適用試卷號：2006（閉卷）《經濟數學基礎》復習資料

?經濟數學根底?復習資料一、單項選擇題1．函數的定義域是〔 D〕．D．且2．假設函數的定義域是[0，1]，那么函數的定義域是(C)．C．3．以下各函數對中，〔D〕中的兩個函數相等．D．，4．設，那么=〔D〕．D．5．以下函數中為奇函數的是〔C〕．C． 6．以下函數中，〔 C 〕不是根本初等函數．C． 7．以下結論中，〔 C 〕是正確的．C．奇函數的圖形關于坐標原點對稱8.當時，以下變量中〔B〕是無窮大量．B.9.當時，以下變量為無窮小量的是〔A〕.A.10．函數在x=0處連續(xù)，那么k=(C)．C．111.函數在x=0處〔B〕B.右連續(xù)12．曲線在點〔0,1〕處的切線斜率為〔A〕．A．13.曲線在點(0,0)處的切線方程為〔A〕．A.y=x14．設y=1g2x,那么dy=〔A〕．A．15．假設，那么〔D〕．D．16．以下函數在指定區(qū)間上單調增加的是〔B 〕．B．ex17．以下結論正確的有〔A〕．A．x0是f(x)的極值點，且(x0)存在，那么必有(x0)=018.設需求量q對價格p的函數為，那么需求彈性為=〔B〕．B．1．在切線斜率為2x的積分曲線族中，通過點〔1,4〕的曲線為〔A〕．A．y=x2+32.假設=2，那么k=〔A〕．A．13．以下等式不成立的是〔D〕．D．4．假設，那么=〔D〕.D.5.以下不定積分中，常用分部積分法計算的是〔B〕．B． 6.，那么f(x)=〔C〕．C．7.以下定積分計算正確的選項是(B)．B．8．以下定積分中積分值為0的是〔A〕．A．9．以下無窮積分中收斂的是〔C〕．C．10．無窮限積分〔C〕．C．11．設，假設銷售量由10單位減少到5單位，那么收入R的改變量是〔B〕．B．-35012．以下微分方程中，〔D〕是線性微分方程.D.13．微分方程的階是〔C〕.C.21．設A為矩陣，B為矩陣，那么以下運算中〔A〕可以進行.A．AB2．以下結論或等式正確的選項是〔D〕D.對角矩陣是對稱矩陣3．設均為n階方陣，那么以下等式成立的是〔C〕．C.4．設均為n階方陣，在以下情況下能推出A是單位矩陣的是〔D〕．D．5．設是可逆矩陣，且，那么〔C〕.C.6．設，，是單位矩陣，那么＝〔D〕．D．7．設下面矩陣A,B,C能進行乘法運算，那么〔B〕成立.B．AB=AC，A可逆，那么B=C8．設是階可逆矩陣，是不為0的常數，那么〔D〕．D.9．設，那么r(A)=〔C〕．C．210．設線性方程組的增廣矩陣通過初等行變換化為，那么此線性方程組的一般解中自由未知量的個數為〔A〕．A．111．線性方程組解的情況是〔A〕．A.無解12．假設線性方程組的增廣矩陣為，那么當＝〔 A〕時線性方程組無解．A．13．假設元線性議方程組滿足r(A)=n，那么該線性方程組〔B〕.B.有唯一解14．假設線性方程組AX=b中，假設r(A,b)=4，r(A)=3，那么該線性方程組〔B〕．B．無解15．設線性方程組有唯一解，那么相應的齊次方程組〔C〕．C．只有零解16．設線性方程組有無窮多解的充分必要條件是〔B〕．B．＜n二、填空題1．函數的定義域是([-5，2])．2．函數的定義域是((-，-2)〔2，+))．3．假設函數，那么()．4．設函數，，那么()．5．設，那么函數的圖形關于(y軸)對稱．6．生產某種產品的本錢函數為C(q)=80+2q，那么當產量q=50時，該產品的平均本錢為(3.6)．7．某商品的需求函數為q=180–4p，其中p為該商品的價格，那么該商品的收入函數R(q)=(45q–0.25q2).8.(1).9．，當()時，為無窮小量．10.，假設在內連續(xù)，那么(2).11.函數的間斷點是().12．函數的連續(xù)區(qū)間是(，，)．13．曲線在點處的切線斜率是()．14．函數y=x2+1的單調增加區(qū)間為 ((0,+) )．15．，那么=(0)．16．函數的駐點是().17．設某商品的需求函數為，那么需求彈性為 ()．18．需求函數為，其中p為價格，那么需求彈性().1．〔〕．2．假設存在且連續(xù),那么=〔〕．3．函數的原函數是〔-cos2x+c(c是任意常數)〕．4．假設，那么〔〕.5．假設，那么=〔〕.6．假設，那么〔〕.7．〔0〕.8．〔0〕．9．無窮積分是〔收斂的〕．〔判別其斂散性〕10．設邊際收入函數為(q)=2+3q，且R(0)=0，那么平均收入函數為〔2+〕．11.是〔2〕階微分方程.12．微分方程的通解是〔〕．1．設均為n階矩陣,那么等式成立的充分必要條件是〔=〕.2．設矩陣為單位矩陣,那么=〔〕．3．假設矩陣A=，B=，那么ATB=〔〕．4．設為矩陣，為矩陣，且有意義,那么C是〔〕矩陣．5．設，當〔0〕時，是對稱矩陣.6．當〔〕時，矩陣可逆.7．設均為n階矩陣，可逆，那么矩陣方程的解〔〕．8．設為階可逆矩陣，那么(A)=〔〕．9．假設矩陣A=，那么r(A)=〔2〕．10．假設r(A,b)=4，r(A)=3，那么線性方程組AX=b〔無解〕．11．假設線性方程組有非零解，那么〔-1〕．12．設齊次線性方程組，且秩(A)=r<n，那么其一般解中的自由未知量的個數等于〔n–r〕．13．齊次線性方程組的系數矩陣為那么此方程組的一般解為〔(其中是自由未知量)〕.14．線性方程組的增廣矩陣化成階梯形矩陣后為那么當〔〕時，方程組有無窮多解.15．假設線性方程組,且那么t〔〕時,方程組有唯一解.16．假設線性方程組有唯一解，那么〔只有0解〕.三、計算題1．解===2．解：==3．解===22=44．解===25．解6．解==7．，求．解：(x)===8．，求．解9．，求；解因為所以10．y=，求．解因為所以11．設，求．解因為所以12．設，求．解因為所以13．，求．解14．，求．解：15．由方程確定是的隱函數，求．解在方程等號兩邊對x求導，得故16．由方程確定是的隱函數，求.解對方程兩邊同時求導，得=.17．設函數由方程確定，求．解：方程兩邊對x求導，得當時，所以，18．由方程確定是的隱函數，求．解在方程等號兩邊對x求導，得故⒈解2．解3．解4．解==5．解===6．解7．解===8．解=-==9．解法一==＝=1解法二令，那么=10．求微分方程滿足初始條件的特解．解因為， 用公式由，得所以，特解為11．求微分方程滿足初始條件的特解．解將方程別離變量：等式兩端積分得將初始條件代入，得，c=所以，特解為：12．求微分方程滿足的特解.解：方程兩端乘以，得即兩邊求積分，得通解為：由，得所以，滿足初始條件的特解為：13．求微分方程的通解．解將原方程別離變量 兩端積分得lnlny=lnCsinx通解為y=eCsinx14．求微分方程的通解.解將原方程化為：，它是一階線性微分方程，，用公式15．求微分方程的通解．解在微分方程中，由通解公式16．求微分方程的通解．解：因為，，由通解公式得===1．設矩陣，，求．解因為===所以==2．設矩陣，，，計算．解：===3．設矩陣A=，求．解因為(AI)=所以A-1=4．設矩陣A=，求逆矩陣．解因為(AI)=所以A-1=5．設矩陣A=，B=，計算(AB)-1．解因為AB==(ABI)=所以(AB)-1=6．設矩陣A=，B=，計算(BA)-1．解因為BA==(BAI)=所以(BA)-1=7．解矩陣方程．解因為即所以，X==8．解矩陣方程.解：因為即所以，X===9．設線性方程組討論當a，b為何值時，方程組無解，有唯一解，有無窮多解.解因為所以當且時，方程組無解；當時，方程組有唯一解；當且時，方程組有無窮多解.10．設線性方程組，求其系數矩陣和增廣矩陣的秩，并判斷其解的情況.解因為所以r(A)=2，r()=3.又因為r(A)r()，所以方程組無解.11．求以下線性方程組的一般解：解因為系數矩陣所以一般解為〔其中，是自由未知量〕12．求以下線性方程組的一般解：解因為增廣矩陣所以一般解為〔其中是自由未知量〕13．設齊次線性方程組問取何值時方程組有非零解，并求一般解.解因為系數矩陣A=所以當=5時，方程組有非零解.且一般解為〔其中是自由未知量〕14．當取何值時，線性方程組有解？并求一般解.解因為增廣矩陣所以當=0時，線性方程組有無窮多解，且一般解為： 是自由未知量〕 15．線性方程組的增廣矩陣經初等行變換化為問取何值時，方程組有解？當方程組有解時，求方程組的一般解.解：當=3時，，方程組有解.當=3時，一般解為，其中,為自由未知量.四、應用題1．設生產某種產品個單位時的本錢函數為：〔萬元〕,〔1〕當時的總本錢、平均本錢和邊際本錢；〔2〕當產量為多少時，平均本錢最?。拷狻?〕因為總本錢、平均本錢和邊際本錢分別為：，所以，，〔2〕令，得〔舍去〕因為是其在定義域內唯一駐點，且該問題確實存在最小值，所以當20時，平均本錢最小.2．某廠生產一批產品，其固定本錢為2000元，每生產一噸產品的本錢為60元，對這種產品的市場需求規(guī)律為〔為需求量，為價格〕．試求：〔1〕本錢函數，收入函數；〔2〕產量為多少噸時利潤最大？解〔1〕本錢函數=60+2000．因為，即，所以收入函數==()=．〔2〕因為利潤函數=-=-(60+2000)=40--2000且=(40--2000=40-0.2令=0，即40-0.2=0，得=200，它是在其定義域內的唯一駐點．所以，=200是利潤函數的最大值點，即當產量為200噸時利潤最大．3．設某工廠生產某產品的固定本錢為50000元，每生產一個單位產品，本錢增加100元．又需求函數，其中為價格，為產量，這種產品在市場上是暢銷的，試求：〔1〕價格為多少時利潤最大？〔2〕最大利潤是多少？解〔1〕C(p)=50000+100q=50000+100(2000-4p)=250000-400pR(p)=pq=p(2000-4p)=2000p-4p2利潤函數L(p)=R(p)-C(p)=2400p-4p2-250000，且令=2400–8p=0得p=300，該問題確實存在最大值.所以，當價格為p=300元時，利潤最大.〔2〕最大利潤〔元〕．4．某廠生產某種產品q件時的總本錢函數為C(q)=20+4q+0.01q2〔元〕，單位銷售價格為p=14-0.01q〔元/件〕，試求：〔1〕產量為多少時可使利潤到達最大？〔2〕最大利潤是多少？解：〔1〕由利潤函數那么，令，解出唯一駐點.因為利潤函數存在著最大值，所以當產量為250件時可使利潤到達最大，〔2〕最大利潤為〔元〕5．某廠每天生產某種產品件的本錢函數為〔元〕.為使平均本錢最低，每天產量應為多少？此時，每件產品平均本錢為多少？解因為==〔〕==令=0，即=0，得=140，=-140〔舍去〕.=140是在其定義域內的唯一駐點，且該問題確實存在最小值.所以=140是平均本錢函數的最小值點，即為使平均本錢最低，每天產量應為140件.此時的平均本錢為==176〔元/件〕6．某廠生產件產品的本錢為〔萬元〕．問：要使平均本錢最少，應生產多少件產品？解〔1〕因為====令=0，即，得=50，=-50〔舍去〕，=50是在其定義域內的唯一駐點．所以，=50是的最小值點，即要使平均本錢最少，應生產50件產品．1．投產某產品的固定本錢為36(萬元)，且邊際本錢為=2x+40(萬元/百臺).試求產量由4百臺增至6百臺時總本錢的增量，及產量為多少時，可使平均本錢到達最低.解當產量由4百臺增至6百臺時，總本錢的增量為==100〔萬元〕又==令，解得.x=6是惟一的駐點，而該問題確實存在使平均本錢到達最小的值.所以產量為6百臺時可使平均本錢到達最小.2．某產品的邊際本錢(x)=2〔元/件〕，固定本錢為0，邊際收益(x)=12-0.02x，問產量為多少時利潤最大？在最大利潤產量的根底上再生產50件，利潤將會發(fā)生什么變化？解因為邊際利潤=12-0.02x–2=10-0.02x令=0，得x=500x=500是惟一駐點，而該問題確實存在最大值.所以，當產量為500件時，利潤最大.當產量由500件增加至550件時，利潤改變量為=500-525=-25〔元〕即利潤將減少25元.3．生產某產品的邊際本錢為(x)=8x(萬元/百臺)，邊際收入為(x)=100-2x〔萬元/百臺〕，其中x為產量，問產量為多少時，利潤最大？從利潤最大時的產量再生產2百臺，利潤有什么變化？解(x)=(x)-(x)=(100–2x)–8x=100–10x 令(x)=0,得x=10〔百臺〕又x=10是L(x)的唯一駐點，該問題確實存在最大值，故x=10是L(x)的最大值點，即當產量為10〔百臺〕時，利潤最大.又 即從利潤最大時的產量再生產2百臺，利潤將減少20萬元.4．某產品的邊際本錢為(萬元/百臺)，x為產量(百臺)，固定本錢為18(萬元)，求最低平均本錢.解：因為總本錢函數為=當x=0時，C(0)=18，得c=18即C(x)=又平均本錢函數為令，解得x=3(百臺)該題確實存在使平均本錢最低的產量.所以當x=3時，平均本錢最低.最底平均本錢為(萬元/百臺)5．設生產某產品的總本錢函數為(萬元)，其中x為產量，單位：百噸．銷售x百噸時的邊際收入為〔萬元/百噸〕，求：(1)利潤最大時的產量；(2)在利潤最大時的產量的根底上再生產1百噸，利潤會發(fā)生什么變化？解：(1)因為邊際本錢為，邊際利潤=14–2x令，得x=7由該題實際意義可知，x=7為利潤函數L(x)的極大值點，也是最大值點.因此，當產量為7百噸時利潤最大.(2)當產量由7百噸增加至8百噸時，利潤改變量為=112–64–98+49=-1〔萬元〕即利潤將減少1萬元.五、證明題1．試證：設A，B，AB均為n階對稱矩陣，那么AB=BA．證因為AT=A，BT=B，(AB)T=AB所以AB=(AB)T=BTAT=BA2．試證：設是n階矩陣，假設=0，那么．證因為===所以3．矩陣，且，試證是可逆矩陣，并求.證因為，且，即，得，所以是可逆矩陣，且.4.設階矩陣滿足，，證明是對稱矩陣.證因為==所以是對稱矩陣.5．設A，B均為n階對稱矩陣，那么AB＋BA也是對稱矩陣．證因為，且 所以AB＋BA是對稱矩陣．各章重難點解析第一部微分學第1章函數1．理解函數概念。理解函數概念時，要掌握函數的兩要素定義域和對應關系，這要解決下面四個方面的問題：〔1〕掌握求函數定義域的方法，會求初等函數的定義域和函數值。函數的定義域就是使函數有意義的自變量的變化范圍。學生要掌握常見函數的自變量的變化范圍，如分式的分母不為0，對數的真數大于0，偶次根式下表達式大于0，等等。例1求函數的定義域。解的定義域是，的定義域是，但由于在分母上，因此。故函數的定義域就是上述函數定義域的公共局部，即1<x<2?！?〕理解函數的對應關系的含義：表示當自變量取值為時，因變量的取值為。例如，對于函數，表示運算：于是，，。設，求。解由于，說明表示運算：，因此＝再將代入，得=〔3〕會判斷兩函數是否相同。從函數的兩個要素可知，兩個函數相等，當且僅當他們的定義域相同，對應規(guī)那么相同，而與自變量或因變量所用的字母無關。例3以下函數中，哪兩個函數是相等的函數：A.與B.與解A中的兩個函數定義域相同，對應規(guī)那么也相同，故它們是相等的函數；B中的兩個函數定義域不同，故它們是不相等的函數。〔4〕了解分段函數概念，掌握求分段函數定義域和函數值的方法。例4設，求函數的定義域及。解函數的定義域是，,。2．掌握函數奇偶性的判別，知道它的幾何特點；判斷函數是奇函數或是偶函數，可以用定義去判斷，即假設，那么為偶函數；假設，那么為奇函數。也可以根據一些的函數的奇偶性，再利用“奇函數±奇函數、奇函數×偶函數仍為奇函數；偶函數±偶函數、偶函數×偶函數、奇函數×奇函數仍為偶函數〞的性質來判斷。例5以下函數中，〔 〕是偶函數。A. B.C. D.解根據偶函數的定義以及奇函數×奇函數是偶函數的原那么，可以驗證A中和都是奇函數，故它們的乘積是偶函數，因此A正確。既然是單項選擇題，A已經正確，那么其它的選項一定是錯誤的。故正確選項是A。3．了解復合函數概念，會對復合函數進行分解；例6將復合函數分解成簡單函數。解。4．知道初等函數的概念，牢記常數函數、冪函數、指數函數、對數函數和三角函數〔正弦、余弦、正切和余切〕的解析表達式、定義域、主要性質及圖形。根本初等函數的解析表達式、定義域、主要性質及圖形在微積分中常要用到，一定要熟練掌握。5．了解需求、供應、本錢、平均本錢、收入和利潤函數的概念。6．會列簡單應用問題的函數表達式。例7生產某種產品的固定本錢為1萬元，每生產一個該產品所需費用為20元，假設該產品出售的單價為30元，試求：生產件該種產品的總本錢和平均本錢；售出件該種產品的總收入；假設生產的產品都能夠售出，那么生產件該種產品的利潤是多少？解〔1〕生產件該種產品的總本錢為；平均本錢為。〔2〕售出件該種產品的總收入為?！?〕生產件該種產品的利潤為==.第2章極限，導數與微分1．掌握求簡單極限的常用方法。求極限的常用方法有〔1〕利用極限的四那么運算法那么；〔2〕利用兩個重要極限；〔3〕利用無窮小量的性質〔有界變量乘以無窮小量還是無窮小量〕；〔4〕利用連續(xù)函數的定義。例1求以下極限：〔1〕； 〔2〕〔3〕； 〔4〕。解〔1〕分解因式，消去零因子，再利用四那么運算法那么計算〔2〕利用第一重要極限和四那么運算法那么計算〔3〕對分子進行有理化，然后消去零因子，再利用四那么運算法那么計算== ==〔4〕利用教材P68的結論＝。2．知道一些與極限有關的概念〔1〕知道數列極限、函數極限、左右極限的概念，知道函數在某點極限存在的充分必要條件是該點左右極限都存在且相等；〔2〕了解無窮小量的概念，了解無窮小量與無窮大量的關系，知道無窮小量的性質；〔3〕了解函數在某點連續(xù)的概念，知道左連續(xù)和右連續(xù)的概念，了解“初等函數在定義區(qū)間內連續(xù)〞的結論；會判斷函數在某點的連續(xù)性，會求函數的間斷點。例2以下變量中，是無窮小量的為〔〕 A.B.C. D.解A中：因為時，是無窮小量，是有界變量，由定理，是無窮小量；B中：因為時，，故不是無窮小量；C中：因為時，，故；但是時，，故，因此當時不是無窮小量。D中：因為，故當時，，不是無窮小量。因此正確的選項是B。例3當〔〕時，在處連續(xù)。A.0 B.－1 C.2 D.1解函數在一點連續(xù)必須滿足既是左連續(xù)又是右連續(xù)。因為而左連續(xù)。故當1時，在處連續(xù)。正確的選項是D。3．理解導數定義。理解導數定義時，要解決下面幾個問題：〔1〕牢記導數定義的極限表達式；〔2〕會求曲線的切線方程；〔3〕知道可導與連續(xù)的關系(可導的函數一定連續(xù)，連續(xù)的函數不一定可導)。例4設，那么〔 〕。 A． B. C. D.不存在解如果單看求極限，很難求出結果。但是假設聯想到以及導數的定義，即有 ＝＝1故正確的選項是A。例5設在處可導，且，那么( )。A.不存在 B. C.0 D.任意解因為在處可導，且，將看成,看成，那么就是在處的導數，故故正確選項是B。例6曲線在點〔1，0〕處的切線是〔〕A. B.C. D.解根據導數的幾何意義可知，是曲線在點〔1，0〕處的切線斜率，故切線方程是 ，即故正確的選項是A。例7求曲線在點處的切線方程。解因為，所以，在點處的切線方程為即。4．熟練掌握求導數或微分的方法。具體方法有：〔1〕利用導數〔或微分〕的根本公式〔2〕利用導數〔或微分〕的四那么運算法那么〔3〕利用復合函數微分法〔4〕利用隱函數求導法那么例8求以下導數或微分：〔1〕設，求；〔2〕設,求y；〔3〕設函數由方程確定，求；〔4〕設,求。解〔1〕這是一個復合函數利用復合函數求導數〔2〕這是由兩個復合函數相減構成的函數，先用導數的減法法那么，再分別用復合函數求導法那么求導。==〔3〕兩邊對x求導得： 整理得 〔4〕 5．知道高階導數概念，會求函數的二階導數。例9y=，那么〔〕A.B.C.D.解利用導數的公式和導數的乘法法那么計算：,故正確的選項是D。第3章導數的應用1.掌握函數單調性的判別方法，掌握極值點的判別方法，會求函數的極值。通常的方法是利用一階導數的符號判斷單調性，也可以利用的根本初等函數的單調性判斷。例1在指定區(qū)間[－10，10]內，函數〔〕是單調增加的。A. B. C. D.解這個題目主要考察同學們對根本初等函數圖形的掌握情況。因它們都是比擬簡單的函數，從圖形上就比擬容易看出它們的單調性。A中是正弦函數，它的圖形在指定區(qū)間[－10，10]內是波浪形的，因此不是單調增加函數。B中是指數函數，(=－<0，故它是單調減少函數。C中是冪函數，它在指定區(qū)間[－10，10]內的圖形是拋物線，因此不是單調增加函數。根據排除法可知正確答案應是D。也可以用求導數的方法驗證：因為在指定區(qū)間[－10，10]內，有故是單調增加函數。正確的選項是D。例2函數的單調增加區(qū)間是〔〕。解用求導數的方法，因為令那么，那么函數的單調增加區(qū)間是。2．了解一些根本概念?！?〕了解函數極值的概念，知道函數極值存在的必要條件，知道函數的極值點與駐點的區(qū)別與聯系；例3函數的駐點是.解根據駐點定義，令，得。應該填寫例4函數的最小值點是x= ．解因為函數在點x=1處連續(xù)但導數不存在，且當x>1或x<1時，f(x)>f(1)，所以點x=1是函數的最小值點。應該填寫1?！?〕了解邊際概念和需求價格彈性概念；例5需求函數為，那么需求彈性=.解因為，且=所以應該填寫例6需求函數，當時，需求彈性為〔〕．A．B．C．D．解因為，且=故正確選項是C3．熟練掌握求經濟分析中的應用問題〔如平均本錢最低、收入最大和利潤最大等〕，會求幾何問題中的最值問題。掌握求邊際函數的方法，會計算需求彈性。例7設生產某種產品臺時的本錢〔萬元〕，試求〔1〕當時的總本錢，平均本錢和邊際本錢；〔2〕當產量為多少時，平均本錢最小。解〔1〕當時的總本錢〔萬元〕當時的平均本錢〔萬元/臺〕當時的邊際本錢〔2〕這是一個求最值的問題。令，求得。因為有意義的駐點唯一，且平均本錢存在著最小大值，所以當產量為20臺時，可使平均本錢到達最小大。例8設某產品的本錢函數為 〔元〕其中q是產量，單位：件。單位銷售價格為〔元/件〕問產量為多少時可使利潤到達最大。最大利潤是多少？解因為，且 所以令，解得〔件〕因唯一駐點唯一，故q=250件是所求的最大值點。當產量為250件時，利潤最大。最大利潤為 〔元〕例9生產某種產品的固定費用是1000萬元,每多生產1臺該種產品，其本錢增加10萬元，又知對該產品的需求為q=120-2p(其中q是產銷量，單位：臺;p是價格,單位:萬元).求(1)使該產品利潤最大的產量;(2)該產品的邊際收入.解〔1〕設總本錢函數為C(q)，收入函數為R(q)，利潤函數為L(q)，于是C(q)=10q+1000(萬元) R(q)=qp=(萬元) L(q)＝R(q)-C(q)=(萬元) 得到q=50(臺)。因為駐點唯一，故q＝50臺是所求最小值點。即生產50臺的該種產品能獲最大利潤。 (2)因R(q)=，故邊際收入R(q)=60－q(萬元/臺)。第二部一元函數積分學第1章不定積分1．理解原函數與不定積分概念。這里要解決下面幾個問題：〔1〕什么是原函數？假設函數的導數等于，即，那么稱函數是的原函數?！?〕原函數不是唯一的。由于常數的導數是0，故都是的原函數〔其中是任意常數〕?！?〕什么是不定積分？原函數的全體〔其中是任意常數〕稱為的不定積分，記為=?！?〕知道不定積分與導數〔微分〕之間的關系。不定積分與導數〔微分〕之間互為逆運算，即先積分，再求導，等于它本身；先求導，再積分，等于函數加上一個任意常數，即=,=,，例1在某區(qū)間上，如果F〔x〕是f〔x〕的一個原函數，c為任意常數，那么下式成立的是〔〕。 A. B. C. D.解如果F〔x〕是f〔x〕的一個原函數，那么F〔x〕＋c都是f〔x〕的原函數，故有，即正確的選項是C。 例2如果，那么f〔x〕=〔〕 A.2sin2x B.－2cos2x C.－2sin2x D.2cos2x 解根據不定積分的性質可知 f〔x〕=正確的選項是D。例3設是函數的一個原函數，那么＝〔 〕。 A． B. C. D.解因為是函數的一個原函數，即有=，故＝=故正確的選項C。例4設的一個原函數是，那么〔 〕。 A. B. C. D. 解因為的一個原函數是，故〔＝故正確的選項B。例5設函數,那么=( )。 A.x2+c B. C. D. 解因為，故，于是=故正確的選項B。 例6=sinx+c，那么f〔x〕=() A.B.xsinxC.D.xcosx 解對=sinx+c兩端求導，得 故f〔x〕=，正確的選項是C。2.熟練掌握不定積分的計算方法。常用的積分方法有〔1〕運用積分根本公式直接進行積分；〔2〕第一換元積分法〔湊微分法〕；〔3〕分部積分法，主要掌握被積函數是以下類型的不定積分：①冪函數與指數函數相乘；②冪函數與對數函數相乘；③冪函數與正〔余〕弦函數相乘；例7．〔 〕。 A． B. C. D.解兩種方法，其一是湊微分直接計算：其二是求導計算：四個備選答案中都含有項，對它求導與被積函數比擬可知，是的原函數。 正確的選項是B。例8計算以下積分〔1〕 〔2〕〔3〕 〔4〕 解〔1〕== 〔2〕因為所以=〔3〕設，利用分部積分公式，〔4〕設，利用分部積分公式，==第2章定積分1．了解定積分的概念，知道奇偶函數在對稱區(qū)間上的積分結果．要區(qū)別不定積分與定積分之間的關系。定積分的結果是一個數，而不定積分的結果是一個表達式。奇偶函數在對稱區(qū)間上的積分有以下結果：假設是奇函數，那么有假設是偶函數，那么有例1假設是的一個原函數，那么以下等式成立的是()．A．B．C．D．解由牛頓萊布尼茲公式可知，正確的選項是B。例2，那么常數a=〔〕。 解因為故，即正確的選項是A。例3=( )。 A.－ln(x2+1) B.ln(x2+1)C.ln(x2+1)2x D.－ln(x2+1)2x解根據變上限定積分的性質可知＝－ln(x2+1)故正確的選項是A。例4積分=。解在對稱區(qū)間上求定積分，首先要考慮被積函數的奇偶性，可以利用奇偶函數在對稱區(qū)間上的積分的性質簡化計算。因為是偶函數，故=應該填寫：1例5。解因為是奇函數，故0應該填寫：02.熟練掌握定積分的計算方法。常用的積分方法有〔1〕運用積分根本公式直接進行積分；〔2〕第一換元積分法〔湊微分法〕；注意：定積分換元，一定要換上、下限，然后直接計算其值〔不要復原成原變量的函數〕．〔3〕分部積分法，主要掌握被積函數是以下類型的定積分：①冪函數與指數函數相乘；②冪函數與對數函數相乘；③冪函數與正〔余〕弦函數相乘； 例6計算以下定積分〔1〕〔2〕 〔2〕