高考數(shù)學(xué)專題《空間幾何體及其三視圖和直觀圖》習(xí)題含答案解析

專題8.1空間幾何體及其三視圖和直觀圖練基礎(chǔ)練基礎(chǔ)1.（2020·廣西興寧?南寧三中高一期末）已知一個幾何體的三視圖如圖所示，則此幾何體的組成方式為（）A．上面為圓臺，下面為圓柱 B．上面為圓臺，下面為棱柱C．上面為棱臺，下面為棱柱 D．上面為棱臺，下面為圓柱【答案】A【解析】結(jié)合圖形分析知上面為圓臺，下面為圓柱.故選：A.2.（2021·江西師大附中高二月考（理））如圖是一個棱錐的正視圖和側(cè)視圖，它們?yōu)槿鹊牡妊苯侨切危瑒t該棱錐的俯視圖不可能是（）A． B．C． D．【答案】C【解析】根據(jù)棱錐的三視圖想象原幾何體的結(jié)構(gòu)，可以在正方體中想象描出原幾何體，確定其結(jié)構(gòu)．【詳解】若幾何體為三棱錐，由其正視圖和側(cè)視圖可知，其底面在下方且為直角三角形，故ABD均有可能，若幾何體是四棱錐，由其正視圖和側(cè)視圖可知，其底面在下方，且為正方形，俯視圖為正方形，但對角線應(yīng)從左上到右下，C不正確．故選：C．3.（2021·江蘇高一期末）已知一個圓錐的母線長為2，其側(cè)面積為，則該圓錐的高為（）A．1 B． C． D．2【答案】C【解析】由側(cè)面積求出圓錐的底面圓半徑，再根據(jù)勾股定理可求得其高.【詳解】設(shè)圓錐的底面圓的半徑為，母線為，則，所以其側(cè)面積為，解得，所以圓錐的高為.故選：C.4.（2020·河北易縣中學(xué)高三其他（文））若圓臺的母線與高的夾角為，且上、下底面半徑之差為2，則該圓臺的高為（）A． B．2 C． D．【答案】D【解析】設(shè)上、下底面半徑分別為，，圓臺高為，由題可知：，即，所以．故選：D5.（2020屆浙江紹興市諸暨市高三上期末）某幾何體的正視圖與側(cè)視圖如圖所示：則下列兩個圖形①②中，可能是其俯視圖的是（）A．①②都可能 B．①可能，②不可能C．①不可能，②可能 D．①②都不可能【答案】A【解析】若是①，可能是三棱錐；若是②，可能是棱錐和圓錐的組合；所以①②都有可能，故選：A.6．（2021·石家莊市第十七中學(xué)高一月考）如圖，某沙漏由上、下兩個圓錐組成，每個圓錐的底面直徑和高均為，現(xiàn)有體積為的細(xì)沙全部漏入下圓錐后，恰好堆成一個蓋住沙漏底部的圓錐形沙堆，則此錐形沙堆的高度為（）A． B． C． D．【答案】C【解析】根據(jù)圓錐的體積公式列方程求出沙堆的高．【詳解】解：細(xì)沙漏入下部后，圓錐形沙堆的底面半徑為，設(shè)高為，則沙堆的體積為，解得，所以圓錐形沙堆的高度為．故選：．7.（2021·云南彌勒市一中高一月考）如圖，正方形的邊長為1，它是水平放置的一個平面圖形的直觀圖，則原圖形的周長是（）A．8 B．6 C． D．【答案】A【解析】根據(jù)斜二測畫法的規(guī)則，得到原圖形的形狀為平行四邊形，進(jìn)而求得其邊長，即可求解.【詳解】由斜二測畫法的規(guī)則，可得原圖形為是一個平行四邊形，如圖所示，因為水平放置的一個平面圖形的直觀圖的邊長為1的正方形，可得，所以原圖形中，在直角中，可得，所以原圖形的周長為.故選：A.8．（2021·浙江高三三模）如圖，等腰直角三角形在平面上方，，若以為旋轉(zhuǎn)軸旋轉(zhuǎn)，形成的旋轉(zhuǎn)體在平面內(nèi)的投影不可能的是（）A． B． C． D．【答案】C【解析】對直線與平面的位置關(guān)系進(jìn)行分類討論，判斷出投影的形狀，即可得出合適的選項.【詳解】若，則形成的旋轉(zhuǎn)體在平面內(nèi)的投影如D選項所示；若，則形成的旋轉(zhuǎn)體在平面內(nèi)的投影為正方形；若與所成的角的取值范圍是時，則形成的旋轉(zhuǎn)體在平面內(nèi)的投影如A、B選項所示.投影不可能如C選項所示.故選：C.9．（2020·上海市進(jìn)才中學(xué)高二期末）設(shè)是半徑為的球的直徑，則兩點(diǎn)的球面距離是________．【答案】【解析】是半徑為的球的直徑，則兩點(diǎn)所對的球心角為，球面距離為．故答案為：．10．（2020·全國）如圖為一幾何體的平面展開圖，按圖中虛線將它折疊起來，畫出它的直觀圖．【答案】見解析【解析】由題設(shè)中所給的展開圖可以得出，此幾何體是一個四棱錐，其底面是一個邊長為2的正方形，垂直于底面的側(cè)棱長為2，其直觀圖如圖所示.練提升練提升TIDHNEG1.（2021·四川高一期末（理））某圓柱的高為，底面周長為，其三視圖如圖.圓柱表面上的點(diǎn)在正視圖上的對應(yīng)點(diǎn)為，圓柱表面上的點(diǎn)在左視圖上的對應(yīng)點(diǎn)為，則在此圓柱側(cè)面上，從到的路徑中，最短路徑的長度為（）A． B． C． D．【答案】B【解析】根據(jù)三視圖分析出所在的位置，然后結(jié)合圓柱的側(cè)面展開圖即可求出結(jié)果.【詳解】由三視圖還原幾何體，如圖：即點(diǎn)在距離點(diǎn)在底面投影的圓弧處，沿所在的母線得到如圖所示的側(cè)面展開圖，圓柱的底面周長即為側(cè)面展開圖的長，圓柱的高即為側(cè)面展開圖的寬，而線段的距離即為所求到的路徑中的最短路徑，因為底面周長為,所以，又因為高為，則，所以,故選：B.2.【多選題】（2021·寧波市北侖中學(xué)高一期中）如圖，棱長為的正四面體形狀的木塊，點(diǎn)是的中心．勞動課上需過點(diǎn)將該木塊鋸開，并使得截面平行于棱和，則下列關(guān)于截面的說法中正確的是（）A．截面不是平行四邊形B．截面是矩形C．截面的面積為D．截面與側(cè)面的交線平行于側(cè)面【答案】BCD【解析】過點(diǎn)構(gòu)建四邊形，通過相關(guān)直線間的平行關(guān)系進(jìn)一步證明為平行四邊形，找對應(yīng)線之間的垂直證明截面為矩形，從而計算截面面積【詳解】解：如圖所示，在正四面體中，4個面均為正三角形，由于點(diǎn)為的中心，所以位于的中線的外，分別取的三等分點(diǎn)，則∥，∥，∥，∥，所以∥，∥，所以截面為平行四邊形，所以A錯誤，延長交于，連接，由于為的中心，所以為的中點(diǎn)，因為，所以，因為，所以平面，所以，因為∥，∥，所以，所以截面為矩形，所以B正確，因為，所以，所以C正確，對于D，截面平面，∥，平面，平面，所以∥平面，所以D正確，故選：BCD3.（2021·湖北隨州市·廣水市一中高一月考）如圖所示，矩形是水平放置一個平面圖形的直觀圖，其，，則原圖形是（）A．正方形B．矩形C．菱形D．梯形【答案】C【解析】由已知得原圖為平行四邊形，，利用勾股定理計算邊長得到,可判斷原圖形的形狀.【詳解】因為，，所以直觀圖還原得，，四邊形為平行四邊形，，則，，，，，所以，故原圖形為菱形．故選：C.4．（2021·肇州縣第二中學(xué)高一月考）如圖是利用斜二測畫法畫出的的直觀圖，已知，且的面積為16，過點(diǎn)作軸于點(diǎn)，則的長為（）A． B． C． D．1【答案】A【解析】利用面積公式，求出直觀圖的高，求出，然后在直角三角形中求解即可【詳解】解：由直觀圖可知，在中，，因為的面積為16，,所以，所以，所以，因為，軸于點(diǎn)，所以，故選：A5．（2021·寧夏大學(xué)附屬中學(xué)高一月考）三棱錐及其三視圖中的正視圖和側(cè)視圖如圖所示，則棱的長為（）A． B．C． D．【答案】B【解析】根據(jù)幾何體的三視圖，結(jié)合幾何體的數(shù)量關(guān)系，在直角中，即可求解.【詳解】如圖所示，根據(jù)三棱錐及其三視圖中的正視圖和側(cè)視圖，可得底面中，點(diǎn)為的中點(diǎn)，，且底面，又由點(diǎn)為的中點(diǎn)，且根據(jù)側(cè)視圖，可得，在直角中，可得又由，在直角中，可得.故選：B.6．（2021·江蘇省鎮(zhèn)江中學(xué)）點(diǎn)是平面外一點(diǎn)，且，則點(diǎn)在平面上的射影一定是的（）A．外心 B．內(nèi)心 C．重心 D．垂心【答案】A【解析】過點(diǎn)作平面，因為，得到，即可求解.【詳解】如圖所示，過點(diǎn)作平面，可得因為，可得，所以為的外心.故選：A.7.（2021·上海高二期末）圓錐的高為1，底面半徑為，則過圓錐頂點(diǎn)的截面面積的最大值為____________【答案】2【解析】求出圓錐軸截面頂角大小，判斷并求出所求面積最大值．【詳解】如圖，是圓錐軸截面，是一條母線，設(shè)軸截面頂角為，因為圓錐的高為1，底面半徑為，所以，，所以，，設(shè)圓錐母線長為，則，截面的面積為，因為，所以時，．故答案為：2．8．（2021·浙江紹興市·高一期末）已知四面體的所有棱長均為4，點(diǎn)滿足，則以為球心，為半徑的球與四面體表面所得交線總長度為______.【答案】【解析】根據(jù)正四面體的結(jié)構(gòu)特征求得到面的距離，進(jìn)而利用球的截面的性質(zhì)求得各面所在平面與球的截面圓的半徑，注意與各面的三角形內(nèi)切圓的半徑比較，確定此截面圓是否整個在面所在的三角形內(nèi)，進(jìn)而確定球與各面的交線，得到球與四面體表面所得交線總長度．【詳解】已知四面體ABCD的所有棱長均為4，所以四面體ABCD是正四面體，因為點(diǎn)O滿足，所以為正四面體ABCD的中心設(shè)正三角BCD的中心為F，正三角ACD的中心為G，CD的中點(diǎn)為E，則連接則．

則，，，

．

因為球O的半徑為，所以球O被平面截得圓半徑為，

因為正三角形BCD的邊長為4，所以正三角形內(nèi)切圓半徑為，故球O與四面體ABCD的每一個面所得的交線為正好為內(nèi)切圓，每個內(nèi)切圓的周長為，所以球與四面體ABCD表面所得交線總長度．

故答案為：．9.（2020屆浙江杭州四中高三上期中）某幾何體的三視圖如圖所示，且該幾何體的體積是3，則正視圖中的x的值是_____，最長棱長為_____．【答案】【解析】由已知中的三視圖可得該幾何體是一個以直角梯形為底面的四棱錐，且梯形上下邊長為1和2，高為2，如圖：，，，，，平面，，∴底面的面積，∴幾何體的體積，可得，最長棱長為：，故答案為：；．10．（2019·全國高考真題（理））中國有悠久的金石文化，印信是金石文化的代表之一．印信的形狀多為長方體、正方體或圓柱體，但南北朝時期的官員獨(dú)孤信的印信形狀是“半正多面體”（圖1）.半正多面體是由兩種或兩種以上的正多邊形圍成的多面體.半正多面體體現(xiàn)了數(shù)學(xué)的對稱美．圖2是一個棱數(shù)為48的半正多面體，它的所有頂點(diǎn)都在同一個正方體的表面上，且此正方體的棱長為1．則該半正多面體共有________個面，其棱長為_________．【答案】共26個面.棱長為.【解析】由圖可知第一層與第三層各有9個面，計18個面，第二層共有8個面，所以該半正多面體共有個面．如圖，設(shè)該半正多面體的棱長為，則，延長與交于點(diǎn)，延長交正方體棱于，由半正多面體對稱性可知，為等腰直角三角形，，，即該半正多面體棱長為．練真題練真題TIDHNEG1.（2021·全國高考真題）已知圓錐的底面半徑為，其側(cè)面展開圖為一個半圓，則該圓錐的母線長為（）A． B． C． D．【答案】B【解析】設(shè)圓錐的母線長為，根據(jù)圓錐底面圓的周長等于扇形的弧長可求得的值，即為所求.【詳解】設(shè)圓錐的母線長為，由于圓錐底面圓的周長等于扇形的弧長，則，解得.故選：B.2．（2021·北京高考真題）定義：24小時內(nèi)降水在平地上積水厚度（）來判斷降雨程度．其中小雨（），中雨（），大雨（），暴雨（），小明用一個圓錐形容器接了24小時的雨水，如圖，則這天降雨屬于哪個等級（）A．小雨 B．中雨 C．大雨 D．暴雨【答案】B【解析】計算出圓錐體積，除以圓面的面積即可得降雨量，即可得解.【詳解】由題意，一個半徑為的圓面內(nèi)的降雨充滿一個底面半徑為，高為的圓錐，所以積水厚度，屬于中雨.故選：B.3.（2020·全國高考真題（理））如圖是一個多面體的三視圖，這個多面體某條棱的一個端點(diǎn)在正視圖中對應(yīng)的點(diǎn)為，在俯視圖中對應(yīng)的點(diǎn)為，則該端點(diǎn)在側(cè)視圖中對應(yīng)的點(diǎn)為（）A． B． C． D．【答案】A【解析】根據(jù)三視圖，畫出多面體立體圖形，上的點(diǎn)在正視圖中都對應(yīng)點(diǎn)M,直線上的點(diǎn)在俯視圖中對應(yīng)的點(diǎn)為N,∴在正視圖中對應(yīng),在俯視圖中對應(yīng)的點(diǎn)是,線段,上的所有點(diǎn)在側(cè)試圖中都對應(yīng),∴點(diǎn)在側(cè)視圖中對應(yīng)的點(diǎn)為.故選：A4．(2019年高考全國Ⅲ卷理)如圖，點(diǎn)N為正方形ABCD的中心，△ECD為正三角形，平面ECD⊥平面ABCD，M是線段ED的中點(diǎn)，則()A．BM=EN，且直線BM，EN是相交直線

B．BM≠EN，且直線BM，EN是相交直線

C．BM=EN，且直線BM，EN是異面直線D．BM≠EN，且直線BM，EN是異面直線【答案】B【解析】如圖所示，作于，連接，BD，易得直線BM，EN是三角形EBD的中線，是相交直線.過作于，連接，平面平面，平面，平面，平面，與均為直角三角形．設(shè)正方形邊長為2，易知，，，故選B．5.（2018·北京高考真題（文））某四棱錐的三視圖如圖所示，在此四棱錐的側(cè)面中，直角三角形的個數(shù)為（）A.1 B.2C.3 D.4【答案】C【解析】分析：根據(jù)三視圖還原幾何體，利用勾股定理求出棱長，再利用勾股定理逆定理判斷直角三