2023屆高考數(shù)學(xué)試題一輪總復(fù)習(xí)考點探究與題型突破第30講　平面向量的概念及線性運算 精品講義 （Word解析版）

第Page\*MergeFormat21頁共NUMPAGES\*MergeFormat21頁第30講平面向量的概念及線性運算1.向量的有關(guān)概念(1)向量：既有大小又有方向的量叫做向量，用有向線段表示，此時有向線段的方向就是向量的方向.向量eq\o(AB,\s\up6(→))的大小就是向量的長度(或稱模)，記作|eq\o(AB,\s\up6(→))|.(2)零向量：長度為0的向量，記作0.(3)單位向量：長度等于1個單位長度的向量.(4)平行向量(共線向量)：方向相同或相反的非零向量.向量a，b平行，記作a∥b.規(guī)定：0與任一向量平行.(5)相等向量：長度相等且方向相同的向量.(6)相反向量：長度相等且方向相反的向量.2.向量的線性運算向量運算定義法則(或幾何意義)運算律加法求兩個向量和的運算三角形法則平行四邊形法則(1)交換律：a＋b＝b＋a.(2)結(jié)合律：(a＋b)＋c＝a＋(b＋c)減法求兩個向量差的運算a－b＝a＋(－b)數(shù)乘規(guī)定實數(shù)λ與向量a的積是一個向量，這種運算叫做向量的數(shù)乘，記作λa(1)|λa|＝|λ||a|；(2)當(dāng)λ＞0時，λa的方向與a的方向相同；當(dāng)λ＜0時，λa的方向與a的方向相反；當(dāng)λ＝0時，λa＝0λ(μa)＝λμa；(λ＋μ)a＝λa＋μa；λ(a＋b)＝λa＋λb3.共線向量定理向量a(a≠0)與b共線的充要條件是：存在唯一一個實數(shù)λ，使b＝λa.考點1平面向量的概念[名師點睛]平行向量有關(guān)概念的四個關(guān)注點(1)相等向量具有傳遞性，非零向量的平行也具有傳遞性.(2)共線向量即為平行向量，它們均與起點無關(guān).(3)向量可以平移，平移后的向量與原向量是相等向量，解題時，不要把它與函數(shù)圖象的平移混淆.(4)非零向量a與eq\f(a,|a|)的關(guān)系：eq\f(a,|a|)是與a同方向的單位向量.[典例]1．（2022·全國·高三專題練習(xí)）下列說法正確的是（

）A．向量就是所在的直線平行于所在的直線B．長度相等的向量叫做相等向量C．若，則D．共線向量是在一條直線上的向量2．（多選）（2022·全國·高三專題練習(xí)）下面的命題正確的有（

）A．方向相反的兩個非零向量一定共線B．單位向量都相等C．若，滿足且與同向，則D．“若A、B、C、D是不共線的四點，且”“四邊形ABCD是平行四邊形”[舉一反三]1．（2022·全國·高三專題練習(xí)）下列命題正確的是（

）A．若，都是單位向量，則B．若向量，，則C．與非零向量共線的單位向量是唯一的D．已知為非零實數(shù)，若，則與共線2．（2023·全國·高三專題練習(xí)）下列命題正確的是（

）A．向量與是相等向量B．共線的單位向量是相等向量C．零向量與任一向量共線D．兩平行向量所在直線平行3．（2023·全國·高三專題練習(xí)）設(shè)，都是非零向量，成立的充分條件是（

）A． B．C． D．且4．（2023·全國·高三專題練習(xí)）有下列命題：①單位向量一定相等；②起點不同，但方向相同且模相等的幾個向量是相等向量；③相等的非零向量，若起點不同，則終點一定不同；④方向相反的兩個單位向量互為相反向量；⑤起點相同且模相等的向量的終點的軌跡是圓．其中正確的命題的個數(shù)為______．考點2向量的線性運算[名師點睛]1.(1)解決平面向量線性運算問題的關(guān)鍵在于熟練地找出圖形中的相等向量，并能熟練運用相反向量將加減法相互轉(zhuǎn)化.(2)在求向量時要盡可能轉(zhuǎn)化到平行四邊形或三角形中，運用平行四邊形法則、三角形法則及三角形中位線定理、相似三角形對應(yīng)邊成比例等平面幾何的性質(zhì)，把未知向量轉(zhuǎn)化為用已知向量線性表示.2.與向量的線性運算有關(guān)的參數(shù)問題，一般是構(gòu)造三角形，利用向量運算的三角形法則進(jìn)行加法或減法運算，然后通過建立方程組即可求得相關(guān)參數(shù)的值.[典例]1．（2022·全國·高三專題練習(xí)）給出下列命題：①若同向，則有；

②與表示的意義相同；③若不共線，則有；④恒成立；⑤對任意兩個向量，總有；⑥若三向量滿足，則此三向量圍成一個三角形．其中正確的命題是__________填序號2．（2022·廣東·高三開學(xué)考試）在平行四邊形中，點、分別滿足，，若，，則（

）A． B． C． D．3.如圖，在直角梯形ABCD中，eq\o(DC,\s\up6(→))＝eq\f(1,4)eq\o(AB,\s\up6(→))，eq\o(BE,\s\up6(→))＝2eq\o(EC,\s\up6(→))，且eq\o(AE,\s\up6(→))＝req\o(AB,\s\up6(→))＋seq\o(AD,\s\up6(→))，則2r＋3s＝()A.1 B.2 C.3 D.4[舉一反三]1．（2023·全國·高三專題練習(xí)）如圖，在中，D為BC的中點，點E在AD上，且，則等于（

）A． B．C． D．2．（2022·全國·高三專題練習(xí)）如圖，在平行四邊形ABCD中，對角線AC與BD交于點O，且，則（

）A． B． C． D．3．（2023·全國·高三專題練習(xí)）在平行四邊形ABCD中，，G為EF的中點，則（）A． B．C． D．4．（2022·全國·高三專題練習(xí)）如圖平面四邊形ABCD中，，則可表示為（

）A． B．C． D．考點3共線向量定理的應(yīng)用[名師點睛]利用共線向量定理解題的策略(1)a∥b?a＝λb(b≠0)是判斷兩個向量共線的主要依據(jù).注意待定系數(shù)法和方程思想的運用.(2)當(dāng)兩向量共線且有公共點時，才能得出三點共線，即A，B，C三點共線?eq\o(AB,\s\up6(→))，eq\o(AC,\s\up6(→))共線.(3)若a與b不共線且λa＝μb，則λ＝μ＝0.(4)eq\o(OA,\s\up6(→))＝λeq\o(OB,\s\up6(→))＋μeq\o(OC,\s\up6(→))(λ，μ為實數(shù))，若A，B，C三點共線，則λ＋μ＝1.[典例]1．（2021·北京通州·一模）設(shè)向量是兩個不共線的向量，已知，，，且B，C，D三點共線，則______（用表示）；實數(shù)______．2．（2022·全國·高三專題練習(xí)）設(shè)兩個非零向量與不共線，（1）若，，，求證：A，B，D三點共線；（2）試確定實數(shù)k，使和共線．[舉一反三]1．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知，，，則（

）A．A，B，D三點共線 B．A，B，C三點共線C．B，C，D三點共線 D．A，C，D三點共線2．（2023·全國·高三專題練習(xí)）設(shè)，是平面內(nèi)兩個不共線的向量，，，，若A，B，C三點共線，則的最小值是（

）A．8 B．6 C．4 D．23．（2022·全國·高三專題練習(xí)）已知向量，不共線，向量，，若O，A，B三點共線，則（

）A． B． C． D．4．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知不共線向量，，，若A，B，C三點共線，則實數(shù)__________.5．（2022·浙江·高三專題練習(xí)）在平行四邊形中，，，分別為邊，，的中點，，，三點共線.若，則實數(shù)的值為______.6．（2022·全國·高三專題練習(xí)）已知O，A，B是不共線的三點，且（1）若m+n=1，求證：A，P，B三點共線；（2）若A，P，B三點共線，求證：m+n=1第30講平面向量的概念及線性運算1.向量的有關(guān)概念(1)向量：既有大小又有方向的量叫做向量，用有向線段表示，此時有向線段的方向就是向量的方向.向量eq\o(AB,\s\up6(→))的大小就是向量的長度(或稱模)，記作|eq\o(AB,\s\up6(→))|.(2)零向量：長度為0的向量，記作0.(3)單位向量：長度等于1個單位長度的向量.(4)平行向量(共線向量)：方向相同或相反的非零向量.向量a，b平行，記作a∥b.規(guī)定：0與任一向量平行.(5)相等向量：長度相等且方向相同的向量.(6)相反向量：長度相等且方向相反的向量.2.向量的線性運算向量運算定義法則(或幾何意義)運算律加法求兩個向量和的運算三角形法則平行四邊形法則(1)交換律：a＋b＝b＋a.(2)結(jié)合律：(a＋b)＋c＝a＋(b＋c)減法求兩個向量差的運算a－b＝a＋(－b)數(shù)乘規(guī)定實數(shù)λ與向量a的積是一個向量，這種運算叫做向量的數(shù)乘，記作λa(1)|λa|＝|λ||a|；(2)當(dāng)λ＞0時，λa的方向與a的方向相同；當(dāng)λ＜0時，λa的方向與a的方向相反；當(dāng)λ＝0時，λa＝0λ(μa)＝λμa；(λ＋μ)a＝λa＋μa；λ(a＋b)＝λa＋λb3.共線向量定理向量a(a≠0)與b共線的充要條件是：存在唯一一個實數(shù)λ，使b＝λa.考點1平面向量的概念[名師點睛]平行向量有關(guān)概念的四個關(guān)注點(1)相等向量具有傳遞性，非零向量的平行也具有傳遞性.(2)共線向量即為平行向量，它們均與起點無關(guān).(3)向量可以平移，平移后的向量與原向量是相等向量，解題時，不要把它與函數(shù)圖象的平移混淆.(4)非零向量a與eq\f(a,|a|)的關(guān)系：eq\f(a,|a|)是與a同方向的單位向量.[典例]1．（2022·全國·高三專題練習(xí)）下列說法正確的是（

）A．向量就是所在的直線平行于所在的直線B．長度相等的向量叫做相等向量C．若，則D．共線向量是在一條直線上的向量【答案】C【分析】根據(jù)共線向量的定義可判斷A，D；由相等向量的定義可判斷B，C；進(jìn)而可得正確選項.【詳解】對于A：根據(jù)共線向量的定義可知向量就是所在的直線與所在的直線平行或重合，故選項A不正確；對于B：長度相等且方向相同的向量叫做相等向量，故選項B不正確；對于C：若，則，故選項C正確；對于D：方向相同或相反的非零向量叫平行向量，也叫共線向量，零向量與任意向量共線，故選項D不正確；故選：C.2．（多選）（2022·全國·高三專題練習(xí)）下面的命題正確的有（

）A．方向相反的兩個非零向量一定共線B．單位向量都相等C．若，滿足且與同向，則D．“若A、B、C、D是不共線的四點，且”“四邊形ABCD是平行四邊形”【答案】AD【分析】根據(jù)向量的定義和性質(zhì)，逐項判斷正誤即可.【詳解】對于A，由相反向量的概念可知A正確；對于B，任意兩個單位向量的模相等，其方向未必相同，故B錯誤；對于C，向量之間不能比較大小，只能比較向量的模，故C錯誤；對于D，若A、B、C、D是不共線的四點，且，可得，且，故四邊形ABCD是平行四邊形；若四邊形ABCD是平行四邊形，可知，且，此時A、B、C、D是不共線的四點，且，故D正確.故選：AD.[舉一反三]1．（2022·全國·高三專題練習(xí)）下列命題正確的是（

）A．若，都是單位向量，則B．若向量，，則C．與非零向量共線的單位向量是唯一的D．已知為非零實數(shù)，若，則與共線【答案】D【分析】根據(jù)向量的基本概念和共線定理，逐項判斷，即可得到結(jié)果.【詳解】單位向量的方向不一定相同，故A錯誤；當(dāng)時，顯然與不一定平行，故B錯誤；非零向量共線的單位向量有，故C錯誤；由共線定理可知，若存在非零實數(shù)，使得，則與共線，故D正確.故選：D.2．（2023·全國·高三專題練習(xí)）下列命題正確的是（

）A．向量與是相等向量B．共線的單位向量是相等向量C．零向量與任一向量共線D．兩平行向量所在直線平行【答案】C【分析】根據(jù)向量相等和平行的定義逐項分析可以求解.【詳解】對于A，，故A錯誤；對于B，兩個單位向量雖然共線，但方向可能相反，故B錯誤；對于C，因為零向量沒有方向，所以與任何向量都是共線的，故C正確；對于D，兩個平行向量所在的直線可能重合，故D錯誤；故選：C.3．（2023·全國·高三專題練習(xí)）設(shè)，都是非零向量，成立的充分條件是（

）A． B．C． D．且【答案】B【分析】由題意，利用、上的單位向量相等的條件，得出結(jié)論．【詳解】解：因為表示與同向的單位向量，表示與同向的單位向量，所以要使成立，即、方向上的單位向量相等，則必需保證、的方向相同，故成立的充分條件可以是；故選：B．4．（2023·全國·高三專題練習(xí)）有下列命題：①單位向量一定相等；②起點不同，但方向相同且模相等的幾個向量是相等向量；③相等的非零向量，若起點不同，則終點一定不同；④方向相反的兩個單位向量互為相反向量；⑤起點相同且模相等的向量的終點的軌跡是圓．其中正確的命題的個數(shù)為______．【答案】【分析】由相等向量、相反向量的知識依次判斷各個選項即可得到結(jié)果.【詳解】對于①，兩個單位向量方向不同時不相等，①錯誤；對于②，方向相同且模長相等的向量為相等向量，與起點無關(guān)，②正確；對于③，相等的非零向量方向相同且模長相等，若起點不同，則終點不同，③正確；對于④，單位向量模長相等，又方向相反，則這兩個向量為相反向量，④正確；對于⑤，若兩個向量起點相同，且模長相等且不為零，則終點的軌跡為球面，⑤錯誤；則正確的命題個數(shù)為個.故答案為：.考點2向量的線性運算[名師點睛]1.(1)解決平面向量線性運算問題的關(guān)鍵在于熟練地找出圖形中的相等向量，并能熟練運用相反向量將加減法相互轉(zhuǎn)化.(2)在求向量時要盡可能轉(zhuǎn)化到平行四邊形或三角形中，運用平行四邊形法則、三角形法則及三角形中位線定理、相似三角形對應(yīng)邊成比例等平面幾何的性質(zhì)，把未知向量轉(zhuǎn)化為用已知向量線性表示.2.與向量的線性運算有關(guān)的參數(shù)問題，一般是構(gòu)造三角形，利用向量運算的三角形法則進(jìn)行加法或減法運算，然后通過建立方程組即可求得相關(guān)參數(shù)的值.[典例]1．（2022·全國·高三專題練習(xí)）給出下列命題：①若同向，則有；

②與表示的意義相同；③若不共線，則有；④恒成立；⑤對任意兩個向量，總有；⑥若三向量滿足，則此三向量圍成一個三角形．其中正確的命題是__________填序號【答案】①⑤【詳解】對于①，若同向，則與同向，所以，故正確；對于②，與前者表示向量，后者表示向量模的和，表示的意義不相同，故②不正確；對于③，若不共線，則有，故③不正確；對于④，若，則，故④不正確；對于⑤，對任意兩個向量，總有，故⑤正確；對于⑥，若三向量滿足，若中有零向量，則此三向量不能圍成一個三角形，故⑥不正確．故答案為：①⑤．2．（2022·廣東·高三開學(xué)考試）在平行四邊形中，點、分別滿足，，若，，則（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】結(jié)合向量加法法則與減法法則運算求解即可.【詳解】解：因為在平行四邊形中，點、分別滿足，，所以，，所以．故選：A3.如圖，在直角梯形ABCD中，eq\o(DC,\s\up6(→))＝eq\f(1,4)eq\o(AB,\s\up6(→))，eq\o(BE,\s\up6(→))＝2eq\o(EC,\s\up6(→))，且eq\o(AE,\s\up6(→))＝req\o(AB,\s\up6(→))＋seq\o(AD,\s\up6(→))，則2r＋3s＝()A.1 B.2 C.3 D.4答案C解析法一由題圖可得eq\o(AE,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(BE,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(2,3)eq\o(BC,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(2,3)(eq\o(BA,\s\up6(→))＋eq\o(AD,\s\up6(→))＋eq\o(DC,\s\up6(→)))＝eq\f(1,3)eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(2,3)(eq\o(AD,\s\up6(→))＋eq\o(DC,\s\up6(→)))＝eq\f(1,3)eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(2,3)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\o(AD,\s\up6(→))＋\f(1,4)\o(AB,\s\up6(→))))＝eq\f(1,2)eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(2,3)eq\o(AD,\s\up6(→)).因為eq\o(AE,\s\up6(→))＝req\o(AB,\s\up6(→))＋seq\o(AD,\s\up6(→))，所以r＝eq\f(1,2)，s＝eq\f(2,3)，則2r＋3s＝1＋2＝3.法二因為eq\o(BE,\s\up6(→))＝2eq\o(EC,\s\up6(→))，所以eq\o(AE,\s\up6(→))－eq\o(AB,\s\up6(→))＝2(eq\o(AC,\s\up6(→))－eq\o(AE,\s\up6(→)))，整理，得eq\o(AE,\s\up6(→))＝eq\f(1,3)eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(2,3)eq\o(AC,\s\up6(→))＝eq\f(1,3)eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(2,3)(eq\o(AD,\s\up6(→))＋eq\o(DC,\s\up6(→)))＝eq\f(1,2)eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(2,3)eq\o(AD,\s\up6(→))，以下同法一.法三如圖，建立平面直角坐標(biāo)系xAy，依題意可設(shè)點B(4m，0)，D(3m，3h)，E(4m，2h)，其中m＞0，h＞0.由eq\o(AE,\s\up6(→))＝req\o(AB,\s\up6(→))＋seq\o(AD,\s\up6(→))，得(4m，2h)＝r(4m，0)＋s(3m，3h)，所以eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(4m＝4mr＋3ms，,2h＝3hs，))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(r＝\f(1,2)，,s＝\f(2,3)，))所以2r＋3s＝1＋2＝3.[舉一反三]1．（2023·全國·高三專題練習(xí)）如圖，在中，D為BC的中點，點E在AD上，且，則等于（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】根據(jù)平面向量線性運算法則計算可得；【詳解】解：在中，為的中點，所以，又，所以，所以；故選：C2．（2022·全國·高三專題練習(xí)）如圖，在平行四邊形ABCD中，對角線AC與BD交于點O，且，則（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)平面向量線性運算法則計算可得；【詳解】解：因為，所以，所以.故選：C.3．（2023·全國·高三專題練習(xí)）在平行四邊形ABCD中，，G為EF的中點，則（）A． B．C． D．【答案】B【分析】根據(jù)題意和平面向量的線性運算即可得出結(jié)果.【詳解】．故選：B.4．（2022·全國·高三專題練習(xí)）如圖平面四邊形ABCD中，，則可表示為（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】利用向量的線性運算的幾何表示即得.【詳解】∵，∴，∵，又，∴，即.故選：D.考點3共線向量定理的應(yīng)用[名師點睛]利用共線向量定理解題的策略(1)a∥b?a＝λb(b≠0)是判斷兩個向量共線的主要依據(jù).注意待定系數(shù)法和方程思想的運用.(2)當(dāng)兩向量共線且有公共點時，才能得出三點共線，即A，B，C三點共線?eq\o(AB,\s\up6(→))，eq\o(AC,\s\up6(→))共線.(3)若a與b不共線且λa＝μb，則λ＝μ＝0.(4)eq\o(OA,\s\up6(→))＝λeq\o(OB,\s\up6(→))＋μeq\o(OC,\s\up6(→))(λ，μ為實數(shù))，若A，B，C三點共線，則λ＋μ＝1.[典例]1．（2021·北京通州·一模）設(shè)向量是兩個不共線的向量，已知，，，且B，C，D三點共線，則______（用表示）；實數(shù)______．【答案】

【分析】由向量減法法則得即可得答案，再根據(jù)B，C，D三點共線，得即可得答案.【詳解】由向量減法法則得：，由于B，C，D三點共線，所以，即：，所以，解得：.故答案為：；2．（2022·全國·高三專題練習(xí)）設(shè)兩個非零向量與不共線，（1）若，，，求證：A，B，D三點共線；（2）試確定實數(shù)k，使和共線．【解】（1）證明：，，，，共線，又∵它們有