適用試卷號(hào)：2006（閉卷）《經(jīng)濟(jì)數(shù)學(xué)基礎(chǔ)》復(fù)習(xí)資料

?經(jīng)濟(jì)數(shù)學(xué)根底?復(fù)習(xí)資料一、單項(xiàng)選擇題1．函數(shù)的定義域是〔 D〕．D．且2．假設(shè)函數(shù)的定義域是[0，1]，那么函數(shù)的定義域是(C)．C．3．以下各函數(shù)對(duì)中，〔D〕中的兩個(gè)函數(shù)相等．D．，4．設(shè)，那么=〔D〕．D．5．以下函數(shù)中為奇函數(shù)的是〔C〕．C． 6．以下函數(shù)中，〔 C 〕不是根本初等函數(shù)．C． 7．以下結(jié)論中，〔 C 〕是正確的．C．奇函數(shù)的圖形關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)對(duì)稱8.當(dāng)時(shí)，以下變量中〔B〕是無窮大量．B.9.當(dāng)時(shí)，以下變量為無窮小量的是〔A〕.A.10．函數(shù)在x=0處連續(xù)，那么k=(C)．C．111.函數(shù)在x=0處〔B〕B.右連續(xù)12．曲線在點(diǎn)〔0,1〕處的切線斜率為〔A〕．A．13.曲線在點(diǎn)(0,0)處的切線方程為〔A〕．A.y=x14．設(shè)y=1g2x,那么dy=〔A〕．A．15．假設(shè)，那么〔D〕．D．16．以下函數(shù)在指定區(qū)間上單調(diào)增加的是〔B 〕．B．ex17．以下結(jié)論正確的有〔A〕．A．x0是f(x)的極值點(diǎn)，且(x0)存在，那么必有(x0)=018.設(shè)需求量q對(duì)價(jià)格p的函數(shù)為，那么需求彈性為=〔B〕．B．1．在切線斜率為2x的積分曲線族中，通過點(diǎn)〔1,4〕的曲線為〔A〕．A．y=x2+32.假設(shè)=2，那么k=〔A〕．A．13．以下等式不成立的是〔D〕．D．4．假設(shè)，那么=〔D〕.D.5.以下不定積分中，常用分部積分法計(jì)算的是〔B〕．B． 6.，那么f(x)=〔C〕．C．7.以下定積分計(jì)算正確的選項(xiàng)是(B)．B．8．以下定積分中積分值為0的是〔A〕．A．9．以下無窮積分中收斂的是〔C〕．C．10．無窮限積分〔C〕．C．11．設(shè)，假設(shè)銷售量由10單位減少到5單位，那么收入R的改變量是〔B〕．B．-35012．以下微分方程中，〔D〕是線性微分方程.D.13．微分方程的階是〔C〕.C.21．設(shè)A為矩陣，B為矩陣，那么以下運(yùn)算中〔A〕可以進(jìn)行.A．AB2．以下結(jié)論或等式正確的選項(xiàng)是〔D〕D.對(duì)角矩陣是對(duì)稱矩陣3．設(shè)均為n階方陣，那么以下等式成立的是〔C〕．C.4．設(shè)均為n階方陣，在以下情況下能推出A是單位矩陣的是〔D〕．D．5．設(shè)是可逆矩陣，且，那么〔C〕.C.6．設(shè)，，是單位矩陣，那么＝〔D〕．D．7．設(shè)下面矩陣A,B,C能進(jìn)行乘法運(yùn)算，那么〔B〕成立.B．AB=AC，A可逆，那么B=C8．設(shè)是階可逆矩陣，是不為0的常數(shù)，那么〔D〕．D.9．設(shè)，那么r(A)=〔C〕．C．210．設(shè)線性方程組的增廣矩陣通過初等行變換化為，那么此線性方程組的一般解中自由未知量的個(gè)數(shù)為〔A〕．A．111．線性方程組解的情況是〔A〕．A.無解12．假設(shè)線性方程組的增廣矩陣為，那么當(dāng)＝〔 A〕時(shí)線性方程組無解．A．13．假設(shè)元線性議方程組滿足r(A)=n，那么該線性方程組〔B〕.B.有唯一解14．假設(shè)線性方程組AX=b中，假設(shè)r(A,b)=4，r(A)=3，那么該線性方程組〔B〕．B．無解15．設(shè)線性方程組有唯一解，那么相應(yīng)的齊次方程組〔C〕．C．只有零解16．設(shè)線性方程組有無窮多解的充分必要條件是〔B〕．B．＜n二、填空題1．函數(shù)的定義域是([-5，2])．2．函數(shù)的定義域是((-，-2)〔2，+))．3．假設(shè)函數(shù)，那么()．4．設(shè)函數(shù)，，那么()．5．設(shè)，那么函數(shù)的圖形關(guān)于(y軸)對(duì)稱．6．生產(chǎn)某種產(chǎn)品的本錢函數(shù)為C(q)=80+2q，那么當(dāng)產(chǎn)量q=50時(shí)，該產(chǎn)品的平均本錢為(3.6)．7．某商品的需求函數(shù)為q=180–4p，其中p為該商品的價(jià)格，那么該商品的收入函數(shù)R(q)=(45q–0.25q2).8.(1).9．，當(dāng)()時(shí)，為無窮小量．10.，假設(shè)在內(nèi)連續(xù)，那么(2).11.函數(shù)的間斷點(diǎn)是().12．函數(shù)的連續(xù)區(qū)間是(，，)．13．曲線在點(diǎn)處的切線斜率是()．14．函數(shù)y=x2+1的單調(diào)增加區(qū)間為 ((0,+) )．15．，那么=(0)．16．函數(shù)的駐點(diǎn)是().17．設(shè)某商品的需求函數(shù)為，那么需求彈性為 ()．18．需求函數(shù)為，其中p為價(jià)格，那么需求彈性().1．〔〕．2．假設(shè)存在且連續(xù),那么=〔〕．3．函數(shù)的原函數(shù)是〔-cos2x+c(c是任意常數(shù))〕．4．假設(shè)，那么〔〕.5．假設(shè)，那么=〔〕.6．假設(shè)，那么〔〕.7．〔0〕.8．〔0〕．9．無窮積分是〔收斂的〕．〔判別其斂散性〕10．設(shè)邊際收入函數(shù)為(q)=2+3q，且R(0)=0，那么平均收入函數(shù)為〔2+〕．11.是〔2〕階微分方程.12．微分方程的通解是〔〕．1．設(shè)均為n階矩陣,那么等式成立的充分必要條件是〔=〕.2．設(shè)矩陣為單位矩陣,那么=〔〕．3．假設(shè)矩陣A=，B=，那么ATB=〔〕．4．設(shè)為矩陣，為矩陣，且有意義,那么C是〔〕矩陣．5．設(shè)，當(dāng)〔0〕時(shí)，是對(duì)稱矩陣.6．當(dāng)〔〕時(shí)，矩陣可逆.7．設(shè)均為n階矩陣，可逆，那么矩陣方程的解〔〕．8．設(shè)為階可逆矩陣，那么(A)=〔〕．9．假設(shè)矩陣A=，那么r(A)=〔2〕．10．假設(shè)r(A,b)=4，r(A)=3，那么線性方程組AX=b〔無解〕．11．假設(shè)線性方程組有非零解，那么〔-1〕．12．設(shè)齊次線性方程組，且秩(A)=r<n，那么其一般解中的自由未知量的個(gè)數(shù)等于〔n–r〕．13．齊次線性方程組的系數(shù)矩陣為那么此方程組的一般解為〔(其中是自由未知量)〕.14．線性方程組的增廣矩陣化成階梯形矩陣后為那么當(dāng)〔〕時(shí)，方程組有無窮多解.15．假設(shè)線性方程組,且那么t〔〕時(shí),方程組有唯一解.16．假設(shè)線性方程組有唯一解，那么〔只有0解〕.三、計(jì)算題1．解===2．解：==3．解===22=44．解===25．解6．解==7．，求．解：(x)===8．，求．解9．，求；解因?yàn)樗?0．y=，求．解因?yàn)樗?1．設(shè)，求．解因?yàn)樗?2．設(shè)，求．解因?yàn)樗?3．，求．解14．，求．解：15．由方程確定是的隱函數(shù)，求．解在方程等號(hào)兩邊對(duì)x求導(dǎo)，得故16．由方程確定是的隱函數(shù)，求.解對(duì)方程兩邊同時(shí)求導(dǎo)，得=.17．設(shè)函數(shù)由方程確定，求．解：方程兩邊對(duì)x求導(dǎo)，得當(dāng)時(shí)，所以，18．由方程確定是的隱函數(shù)，求．解在方程等號(hào)兩邊對(duì)x求導(dǎo)，得故⒈解2．解3．解4．解==5．解===6．解7．解===8．解=-==9．解法一==＝=1解法二令，那么=10．求微分方程滿足初始條件的特解．解因?yàn)椋?用公式由，得所以，特解為11．求微分方程滿足初始條件的特解．解將方程別離變量：等式兩端積分得將初始條件代入，得，c=所以，特解為：12．求微分方程滿足的特解.解：方程兩端乘以，得即兩邊求積分，得通解為：由，得所以，滿足初始條件的特解為：13．求微分方程的通解．解將原方程別離變量 兩端積分得lnlny=lnCsinx通解為y=eCsinx14．求微分方程的通解.解將原方程化為：，它是一階線性微分方程，，用公式15．求微分方程的通解．解在微分方程中，由通解公式16．求微分方程的通解．解：因?yàn)?，，由通解公式?==1．設(shè)矩陣，，求．解因?yàn)?==所以==2．設(shè)矩陣，，，計(jì)算．解：===3．設(shè)矩陣A=，求．解因?yàn)?AI)=所以A-1=4．設(shè)矩陣A=，求逆矩陣．解因?yàn)?AI)=所以A-1=5．設(shè)矩陣A=，B=，計(jì)算(AB)-1．解因?yàn)锳B==(ABI)=所以(AB)-1=6．設(shè)矩陣A=，B=，計(jì)算(BA)-1．解因?yàn)锽A==(BAI)=所以(BA)-1=7．解矩陣方程．解因?yàn)榧此?，X==8．解矩陣方程.解：因?yàn)榧此?，X===9．設(shè)線性方程組討論當(dāng)a，b為何值時(shí)，方程組無解，有唯一解，有無窮多解.解因?yàn)樗援?dāng)且時(shí)，方程組無解；當(dāng)時(shí)，方程組有唯一解；當(dāng)且時(shí)，方程組有無窮多解.10．設(shè)線性方程組，求其系數(shù)矩陣和增廣矩陣的秩，并判斷其解的情況.解因?yàn)樗詒(A)=2，r()=3.又因?yàn)閞(A)r()，所以方程組無解.11．求以下線性方程組的一般解：解因?yàn)橄禂?shù)矩陣所以一般解為〔其中，是自由未知量〕12．求以下線性方程組的一般解：解因?yàn)樵鰪V矩陣所以一般解為〔其中是自由未知量〕13．設(shè)齊次線性方程組問取何值時(shí)方程組有非零解，并求一般解.解因?yàn)橄禂?shù)矩陣A=所以當(dāng)=5時(shí)，方程組有非零解.且一般解為〔其中是自由未知量〕14．當(dāng)取何值時(shí)，線性方程組有解？并求一般解.解因?yàn)樵鰪V矩陣所以當(dāng)=0時(shí)，線性方程組有無窮多解，且一般解為： 是自由未知量〕 15．線性方程組的增廣矩陣經(jīng)初等行變換化為問取何值時(shí)，方程組有解？當(dāng)方程組有解時(shí)，求方程組的一般解.解：當(dāng)=3時(shí)，，方程組有解.當(dāng)=3時(shí)，一般解為，其中,為自由未知量.四、應(yīng)用題1．設(shè)生產(chǎn)某種產(chǎn)品個(gè)單位時(shí)的本錢函數(shù)為：〔萬元〕,〔1〕當(dāng)時(shí)的總本錢、平均本錢和邊際本錢；〔2〕當(dāng)產(chǎn)量為多少時(shí)，平均本錢最??？解〔1〕因?yàn)榭偙惧X、平均本錢和邊際本錢分別為：，所以，，〔2〕令，得〔舍去〕因?yàn)槭瞧湓诙x域內(nèi)唯一駐點(diǎn)，且該問題確實(shí)存在最小值，所以當(dāng)20時(shí)，平均本錢最小.2．某廠生產(chǎn)一批產(chǎn)品，其固定本錢為2000元，每生產(chǎn)一噸產(chǎn)品的本錢為60元，對(duì)這種產(chǎn)品的市場(chǎng)需求規(guī)律為〔為需求量，為價(jià)格〕．試求：〔1〕本錢函數(shù)，收入函數(shù)；〔2〕產(chǎn)量為多少噸時(shí)利潤(rùn)最大？解〔1〕本錢函數(shù)=60+2000．因?yàn)椋?，所以收入函?shù)==()=．〔2〕因?yàn)槔麧?rùn)函數(shù)=-=-(60+2000)=40--2000且=(40--2000=40-0.2令=0，即40-0.2=0，得=200，它是在其定義域內(nèi)的唯一駐點(diǎn)．所以，=200是利潤(rùn)函數(shù)的最大值點(diǎn)，即當(dāng)產(chǎn)量為200噸時(shí)利潤(rùn)最大．3．設(shè)某工廠生產(chǎn)某產(chǎn)品的固定本錢為50000元，每生產(chǎn)一個(gè)單位產(chǎn)品，本錢增加100元．又需求函數(shù)，其中為價(jià)格，為產(chǎn)量，這種產(chǎn)品在市場(chǎng)上是暢銷的，試求：〔1〕價(jià)格為多少時(shí)利潤(rùn)最大？〔2〕最大利潤(rùn)是多少？解〔1〕C(p)=50000+100q=50000+100(2000-4p)=250000-400pR(p)=pq=p(2000-4p)=2000p-4p2利潤(rùn)函數(shù)L(p)=R(p)-C(p)=2400p-4p2-250000，且令=2400–8p=0得p=300，該問題確實(shí)存在最大值.所以，當(dāng)價(jià)格為p=300元時(shí)，利潤(rùn)最大.〔2〕最大利潤(rùn)〔元〕．4．某廠生產(chǎn)某種產(chǎn)品q件時(shí)的總本錢函數(shù)為C(q)=20+4q+0.01q2〔元〕，單位銷售價(jià)格為p=14-0.01q〔元/件〕，試求：〔1〕產(chǎn)量為多少時(shí)可使利潤(rùn)到達(dá)最大？〔2〕最大利潤(rùn)是多少？解：〔1〕由利潤(rùn)函數(shù)那么，令，解出唯一駐點(diǎn).因?yàn)槔麧?rùn)函數(shù)存在著最大值，所以當(dāng)產(chǎn)量為250件時(shí)可使利潤(rùn)到達(dá)最大，〔2〕最大利潤(rùn)為〔元〕5．某廠每天生產(chǎn)某種產(chǎn)品件的本錢函數(shù)為〔元〕.為使平均本錢最低，每天產(chǎn)量應(yīng)為多少？此時(shí)，每件產(chǎn)品平均本錢為多少？解因?yàn)?=〔〕==令=0，即=0，得=140，=-140〔舍去〕.=140是在其定義域內(nèi)的唯一駐點(diǎn)，且該問題確實(shí)存在最小值.所以=140是平均本錢函數(shù)的最小值點(diǎn)，即為使平均本錢最低，每天產(chǎn)量應(yīng)為140件.此時(shí)的平均本錢為==176〔元/件〕6．某廠生產(chǎn)件產(chǎn)品的本錢為〔萬元〕．問：要使平均本錢最少，應(yīng)生產(chǎn)多少件產(chǎn)品？解〔1〕因?yàn)?===令=0，即，得=50，=-50〔舍去〕，=50是在其定義域內(nèi)的唯一駐點(diǎn)．所以，=50是的最小值點(diǎn)，即要使平均本錢最少，應(yīng)生產(chǎn)50件產(chǎn)品．1．投產(chǎn)某產(chǎn)品的固定本錢為36(萬元)，且邊際本錢為=2x+40(萬元/百臺(tái)).試求產(chǎn)量由4百臺(tái)增至6百臺(tái)時(shí)總本錢的增量，及產(chǎn)量為多少時(shí)，可使平均本錢到達(dá)最低.解當(dāng)產(chǎn)量由4百臺(tái)增至6百臺(tái)時(shí)，總本錢的增量為==100〔萬元〕又==令，解得.x=6是惟一的駐點(diǎn)，而該問題確實(shí)存在使平均本錢到達(dá)最小的值.所以產(chǎn)量為6百臺(tái)時(shí)可使平均本錢到達(dá)最小.2．某產(chǎn)品的邊際本錢(x)=2〔元/件〕，固定本錢為0，邊際收益(x)=12-0.02x，問產(chǎn)量為多少時(shí)利潤(rùn)最大？在最大利潤(rùn)產(chǎn)量的根底上再生產(chǎn)50件，利潤(rùn)將會(huì)發(fā)生什么變化？解因?yàn)檫呺H利潤(rùn)=12-0.02x–2=10-0.02x令=0，得x=500x=500是惟一駐點(diǎn)，而該問題確實(shí)存在最大值.所以，當(dāng)產(chǎn)量為500件時(shí)，利潤(rùn)最大.當(dāng)產(chǎn)量由500件增加至550件時(shí)，利潤(rùn)改變量為=500-525=-25〔元〕即利潤(rùn)將減少25元.3．生產(chǎn)某產(chǎn)品的邊際本錢為(x)=8x(萬元/百臺(tái))，邊際收入為(x)=100-2x〔萬元/百臺(tái)〕，其中x為產(chǎn)量，問產(chǎn)量為多少時(shí)，利潤(rùn)最大？從利潤(rùn)最大時(shí)的產(chǎn)量再生產(chǎn)2百臺(tái)，利潤(rùn)有什么變化？解(x)=(x)-(x)=(100–2x)–8x=100–10x 令(x)=0,得x=10〔百臺(tái)〕又x=10是L(x)的唯一駐點(diǎn)，該問題確實(shí)存在最大值，故x=10是L(x)的最大值點(diǎn)，即當(dāng)產(chǎn)量為10〔百臺(tái)〕時(shí)，利潤(rùn)最大.又 即從利潤(rùn)最大時(shí)的產(chǎn)量再生產(chǎn)2百臺(tái)，利潤(rùn)將減少20萬元.4．某產(chǎn)品的邊際本錢為(萬元/百臺(tái))，x為產(chǎn)量(百臺(tái))，固定本錢為18(萬元)，求最低平均本錢.解：因?yàn)榭偙惧X函數(shù)為=當(dāng)x=0時(shí)，C(0)=18，得c=18即C(x)=又平均本錢函數(shù)為令，解得x=3(百臺(tái))該題確實(shí)存在使平均本錢最低的產(chǎn)量.所以當(dāng)x=3時(shí)，平均本錢最低.最底平均本錢為(萬元/百臺(tái))5．設(shè)生產(chǎn)某產(chǎn)品的總本錢函數(shù)為(萬元)，其中x為產(chǎn)量，單位：百噸．銷售x百噸時(shí)的邊際收入為〔萬元/百噸〕，求：(1)利潤(rùn)最大時(shí)的產(chǎn)量；(2)在利潤(rùn)最大時(shí)的產(chǎn)量的根底上再生產(chǎn)1百噸，利潤(rùn)會(huì)發(fā)生什么變化？解：(1)因?yàn)檫呺H本錢為，邊際利潤(rùn)=14–2x令，得x=7由該題實(shí)際意義可知，x=7為利潤(rùn)函數(shù)L(x)的極大值點(diǎn)，也是最大值點(diǎn).因此，當(dāng)產(chǎn)量為7百噸時(shí)利潤(rùn)最大.(2)當(dāng)產(chǎn)量由7百噸增加至8百噸時(shí)，利潤(rùn)改變量為=112–64–98+49=-1〔萬元〕即利潤(rùn)將減少1萬元.五、證明題1．試證：設(shè)A，B，AB均為n階對(duì)稱矩陣，那么AB=BA．證因?yàn)锳T=A，BT=B，(AB)T=AB所以AB=(AB)T=BTAT=BA2．試證：設(shè)是n階矩陣，假設(shè)=0，那么．證因?yàn)?==所以3．矩陣，且，試證是可逆矩陣，并求.證因?yàn)?，且，即，得，所以是可逆矩陣，?4.設(shè)階矩陣滿足，，證明是對(duì)稱矩陣.證因?yàn)?=所以是對(duì)稱矩陣.5．設(shè)A，B均為n階對(duì)稱矩陣，那么AB＋BA也是對(duì)稱矩陣．證因?yàn)椋? 所以AB＋BA是對(duì)稱矩陣．各章重難點(diǎn)解析第一部微分學(xué)第1章函數(shù)1．理解函數(shù)概念。理解函數(shù)概念時(shí)，要掌握函數(shù)的兩要素定義域和對(duì)應(yīng)關(guān)系，這要解決下面四個(gè)方面的問題：〔1〕掌握求函數(shù)定義域的方法，會(huì)求初等函數(shù)的定義域和函數(shù)值。函數(shù)的定義域就是使函數(shù)有意義的自變量的變化范圍。學(xué)生要掌握常見函數(shù)的自變量的變化范圍，如分式的分母不為0，對(duì)數(shù)的真數(shù)大于0，偶次根式下表達(dá)式大于0，等等。例1求函數(shù)的定義域。解的定義域是，的定義域是，但由于在分母上，因此。故函數(shù)的定義域就是上述函數(shù)定義域的公共局部，即1<x<2?！?〕理解函數(shù)的對(duì)應(yīng)關(guān)系的含義：表示當(dāng)自變量取值為時(shí)，因變量的取值為。例如，對(duì)于函數(shù)，表示運(yùn)算：于是，，。設(shè)，求。解由于，說明表示運(yùn)算：，因此＝再將代入，得=〔3〕會(huì)判斷兩函數(shù)是否相同。從函數(shù)的兩個(gè)要素可知，兩個(gè)函數(shù)相等，當(dāng)且僅當(dāng)他們的定義域相同，對(duì)應(yīng)規(guī)那么相同，而與自變量或因變量所用的字母無關(guān)。例3以下函數(shù)中，哪兩個(gè)函數(shù)是相等的函數(shù)：A.與B.與解A中的兩個(gè)函數(shù)定義域相同，對(duì)應(yīng)規(guī)那么也相同，故它們是相等的函數(shù)；B中的兩個(gè)函數(shù)定義域不同，故它們是不相等的函數(shù)?！?〕了解分段函數(shù)概念，掌握求分段函數(shù)定義域和函數(shù)值的方法。例4設(shè)，求函數(shù)的定義域及。解函數(shù)的定義域是，,。2．掌握函數(shù)奇偶性的判別，知道它的幾何特點(diǎn)；判斷函數(shù)是奇函數(shù)或是偶函數(shù)，可以用定義去判斷，即假設(shè)，那么為偶函數(shù)；假設(shè)，那么為奇函數(shù)。也可以根據(jù)一些的函數(shù)的奇偶性，再利用“奇函數(shù)±奇函數(shù)、奇函數(shù)×偶函數(shù)仍為奇函數(shù)；偶函數(shù)±偶函數(shù)、偶函數(shù)×偶函數(shù)、奇函數(shù)×奇函數(shù)仍為偶函數(shù)〞的性質(zhì)來判斷。例5以下函數(shù)中，〔 〕是偶函數(shù)。A. B.C. D.解根據(jù)偶函數(shù)的定義以及奇函數(shù)×奇函數(shù)是偶函數(shù)的原那么，可以驗(yàn)證A中和都是奇函數(shù)，故它們的乘積是偶函數(shù)，因此A正確。既然是單項(xiàng)選擇題，A已經(jīng)正確，那么其它的選項(xiàng)一定是錯(cuò)誤的。故正確選項(xiàng)是A。3．了解復(fù)合函數(shù)概念，會(huì)對(duì)復(fù)合函數(shù)進(jìn)行分解；例6將復(fù)合函數(shù)分解成簡(jiǎn)單函數(shù)。解。4．知道初等函數(shù)的概念，牢記常數(shù)函數(shù)、冪函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)和三角函數(shù)〔正弦、余弦、正切和余切〕的解析表達(dá)式、定義域、主要性質(zhì)及圖形。根本初等函數(shù)的解析表達(dá)式、定義域、主要性質(zhì)及圖形在微積分中常要用到，一定要熟練掌握。5．了解需求、供應(yīng)、本錢、平均本錢、收入和利潤(rùn)函數(shù)的概念。6．會(huì)列簡(jiǎn)單應(yīng)用問題的函數(shù)表達(dá)式。例7生產(chǎn)某種產(chǎn)品的固定本錢為1萬元，每生產(chǎn)一個(gè)該產(chǎn)品所需費(fèi)用為20元，假設(shè)該產(chǎn)品出售的單價(jià)為30元，試求：生產(chǎn)件該種產(chǎn)品的總本錢和平均本錢；售出件該種產(chǎn)品的總收入；假設(shè)生產(chǎn)的產(chǎn)品都能夠售出，那么生產(chǎn)件該種產(chǎn)品的利潤(rùn)是多少？解〔1〕生產(chǎn)件該種產(chǎn)品的總本錢為；平均本錢為?！?〕售出件該種產(chǎn)品的總收入為。〔3〕生產(chǎn)件該種產(chǎn)品的利潤(rùn)為==.第2章極限，導(dǎo)數(shù)與微分1．掌握求簡(jiǎn)單極限的常用方法。求極限的常用方法有〔1〕利用極限的四那么運(yùn)算法那么；〔2〕利用兩個(gè)重要極限；〔3〕利用無窮小量的性質(zhì)〔有界變量乘以無窮小量還是無窮小量〕；〔4〕利用連續(xù)函數(shù)的定義。例1求以下極限：〔1〕； 〔2〕〔3〕； 〔4〕。解〔1〕分解因式，消去零因子，再利用四那么運(yùn)算法那么計(jì)算〔2〕利用第一重要極限和四那么運(yùn)算法那么計(jì)算〔3〕對(duì)分子進(jìn)行有理化，然后消去零因子，再利用四那么運(yùn)算法那么計(jì)算== ==〔4〕利用教材P68的結(jié)論＝。2．知道一些與極限有關(guān)的概念〔1〕知道數(shù)列極限、函數(shù)極限、左右極限的概念，知道函數(shù)在某點(diǎn)極限存在的充分必要條件是該點(diǎn)左右極限都存在且相等；〔2〕了解無窮小量的概念，了解無窮小量與無窮大量的關(guān)系，知道無窮小量的性質(zhì)；〔3〕了解函數(shù)在某點(diǎn)連續(xù)的概念，知道左連續(xù)和右連續(xù)的概念，了解“初等函數(shù)在定義區(qū)間內(nèi)連續(xù)〞的結(jié)論；會(huì)判斷函數(shù)在某點(diǎn)的連續(xù)性，會(huì)求函數(shù)的間斷點(diǎn)。例2以下變量中，是無窮小量的為〔〕 A.B.C. D.解A中：因?yàn)闀r(shí)，是無窮小量，是有界變量，由定理，是無窮小量；B中：因?yàn)闀r(shí)，，故不是無窮小量；C中：因?yàn)闀r(shí)，，故；但是時(shí)，，故，因此當(dāng)時(shí)不是無窮小量。D中：因?yàn)?，故?dāng)時(shí)，，不是無窮小量。因此正確的選項(xiàng)是B。例3當(dāng)〔〕時(shí)，在處連續(xù)。A.0 B.－1 C.2 D.1解函數(shù)在一點(diǎn)連續(xù)必須滿足既是左連續(xù)又是右連續(xù)。因?yàn)槎筮B續(xù)。故當(dāng)1時(shí)，在處連續(xù)。正確的選項(xiàng)是D。3．理解導(dǎo)數(shù)定義。理解導(dǎo)數(shù)定義時(shí)，要解決下面幾個(gè)問題：〔1〕牢記導(dǎo)數(shù)定義的極限表達(dá)式；〔2〕會(huì)求曲線的切線方程；〔3〕知道可導(dǎo)與連續(xù)的關(guān)系(可導(dǎo)的函數(shù)一定連續(xù)，連續(xù)的函數(shù)不一定可導(dǎo))。例4設(shè)，那么〔 〕。 A． B. C. D.不存在解如果單看求極限，很難求出結(jié)果。但是假設(shè)聯(lián)想到以及導(dǎo)數(shù)的定義，即有 ＝＝1故正確的選項(xiàng)是A。例5設(shè)在處可導(dǎo)，且，那么( )。A.不存在 B. C.0 D.任意解因?yàn)樵谔幙蓪?dǎo)，且，將看成,看成，那么就是在處的導(dǎo)數(shù)，故故正確選項(xiàng)是B。例6曲線在點(diǎn)〔1，0〕處的切線是〔〕A. B.C. D.解根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義可知，是曲線在點(diǎn)〔1，0〕處的切線斜率，故切線方程是 ，即故正確的選項(xiàng)是A。例7求曲線在點(diǎn)處的切線方程。解因?yàn)椋?，在點(diǎn)處的切線方程為即。4．熟練掌握求導(dǎo)數(shù)或微分的方法。具體方法有：〔1〕利用導(dǎo)數(shù)〔或微分〕的根本公式〔2〕利用導(dǎo)數(shù)〔或微分〕的四那么運(yùn)算法那么〔3〕利用復(fù)合函數(shù)微分法〔4〕利用隱函數(shù)求導(dǎo)法那么例8求以下導(dǎo)數(shù)或微分：〔1〕設(shè)，求；〔2〕設(shè),求y；〔3〕設(shè)函數(shù)由方程確定，求；〔4〕設(shè),求。解〔1〕這是一個(gè)復(fù)合函數(shù)利用復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)數(shù)〔2〕這是由兩個(gè)復(fù)合函數(shù)相減構(gòu)成的函數(shù)，先用導(dǎo)數(shù)的減法法那么，再分別用復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法那么求導(dǎo)。==〔3〕兩邊對(duì)x求導(dǎo)得： 整理得 〔4〕 5．知道高階導(dǎo)數(shù)概念，會(huì)求函數(shù)的二階導(dǎo)數(shù)。例9y=，那么〔〕A.B.C.D.解利用導(dǎo)數(shù)的公式和導(dǎo)數(shù)的乘法法那么計(jì)算：,故正確的選項(xiàng)是D。第3章導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用1.掌握函數(shù)單調(diào)性的判別方法，掌握極值點(diǎn)的判別方法，會(huì)求函數(shù)的極值。通常的方法是利用一階導(dǎo)數(shù)的符號(hào)判斷單調(diào)性，也可以利用的根本初等函數(shù)的單調(diào)性判斷。例1在指定區(qū)間[－10，10]內(nèi)，函數(shù)〔〕是單調(diào)增加的。A. B. C. D.解這個(gè)題目主要考察同學(xué)們對(duì)根本初等函數(shù)圖形的掌握情況。因它們都是比擬簡(jiǎn)單的函數(shù)，從圖形上就比擬容易看出它們的單調(diào)性。A中是正弦函數(shù)，它的圖形在指定區(qū)間[－10，10]內(nèi)是波浪形的，因此不是單調(diào)增加函數(shù)。B中是指數(shù)函數(shù)，(=－<0，故它是單調(diào)減少函數(shù)。C中是冪函數(shù)，它在指定區(qū)間[－10，10]內(nèi)的圖形是拋物線，因此不是單調(diào)增加函數(shù)。根據(jù)排除法可知正確答案應(yīng)是D。也可以用求導(dǎo)數(shù)的方法驗(yàn)證：因?yàn)樵谥付▍^(qū)間[－10，10]內(nèi)，有故是單調(diào)增加函數(shù)。正確的選項(xiàng)是D。例2函數(shù)的單調(diào)增加區(qū)間是〔〕。解用求導(dǎo)數(shù)的方法，因?yàn)榱钅敲?，那么函?shù)的單調(diào)增加區(qū)間是。2．了解一些根本概念?！?〕了解函數(shù)極值的概念，知道函數(shù)極值存在的必要條件，知道函數(shù)的極值點(diǎn)與駐點(diǎn)的區(qū)別與聯(lián)系；例3函數(shù)的駐點(diǎn)是.解根據(jù)駐點(diǎn)定義，令，得。應(yīng)該填寫例4函數(shù)的最小值點(diǎn)是x= ．解因?yàn)楹瘮?shù)在點(diǎn)x=1處連續(xù)但導(dǎo)數(shù)不存在，且當(dāng)x>1或x<1時(shí)，f(x)>f(1)，所以點(diǎn)x=1是函數(shù)的最小值點(diǎn)。應(yīng)該填寫1?！?〕了解邊際概念和需求價(jià)格彈性概念；例5需求函數(shù)為，那么需求彈性=.解因?yàn)椋?所以應(yīng)該填寫例6需求函數(shù)，當(dāng)時(shí)，需求彈性為〔〕．A．B．C．D．解因?yàn)?，?故正確選項(xiàng)是C3．熟練掌握求經(jīng)濟(jì)分析中的應(yīng)用問題〔如平均本錢最低、收入最大和利潤(rùn)最大等〕，會(huì)求幾何問題中的最值問題。掌握求邊際函數(shù)的方法，會(huì)計(jì)算需求彈性。例7設(shè)生產(chǎn)某種產(chǎn)品臺(tái)時(shí)的本錢〔萬元〕，試求〔1〕當(dāng)時(shí)的總本錢，平均本錢和邊際本錢；〔2〕當(dāng)產(chǎn)量為多少時(shí)，平均本錢最小。解〔1〕當(dāng)時(shí)的總本錢〔萬元〕當(dāng)時(shí)的平均本錢〔萬元/臺(tái)〕當(dāng)時(shí)的邊際本錢〔2〕這是一個(gè)求最值的問題。令，求得。因?yàn)橛幸饬x的駐點(diǎn)唯一，且平均本錢存在著最小大值，所以當(dāng)產(chǎn)量為20臺(tái)時(shí)，可使平均本錢到達(dá)最小大。例8設(shè)某產(chǎn)品的本錢函數(shù)為 〔元〕其中q是產(chǎn)量，單位：件。單位銷售價(jià)格為〔元/件〕問產(chǎn)量為多少時(shí)可使利潤(rùn)到達(dá)最大。最大利潤(rùn)是多少？解因?yàn)椋?所以令，解得〔件〕因唯一駐點(diǎn)唯一，故q=250件是所求的最大值點(diǎn)。當(dāng)產(chǎn)量為250件時(shí)，利潤(rùn)最大。最大利潤(rùn)為 〔元〕例9生產(chǎn)某種產(chǎn)品的固定費(fèi)用是1000萬元,每多生產(chǎn)1臺(tái)該種產(chǎn)品，其本錢增加10萬元，又知對(duì)該產(chǎn)品的需求為q=120-2p(其中q是產(chǎn)銷量，單位：臺(tái);p是價(jià)格,單位:萬元).求(1)使該產(chǎn)品利潤(rùn)最大的產(chǎn)量;(2)該產(chǎn)品的邊際收入.解〔1〕設(shè)總本錢函數(shù)為C(q)，收入函數(shù)為R(q)，利潤(rùn)函數(shù)為L(zhǎng)(q)，于是C(q)=10q+1000(萬元) R(q)=qp=(萬元) L(q)＝R(q)-C(q)=(萬元) 得到q=50(臺(tái))。因?yàn)轳v點(diǎn)唯一，故q＝50臺(tái)是所求最小值點(diǎn)。即生產(chǎn)50臺(tái)的該種產(chǎn)品能獲最大利潤(rùn)。 (2)因R(q)=，故邊際收入R(q)=60－q(萬元/臺(tái))。第二部一元函數(shù)積分學(xué)第1章不定積分1．理解原函數(shù)與不定積分概念。這里要解決下面幾個(gè)問題：〔1〕什么是原函數(shù)？假設(shè)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)等于，即，那么稱函數(shù)是的原函數(shù)?！?〕原函數(shù)不是唯一的。由于常數(shù)的導(dǎo)數(shù)是0，故都是的原函數(shù)〔其中是任意常數(shù)〕。〔3〕什么是不定積分？原函數(shù)的全體〔其中是任意常數(shù)〕稱為的不定積分，記為=?！?〕知道不定積分與導(dǎo)數(shù)〔微分〕之間的關(guān)系。不定積分與導(dǎo)數(shù)〔微分〕之間互為逆運(yùn)算，即先積分，再求導(dǎo)，等于它本身；先求導(dǎo)，再積分，等于函數(shù)加上一個(gè)任意常數(shù)，即=,=,，例1在某區(qū)間上，如果F〔x〕是f〔x〕的一個(gè)原函數(shù)，c為任意常數(shù)，那么下式成立的是〔〕。 A. B. C. D.解如果F〔x〕是f〔x〕的一個(gè)原函數(shù)，那么F〔x〕＋c都是f〔x〕的原函數(shù)，故有，即正確的選項(xiàng)是C。 例2如果，那么f〔x〕=〔〕 A.2sin2x B.－2cos2x C.－2sin2x D.2cos2x 解根據(jù)不定積分的性質(zhì)可知 f〔x〕=正確的選項(xiàng)是D。例3設(shè)是函數(shù)的一個(gè)原函數(shù)，那么＝〔 〕。 A． B. C. D.解因?yàn)槭呛瘮?shù)的一個(gè)原函數(shù)，即有=，故＝=故正確的選項(xiàng)C。例4設(shè)的一個(gè)原函數(shù)是，那么〔 〕。 A. B. C. D. 解因?yàn)榈囊粋€(gè)原函數(shù)是，故〔＝故正確的選項(xiàng)B。例5設(shè)函數(shù),那么=( )。 A.x2+c B. C. D. 解因?yàn)椋?，于?故正確的選項(xiàng)B。 例6=sinx+c，那么f〔x〕=() A.B.xsinxC.D.xcosx 解對(duì)=sinx+c兩端求導(dǎo)，得 故f〔x〕=，正確的選項(xiàng)是C。2.熟練掌握不定積分的計(jì)算方法。常用的積分方法有〔1〕運(yùn)用積分根本公式直接進(jìn)行積分；〔2〕第一換元積分法〔湊微分法〕；〔3〕分部積分法，主要掌握被積函數(shù)是以下類型的不定積分：①冪函數(shù)與指數(shù)函數(shù)相乘；②冪函數(shù)與對(duì)數(shù)函數(shù)相乘；③冪函數(shù)與正〔余〕弦函數(shù)相乘；例7．〔 〕。 A． B. C. D.解兩種方法，其一是湊微分直接計(jì)算：其二是求導(dǎo)計(jì)算：四個(gè)備選答案中都含有項(xiàng)，對(duì)它求導(dǎo)與被積函數(shù)比擬可知，是的原函數(shù)。 正確的選項(xiàng)是B。例8計(jì)算以下積分〔1〕 〔2〕〔3〕 〔4〕 解〔1〕== 〔2〕因?yàn)樗?〔3〕設(shè)，利用分部積分公式，〔4〕設(shè)，利用分部積分公式，==第2章定積分1．了解定積分的概念，知道奇偶函數(shù)在對(duì)稱區(qū)間上的積分結(jié)果．要區(qū)別不定積分與定積分之間的關(guān)系。定積分的結(jié)果是一個(gè)數(shù)，而不定積分的結(jié)果是一個(gè)表達(dá)式。奇偶函數(shù)在對(duì)稱區(qū)間上的積分有以下結(jié)果：假設(shè)是奇函數(shù)，那么有假設(shè)是偶函數(shù)，那么有例1假設(shè)是的一個(gè)原函數(shù)，那么以下等式成立的是()．A．B．C．D．解由牛頓萊布尼茲公式可知，正確的選項(xiàng)是B。例2，那么常數(shù)a=〔〕。 解因?yàn)楣剩凑_的選項(xiàng)是A。例3=( )。 A.－ln(x2+1) B.ln(x2+1)C.ln(x2+1)2x D.－ln(x2+1)2x解根據(jù)變上限定積分的性質(zhì)可知＝－ln(x2+1)故正確的選項(xiàng)是A。例4積分=。解在對(duì)稱區(qū)間上求定積分，首先要考慮被積函數(shù)的奇偶性，可以利用奇偶函數(shù)在對(duì)稱區(qū)間上的積分的性質(zhì)簡(jiǎn)化計(jì)算。因?yàn)槭桥己瘮?shù)，故=應(yīng)該填寫：1例5。解因?yàn)槭瞧婧瘮?shù)，故0應(yīng)該填寫：02.熟練掌握定積分的計(jì)算方法。常用的積分方法有〔1〕運(yùn)用積分根本公式直接進(jìn)行積分；〔2〕第一換元積分法〔湊微分法〕；注意：定積分換元，一定要換上、下限，然后直接計(jì)算其值〔不要復(fù)原成原變量的函數(shù)〕．〔3〕分部積分法，主要掌握被積函數(shù)是以下類型的定積分：①冪函數(shù)與指數(shù)函數(shù)相乘；②冪函數(shù)與對(duì)數(shù)函數(shù)相乘；③冪函數(shù)與正〔余〕弦函數(shù)相乘； 例6計(jì)算以下定積分〔1〕〔2〕 〔2〕