，，．假設(shè)，．證明：，1，2，，為等比數(shù)列；求，并根據(jù)的值解釋這種試驗方案的合理性．【解析】（1）的所有可能取值為，0，1．，，，的分布列為：01（2）證明：，，由（1）得，，，．因此，2，，，故，即，又，，1，2，，為公比為4，首項為的等比數(shù)列；解：由可得，，，，．表示最終認為甲藥更有效的概率．由計算結(jié)果可以看出，在甲藥治愈率為0.5，乙藥治愈率為0.8時，認為甲藥更有效的概率為，此時得出錯誤結(jié)論的概率非常小，說明這種試驗方案合理．【指點迷津】1.此類問題文字敘述較長，解答問題應(yīng)過文字關(guān)，其技巧是：(1)快速了解“無關(guān)信息”；(2)仔細閱讀題中重要信息，把握信息所給內(nèi)容(如本例數(shù)字、字母等)；(3)明確題目所求內(nèi)容．2.本題考查的是有關(guān)隨機變量的問題，在解題的過程中，一是需要明確獨立重復(fù)試驗成功次數(shù)對應(yīng)的概率公式，再者就是對其用函數(shù)的思想來研究，應(yīng)用導(dǎo)數(shù)求得其最小值點，在做第二問的時候，需要明確離散型隨機變量的可取值以及對應(yīng)的概率，應(yīng)用期望公式求得結(jié)果，再有就是通過期望的大小關(guān)系得到結(jié)論.【舉一反三】【2020湖南瀏陽一中第六次月考】隨著科學(xué)技術(shù)的飛速發(fā)展，網(wǎng)絡(luò)也已經(jīng)逐漸融入了人們的日常生活，網(wǎng)購作為一種新的消費方式，因其具有快捷、商品種類齊全、性價比高等優(yōu)勢而深受廣大消費者認可.某網(wǎng)購公司統(tǒng)計了近五年在本公司網(wǎng)購的人數(shù)，得到如下的相關(guān)數(shù)據(jù)(其中“x=1”表示2015年，“x=2”表示2016年，依次類推；y表示人數(shù))：x12345y(萬人)2050100150180（1）試根據(jù)表中的數(shù)據(jù)，求出y關(guān)于x的線性回歸方程，并預(yù)測到哪一年該公司的網(wǎng)購人數(shù)能超過300萬人；（2）該公司為了吸引網(wǎng)購者，特別推出“玩網(wǎng)絡(luò)游戲，送免費購物券”活動，網(wǎng)購者可根據(jù)拋擲骰子的結(jié)果，操控微型遙控車在方格圖上行進.若遙控車最終停在“勝利大本營”，則網(wǎng)購者可獲得免費購物券500元；若遙控車最終停在“失敗大本營”，則網(wǎng)購者可獲得免費購物券200元.已知骰子出現(xiàn)奇數(shù)與偶數(shù)的概率都是，方格圖上標(biāo)有第0格、第1格、第2格、…、第20格。遙控車開始在第0格，網(wǎng)購者每拋擲一次骰子，遙控車向前移動一次.若擲出奇數(shù)，遙控車向前移動一格（從到）若擲出偶數(shù)遙控車向前移動兩格（從到），直到遙控車移到第19格勝利大本營）或第20格（失敗大本營）時，游戲結(jié)束。設(shè)遙控車移到第格的概率為，試證明是等比數(shù)列，并求網(wǎng)購者參與游戲一次獲得免費購物券金額的期望值.附：在線性回歸方程中，.【解析】（1）故從而所以所求線性回歸方程為，令，解得.故預(yù)計到2022年該公司的網(wǎng)購人數(shù)能超過300萬人（2）遙控車開始在第0格為必然事件，，第一次擲骰子出現(xiàn)奇數(shù)，遙控車移到第一格，其概率為,即.遙控車移到第（）格的情況是下列兩種，而且也只有兩種.①遙控車先到第格，又擲出奇數(shù)，其概率為②遙控車先到第格，又擲出偶數(shù)，其概率為所以，當(dāng)時，數(shù)列是公比為的等比數(shù)列以上各式相加，得（），獲勝的概率失敗的概率設(shè)參與游戲一次的顧客獲得優(yōu)惠券金額為元，或X的期望參與游戲一次的顧客獲得優(yōu)惠券金額的期望值為，約400元.類型二過“圖表關(guān)”——會轉(zhuǎn)換信息，思解題方法【例2】【2019?新課標(biāo)Ⅲ，理17】為了解甲、乙兩種離子在小鼠體內(nèi)的殘留程度，進行如下試驗：將200只小鼠隨機分成、兩組，每組100只，其中組小鼠給服甲離子溶液，組小鼠給服乙離子溶液，每只小鼠給服的溶液體積相同、摩爾濃度相同．經(jīng)過一段時間后用某種科學(xué)方法測算出殘留在小鼠體內(nèi)離子的百分比，根據(jù)試驗數(shù)據(jù)分別得到如圖直方圖：記為事件：“乙離子殘留在體內(nèi)的百分比不低于5.5”，根據(jù)直方圖得到（C）的估計值為0.70．（1）求乙離子殘留百分比直方圖中，的值；（2）分別估計甲、乙離子殘留百分比的平均值（同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點值為代表）．【解析】（1）為事件：“乙離子殘留在體內(nèi)的百分比不低于5.5”，根據(jù)直方圖得到（C）的估計值為0.70．則由頻率分布直方圖得：，解得乙離子殘留百分比直方圖中，．（2）估計甲離子殘留百分比的平均值為：．乙離子殘留百分比的平均值為：．【指點迷津】從所給表格中正確提取解題所需要的信息是解決此類問題的關(guān)鍵．【舉一反三】【2020屆吉林長春十一中線上模擬】為增強市民交通規(guī)范意識,我市面向全市征召勸導(dǎo)員志愿者,分布于各候車亭或十字路口處．現(xiàn)從符合條件的500名志愿者中隨機抽取100名志愿者,他們的年齡情況如下表所示．分組（單位：歲）頻數(shù)頻率5①②合計（1）頻率分布表中的①、②位置應(yīng)填什么數(shù)據(jù)？并在答題卡中補全頻率分布直方圖（如圖）,再根據(jù)頻率分布直方圖估計這500名志愿者中年齡在[30,35)歲的人數(shù)；（2）在抽出的100名志愿者中按年齡再采用分層抽樣法抽取20人參加“規(guī)范摩的司機的交通意識”培訓(xùn)活動,從這20人中選取2名志愿者擔(dān)任主要負責(zé)人,記這2名志愿者中“年齡低于30歲”的人數(shù)為X,求X的分布列及數(shù)學(xué)期望．【解析】（1）①處填,②處填；補全頻率分布直方圖如圖所示．根據(jù)頻率分布直方圖估計這名志愿者中年齡在的人數(shù)為．（2）用分層抽樣的方法,從中選取人,則其中“年齡低于歲”的有5人,“年齡不低于歲”的有人．由題意知,X的可能取值為0,1,2,且,,．∴X的分布列為：X012P∴．類型三過“計算關(guān)”——明算理，精計算，防失分【例3】【2020四川內(nèi)江模擬】基于移動網(wǎng)絡(luò)技術(shù)的共享單車被稱為“新四大發(fā)明”之一，短時間內(nèi)就風(fēng)靡全國，給人們帶來新的出行體驗，某共享單車運營公司的市場研究人員為了了解公司的經(jīng)營狀況，對公司最近6個月的市場占有率進行了統(tǒng)計，結(jié)果如下表：月份2018.112018.122019.012019.022019.032019.04月份代碼123456111316152021（1）請用相關(guān)系數(shù)說明能否用線性回歸模型擬合與月份代碼之間的關(guān)系.如果能，請計算出關(guān)于的線性回歸方程，如果不能，請說明理由；（2）根據(jù)調(diào)研數(shù)據(jù)，公司決定再采購一批單車擴大市場，從成本1000元/輛的型車和800元/輛的型車中選購一種，兩款單車使用壽命頻數(shù)如下表：報廢年限車型1年2年3年4年總計1030402010015403510100經(jīng)測算，平均每輛單車每年能為公司帶來500元的收入，不考慮除采購成本以外的其它成本，假設(shè)每輛單車的使用壽命都是整數(shù)年，用頻率估計每輛車使用壽命的概率，以平均每輛單車所產(chǎn)生的利潤的估計值為決策依據(jù)，如果你是公司負責(zé)人，會選擇哪款車型？參考數(shù)據(jù)：，，，.參考公式：相關(guān)系數(shù)，，.【解析】（1）由表格中數(shù)據(jù)可得，，.∵.∴與月份代碼之間具有較強的相關(guān)關(guān)系，故可用線性回歸模型擬合兩變量之間的關(guān)系.，∴，∴關(guān)于的線性回歸方程為.（2）這100輛款單車平均每輛的利潤為（元），這100輛款單車平均每輛的利潤為（元）．∴用頻率估計概率，款單車與款單車平均每輛的利潤估計值分別為350元、400元，應(yīng)采購款車型.【指點迷津】（1）在計算K2的值時應(yīng)仔細，計算中易出錯，要明確公式中n，a，b，c，d所表示的值．（2）利用最小二乘法求“eq\o(b,\s\up6(^))”時，應(yīng)注意避免計算出錯．（3）計算隨機變量的概率，往往涉及排列組合計算，易于出錯，應(yīng)特別細心.【舉一反三】【2020屆廣東佛山順德區(qū)第三次質(zhì)檢】為了解某校學(xué)生參加社區(qū)服務(wù)的情況，采用按性別分層抽樣的方法進行調(diào)查.已知該校共有學(xué)生960人，其中男生560人，從全校學(xué)生中抽取了容量為n的樣本，得到一周參加社區(qū)服務(wù)時間的統(tǒng)計數(shù)據(jù)如下：超過1小時不超過1小時男208女12m（1）求m，n；（2）能否有95%的把握認為該校學(xué)生一周參加社區(qū)服務(wù)時間是否超過1小時與性別有關(guān)？（3）從該校學(xué)生中隨機調(diào)查60名學(xué)生，一周參加社區(qū)服務(wù)時間超過1小時的人數(shù)記為X，以樣本中學(xué)生參加社區(qū)服務(wù)時間超過1小時的頻率作為該事件發(fā)生的概率，求X的分布列和數(shù)學(xué)期望.附：P（K2≥k）0.0500.0100.001k3.8416.63510.828K2.【解析】（1）根據(jù)分層抽樣法，抽樣比例為，∴n＝48；∴m＝48﹣20﹣8﹣12＝8；（2）根據(jù)題意完善2×2列聯(lián)表，如下；超過1小時不超過1小時合計男生20828女生12820合計321648計算，所以沒有95%的把握認為該校學(xué)生一周參加社區(qū)服務(wù)時間是否超過1小時與性別有關(guān)；（3）參加社區(qū)服務(wù)時間超過1小時的頻率為，用頻率估計概率，從該校學(xué)生中隨機調(diào)査60名學(xué)生，則X～B（60，），所以，k＝0，1，2，3，…，60；.三．強化訓(xùn)練1．【2020河北張家口一中期末】甲、乙、丙三名射擊運動員射中目標(biāo)的概率分別為，三人各射擊一次，擊中目標(biāo)的次數(shù)記為.（1）求的分布列及數(shù)學(xué)期望；（2）在概率(=0，1，2，3)中,若的值最大,求實數(shù)的取值范圍.【解析】(1)P(ξ)是“ξ個人命中，3－ξ個人未命中”的概率．其中ξ的可能取值為0、1、2、3.P(ξ＝0)＝(1－a)2＝(1－a)2；P(ξ＝1)＝·(1－a)2＋a(1－a)＝(1－a2)；P(ξ＝2)＝·a(1－a)＋a2＝(2a－a2)；P(ξ＝3)＝·a2＝.所以ξ的分布列為ξ0123P(1－a)2(1－a2)(2a－a2)ξ的數(shù)學(xué)期望為E(ξ)＝0×(1－a)2＋1×(1－a2)＋2×(2a－a2)＋3×＝.(2)P(ξ＝1)－P(ξ＝0)＝[(1－a2)－(1－a)2]＝a(1－a)；P(ξ＝1)－P(ξ＝2)＝[(1－a2)－(2a－a2)]＝；P(ξ＝1)－P(ξ＝3)＝[(1－a2)－a2]＝.由和0＜a＜1，得0＜a≤，即a的取值范圍是.2.【2020天津市部分區(qū)質(zhì)調(diào)查（二)】某闖關(guān)游戲共有兩關(guān)，游戲規(guī)則：先闖第一關(guān)，當(dāng)?shù)谝魂P(guān)闖過后，才能進入第二關(guān)，兩關(guān)都闖過，則闖關(guān)成功，且每關(guān)各有兩次闖關(guān)機會.已知闖關(guān)者甲第一關(guān)每次闖過的概率均為，第二關(guān)每次闖過的概率均為.假設(shè)他不放棄每次闖關(guān)機會，且每次闖關(guān)互不影響.(1)求甲恰好闖關(guān)3次才闖關(guān)成功的概率；(2)記甲闖關(guān)的次數(shù)為，求隨機變量的分布列和期望.?！窘馕觥浚?）設(shè)事件為“甲恰好闖關(guān)次才闖關(guān)成功的概率”，則有，（2）由已知得：隨機變量的所有可能取值為，所以，，，.從而234.3.【2020屆重慶一中下期第一次月考】某芯片公司對今年新開發(fā)的一批5G手機芯片進行測評，該公司隨機調(diào)查了100顆芯片，所調(diào)查的芯片得分均在7，19內(nèi)，將所得統(tǒng)計數(shù)據(jù)分為如下：，，，，,六個小組，得到如圖所示的頻率分布直方圖，其中.（1）求這100顆芯片評測分數(shù)的平均數(shù)；（2）芯片公司另選100顆芯片交付給某手機公司進行測試，該手機公司將每顆芯片分別裝在3個工程手機中進行初測?若3個工程手機的評分都達到13萬分，則認定該芯片合格；若3個工程手機中只要有2個評分沒達到13萬分，則認定該芯片不合格；若3個工程手機中僅1個評分沒有達到13萬分，則將該芯片再分別置于另外2個工程手機中進行二測，二測時，2個工程手機的評分都達到13萬分，則認定該芯片合格；2個工程手機中只要有1個評分沒達到13萬分，手機公司將認定該芯片不合格.已知每顆芯片在各次置于工程手機中的得分相互獨立，并且芯片公司對芯片的評分方法及標(biāo)準(zhǔn)與手機公司對芯片的評分方法及標(biāo)準(zhǔn)都一致(以頻率作為概率).每顆芯片置于一個工程手機中的測試費用均為160元，每顆芯片若被認定為合格或不合格，將不再進行后續(xù)測試．現(xiàn)手機公司測試部門預(yù)算的測試經(jīng)費為5萬元，試問預(yù)算經(jīng)費是否足夠測試完這100顆芯片?請說明理由.【解析】（1）根據(jù)概率之和為1，可得：結(jié)合可得：故這100顆芯片評測分數(shù)的平均數(shù)為：（2）由題可知公司抽取一顆芯片置于一個工程機中進行檢測評分達到13萬分的概率為設(shè)每顆芯片的測試費用為元，則可能取值為：320,480,640,800，故每顆芯片的測試費用的數(shù)學(xué)期望為：元，則，故經(jīng)費不足夠測試完這100顆芯片.4.【2020江西省南昌八中期末】交強險是車主必須為機動車購買的險種，若普通6座以下私家車投保交強險第一年的費用（基準(zhǔn)保費）統(tǒng)一為a元，在下一年續(xù)保時，實行的是費率浮動機制，保費與上一年度車輛發(fā)生道路交通事故的情況相聯(lián)系，發(fā)生交通事故的次數(shù)越多，費率也就越高，具體浮動情況如下表：交強險浮動因素和浮動費率比率表浮動因素浮動比率上一年度未發(fā)生有責(zé)任道路交通事故下浮10%上兩年度未發(fā)生有責(zé)任道路交通事故下浮上三年度未發(fā)生有責(zé)任道路交通事故下浮30%上一個年度發(fā)生一次有責(zé)任不涉及死亡的道路交通事故0%上一個年度發(fā)生兩次及兩次以上有責(zé)任不涉及死亡的道路交通事故上浮10%上一個年度發(fā)生有責(zé)任交通死亡事故上浮30%某機構(gòu)為了解某一品牌普通6座以下私家車的投保情況，隨機抽取了60輛車齡已滿三年的該品牌同型號私家車的下一年續(xù)保時的情況，統(tǒng)計得到了下面的表格：類型A1A2A3A4A5A6數(shù)量105520155以這60輛該品牌車的投保類型的頻率代替一輛車投保類型的概率，完成下列問題：（1）按照我國《機動車交通事故責(zé)任強制保險條例》汽車交強險價格的規(guī)定，，記為某同學(xué)家的一輛該品牌車在第四年續(xù)保時的費用，求的分布列與數(shù)學(xué)期望；（數(shù)學(xué)期望值保留到個位數(shù)字）（2）某二手車銷售商專門銷售這一品牌的二手車，且將下一年的交強險保費高于基本保費的車輛記為事故車，假設(shè)購進一輛事故車虧損5000元，一輛非事故車盈利10000元:①若該銷售商購進三輛(車齡已滿三年)該品牌二手車，求這三輛車中至多有一輛事故車的概率；②若該銷售商一次購進100輛(車齡已滿三年)該品牌二手車，求他獲得利潤的期望值.【解析】（1）由題意可知：X的可能取值為，，，，，由統(tǒng)計數(shù)據(jù)可知：，，，，，.所以的分布列為：.（2）①由統(tǒng)計數(shù)據(jù)可知任意一輛該品牌車齡已滿三年的二手車為事故的概率為，三輛車中至多有一輛事故車的概率為：.②設(shè)Y為給銷售商購進并銷售一輛二手車的利潤，Y的可能取值為所以Y的分布列為：YP所以.所以該銷售商一次購進輛該品牌車齡已滿三年的二手車獲得利潤的期望值為萬元.5.【2020屆山東濟寧3月線上】公元2020年春，我國湖北武漢出現(xiàn)了新型冠狀病毒，人感染后會出現(xiàn)發(fā)熱、咳嗽、氣促和呼吸困難等，嚴重的可導(dǎo)致肺炎甚至危及生命.為了盡快遏制住病毒的傳播，我國科研人員，在研究新型冠狀病毒某種疫苗的過程中，利用小白鼠進行科學(xué)試驗.為了研究小白鼠連續(xù)接種疫苗后出現(xiàn)癥狀的情況，決定對小白鼠進行做接種試驗.該試驗的設(shè)計為：①對參加試驗的每只小白鼠每天接種一次；②連續(xù)接種三天為一個接種周期；③試驗共進行3個周期.已知每只小白鼠接種后當(dāng)天出現(xiàn)癥狀的概率均為，假設(shè)每次接種后當(dāng)天是否出現(xiàn)癥狀與上次接種無關(guān).（1）若某只小白鼠出現(xiàn)癥狀即對其終止試驗，求一只小白鼠至多能參加一個接種周期試驗的概率；（2）若某只小白鼠在一個接種周期內(nèi)出現(xiàn)2次或3次癥狀，則在這個接種周期結(jié)束后，對其終止試驗.設(shè)一只小白鼠參加的接種周期為，求的分布列及數(shù)學(xué)期望.【解析】（1）已知每只小白鼠接種后當(dāng)天出現(xiàn)癥狀的概率均為，且每次試驗間相互獨立，所以，一只小白鼠第一天接種后當(dāng)天出現(xiàn)癥狀的概率為在第二天接種后當(dāng)天出現(xiàn)癥狀的概率為：能參加第三天試驗但不能參加下一個接種同期的概率為：，∴一只小白鼠至多參加一個接種周期試驗的概率為：；（2）設(shè)事件為“在一個接種周期內(nèi)出現(xiàn)2次或3次癥狀”，則；隨機變量可能的取值為1，2，3，則；所以的分布列為123隨機變量的數(shù)學(xué)期望為：6.【2020屆四川眉山二診】在某社區(qū)舉行的2020迎春晚會上，張明和王慧夫妻倆參加該社區(qū)的“夫妻蒙眼擊鼓”游戲，每輪游戲中張明和王慧各蒙眼擊鼓一次，每個人擊中鼓則得積分100分，沒有擊中鼓則扣積分50分，最終積分以家庭為單位計分.已知張明每次擊中鼓的概率為，王慧每次擊中鼓的概率為；每輪游戲中張明和王慧擊中與否互不影響，假設(shè)張明和王慧他們家庭參加兩輪蒙眼擊鼓游戲.（1）若家庭最終積分超過200分時，這個家庭就可以領(lǐng)取一臺全自動洗衣機，問張明和王慧他們家庭可以領(lǐng)取一臺全自動洗衣機的概率是多少？（2）張明和王慧他們家庭兩輪游戲得積分之和的分布列和數(shù)學(xué)期望.【解析】（1）由題意，當(dāng)家庭最終積分超過200分時，這個家庭就可以領(lǐng)取一臺全自動洗衣機，所以要想領(lǐng)取一臺全自動洗衣機，則需要這個家庭夫妻倆在兩輪游戲中至少擊中三次鼓.設(shè)事件為“張明第次擊中”，事件為“王慧第次擊中”，，由事件的獨立性和互斥性可得（張明和王慧家庭至少擊中三次鼓），所以張明和王慧他們家庭可以領(lǐng)取一臺全自動洗衣機的概率是.（2）的所有可能的取值為－200，－50，100，250，400.，，，，.∴的分布列為－200－50100250400∴（分）7.【2020屆河南南陽一中第九次考試】某電子公司新開發(fā)一電子產(chǎn)品，該電子產(chǎn)品的一個系統(tǒng)G有3個電子元件組成，各個電子元件能否正常工作的概率均為，且每個電子元件能否正常工作相互獨立.若系統(tǒng)C中有超過一半的電子元件正常工作，則G可以正常工作，否則就需要維修，且維修所需費用為500元.(1)求系統(tǒng)不需要維修的概率；(2)該電子產(chǎn)品共由3個系統(tǒng)G組成，設(shè)E為電子產(chǎn)品需要維修的系統(tǒng)所需的費用，求的分布列與期望;(3)為提高G系統(tǒng)正常工作概率，在系統(tǒng)內(nèi)增加兩個功能完全一樣的其他品牌的電子元件，每個新元件正常工作的概率均為，且新增元件后有超過一半的電子元件正常工作，則C可以正常工作，問:滿足什么條件時，可以提高整個G系統(tǒng)的正常工作概率?【解析】（1）系統(tǒng)不需要維修的概率為.（2）設(shè)為維修維修的系統(tǒng)的個數(shù)，則，且，所以.所以的分布列為050010001500所以的期望為.（3）當(dāng)系統(tǒng)有5個電子元件時，原來3個電子元件中至少有1個元件正常工作，系統(tǒng)的才正常工作.若前3個電子元件中有1個正常工作，同時新增的兩個必須都正常工作，則概率為；若前3個電子元件中有兩個正常工作，同時新增的兩個至少有1個正常工作，則概率為；若前3個電子元件中3個都正常工作，則不管新增兩個元件能否正常工作，系統(tǒng)均能正常工作，則概率為.所以新增兩個元件后系統(tǒng)能正常工作的概率為，于是由知，當(dāng)時，即時，可以提高整個系統(tǒng)的正常工作概率.8.【2020湖北武漢部分學(xué)校起點監(jiān)測】武漢又稱江城，是湖北省省會城市，被譽為中部地區(qū)中心城市，它不僅有著深厚的歷史積淀與豐富的民俗文化，更有著眾多名勝古跡與旅游景點，每年來武漢參觀旅游的人數(shù)不勝數(shù)，其中黃鶴樓與東湖被稱為兩張名片為合理配置旅游資源，現(xiàn)對已游覽黃鶴樓景點的游客進行隨機問卷調(diào)查，若不游玩東湖記1分，若繼續(xù)游玩東湖記2分，每位游客選擇是否游覽東湖景點的概率均為，游客之間選擇意愿相互獨立.（1）從游客中隨機抽取3人，記總得分為隨機變量，求的分布列與數(shù)學(xué)期望；（2）（i）若從游客中隨機抽取人，記總分恰為分的概率為，求數(shù)列的前10項和；（ⅱ）在對所有游客進行隨機問卷調(diào)查過程中，記已調(diào)查過的累計得分恰為分的概率為，探討與之間的關(guān)系，并求數(shù)列的通項公式.【解析】（1）可能取值為3，4，5，6.，，，.∴的分布列為3456∴（2）（i）總分恰為分的概率為，∴數(shù)列是首項為，公比為的等比數(shù)列，前10項和.（ⅱ）已調(diào)查過的累計得分恰為分的概率為，得不到分的情況只有先得分，再得2分，概率為，.所以，即∴.∴，∴9.【2020湖北省部分重點中學(xué)第一次聯(lián)考】某汽車公司最近研發(fā)了一款新能源汽車，并在出廠前對100輛汽車進行了單次最大續(xù)航里程的測試?，F(xiàn)對測試數(shù)據(jù)進行分析，得到如圖所示的頻率分布直方圖：（1）估計這100輛汽車的單次最大續(xù)航里程的平均值（同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點值代表）.（2）根據(jù)大量的汽車測試數(shù)據(jù)，可以認為這款汽車的單次最大續(xù)航里程近似地服從正態(tài)分布，經(jīng)計算第（1）問中樣本標(biāo)準(zhǔn)差的近似值為50。用樣本平均數(shù)作為的近似值，用樣本標(biāo)準(zhǔn)差作為的估計值，現(xiàn)任取一輛汽車，求它的單次最大續(xù)航里程恰在250千米到400千米之間的概率.參考數(shù)據(jù)：若隨機變量服從正態(tài)分布，則，，.（3）某汽車銷售公司為推廣此款新能源汽車，現(xiàn)面向意向客戶推出“玩游戲，送大獎”活動，客戶可根據(jù)拋擲硬幣的結(jié)果，操控微型遙控車在方格圖上行進，若遙控車最終停在“勝利大本營”，則可獲得購車優(yōu)惠券3萬元。已知硬幣出現(xiàn)正、反面的概率都是0.5方格圖上標(biāo)有第0格、第1格、第2格、…、第20格。遙控車開始在第0格，客戶每擲一次硬幣，遙控車向前移動一次。若擲出正面，遙控車向前移動一格（從到）若擲出反面遙控車向前移動兩格（從到），直到遙控車移到第19格勝利大本營）或第20格（失敗大本營）時，游戲結(jié)束。設(shè)遙控車移到第格的概率為P試證明是等比數(shù)列，并求參與游戲一次的顧客獲得優(yōu)惠券金額的期望值?！窘馕觥浚?）（千米）（2）因為服從正態(tài)分布所以（3）遙控車開始在第0格為必然事件，，第一次擲硬幣出現(xiàn)正面，遙控車移到第一格，其概率為,即。遙控車移到第n（）格的情況是下列兩種，而且也只有兩種。①遙控車先到第格，又擲出反面，其概率為②遙控車先到第格，又擲出正面，其概率為所以，當(dāng)時，數(shù)列是公比為的等比數(shù)列以上各式相加，得（），獲勝的概率失敗的概率設(shè)參與游戲一次的顧客獲得優(yōu)惠券金額為萬元，或0X的期望參與游戲一次的顧客獲得優(yōu)惠券金額的期望值為，約2萬元.10．【2020河南南陽一中月考】某共享單車經(jīng)營企業(yè)欲向甲市投放單車，為制定適宜的經(jīng)營策略，該企業(yè)首先在已投放單車的乙市進行單車使用情況調(diào)查.調(diào)查過程分隨機問卷、整理分析及開座談會三個階段.在隨機問卷階段，，兩個調(diào)查小組分赴全市不同區(qū)域發(fā)放問卷并及時收回；在整理分析階段，兩個調(diào)查小組從所獲取的有效問卷中，針對15至45歲的人群，按比例隨機抽取了300份，進行了數(shù)據(jù)統(tǒng)計，具體情況如下表：組別年齡組統(tǒng)計結(jié)果組統(tǒng)計結(jié)果經(jīng)常使用單車偶爾使用單車經(jīng)常使用單車偶爾使用單車27人13人40人20人23人17人35人25人20人20人35人25人（1）先用分層抽樣的方法從上述3