人口增長的預(yù)測數(shù)學(xué)建模論文

人口增長的預(yù)測(數(shù)學(xué)建模論文關(guān)鍵字：人口數(shù)平衡點(diǎn)方程模型運(yùn)動(dòng)預(yù)測曲線穩(wěn)定增長人口一題目：請?jiān)谌丝谠鲩L的簡單模型的基礎(chǔ)上。"〔1〕找到現(xiàn)有的描繪人口增長，與控制人口增長的模型；"〔2〕深化分析現(xiàn)有的數(shù)學(xué)模型，并通過計(jì)算機(jī)進(jìn)行仿真驗(yàn)證；"〔3〕選擇一個(gè)你們以為較好的數(shù)學(xué)模型，并應(yīng)用該模型對將來20年的某一地區(qū)或國家的人口作出有關(guān)預(yù)測；"〔4〕就人口增長模型給報(bào)刊寫一篇文章，對控制人口的策略進(jìn)行闡述。二摘要：本次建模是按照已知普查數(shù)據(jù)，利用Logistic模型，對中國人口的增長進(jìn)行預(yù)測。首先假設(shè)人口增長符合Logistic模型，即引入常數(shù)，用來表示自然環(huán)境條件所能容許的最大人口數(shù)。并假設(shè)凈增長率為，即凈增長率隨著人口數(shù)N〔t〕增長而減小，當(dāng)N(t)時(shí)，凈增長率趨于零。根據(jù)這個(gè)假設(shè)，。用參數(shù)＝3.0,r=0.0386,=1908,=14.5。畫出N=N(t)的圖像，作為人口增長模型的一種近似。做微分方程解的定性分析，求出N=N(t)的駐點(diǎn)和拐點(diǎn)，根據(jù)函數(shù)作圖方法列出定性分析表，作出相軌跡的運(yùn)動(dòng)圖。當(dāng)初始人口假如人口的增長符合Malthus的模型，則意味著人口數(shù)量呈指數(shù)級數(shù)增長，最終結(jié)果是人口爆炸。2．Logistic模型1938年，荷蘭生物數(shù)學(xué)家Verhulst引入常數(shù)，用來表示自然環(huán)境條件所能容許的最大人口數(shù)。并假設(shè)凈增長率為，即凈增長率隨著人口數(shù)N〔t〕增長而減小，當(dāng)N(t)時(shí)，凈增長率趨于零。根據(jù)這個(gè)假設(shè)〔1.1〕式可改為：，〔2.1〕上述方程為可分離變量方程，可直接求解?？梢杂梅栁⒎址匠探忸}器求它的解：N=dsolve〔’DN=r*(1-N/Nm)*N’,’N(t0)=N0’〕N=Nm/(1+exp(-r*t)*exp(t0*r)*(Nm-N0)/N0)化簡后得：四利用數(shù)學(xué)模型對中國人口的預(yù)測1給出對于中國人口的預(yù)測表1中國人口數(shù)據(jù)表1給出了1908年到2000年中國人口數(shù)據(jù)，參數(shù)＝3.0,r=0.0386,=1908,=14.5。畫出N=N(t)的圖像。〔綠色點(diǎn)是普查數(shù)據(jù)，藍(lán)色是預(yù)測曲線，紅色為漸近線，畫圖程序見附錄〕圖1由于N〔t〕描繪了一個(gè)人口增長得數(shù)學(xué)模型，所以對函數(shù)N〔t〕的了解實(shí)際上也是人口增長規(guī)律的了解，而不是僅僅處理一個(gè)高等數(shù)學(xué)綜合習(xí)題。實(shí)際上，人口問題的研究是很復(fù)雜的，Logistic模型只是一種近似。2微分方程解的定性分析〔1〕求N＝N〔t〕的駐點(diǎn)和拐點(diǎn)。駐點(diǎn)：駐點(diǎn)應(yīng)知足條件這樣立即得到N=0和N=，但是無法得到確切的時(shí)間值t，除非解被求出，而且相應(yīng)的t可能會(huì)取無窮大。拐點(diǎn)：拐點(diǎn)知足直接對方程〔2.1〕右邊求導(dǎo)得其拐點(diǎn)的縱坐標(biāo)為N=/2，同樣的相應(yīng)的時(shí)間t尚不能直接解出，上面的運(yùn)算可由符號演算完成：>>symst>>dN2_dt2=diff('r*(1-N(t)/Nm)*N(t)',t),dN2_dt2=factor(dN2_dt2)dN2_dt2=-r*diff(N(t),t)/Nm*N(t)+r*(1-N(t)/Nm)*diff(N(t),t)dN2_dt2=r*diff(N(t),t)*(-2*N(t)+Nm)/Nm(2)根據(jù)函數(shù)作圖的方法列出定性分析表：表2這個(gè)表尚沒有提供描繪人口模型的足夠信息，由于極限性質(zhì)〔漸進(jìn)線〕還沒有考慮，而作為人口預(yù)測，這種極限信息是非常重要的。通過方程本身提供的信息來獲知解曲線的定性知識，對微分方程的解做定性描繪，能夠得到非常有用的信息，十分是，它通常使你能夠考察在t時(shí)N的極限經(jīng)過和遠(yuǎn)期情況〔預(yù)測〕，而無需給出明確的表達(dá)式。通常我們不需要明確的解，或者在技術(shù)上求解有困難，或者在初等函數(shù)的范圍內(nèi)解根本不存在，在這種情形下，定性解就可能是一種有效的辦法。觀察：觀察Logistic方程解曲線和相軌線的運(yùn)動(dòng)，考察解的極限性態(tài)?！伯媹D程序見附錄〕圖2步驟1，運(yùn)行觀察程序yundong.m，將出現(xiàn)一圖形窗口，你可用鼠標(biāo)沿著由垂直的虛線所示的N軸〔相空間〕的下面的位置按下鼠標(biāo)左鍵選擇初始點(diǎn)(0,)，橫軸為時(shí)間t，稱N軸為相空間，在N軸的/2下面的位置按下鼠標(biāo)左鍵選擇初始點(diǎn)，程序?qū)嫵鲞@一初始點(diǎn)，方程的解曲線〔Logistic曲線〕，拐點(diǎn)〔用方形符號標(biāo)出〕，并且彗星指令comet將顯示質(zhì)點(diǎn)〔曲線上的圓形點(diǎn)〕動(dòng)態(tài)運(yùn)動(dòng)經(jīng)過，這表示隨著時(shí)間的增長人口數(shù)增長的情況，見圖。步驟2，當(dāng)曲線上的質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)結(jié)束后，可按回車鍵，在N軸上〔相空間〕又見到一個(gè)運(yùn)動(dòng)的質(zhì)點(diǎn)，該質(zhì)點(diǎn)從初始點(diǎn)〔0，〕出發(fā)，運(yùn)動(dòng)到〔0，〕停止。步驟3，能夠按鼠標(biāo)左鍵繼續(xù)選擇初始點(diǎn)進(jìn)行觀察，按鼠標(biāo)右鍵終止觀察。如下圖，相空間運(yùn)動(dòng)的質(zhì)點(diǎn)是解軌線上運(yùn)動(dòng)的質(zhì)點(diǎn)〔t,N(t)〕向N軸的投影點(diǎn)〔0,N(t)〕，當(dāng)〔t,N(t)〕沿解軌線運(yùn)動(dòng)時(shí)，投影點(diǎn)〔0,N(t)〕也隨之在相空間中運(yùn)動(dòng)，由圖可知，解軌線有漸進(jìn)線N=，所以相軌線〔即質(zhì)點(diǎn)〔0,N(t)〕的運(yùn)動(dòng)軌跡趨于點(diǎn)〔0,〕。當(dāng)初始人口0，所以人口數(shù)N(t)按時(shí)間是遞增的，這就是講當(dāng)人口數(shù)未到達(dá)飽和狀態(tài)的時(shí)候，將逐步地趨向，向右的箭頭指示了這種趨勢；而在的右邊，dN/dt對人口問題的意見與建議1949年中華人民共和國成立時(shí)，全國總?cè)丝跒?4167萬人。由于社會(huì)安寧、生產(chǎn)發(fā)展、醫(yī)療衛(wèi)生條件改善，以及對控制人口增長的重要性認(rèn)識缺乏和缺乏經(jīng)歷，致使人口迅速增長，到1969年已達(dá)80671萬人。面對嚴(yán)重的人口問題，從二十世紀(jì)七十年代開場，中國實(shí)行計(jì)劃生育，控制人口增長，使人口出生率逐年下降，到2002年，已下降至12.86‰。中國將來人口政策走向，人口與計(jì)劃生育工作目的要從以人口數(shù)量控制為主轉(zhuǎn)向穩(wěn)定低生育水平，提高人口素質(zhì)，改善人口構(gòu)造，合理人口分布，開發(fā)人力資源，促進(jìn)經(jīng)濟(jì)社會(huì)與人的全面發(fā)展。根據(jù)2001年3月九屆全國人大四次會(huì)議批準(zhǔn)的（國民經(jīng)濟(jì)和社會(huì)發(fā)展第十個(gè)五年計(jì)劃綱要）的要求，第十個(gè)五年計(jì)劃期間〔2001—2005年〕，中國人口年平均自然增長率不超過9‰，2005年全國人口控制在13.3億以內(nèi)。到2020年，中國人口將控制在14億以內(nèi)。中國一直把計(jì)劃生育作為一項(xiàng)基本國策推行，其主要內(nèi)容是：提倡晚婚晚育，少生優(yōu)生；提倡一對夫婦生育一個(gè)孩子。自實(shí)行計(jì)劃生育政策以來，晚婚晚育、少生優(yōu)生正在逐步成為一種社會(huì)風(fēng)氣。同時(shí)，計(jì)劃生育還使中國婦女?dāng)[脫了婚后頻繁生育和繁重的家庭負(fù)擔(dān)，母嬰健康水平得以提高。能夠看到，計(jì)劃生育政策確實(shí)對減緩中國人口的增長，但是，目前中國人口的增長率仍然較高。我以為應(yīng)當(dāng)同時(shí)推行有助于平衡性別比例的政策。由于在農(nóng)村的部分地區(qū)重男輕女的思想仍然存在，為生一個(gè)男孩而超生的現(xiàn)象屢有發(fā)生，這已成為我國人口增長率較高的另一主要原因。假如平衡性別比例的政策推行得當(dāng)，男女平等的思想深化人心，就能夠控制這部分的超生，對控制人口增長起到積極的作用。七附錄：1．圖1的程序：程序：huatu.mglobalpl;clf,t1=[1908,1933,1953,1964,1982,1990,1995,2000];x=[3.0,4.7,6.0,7.2,10.3,11.3,12.0,13.0];[t,N]=ode23('yuce_fun',[19082100],3.0);plot(t,N,t1,x,'o',t,14.5*ones(1,length(t))),axis([19002100015]);其中的函數(shù)為：functiondN=yuce_fun(t,N)globalp1N0=3.0;Nm=14.5;t0=1908;r=0.0386;dN=r*(1-N/Nm)*N;直接運(yùn)行huatu2．圖2的程序：文件yundong.m：tpas=linspace(0,200,1000);plot([0,0],[0,35],':',[0,200],[14.5,14.5],':',[0200],[7.25,7.25],':'),axis([-50200035]),xlabel('t'),ylabel('N'),holdontext(-30,14.5,'\it{N_m}\rightarrow');text(-35,7.25,'\it{N_m/2}\rightarrow');button=1;whilebutton==1k=[];[t0,N0,button]=ginput(1);[t,N]=ode23('yuce_fun',tpas,3.0);k=find(N=6.25);ts=tpas(k);Ns=N(k);text(-35,N0,'\it{N_0}\rightarrow');plot(t0,N0,'o',ts,Ns,'square',t,N,':'),holdoncomet(t,N),pause,comet(0*ones(length(t),1),N)end直接調(diào)用yundong3．圖3的程序：建立文件qiudaotu.mN=linspace(0,18,50);dN=0.0386*(1-N/(14.5)).*N;plot(N,dN),hold