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PAGEPAGE14第一節(jié)集合學習要求:1.集合的含義與表示(1)了解集合的含義、元素與集合的屬于關(guān)系.(2)能用自然語言、圖形語言、集合語言(列舉法或描述法)描述不同的具體問題.2.集合間的基本關(guān)系(1)理解集合之間包含與相等的含義,能識別給定集合的子集.(2)在具體情境中,了解全集與空集的含義.3.集合的基本運算(1)理解兩個集合的并集與交集的含義,會求兩個簡單集合的并集與交集.(2)理解在給定集合中一個子集的補集的含義,會求給定子集的補集.(3)能使用韋恩(Venn)圖表達集合的關(guān)系及運算.1.元素與集合(1)集合中元素的特性:確定性、①互異性、無序性.
(2)集合與元素的關(guān)系:若a屬于集合A,記作②a∈A;若b不屬于集合A,記作③b?A.
(3)集合的表示方法:④列舉法、描述法、圖示法.
(4)常見數(shù)集及其符號表示:數(shù)集自然數(shù)集正整數(shù)集整數(shù)集有理數(shù)集實數(shù)集符號⑤N
⑥N*或N+
⑦Z
⑧Q
⑨R
2.集合間的基本關(guān)系文字語言符號語言記法集合間的基本關(guān)系子集集合A中任意一個元素都是集合B中的元素x∈A?x∈BA?B或B⑩?A
真子集集合A是集合B的子集,并且B中至少有一個元素不屬于AA?B,且?x0∈B,x0?AA?B或B?A
相等集合A,B的元素完全相同A?B,B?AA=B
空集不含任何元素的集合.空集是任何集合A的子集,是任何非空集合B的真子集?x,x??,??A,??B(B≠?)??提醒(1)“?”與“?”的區(qū)別:A?B?A=B或A?B,若A?B和A?B同時成立,則A?B更準確.(2)?,{0}和{?}的區(qū)別,?是集合,不含有任何元素,{0}含有一個元素0;{?}含有一個元素?,且?∈{?}和??{?}都正確.(3)在涉及集合之間的關(guān)系時,若未指明集合非空,則要考慮空集的可能性,如:若A?B,則要考慮A=?和A≠?兩種情況.3.集合的基本運算集合的并集集合的交集集合的補集符號表示A∪BA∩B若全集為U,則集合A的補集為?UA圖形表示意義{x|x∈A或x∈B}
{x|x∈A,且x∈B}
{x|x∈U,且x?A}4.集合的運算性質(zhì)(1)并集的性質(zhì):A∪?=A;A∪A=A;A∪B=B∪A;A∪B=A?B?A;(2)交集的性質(zhì):A∩?=?;A∩A=A;A∩B=B∩A;A∩B=A?A?B;(3)補集的性質(zhì):A∪(?UA)=U;A∩(?UA)=?;?U(?UA)=A;?U(A∪B)=(?UA)∩(?UB);?U(A∩B)=(?UA)∪(?UB).知識拓展含有n個元素的集合有2n個子集,有2n-1個真子集,有2n-2個非空真子集.1.判斷正誤(正確的打“√”,錯誤的打“?”).(1){x|x≤1}={t|t≤1}. ()(2){x|y=x2+1}={y|y=x2+1}={(x,y)|y=x2+1}. ()(3)含有n個元素的集合有(2n-1)個子集. ()(4)集合{x|x=x3}用列舉法表示為{-1,1}. ()(5)若A∩B=A,則B?A. ()(6)若A={x|x=2k-1,k∈Z},B={x|x=2k+1,k∈Z},則集合A=B. ()答案(1)√(2)?(3)?(4)?(5)?(6)√2.(新教材人教A版必修第一冊P12練習1改編)設(shè)集合A={2,3,5,7},B={1,2,3,5,8},則A∩B= ()A.{1,3,5,7}B.{2,3}C.{2,3,5}D.{1,2,3,5,7,8}答案C3.(新教材人教A版必修第一冊P9習題1.2T1改編)若集合M={x|x≤6},a=5,則下面結(jié)論中正確的是 ()A.{a}?MB.a?MC.{a}∈MD.a?M答案A4.(2019課標Ⅲ,4,5分)《西游記》《三國演義》《水滸傳》和《紅樓夢》是中國古典文學瑰寶,并稱為中國古典小說四大名著.某中學為了解本校學生閱讀四大名著的情況,隨機調(diào)查了100位學生,其中閱讀過《西游記》或《紅樓夢》的學生共有90位,閱讀過《紅樓夢》的學生共有80位,閱讀過《西游記》且閱讀過《紅樓夢》的學生共有60位,則該校閱讀過《西游記》的學生人數(shù)與該校學生總數(shù)比值的估計值為 ()A.0.5B.0.6C.0.7D.0.8答案C5.(易錯題)已知集合A={0,1},B={0,1,2,3},則A∪B中的元素個數(shù)為.
答案4易錯分析忽略集合元素的互異性.集合的運算1.(2020課標Ⅰ,1,5分)已知集合A={x|x2-3x-4<0},B={-4,1,3,5},則A∩B= ()A.{-4,1}B.{1,5}C.{3,5}D.{1,3}答案D由x2-3x-4<0,得(x-4)(x+1)<0,解得-1<x<4,∴A={x|-1<x<4},∵B={-4,1,3,5},∴A∩B={1,3},故選D.2.(2020天津,1,5分)設(shè)全集U={-3,-2,-1,0,1,2,3},集合A={-1,0,1,2},B={-3,0,2,3},則A∩(?UB)= ()A.{-3,3}B.{0,2}C.{-1,1}D.{-3,-2,-1,1,3}答案C因為U={-3,-2,-1,0,1,2,3},B={-3,0,2,3},所以?UB={-2,-1,1},又A={-1,0,1,2},所以A∩(?UB)={-1,1},故選C.3.已知全集U={1,2,3,4,5},集合A={1,2,3},?UB={2,5},則集合B=,A∩B=.
答案{1,3,4};{1,3}解析由補集的定義可知:B={1,3,4},∴A∩B={1,3}.4.設(shè)全集U=R,A={x|-5<x<5},B={x|0≤x<7},則(?UA)∪(?UB)=,?U(A∪B)=.
答案{x|x<0或x≥5};{x|x≤-5或x≥7}解析由題意知?UA={x|x≤-5或x≥5},?UB={x|x<0或x≥7},則(?UA)∪(?UB)={x|x<0或x≥5}.由題意知A∪B={x|-5<x<7},則?U(A∪B)={x|x≤-5或x≥7}.
名師點評集合基本運算的求解策略(1)求解思路:一般是先化簡集合,再由交、并、補的定義求解.(2)求解思想:注重數(shù)形結(jié)合思想的運用,利用好數(shù)軸、Venn圖等.集合、元素間的基本關(guān)系角度一兩集合相等典例1已知集合a,ba,4={a2,a+3b,0},則2|a答案4角度二包含關(guān)系典例2若集合A={0,1,2,x},B={1,x2},A∪B=A,則滿足條件的實數(shù)x為()A.0B.1C.±2答案C名師點評兩集合相等,即兩集合的元素相同,解決問題時需要注意去驗證.1.(2020甘肅隴南二診)若集合A={1,m},B={m2,m+1},且A=B,則m= ()A.0B.1C.±1D.0或1答案A∵集合A={1,m},B={m2,m+1},且A=B,m≠m+1,∴m=m2,解得m=0或m=1(不符合集合元素的互異性,舍去),綜上,m=0.故選A.2.已知A?B,A?C,B={2,0,1,8},C={1,9,3,8},則A可能是 ()A.{1,8}B.{2,3}C.{1,3}D.{2}答案A∵B={2,0,1,8},C={1,9,3,8},∴B∩C={1,8},∵A?B,A?C,∴A?(B∩C)?A?{1,8},故選A.含有三個實數(shù)的集合既可以表示成a,ba,1,又可以表示成{a2,a+bb2020=.
答案-1解析要使得ba有意義,則a≠0,由集合a,ba,1={a2可得b=0,此時{a,0,1}={a2,a,0},故只需a2=1,即a=1或a=-1,若a=1,則集合{a2,a,0}={1,1,0},不滿足集合元素的互異性,故舍去.若a=-1,經(jīng)驗證,符合要求,故a=-1,b=0,則a2019+b2020=-1.4.設(shè)集合M={2,0,x},集合N={0,1},若N?M,則x=.
答案1解析由題意得1∈M,所以x=1.集合的新定義問題典例3(1)定義集合的商集運算為AB=xx=mn,m∈A,n∈B,已知集合A={2,4,6},B=xA.6B.7C.8D.9(2)設(shè)A,B是兩個非空集合,定義集合A-B={x|x∈A,且x?B}.若A={x∈N|0≤x≤5},B={x|x2-7x+10<0},則A-B= ()A.{0,1}B.{1,2}C.{0,1,2}D.{0,1,2,5}答案(1)B(2)D名師點評“新定義”主要是指即時定義新概念、新公式、新定理、新法則、新運算五種,然后根據(jù)此新定義去解決問題,有時還需要用類比的方法去理解新的定義,這樣有助于對新定義的透徹理解.但是,透過現(xiàn)象看本質(zhì),它們考查的還是基礎(chǔ)數(shù)學知識,所以說“新題”不一定是“難題”,掌握好三基,以不變應(yīng)萬變才是制勝法寶.1.定義一種新的集合運算△:A△B={x|x∈A,且x?B}.若集合A={x|x2-4x+3<0},B={x|2≤x≤4},則B△A=.
答案{x|3≤x≤4}解析易知A={x|1<x<3},因為B={x|2≤x≤4},所以由新定義知,B△A={x|x∈B,且x?A}={x|3≤x≤4}.2.設(shè)A是整數(shù)集的一個非空子集,對于k∈A,如果k-1?A且k+1?A,那么k是A的一個“單一元”,給定S={1,2,3,4,5,6,7,8},由S的3個元素構(gòu)成的所有集合中,不含“單一元”的集合共有個.
答案6解析符合題意的集合為{1,2,3},{2,3,4},{3,4,5},{4,5,6},{5,6,7},{6,7,8},共6個.微專題——新定義集合的概念、運算法則的應(yīng)用典例定義集合A,B的運算A*B={x|x∈A或x∈B,且x?(A∩B)},則(A*B)*A等于 ()A.A∩BB.A∪BC.AD.B答案D新定義題型的特點是:通過給出一個新概念,或約定一種新運算,或給出幾個新模型來創(chuàng)設(shè)全新的問題情境,要求學生在閱讀理解的基礎(chǔ)上,依據(jù)題目提供的信息,聯(lián)系所學的知識和方法,實現(xiàn)信息的遷移,達到靈活解題的目的.遇到新定義問題時,應(yīng)耐心讀題,分析新定義的特點,弄清新定義的性質(zhì),按新定義的要求,逐條分析、驗證、運算,使問題得以解決.1.如圖所示的Venn圖中,A,B是非空集合,定義集合AB為陰影部分表示的集合,若x,y∈R,A={x|y=lgx+lg(2-x)},B={y|y=3x,x>0},則AB= ()A.{x|0<x<2}B.{x|1<x<2}C.{x|0<x≤1或x≥2}D.{x|0<x<1或x>2}答案C由Venn圖可知,AB=(A∪B)∩?U(A∩B),∵A={x|y=lgx+lg(2-x)}={x|0<x<2},B={y|y=3x,x>0}={y|y>1},∴A∪B={x|x>0},A∩B={x|1<x<2},∴?U(A∩B)={x|x≤1或x≥2},∴AB={x|x>0}∩{x|x≤1或x≥2}={x|0<x≤1或x≥2},故選C.2.設(shè)X是直角坐標平面上的任意點集,定義X*={(1-y,x-1)|(x,y)∈X}.若X*=X,則稱點集X“關(guān)于運算*對稱”.給定點集A={(x,y)|x2+y2=1},B={(x,y)|y=x-1},C={(x,y)||x-1|+|y|=1},其中“關(guān)于運算*對稱”的點集個數(shù)為 ()A.0B.1C.2D.3答案B將(1-y,x-1)代入x2+y2=1,化簡得x+y=1,顯然不行,故集合A不滿足關(guān)于運算*對稱,將(1-y,x-1)代入y=x-1,即x-1=1-y-1,整理得x+y=1,顯然不行,故集合B不滿足關(guān)于運算*對稱,將(1-y,x-1)代入|x-1|+|y|=1,即|1-y-1|+|x-1|=1,化簡得|x-1|+|y|=1,故集合C滿足關(guān)于運算*對稱,故只有一個集合滿足關(guān)于運算*對稱,故選B.3.定義一個集合A的所有子集組成的集合叫做集合A的冪集,記為P(A),用n(A)表示有限集A的元素個數(shù),給出下列命題:①對于任意集合A,都有A?P(A);②存在集合A,使得n[P(A)]=3;③用?表示空集,若A∩B=?,則P(A)∩P(B)=?;④若A?B,則P(A)?P(B);⑤若n(A)-n(B)=1,則n[P(A)]=2×n[P(B)],其中正確的命題個數(shù)為 ()A.4B.3C.2D.1答案B由P(A)的定義可知①正確,④正確,設(shè)n(A)=n,則n(P(A))=2n,所以②錯誤;若A∩B=?,則P(A)∩P(B)={?},③不正確;n(A)-n(B)=1,即A中元素比B中元素多一個,則n[P(A)]=2×n[P(B)],⑤正確,故選B.A組基礎(chǔ)達標1.(2020課標Ⅱ,1,5分)已知集合A={x||x|<3,x∈Z},B={x||x|>1,x∈Z},則A∩B= ()A.?B.{-3,-2,2,3}C.{-2,0,2}D.{-2,2}答案D2.(2020課標Ⅲ,1,5分)已知集合A={1,2,3,5,7,11},B={x|3<x<15},則A∩B中元素的個數(shù)為 ()A.2B.3C.4D.5答案B3.設(shè)集合A={x|-x2-x+2<0},B={x|2x-5>0},則集合A與B的關(guān)系是 ()A.B?AB.B?AC.B∈AD.A∈B答案A4.設(shè)a,b∈R,集合{1,a+b,a}=0,b,ba,則b-A.1B.-1C.2D.-2答案C5.(2020甘肅白銀聯(lián)考)已知集合A={x|x2+2x-15≤0},B={x|-2<x<4},則A∩B= ()A.{x|-2<x≤3}B.{x|-5≤x<4}C.{x|-5≤x≤-2}D.{x|3≤x<4}答案A6.(2020河南九師聯(lián)盟3月聯(lián)考)若全集U=R,M=x|1x<1,則?UA.{x|x≤1}B.{x|0≤x≤1}C.{x|x≥0}D.{x|x<0或x>1}答案B7.(2020廣東實驗中學高三線上考試)已知集合A={y|y=1-x2,x∈[-1,1]},B={x|y=x+2},則A∩B= (A.[0,1]B.[-1,1]C.(0,1)D.?答案A8.(2020黑龍江哈爾濱期末)已知集合A={x|-1≤x≤2},B={x|x<1},則A∩(?RB)= ()A.{x|x>1}B.{x|x≥1}C.{x|1<x≤2}D.{x|1≤x≤2}答案D9.(2020湖南衡陽八中線上月考)若集合A={x|3x-4≥x},B={1,3,5,7},則A∩B= ()A.{3,5}B.{5,7}C.{3,5,7}D.{1,3,5,7}答案C10.(2020廣東佛山二中高三月考)已知集合A={x|5x2+x-4<0},B=x|x<13,則A∩(?RA.1C.-答案AA={x|5x2+x-4<0}={x|(5x-4)(x+1)<0}=-1,∵B=x|∴?RB=13故A∩(?RB)=-1,45∩B組能力拔高11.(2020福建廈門高三檢測)集合A,B是實數(shù)集R的子集,定義A-B={x|x∈A且x?B},A*B=(A-B)∪(B-A)叫做集合的對稱差,若集合A={y|y=(x-1)2+1,0≤x≤3},B={y|y=x2+1,1≤x≤3},則以下說法不正確的是 ()A.A=[-1,5]B.A-B=[1,2)C.B-A=(5,10]D.A*B=[1,2)∪(5,10]答案AA={y|y=(x-1)2+1,0≤x≤3}={y|1≤y≤5},B={y|y=x2+1,1≤x≤3}={y|2≤y≤10},故A-B={x|x∈A且x?B}={x|1≤x<2},B-A={x|x∈B且x?A}={x|5<x≤10}.故A*B=(A-B)∪(B-A)=[1,2)∪(5,10].故選A.12.(2020江蘇南通四調(diào))已知集合A={-3,-1,1,3},B={x|x2-2x-3=0},則A∩B=.
答案{-1,3}解析由x2-2x-3=(x-3)(x+1)=0,解得x=-1或x=3,所以B={-1,3},所以A∩B={-1,3}.13.(2020天津第一中學期末)已知集合A={1,2,3},B={y|y=2x-1},則A∩B=.
答案{1,2,3}解析B={y|y=2x-1}=R,A={1,2,3},所以A∩B={1,2,3}.14.(2020浙江麗水期末)已知集合A={x|x2-4<0},B={x|x>1},則A∩B=,A∪B=.
答案{x|1<x<2};{x|x>-2}解析∵A={x|x2-4<0}={x|-2<x<2},B={x|x>1},∴A∩B={x|1<x<2},A∪B={x
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