2023屆高考數(shù)學(xué)專題破-專題十 平面向量與復(fù)數(shù)（解析版）

專題十平面向量與復(fù)數(shù)一、單選題1．已知，且向量與的夾角為120°，又，則的取值范圍為（）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)平面向量基底定理、平面向量的加法的幾何意義，結(jié)合平面向量數(shù)量積的運(yùn)算性質(zhì)和定義進(jìn)行求解即可.【詳解】由，因?yàn)?，且向量與的夾角為120°，所以，又因?yàn)?，所以，設(shè)，以、為鄰邊做平行四邊形，如圖所示：因?yàn)?，所以平行四邊形是菱形，而向量與的夾角為120°，所以，因此，因?yàn)?，所以，因此所以有，故選：C【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：運(yùn)用平面向量數(shù)量積的運(yùn)算性質(zhì)、定義、平面向量加法的幾何意義是解題的關(guān)鍵.2．已知，是不共面向量，設(shè)，，，，若的面積為3，則的面積為（）A．4 B．5 C．6 D．8【答案】D【分析】根據(jù)已知條件結(jié)合向量的線性表示與向量加減法的運(yùn)算可得到與的兩個(gè)邊之間的關(guān)系，進(jìn)而可得面積之間的關(guān)系，根據(jù)面積關(guān)系可得結(jié)論.【詳解】∵，，，，∴，，∴，∴且，取中點(diǎn)，中點(diǎn)，如圖所示，過作，垂足為，交于，則，則，，∴，∴，，三點(diǎn)共線，且，∴，，∴，∴的面積為8.故選：D.【點(diǎn)睛】（1）應(yīng)用平面向量基本定理表示向量的實(shí)質(zhì)是利用平行四邊形法則或三角形法則進(jìn)行向量的加、減或數(shù)乘運(yùn)算；（2）用向量基本定理解決問題的一般思路是：先選擇一組基底，并運(yùn)用該基底將條件和結(jié)論表示成向量的形式，再通過向量的運(yùn)算來解決.3．如圖，在等邊中，，向量在向量上的投影向量為（）A． B．C． D．【答案】D【分析】將向量用表示，求得模長(zhǎng)及，從而利用投影公式求得向量在向量上的投影向量即可.【詳解】由題知D點(diǎn)是BC的四等分點(diǎn)，設(shè)三角形邊長(zhǎng)為a，則，，，則向量在向量上的投影向量為：，故選：D【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：表示出，計(jì)算得到，利用投影公式求解.4．已知向量滿足，，與夾角的大小為，則（）A．0 B． C．2 D．【答案】A【分析】利用向量的數(shù)量積運(yùn)算求得或，驗(yàn)證即可得結(jié)論．【詳解】因?yàn)?，，所以，因?yàn)榕c夾角的大小為，所以，又，所以，兩邊平方整理可得，所以或，當(dāng)時(shí)，，，，此時(shí)與夾角的大小為，與已知矛盾，舍去；當(dāng)，，，，此時(shí)與夾角的大小為，符合條件，綜上可得，．故選：A【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：平面向量的數(shù)量積的計(jì)算常用的方法有：（1）利用公式；（2）利用坐標(biāo)公式.要根據(jù)已知條件靈活選擇方法求解.5．設(shè)為兩個(gè)非零向量的夾角，且，已知對(duì)任意實(shí)數(shù)，無最小值，則以下說法正確的是（）A．若和確定，則唯一確定B．若和確定，則有最大值C．若確定，則D．若不確定，則與的大小關(guān)系不確定【答案】B【分析】令，其對(duì)稱軸為，結(jié)合題意要使得無最小值，則對(duì)稱軸不在，從而可得或，進(jìn)而可選出正確答案.【詳解】由題意知，，令，則函數(shù)的圖象的對(duì)稱軸為，因?yàn)闊o最小值，所以或，所以或，所以和確定，則有最大值故選：B．【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：解決本題的關(guān)鍵在于利用二次函數(shù)的性質(zhì)，分析對(duì)稱軸的位置，從而得出和確定，則有最大值.6．中，是的中點(diǎn)，點(diǎn)在邊上，且滿足，交于點(diǎn)，則=（）A． B． C． D．【答案】A【分析】設(shè)設(shè)，，由、得、與的關(guān)系，結(jié)合求、，進(jìn)而可得與的線性關(guān)系式.【詳解】由題設(shè)可得如下幾何示意圖，設(shè)，，∵，∴，∵，∴，由知：，∴，得，∴.故選：A.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：令，，利用幾何圖形中各線段對(duì)應(yīng)向量的線性關(guān)系求參數(shù)、，寫出與的線性關(guān)系式.7．如圖所示，邊長(zhǎng)為2的正△ABC，以BC的中點(diǎn)O為圓心，BC為直徑在點(diǎn)A的另一側(cè)作半圓弧，點(diǎn)P在圓弧上運(yùn)動(dòng)，則?的取值范圍為（）A．[2，3] B．[4，3] C．[2，4] D．[2，5]【答案】D【分析】根據(jù)向量數(shù)量積的定義，等于乘以在向量上的投影，因?yàn)椴蛔?，故求的取值范圍等價(jià)于求向量在向量上的投影的長(zhǎng)度取值范圍即可.【詳解】解：由題可知，當(dāng)點(diǎn)P在點(diǎn)C處時(shí)，最小，此時(shí)過圓心O作OPAB交圓弧于點(diǎn)P，連接AP，此時(shí)最大，過O作OG⊥AB于G，PF⊥AB的延長(zhǎng)線于F，則=|AB||AF|=|AB|(|AG|+|GF|)=，所以的取值范圍為[2，5].故選：D.【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：利用數(shù)量積幾何意義，將問題轉(zhuǎn)化為投影長(zhǎng)度的變化，從而求得取值范圍.8．設(shè)A、B為圓上的兩動(dòng)點(diǎn)，且∠AOB=120o，P為直線l：3x–4y–15=0上一動(dòng)點(diǎn)，則的最小值為（）A．3 B．4 C．5 D．6【答案】C【分析】取中點(diǎn)，求出點(diǎn)軌跡方程，，轉(zhuǎn)化求點(diǎn)到直線上點(diǎn)的距離的最小值，由此計(jì)算可得．【詳解】設(shè)是中點(diǎn)，因?yàn)?，所以，即在以原點(diǎn)為圓心，為半徑的圓上，，，又，所以，所以．故選：C．【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題考查圓上兩動(dòng)點(diǎn)與直線上動(dòng)點(diǎn)間的“距離”的最小值問題，解題關(guān)鍵是取中點(diǎn)，把用表示，這樣兩動(dòng)點(diǎn)轉(zhuǎn)化為一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，求得點(diǎn)軌跡，利用直線與圓的位置關(guān)系求解即可．9．已知平面向量、、，若，，，則在方向上投影的最小值為（）A． B．C． D．【答案】C【分析】建立平面直角坐標(biāo)系，將各向量均轉(zhuǎn)化為共起點(diǎn)O的向量，由知向量終點(diǎn)在圓上運(yùn)動(dòng)，過終點(diǎn)作向量所在直線的垂線，數(shù)形結(jié)合得到投影最小值.【詳解】不妨設(shè)，，，由，可得，又，故點(diǎn)C在以為圓心，為半徑的圓上運(yùn)動(dòng).如圖，由，不妨設(shè)在直線上，過點(diǎn)C、M分別作直線OB的垂線，垂足為、，則在方向上投影的最小值即為，即.故選：C.【點(diǎn)睛】向量投影問題的處理通常有兩個(gè)角度：一是利用數(shù)量積變形公式求解；二是利用投影的幾何意義，作垂直輔助線，數(shù)形結(jié)合求解.10．在矩形中，邊的長(zhǎng)分別為2，1，若分別是邊上的點(diǎn)，且滿足，則的取值范圍是（）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)題意，建立坐標(biāo)系，設(shè)，根據(jù)條件，求得a,b的關(guān)系，代入數(shù)量積公式，即可求得答案.【詳解】如圖建系，所以，設(shè)，則，因?yàn)?，所以，即，又，所以，故選：B.【點(diǎn)睛】本題考查平面向量的數(shù)量積的最值問題，關(guān)鍵是建立坐標(biāo)系，利用平面向量的數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算求得的函數(shù)表達(dá)式.11．在矩形中，，垂足為，則的最大值是（）A． B． C． D．【答案】A【分析】設(shè)，，則，，將用表示，再利用導(dǎo)數(shù)即可得到最大值．【詳解】設(shè)，，則，，于是.令，則，.令，則.由，得.當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，.故.故選：A【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題引入邊作為變量，合理利用一元表示是解題的關(guān)鍵，求最值即可利用導(dǎo)數(shù)，亦可利用三元均值不等式.12．設(shè)為單位向量，滿足，設(shè)的夾角為，則的可能取值為（）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)為單位向量，設(shè)，且，得到的坐標(biāo)，再根據(jù)，得到x的范圍，然后利用求解.【詳解】因?yàn)闉閱挝幌蛄?，不妨設(shè)，且，所以，又因?yàn)?，所以，化?jiǎn)得，所以，，，當(dāng)時(shí)，，故選：C【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題關(guān)鍵是在為單位向量的條件下，設(shè)，由確定x的范圍.13．半徑為的圓上有三點(diǎn)??滿足，點(diǎn)是圓內(nèi)一點(diǎn)，則的取值范圍為（）A． B． C． D．【答案】A【分析】設(shè)與交于點(diǎn)，由得四邊形是菱形，是對(duì)角線中點(diǎn)，用和其他向量表示并計(jì)算數(shù)量積后可得＝，由點(diǎn)與的位置關(guān)系可得的取值范圍，得結(jié)論．【詳解】如圖，與交于點(diǎn)，由得：四邊形是菱形，且，則，，由圖知，，而，∴，同理，，而，∴，∴，∵點(diǎn)是圓內(nèi)一點(diǎn)，則，∴，故選：A.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題考查平面向量數(shù)量積的運(yùn)算，解題關(guān)鍵是是利用線段的中點(diǎn)的性質(zhì)，把用和其他向量相加，然后求數(shù)量積可化化簡(jiǎn)．14．已知向量，，且對(duì)任意，恒成立，則（）A． B．C． D．【答案】C【分析】由已知兩邊平方得，可判斷A；再由得，結(jié)合可判斷B；由可判斷C；由可判斷D.【詳解】由得，即對(duì)任意恒成立，所以，，所以，所以A錯(cuò)誤；由得，由，所以B錯(cuò)誤；由，得，所以C正確；由，所以D錯(cuò)誤.故選：C.【點(diǎn)睛】本題考查了向量的模長(zhǎng)和數(shù)量積的有關(guān)運(yùn)算，解題的關(guān)鍵點(diǎn)是判斷出，考查了學(xué)生分析問題、解決問題的能力及計(jì)算能力.15．已知的三邊長(zhǎng)為3，4，5，其外心為，則的值為（）A． B． C．0 D．25【答案】A【分析】利用外心的特點(diǎn)，取的中點(diǎn)，得出，利用向量運(yùn)算計(jì)算，同理得出，進(jìn)而可得答案.【詳解】設(shè)的中點(diǎn)為，則，即；所以，同理可得,所以;故選：A.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：本題的關(guān)鍵是運(yùn)用向量垂直數(shù)量積為零進(jìn)行合理轉(zhuǎn)化是求解，從而可以順利使用已知條件.16．在平行四邊形中，已知，，，，則（）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)平面向量的三角形法則即向量的模的運(yùn)算可以求出平行四邊形兩個(gè)邊的模的關(guān)系，進(jìn)而利用平面向量的對(duì)角線法則及平面向量的數(shù)量積的計(jì)算公式，可以得所求數(shù)量積的值.【詳解】∵，∴，，而，，∴，，∴，，兩式相減得，∴.∴.故選：B.【點(diǎn)睛】求兩個(gè)向量的數(shù)量積有三種方法：利用定義；利用向量的坐標(biāo)運(yùn)算；利用數(shù)量積的幾何意義．具體應(yīng)用時(shí)可根據(jù)已知條件的特征來選擇，同時(shí)要注意數(shù)量積運(yùn)算律的應(yīng)用．17．如圖所示，半圓的直徑AB＝2，O為圓心，C是半圓上不同于A，B的任意一點(diǎn)，若P為半徑OC上的動(dòng)點(diǎn)，則(＋)·的最小值是（）A． B． C．－ D．【答案】C【分析】根據(jù)題中條件，得到，根據(jù)向量數(shù)量積運(yùn)算，得到，即可求出最小值.【詳解】因?yàn)辄c(diǎn)是線段的中點(diǎn)，所以向量，所以，又因?yàn)橄蛄?，方向相反，所以．故選：C．18．復(fù)數(shù)滿足，且使得關(guān)于的方程有實(shí)根，則這樣的復(fù)數(shù)的個(gè)數(shù)為（）A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)【答案】C【分析】設(shè),代入方程得整理得，在結(jié)合方程有實(shí)數(shù)根得，進(jìn)而分和兩種情況求解即可.【詳解】設(shè),因?yàn)?所以,所以將代入方程整理，因?yàn)殛P(guān)于的方程有實(shí)根，所以所以當(dāng)時(shí)，解得，此時(shí)關(guān)于的方程為或，易知方程無實(shí)數(shù)根，故舍去，所以；當(dāng)時(shí)，解得，，所以，所以，此時(shí)方程有實(shí)數(shù)根，滿足條件.綜上，或.故這樣的復(fù)數(shù)的個(gè)數(shù)為個(gè).故選：C【點(diǎn)睛】本題考查復(fù)數(shù)方程有實(shí)數(shù)根，求對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)，考查運(yùn)算求解能力，分類討論思想，是中檔題.本題解題的關(guān)鍵在于設(shè)，進(jìn)而根據(jù)題意得，即，進(jìn)而求解.19．已知復(fù)數(shù)為虛數(shù)單位在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為，復(fù)數(shù)滿足，則下列結(jié)論不正確的是（）A．點(diǎn)的坐標(biāo)為 B．C．的最大值為 D．的最小值為【答案】D【分析】A：根據(jù)復(fù)數(shù)的表達(dá)式直接寫出點(diǎn)的坐標(biāo)進(jìn)行判斷即可；B：根據(jù)復(fù)數(shù)的共軛復(fù)數(shù)的定義進(jìn)行判斷即可；C，D：根據(jù)復(fù)數(shù)模的幾何意義，結(jié)合圓的性質(zhì)進(jìn)行判斷即可.【詳解】A：因?yàn)閺?fù)數(shù)為虛數(shù)單位在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為，所以點(diǎn)的坐標(biāo)為，因此本選項(xiàng)結(jié)論正確；B：因?yàn)椋?，因此本選項(xiàng)結(jié)論正確；C，D：設(shè)，在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為，設(shè)因?yàn)椋渣c(diǎn)到點(diǎn)的距離為1，因此點(diǎn)是在以為圓心，1為半徑的圓，表示圓上的點(diǎn)到點(diǎn)距離，因此，，所以選項(xiàng)C的結(jié)論正確，選項(xiàng)D的結(jié)論不正確，故選：D【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：根據(jù)的幾何意義，結(jié)合圓的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.20．已知為虛數(shù)單位，且，復(fù)數(shù)滿足，則復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)點(diǎn)的軌跡方程為（）A． B．C． D．【答案】C【分析】先求，再求軌跡方程.【詳解】，由題意知，則復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)點(diǎn)的軌跡方程為.故選：C．【點(diǎn)睛】利用復(fù)數(shù)減法的幾何意義，可以表示以下曲線：①表示以點(diǎn)Z0為圓心，1為半徑的圓；②表示以Z1、Z2為焦點(diǎn)的橢圓；③表示以Z1、Z2為焦點(diǎn)的雙曲線.21．若復(fù)數(shù)的共軛復(fù)數(shù)為且滿足，則復(fù)數(shù)的實(shí)部為（）A． B．-1 C． D．1【答案】D【分析】設(shè)，則，利用已知條件結(jié)合復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算可得，進(jìn)而求出a,b，即可得解.【詳解】設(shè)，則，整理得：，即，解得：所以復(fù)數(shù)的實(shí)部為1故選：D【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題考查共軛復(fù)數(shù)和復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算，解題的關(guān)鍵是合理使用待定系數(shù)法，屬于基礎(chǔ)題.22．已知復(fù)數(shù)﹑滿足，復(fù)數(shù)滿足或者，且對(duì)任意成立，則正整數(shù)n的最大值為（）A．6 B．8 C．10 D．12【答案】C【分析】用向量表示，根據(jù)題意，可得，因?yàn)榛蛘?，根?jù)其幾何意義可得的終點(diǎn)的軌跡，且滿足條件的終點(diǎn)個(gè)數(shù)即為n，數(shù)形結(jié)合，即可得答案.【詳解】用向量表示，因?yàn)?，所以，又滿足或者，則可表示以O(shè)為起點(diǎn)，終點(diǎn)在以A為圓心，半徑為r的圓上的向量，或終點(diǎn)在以B為圓心，半徑為r的圓上的向量，則終點(diǎn)可能的個(gè)數(shù)即為n，因?yàn)?，所以在同一個(gè)圓上的兩個(gè)點(diǎn)，形成的最小圓心角為，如圖所示，則最多有10個(gè)可能的終點(diǎn)，即n=10.故選：C【點(diǎn)睛】解題的關(guān)鍵是根據(jù)所給條件的幾何意義，得到的終點(diǎn)軌跡，根據(jù)條件，數(shù)形結(jié)合，即可得答案，考查分析理解，數(shù)形結(jié)合的能力，屬中檔題.23．，則下列說法正確的是A．復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)落在第二象限 B．C．的虛部為1 D．【答案】C【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)乘除運(yùn)算化簡(jiǎn)得，結(jié)合復(fù)數(shù)相關(guān)概念判定A，B，D錯(cuò)誤，化簡(jiǎn)判定正確.【詳解】解：，其對(duì)應(yīng)的復(fù)平面點(diǎn)為位于第四象限，故A錯(cuò)誤；，故B錯(cuò)誤；，虛部為1，故C正確；，故D錯(cuò)誤.故選：C.【點(diǎn)睛】復(fù)數(shù)乘除法運(yùn)算技巧：（1）復(fù)數(shù)的乘法：復(fù)數(shù)乘法類似于多項(xiàng)式的乘法運(yùn)算．（2）復(fù)數(shù)的除法：除法的關(guān)鍵是分子分母同乘以分母的共軛復(fù)數(shù)．24．若i為虛數(shù)單位，復(fù)數(shù)z滿足，則的最大值為（）A．2 B．3 C． D．【答案】D【分析】先根據(jù)分析出復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在復(fù)平面內(nèi)的軌跡，然后將的最大值轉(zhuǎn)化為圓外一點(diǎn)到圓上一點(diǎn)的距離最大值問題并完成求解.【詳解】因?yàn)楸硎疽渣c(diǎn)為圓心，半徑的圓及其內(nèi)部，又表示復(fù)平面內(nèi)的點(diǎn)到的距離，據(jù)此作出如下示意圖：所以，故選：D.【點(diǎn)睛】結(jié)論點(diǎn)睛：常見的復(fù)數(shù)與軌跡的結(jié)論：（1）：表示以為圓心，半徑為的圓；（2）且：表示以為端點(diǎn)的線段；（3）且：表示以為焦點(diǎn)的橢圓；（4）且：表示以為焦點(diǎn)的雙曲線.25．（2020·全國(guó)高三其他模擬（文））已知復(fù)數(shù)，（其中，是實(shí)數(shù)），則（）A．1 B． C． D．【答案】A【分析】利用復(fù)數(shù)的運(yùn)算求出，再利用模長(zhǎng)公式求解即可.【詳解】由，得，即，∴，，解得：，，∴，故．故選：A【點(diǎn)睛】思路點(diǎn)睛：本題考查復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算，復(fù)數(shù)相等，復(fù)數(shù)的模長(zhǎng)，解本題時(shí)先利用復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算化簡(jiǎn)已知條件得到，再利用復(fù)數(shù)相等可求得，利用模長(zhǎng)公式求得結(jié)果.26．（2020·全國(guó)高三其他模擬）已知復(fù)數(shù)滿足，則復(fù)數(shù)的共軛復(fù)數(shù)（）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的乘方運(yùn)算和復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算求得，再由共軛復(fù)數(shù)的概念可得選項(xiàng).【詳解】解：因?yàn)椋?，故，故選：D【點(diǎn)睛】結(jié)論點(diǎn)睛：求解復(fù)數(shù)的運(yùn)算問題時(shí)要牢記復(fù)數(shù)的相關(guān)運(yùn)算技巧和結(jié)論：，，，，，，．27．（2020·廣東高三月考）已知復(fù)數(shù)，則（）A．3 B． C．2 D．1【答案】B【分析】化簡(jiǎn)得，即得解.【詳解】，則．故選：B．二、多選題28．的一點(diǎn)，以下可能成立的是（）A． B．C． D．【答案】AC【分析】作出圖示，根據(jù)向量的平行四邊形法則逐項(xiàng)進(jìn)行判斷即可.【詳解】對(duì)于A：如下圖所示，可知在內(nèi)部，故成立；對(duì)于B：如下圖所示，可知在外部，故不成立；對(duì)于C：因?yàn)椋缦聢D所示，可知在內(nèi)部，故成立；對(duì)于D：因?yàn)?，如下圖所示，可知在外部，故不成立；故選：AC.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：解答本題的關(guān)鍵是采用圖示結(jié)合向量的平行四邊形法則進(jìn)行說明，其中CD選項(xiàng)中的向量關(guān)系式要根據(jù)進(jìn)行化簡(jiǎn).29．已知為所在平面內(nèi)一點(diǎn)，則下列正確的是（）A．若，則點(diǎn)在的中位線上B．若，則為的重心C．若，則為銳角三角形D．若，則與的面積比為【答案】ABD【分析】設(shè)中點(diǎn)為，中點(diǎn)為，由可得，可知A正確；設(shè)中點(diǎn)為，由得，對(duì)應(yīng)重心的性質(zhì)可知B正確；由知為銳角，但無法確定，知C錯(cuò)誤；根據(jù)平面向量基本定理可知，將面積比轉(zhuǎn)化為，知D正確.【詳解】對(duì)于A，設(shè)中點(diǎn)為，中點(diǎn)為，，，，即，三點(diǎn)共線，又為的中位線，點(diǎn)在的中位線上，A正確；對(duì)于B，設(shè)中點(diǎn)為，由得：，又，，在中線上，且，為的重心，B正確；對(duì)于C，，與夾角為銳角，即為銳角，但此時(shí)有可能是直角或鈍角，故無法說明為銳角三角形，C錯(cuò)誤；對(duì)于D，，為線段上靠近的三等分點(diǎn)，即，，D正確.故選：ABD.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題考查平面向量在幾何中的應(yīng)用問題，涉及到三角形重心的表示、平面向量基本定理的應(yīng)用等知識(shí)；本題解題關(guān)鍵是能夠根據(jù)平面向量線性運(yùn)算將已知等式進(jìn)行轉(zhuǎn)化，確定點(diǎn)的具體位置及其滿足的性質(zhì).30．已知向量=(1，sinθ)，=(cosθ，)(0≤θ≤π)，則下列命題正確的是（）A．與可能平行B．存在θ，使得||=||C．當(dāng)·=時(shí)，sinθ=D．當(dāng)tanθ=-時(shí)，與垂直【答案】BCD【分析】在題設(shè)條件下，對(duì)選項(xiàng)A，B，C，D的條件分別分析并判斷.【詳解】若與平行，則sinθcos=，即sin2θ=2不成立，即與不可能平行，故A錯(cuò)誤；若||=||，則=得1+sin2θ=cos2θ+2，即cos2θ-sin2θ=cos2θ=-1，此時(shí)而0≤θ≤π，，故B正確；若·=，則cosθ+sinθ=(cosθ+sinθ)，設(shè)sinφ=，cosφ=，則cosθ+sinθ=sin(θ+φ)=，則sin(θ+φ)=1，即θ+φ=2kπ+，又0≤θ≤π，∴k=0時(shí)，θ=-φ，從而有sinθ=cosφ==，故C正確；當(dāng)tanθ=-時(shí)，則sinθ=-cosθ，·=cosθ+sinθ=cosθ+×(-cosθ)=cosθ-cosθ=0，則與垂直成立，故D正確.故選：BCD【點(diǎn)睛】輔助角公式：，其中角由確定，用輔助角公式解答三角函數(shù)的某些問題，闡明輔助角是如何確定的是關(guān)鍵.31．下列關(guān)于平面向量的說法中正確的是（）A．已知均為非零向量，若，則存在唯一的實(shí)數(shù)，使得B．已知非零向量，且與的夾角為銳角，則實(shí)數(shù)的取值范圍是C．若且，則D．若平面內(nèi)有四個(gè)點(diǎn)A、B、C、D，則必有【答案】AD【分析】由向量共線定理可判斷選項(xiàng)A；由向量夾角的的坐標(biāo)表示可判斷選項(xiàng)B；由數(shù)量積的運(yùn)算性質(zhì)可判斷選項(xiàng)C；有，，可判斷選項(xiàng)D.【詳解】對(duì)于選項(xiàng)A：由向量共線定理知選項(xiàng)A正確；對(duì)于選項(xiàng)B：，若與的夾角為銳角，則解得，當(dāng)與共線時(shí)，，解得：，此時(shí)，，此時(shí)夾角為，不符合題意，所以實(shí)數(shù)的取值范圍是，故選項(xiàng)B不正確；對(duì)于選項(xiàng)C：若，則，因?yàn)?，則或與垂直，故選項(xiàng)C不正確；對(duì)于選項(xiàng)D：對(duì)于平面內(nèi)四個(gè)點(diǎn)A、B、C、D，有，，則，則必有，故選項(xiàng)D正確.故選：AD【點(diǎn)睛】易錯(cuò)點(diǎn)睛：兩個(gè)向量夾角為銳角數(shù)量積大于，但數(shù)量積大于向量夾角為銳角或，由向量夾角為銳角數(shù)量積大于，需要檢驗(yàn)向量共線的情況.兩個(gè)向量夾角為鈍角數(shù)量積小于，但數(shù)量積小于向量夾角為鈍角或.32．下列說法正確的是（）A．若點(diǎn)是的重心，則B．已知，，若，則C．已知A，B，C三點(diǎn)不共線，B，C，M三點(diǎn)共線，若，則D．已知正方形的邊長(zhǎng)為1，點(diǎn)M滿足，則【答案】AD【分析】由平面向量加法的平行四邊形法則重心的性質(zhì)運(yùn)算可判斷A；由平面向量線性運(yùn)算的坐標(biāo)表示、共線的坐標(biāo)表示可判斷B；由平面向量共線的性質(zhì)及平面向量基本定理可判斷C；由平面向量的線性運(yùn)算、數(shù)量積的定義及運(yùn)算律可判斷D.【詳解】對(duì)于A，點(diǎn)D是邊BC的中點(diǎn)，由平面向量加法的平行四邊形法則可得在中，若，故A正確；對(duì)于B，因?yàn)?，，所以，解得，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C，若B，C，M三點(diǎn)共線，則存在實(shí)數(shù)，使得，所以即，又，所以，所以，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，在正方形中，，由可得，所以，故D正確.故選：AD.【點(diǎn)睛】本題考查了平面向量共線、線性運(yùn)算及數(shù)量積運(yùn)算的應(yīng)用，考查了運(yùn)算求解能力，屬于基礎(chǔ)題.關(guān)鍵要熟練掌握向量的線性運(yùn)算和數(shù)量積運(yùn)算,準(zhǔn)確掌握向量平行的充要條件.33．如圖，在同一平面內(nèi)，兩個(gè)斜邊相等的直角三角形放置在一起，其中，則下列結(jié)論正確的是（）A． B．C． D．【答案】AD【分析】由可判斷A，由可判斷B，由，，結(jié)合題中長(zhǎng)度和角度，利用數(shù)量積運(yùn)算法則計(jì)算即可.【詳解】對(duì)于A，由，所以，A正確；由，可得,所以，所以，B不正確；,因?yàn)?，所以所以，所以，C不正確；.D正確.故選：AD.【點(diǎn)睛】本題解題的關(guān)鍵是通過向量的加減運(yùn)算將未知向量轉(zhuǎn)化為已知向量，通過已知角度和長(zhǎng)度，進(jìn)行數(shù)量積的運(yùn)算，本題也可以通過建系的方法，利用坐標(biāo)進(jìn)行運(yùn)算.34．設(shè)為復(fù)數(shù)，則下列命題中正確的是（）A． B．C．若，則的最大值為2 D．若，則【答案】ACD【分析】設(shè)，對(duì)A、B、C、D一一驗(yàn)證即可.對(duì)于A：利用復(fù)數(shù)乘法及模的定義驗(yàn)證；對(duì)于B：利用復(fù)數(shù)乘法及模的定義驗(yàn)證；對(duì)于C：利用復(fù)數(shù)的幾何意義求最值；對(duì)于D：利用復(fù)數(shù)的幾何意義求最值；【詳解】對(duì)于A：，則，∴，而，所以成立；對(duì)于B：，當(dāng)ab均不為0時(shí)，，而，所以不成立；對(duì)于C：可以看出以為圓心，1為半徑的圓上的點(diǎn)P，可以看成點(diǎn)P到Q(0,-1)的距離，所以當(dāng)P(0,1)時(shí)，可取的最大值為2；對(duì)于D：可以看出以為圓心，1為半徑的圓上的點(diǎn)N，則表示點(diǎn)N到原點(diǎn)距離，故O、N重合時(shí)，=0最小，當(dāng)O、M、N三點(diǎn)共線時(shí)，=2最大，故.故選：ACD【點(diǎn)睛】利用復(fù)數(shù)減法的幾何意義，可以表示以下曲線：①表示以點(diǎn)Z0為圓心，1為半徑的圓；②表示以Z1、Z2為焦點(diǎn)的橢圓；③表示以Z1、Z2為焦點(diǎn)的雙曲線.第II卷（非選擇題）三、填空題35．在中，，，有下述四個(gè)結(jié)論：①若為的重心，則②若為邊上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則為定值2③若，為邊上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且，則的最小值為④已知為內(nèi)一點(diǎn)，若，且，則的最大值為2其中所有正確結(jié)論的編號(hào)是______．【答案】①③【分析】易知三角形是等腰直角三角形,①取BC的中點(diǎn)D，根據(jù)為的重心，利用平面向量的基本定理求解判斷；②由在上的投影為求解判斷；③以A為原點(diǎn)，分別以AB，AC為x,y軸，建立平面坐標(biāo)系，易知直線BC的方程為，設(shè)，利用數(shù)量積運(yùn)算求解判斷；④設(shè)，，且，易得，再由，得到求解判斷.【詳解】在中，，，所以三角形是等腰直角三角形,如圖所示：①取BC的中點(diǎn)D，因?yàn)闉榈闹匦?，則，故正確；②若為邊上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，向量在上的投影為，所以，故錯(cuò)誤；③如圖所示：以A為原點(diǎn)，分別以AB，AC為x,y軸，建立平面坐標(biāo)系，則，直線BC的方程為，，因?yàn)?，為邊上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，設(shè)，且，不妨設(shè)，因?yàn)?，則，即，所以，所以，當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，所以的最小值為，故正確；④如圖所示：

，設(shè)，因?yàn)?，所以，即，設(shè)，且，又，所以，因?yàn)?，所以，所以無最大值，則無最大值，故錯(cuò)誤.故答案為：①③【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：平面向量的基本運(yùn)算方法是：一是基底法；二是坐標(biāo)法.36．在中，，，是中點(diǎn)，則__________．【答案】2【分析】分別以點(diǎn)A為坐標(biāo)原點(diǎn)，AB為x軸，AC為y軸，建立平面直角坐標(biāo)系，分別求出和的坐標(biāo)，然后計(jì)算求值即可.【詳解】分別以點(diǎn)A為坐標(biāo)原點(diǎn)，AB為x軸，AC為y軸，建立平面直角坐標(biāo)系，如下圖：所以，設(shè)，所以，即，所以，，所以.故答案為：2.【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：解決向量數(shù)量積的問題，通常有兩種思路，第一種思路是用定義，第二種是用坐標(biāo)法，把向量用坐標(biāo)去表示，使問題簡(jiǎn)單化.37．已知平行四邊形中，，，，平面內(nèi)有動(dòng)點(diǎn)，滿足，則的取值范圍為___________．【答案】【分析】根據(jù)題意建立坐標(biāo)系，求出各點(diǎn)的坐標(biāo)，再結(jié)合，求出點(diǎn)的坐標(biāo)滿足的等式，最后結(jié)合數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算公式即可求出結(jié)果.【詳解】因?yàn)槠叫兴倪呅沃?，，，，所以建立如圖所示的坐標(biāo)系，則，，，，設(shè)，∵平面內(nèi)有動(dòng)點(diǎn)，滿足，∴，即，∴，∴.故答案為：.【點(diǎn)睛】求兩個(gè)向量的數(shù)量積有三種方法：利用定義；利用向量的坐標(biāo)運(yùn)算；利用數(shù)量積的幾何意義.具體應(yīng)用時(shí)可根據(jù)已知條件的特征來選擇，同時(shí)要注意數(shù)量積運(yùn)算律的應(yīng)用.38．已知向量與的夾角為60o，且，若，其中，則向量在上的投影的取值范圍為_______．【答案】．【分析】作出向量，找出向量的夾角，再根據(jù)極限的思想，即可得到答案；【詳解】如圖所示，令，因?yàn)?，，所以，根?jù)等和線定理可得：的終點(diǎn)與的終點(diǎn)共線，過作直線，設(shè)的夾角為，當(dāng)向方向運(yùn)動(dòng)時(shí)，，當(dāng)向方向運(yùn)動(dòng)時(shí)，，當(dāng)與重合時(shí)，，所以，所以，所以向量在上的投影為：，故答案為：.【點(diǎn)睛】利用數(shù)形結(jié)合思想和極限的思想可以大大減化本題的計(jì)算量.39．在平面中，已知|，點(diǎn)在上，若的最小值為4，則的最小值為___________.【答案】【分析】設(shè)，可得三點(diǎn)共線，當(dāng)取最小值時(shí)，，然后利用條件和余弦定理可得，設(shè)，然后用表示出，然后可得答案.【詳解】如圖，設(shè)則三點(diǎn)共線，當(dāng)取最小值時(shí)，，在和中，，在中，設(shè)，則當(dāng)時(shí)，的最小值為，故答案為：.【點(diǎn)睛】結(jié)論點(diǎn)睛：三點(diǎn)共線，若，則，反之也成立.40．已知是邊長(zhǎng)為4的等邊三角形，為平面內(nèi)一點(diǎn)，則的最小值是__________．【答案】．【分析】首先建立平面直角坐標(biāo)系，利用數(shù)量積的坐標(biāo)表示，寫出，再求最小值.【詳解】以為中點(diǎn)，建立如圖所示的直角坐標(biāo)系，則，，，設(shè)，則，，，所以，，，當(dāng)，時(shí)，取得最小值．故答案為：．【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題的關(guān)鍵是通過建立適合的坐標(biāo)系，將數(shù)量積坐標(biāo)化，即可求得最值.41．已知，則面積的最大值是___________.【答案】【分析】由已知得點(diǎn)A、B在以點(diǎn)O為圓心，3為半徑的圓上，點(diǎn)C在以點(diǎn)O為圓心，為圓心的圓上，且，所以直線AB是點(diǎn)C所在的圓的切線，由圓的性質(zhì)可求得答案.【詳解】因?yàn)?，所以點(diǎn)A、B在以點(diǎn)O為圓心，3為半徑的圓上，點(diǎn)C在以點(diǎn)O為圓心，為圓心的圓上，且，所以直線AB是點(diǎn)C所在的圓的切線，且，要使面積的最大值，則需點(diǎn)C在下圖所在的位置，此時(shí)面積的是，所以面積的最大值是，故答案為：.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：本題考查向量的數(shù)量積運(yùn)算，以及最值的求解，關(guān)鍵在于得出點(diǎn)所在的軌跡，根據(jù)圓的性質(zhì)求得最值.42．已知點(diǎn)是的外心，，設(shè)，且實(shí)數(shù)，滿足，則的值是___________.【答案】0【分析】將已知條件轉(zhuǎn)化為，再結(jié)合可得，.【詳解】將兩端分別與、作內(nèi)積，結(jié)合數(shù)量積的幾何意義可得：，又，即有，解得.又，聯(lián)立可得，，所以.故答案為：0.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題的關(guān)鍵點(diǎn)是：將已知條件兩端分別與、作內(nèi)積，轉(zhuǎn)化為.43．復(fù)數(shù)，，則的最大值為_________．【答案】【分析】利用復(fù)數(shù)的加減運(yùn)算法則計(jì)算計(jì)算，然后計(jì)算并利用三角函數(shù)的性質(zhì)分析其最值.【詳解】因?yàn)?，，所以，故，所以?dāng)時(shí)，有最大值，且最大值為.故答案為：.【點(diǎn)睛】本題考查復(fù)數(shù)的模長(zhǎng)計(jì)算，解答本題的關(guān)鍵在于先要表示出的表達(dá)式，然后通過輔助角公式將化簡(jiǎn)，結(jié)合三角函數(shù)的性質(zhì)求解最值.44．如果z＝，那么z100＋z50＋1＝________.【答案】【分析】先求出復(fù)數(shù)，計(jì)算出后可求的值.【詳解】因?yàn)?，故，所以，故，故，故答案為?【點(diǎn)睛】知識(shí)點(diǎn)睛：對(duì)任意的，若，則，若，則，若，則，若，則.45．復(fù)平面上點(diǎn)對(duì)應(yīng)著復(fù)數(shù)以及向量，對(duì)于復(fù)數(shù)，下列命題都成立；①；②；③；④；⑤若非零復(fù)數(shù)，滿足，則.則對(duì)于非零向量仍然成立的命題的所有序號(hào)是___________.【答案】①②③【分析】①根據(jù)平面向量加法交換律判定；②結(jié)合平面向量加法運(yùn)算法則判定；③由判定；④結(jié)合平面向量數(shù)量積判定；⑤結(jié)合平面向量數(shù)量積判定.【詳解】解：①成立，故①正確；②由平面向量加法運(yùn)算法則可得，故②正確；③成立，故③正確；④，故④不成立，⑤若非零向量，滿足，則，則，所以不一定成立，故⑤不成立.故答案為：①②③46．已知復(fù)數(shù)滿足，且負(fù)實(shí)數(shù)滿足，則的值為___________.【答案】【分析】由，設(shè)，代入后利用復(fù)數(shù)相等的定義求解．【詳解】因?yàn)?，故可設(shè)，則，即，所以，或，若，則，時(shí)，，，不是負(fù)數(shù)，舍去．時(shí)，，，無實(shí)解．，則，（舍去）．故答案為：．【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：與復(fù)數(shù)有關(guān)的方程，常常設(shè)，代入方程后利用復(fù)數(shù)相等的定義轉(zhuǎn)化為實(shí)數(shù)方程求解．47．設(shè)復(fù)數(shù)z，滿足，，，則____________．【答案】【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的幾何意義得到對(duì)應(yīng)向量的表示，再結(jié)合向量的平行四邊形法則以及余弦定理求解出的值.【詳解】設(shè)在復(fù)平面中對(duì)應(yīng)的向量為，對(duì)應(yīng)的向量為，如下圖所示：因?yàn)?，所以，所以，又因?yàn)?，所以，所以，所以，又，故答案為?【點(diǎn)睛】結(jié)論點(diǎn)睛：復(fù)數(shù)的幾何意義：（1）復(fù)數(shù)復(fù)平面內(nèi)的點(diǎn)；（2）復(fù)數(shù)平面向量.48．（2020·全國(guó)高三專題練習(xí)（理））計(jì)算_______.【答案】-511【分析】利用復(fù)數(shù)的運(yùn)算公式，化簡(jiǎn)求值.【詳解】原式.故答案為：【點(diǎn)睛】思路點(diǎn)睛：本題考查復(fù)數(shù)的次冪的運(yùn)算，注意，，以及，等公式化簡(jiǎn)求值.49．（2020·重慶市第七中學(xué)校高三期中）i表示虛數(shù)單位，則______．【答案】1【分析】根據(jù)虛數(shù)單位的運(yùn)算性質(zhì)求解出原式的結(jié)果.【詳解】解：因?yàn)?，所以且，所以，故答案為?【點(diǎn)睛】結(jié)論點(diǎn)睛：虛數(shù)單位的常見運(yùn)算性質(zhì)：（1）；（2）.50．（2020·新疆高三其他模擬（理））設(shè)復(fù)數(shù)，滿足，，則__________．【答案】【分析】由題意設(shè)，，利用已知復(fù)數(shù)相等的條件列方程組求，進(jìn)而可求.【詳解】∵，設(shè)，，∴，∴，兩式平方相加得：，化簡(jiǎn)得：，∴.故答案為：.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：由復(fù)數(shù)模的數(shù)量關(guān)系，應(yīng)用復(fù)數(shù)的三角表示，并根據(jù)復(fù)數(shù)相等的條件求模．四、雙空題51．，，，為中點(diǎn)，若，則的值為______，的值為______．【答案】2．【分析】由題意可得，設(shè)，將分別轉(zhuǎn)化為，利用向量數(shù)量積的定義代入，解出，可求出以及的值.【詳解】解：根據(jù)題意作出圖形如圖所示：因?yàn)?，，所以，設(shè)，則，解得，即，所以．故答案為：2；．【點(diǎn)睛】思路點(diǎn)睛：向量的數(shù)量積經(jīng)常先借助于基底將向量進(jìn)行轉(zhuǎn)化，然后根據(jù)基底的模長(zhǎng)以及角度代入計(jì)算.52．如圖所示，正六邊形的邊長(zhǎng)為，線段交于點(diǎn)，則___________；若點(diǎn)是線段上一點(diǎn)，且，則___________.【答案】4【分析】建立平面直角坐標(biāo)系，利用坐標(biāo)計(jì)算即可求解.【詳解】建立如圖所示直角坐標(biāo)系，因?yàn)檎呅蔚倪呴L(zhǎng)為2，則，所以，，所以,點(diǎn)是線段上一點(diǎn)，設(shè)，則,，，，解得，所以，,，故答案為：4；【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：根據(jù)正六邊形的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)，建立直角坐標(biāo)系，利用向量坐標(biāo)進(jìn)行運(yùn)算是解題的關(guān)鍵，屬于中檔題.53．已知復(fù)數(shù)滿足，其中為虛數(shù)單位，則______，______．【答案】【分析】由可得：，之后利用復(fù)數(shù)運(yùn)算法則對(duì)其進(jìn)行化簡(jiǎn)，求得，進(jìn)而求得其模.【詳解】由題意得，所以．故答案為：①；②.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：該題考查的是有關(guān)復(fù)數(shù)的運(yùn)算，正確解題的關(guān)鍵是靈活運(yùn)用復(fù)數(shù)四則運(yùn)算法則.五、解答題54．對(duì)于平面向量，，求證：，并說明等號(hào)成立的條件；（2）我們知道求的最大值可化為求的最大值，也可以利用向量的知識(shí)，將構(gòu)造為兩個(gè)向量的數(shù)量積形式，即：令，，則轉(zhuǎn)化為，求出最大值．利用以上向量的知識(shí)，完成下列問題：①對(duì)于任意的，求證：；②求的最值．【答案】（1）證明見解析，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，即或，等號(hào)成立；（2）①證明見解析；②最大值為5，最小值為3.【分析】(1)由向量的數(shù)量積的定義并結(jié)合余弦函數(shù)的有界性即可證明；（2）①設(shè)，再結(jié)合即可得證明；②設(shè)，則，再結(jié)合向量數(shù)量積的幾何意義求解即可.【詳解】解：（1）設(shè)，所以當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，即或，等號(hào)成立（2）①設(shè)，則∵，∴兩邊平方得：．②，所以，所以因?yàn)辄c(diǎn)在以圓點(diǎn)為圓心，1為半徑的單位圓上的，即第一象限及，；當(dāng)時(shí)，在上的投影最小，即的最小值為3；當(dāng)共線同向時(shí)取得最大值，即的最大值為5，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取得最大值．【點(diǎn)睛】本題考查向量的綜合應(yīng)用，考查運(yùn)算求解能力，知識(shí)遷移與應(yīng)用能力，是中檔題.本題第二問的第二小問的解題的關(guān)鍵在于令，注意到為單位向量，進(jìn)而利用向量幾何意義（投影的概念）求解.55．已知關(guān)于的方程有實(shí)數(shù)根，其中為虛數(shù)單位．（Ⅰ）求復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)的軌跡方程；（Ⅱ）若復(fù)數(shù)滿足，求．【答案】（1）；（2）或【分析】（1）設(shè)方程的實(shí)數(shù)根為m,代入原方程，利