2022年高考全國卷數(shù)學(xué)試題分析-拋物線研究

2022年全國高考試卷試題分析--拋物線研究【問題研究】拋物線問題是屬于圓錐曲線問題范疇，該問題是高考的熱點，而圓錐曲線的最值問題幾乎是高考的必考點，不僅會在選擇題或填空題中進(jìn)行考察，在綜合題中也往往將其設(shè)計為試題考查的核心.【方法點評】方法一圓錐曲線的定義轉(zhuǎn)化法解題模板：第一步根據(jù)圓錐曲線的定義，把所求的最值轉(zhuǎn)化為平面上兩點之間的距離、點線之間的距離等；第二步利用兩點間線段最短，或垂線段最短，或三角形的三邊性質(zhì)等找到取得最值的臨界條件，進(jìn)而求出最值.【2022全國高考數(shù)學(xué)甲卷第20題】設(shè)拋物線的焦點為F，點，過F的直線交C于M，N兩點．當(dāng)直線MD垂直于x軸時，．（1）求C的方程；（2）設(shè)直線與C的另一個交點分別為A，B，記直線的傾斜角分別為．當(dāng)取得最大值時，求直線AB的方程．解：（1）當(dāng)直線MD垂直于x軸時，．在直角三角形MFD中，由勾股定理得，所以點，代入拋物線方程得，解得C的方程：直線的傾斜角分別為．由（1）知由點的坐標(biāo)可以設(shè)且，否則假設(shè)，由對稱性得.當(dāng)取得最大值時，不妨假設(shè)點M在點F的右側(cè)，點N在點F的左側(cè)，則直線MN過點F得：，化簡得故，直線MA過點D得：，化簡得故，直線NB 過點D得：，化簡得故，直線MN的斜率為直線BA的斜率為由夾角公式得，設(shè)，則，令，解得，.由函數(shù)的單調(diào)性得所以當(dāng)時，取得最大值.此時且直線AB的方程為：化簡得解法點評：本題巧設(shè)點的坐標(biāo)，通過代數(shù)計算與夾角公式把問題轉(zhuǎn)化為求一元函數(shù)的最值問題，從而求得直線的解析方程，解法獨特新穎別致，體現(xiàn)了邏輯推理與數(shù)據(jù)運(yùn)算，數(shù)學(xué)建模的核心素養(yǎng)，與新課標(biāo)考點一致，頗具中學(xué)特色.類似這一題，我們在模擬試題中找到相近題目如：（2021秋?重慶月考）作斜率為﹣1的直線l與拋物線C：y2＝2px交于A，B兩點（如圖所示），點P（1，2）在拋物線C上且在直線l上方．（Ⅰ）求C的方程并證明：直線PA和PB的傾斜角互補(bǔ)；（Ⅱ）若直線PA的傾斜角為，求△PAB的面積的最大值．【考點】直線與圓錐曲線的綜合．【專題】方程思想；設(shè)而不求法；圓錐曲線中的最值與范圍問題；邏輯推理；數(shù)學(xué)運(yùn)算．【分析】（Ⅰ）利用點P在拋物線上，求出p的值，即可得到拋物線的方程，聯(lián)立直線與拋物線方程，求出b的取值范圍，利用兩點間斜率公式以及韋達(dá)定理化簡kPA+kPB＝0，即可證明；（Ⅱ）先由傾斜角的范圍確定直線PA斜率的范圍，結(jié)合（Ⅰ）中的結(jié)論，進(jìn)一步求解b的取值范圍，由弦長公式求出|AB|，點到直線的距離公式求出三角形的高，用b表示出三角形的面積，構(gòu)造函數(shù)f（x）＝（x+1）（3﹣x）2，x∈（﹣1，3），利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，求解函數(shù)的最值即可．【解答】解：（Ⅰ）因為點P（1，2）在拋物線C上，所以22＝2p×1，解得p＝2，因此拋物線C的方程為y2＝4x，設(shè)直線l的方程為y＝﹣x+b，因為直線l與拋物線C交于A，B兩點，且點P（1，2）在直線l的上方，所以設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2），且1+2﹣b＞0，即b＜3，由，可得x2﹣（2b+4）x+b2＝0，而由Δ＝[﹣（2b+4）]2﹣4b2＝16（b+1）＞0，解得b＞﹣1，因此﹣1＜b＜3，且x1+x2＝2b+4，，所以＝＝＝，即kPA+kPB＝0，所以直線PA和直線PB的傾斜角互補(bǔ)；（Ⅱ）因為直線PA的傾斜角為，所以kPA＞1，又由（Ⅰ）可知，kPA+kPB＝0，所以，由（Ⅰ）可知，，即，所以，解得﹣1＜b＜3，又因為，而點P到直線l的距離為，所以△PAB的面積，設(shè)f（x）＝（x+1）（3﹣x）2，x∈（﹣1，3），則f'（x）＝3x2﹣10x+3＝（3x﹣1）（x﹣3），當(dāng)時，f'（x）＞0，f（x）單調(diào)遞增，當(dāng)時，f'（x）＜0，f（x）單調(diào)遞減，故當(dāng)時，f（x）取得最大值為，所以△PAB的面積的最大值為．【點評】本題考查了拋物線標(biāo)準(zhǔn)方程的求解、直線與拋物線位置關(guān)系的應(yīng)用，兩點間斜率公式的應(yīng)用，弦長公式以及點到直線距離公式的應(yīng)用，在解決直線與圓錐曲線位置關(guān)系的問題時，一般會聯(lián)立直線與圓錐曲線的方程，利用韋達(dá)定理和“設(shè)而不求”的方法進(jìn)行研究，屬于中檔題．拋物線練習(xí)題組：練習(xí)1：已知拋物線的焦點為，過點的直線交拋物線于兩點.（1）若，求直線的斜率；（2）設(shè)點在線段上運(yùn)動，原點關(guān)于點的對稱點為，求四邊形面積的最小值.【答案】（1）或；（2）4．考點：1、直線的斜率；2、直線與拋物線的位置關(guān)系；3、弦長公式．練習(xí)2：（2021秋?郫都區(qū)月考）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，已知點A（2，0），B（0，1），射線AB與拋物線C：y2＝8x及直線l：x＝﹣2分別交于點M，N，設(shè)＝，則λ的值為（）A． B． C． D．【考點】拋物線的性質(zhì)；直線與拋物線的綜合．【專題】計算題；轉(zhuǎn)化思想；綜合法；圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程；邏輯推理；數(shù)學(xué)運(yùn)算．【分析】求出拋物線的焦點坐標(biāo)以及準(zhǔn)線方程，利用拋物線的定義，通過＝，轉(zhuǎn)化求解λ的值即可【解答】解：拋物線C：y2＝8x的準(zhǔn)線方程為：x＝﹣2，焦點坐標(biāo)（2，0）與A重合，過M作ME垂直準(zhǔn)線與E，則AM＝ME，點A（2，0），B（0，1），tan∠MAO＝，＝，所以λ＝cos∠MAO＝＝，故選：D．練習(xí)3：拋物線y2＝4x的焦點為F，A，B是拋物線上兩點，且，且AB中點到準(zhǔn)線的距離為3，則AF中點到準(zhǔn)線的距離為（）A．1 B．2 C． D．3【考點】拋物線的性質(zhì)．【專題】轉(zhuǎn)化思想；轉(zhuǎn)化法；圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程；數(shù)學(xué)運(yùn)算．【分析】根據(jù)已知條件，結(jié)合拋物線的定義求得|AF|，即可求得AF中點到準(zhǔn)線的距離．【解答】解：∵拋物線y2＝4x，∴2p＝4，即p＝2，∵AB中點到準(zhǔn)線的距離為3，∴結(jié)合拋物線