《高考風(fēng)向標》年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 第二章 第3講 函數(shù)的奇偶性與周期性 理

第3講函數(shù)的奇偶性與周期性1．函數(shù)的奇偶性的定義f(－x)＝－f(x)(1)對于函數(shù)f(x)的定義域內(nèi)任意一個x，都有(或)，則稱f(x)為奇函數(shù)．奇函數(shù)的圖像關(guān)于對稱．f(－x)＋f(x)＝0原點(2)對于函數(shù)f(x)的定義域內(nèi)任意一個x,都有 則稱f(x)為偶函數(shù)．偶函數(shù)的圖像關(guān)于(或， 軸對稱．f(－x)＝f(x)f(－x)－f(x)＝0)y編輯ppt

(3)通常采用圖像或定義判斷函數(shù)的奇偶性．具有奇偶性的函數(shù)，其定義域關(guān)于原點對稱(也就是說，函數(shù)為奇函數(shù)或偶函數(shù)的必要條件是其定義域關(guān)于原點對稱)．

2．函數(shù)的周期性的定義

對于函數(shù)f(x)，如果存在一個每一個x值，都滿足

，使得定義域內(nèi)的，那么函數(shù)f(x)就叫做周期函數(shù)，非零常數(shù)T叫做這個函數(shù)的．周期

非零常數(shù)Tf(x＋T)＝f(x)編輯ppt)B1．對于定義域是R的任意奇函數(shù)f(x)有(A．f(x)－f(－x)＝0 B．f(x)＋f(－x)＝0C．f(x)·f(－x)＝0 D．f(0)≠02．若f(x)是偶函數(shù)，且當(dāng)x∈[0，＋∞)時，f(x)＝x－1，則不等式f(x－1)<0的解集是()CA．{x|－1<x<0}B．{x|x<0或1<x<2}C．{x|0<x<2}D．{x|1<x<2}編輯ppt

3．設(shè)f(x)是定義在R上以6為周期的函數(shù)，f(x)在(0,3)內(nèi)單調(diào)遞增，且y＝f(x)的圖像關(guān)于直線x＝3對稱，則下面正確的結(jié)論是()CA．f(1.5)＜f(3.5)＜f(6.5)B．f(3.5)＜f(1.5)＜f(6.5)C．f(6.5)＜f(1.5)＜f(3.5)D．f(3.5)＜f(6.5)＜f(1.5)4．函數(shù)f(x)＝|x－2|＋|x＋2|的奇偶性是．偶函數(shù)5．設(shè)函數(shù)f(x)＝(x2＋1)(x＋a)為奇函數(shù)，則a＝.0編輯ppt考點1判斷函數(shù)的奇偶性例1：判斷下列函數(shù)的奇偶性：(1)f(x)＝|x＋1|－|x－1|；編輯ppt＋.(6)f(x)＝

x2x－1x2

解題思路：依照定義判斷函數(shù)的奇偶性，要先考查函數(shù)的定義域．

解析：(1)函數(shù)的定義域x∈(－∞，＋∞)，對稱于原點． ∵f(－x)＝|－x＋1|－|－x－1|＝|x－1|－|x＋1|

＝－(|x＋1|－|x－1|)＝－f(x)， ∴f(x)＝|x＋1|－|x－1|是奇函數(shù)．

(2)函數(shù)定義域為R.編輯ppt∴f(x)為偶函數(shù)．方法二：先化簡：為偶函數(shù)；從這可以看出，化簡后再解決要容易得多．

(3)去掉絕對值符號，根據(jù)定義判斷．故f(x)的定義域為[－1,0)∪(0,1]，關(guān)于原點對稱，且有x＋2＞0，從而有編輯ppt1－(－x)21－x2∴f(－x)＝－x＝－x＝－f(x)，故f(x)為奇函數(shù)．(4)∵函數(shù)f(x)的定義域是(－∞，0)∪(0，＋∞)，當(dāng)x＞0時，－x＜0，∴f(－x)＝(－x)[1－(－x)]＝－x(1＋x)＝－f(x)(x＞0)．當(dāng)x＜0時，－x＞0，∴f(－x)＝－x(1－x)＝－f(x)(x＜0)．故函數(shù)f(x)為奇函數(shù)．編輯ppt

(5)此函數(shù)的定義域為{1，－1}，且f(x)＝0，可知圖像既關(guān)于原點對稱、又關(guān)于y軸對稱，故此函數(shù)既是奇函數(shù)又是偶函數(shù)．編輯ppt

(1)函數(shù)的奇偶性是函數(shù)的一個整體性質(zhì)，定義域具有對稱性(即若奇函數(shù)或偶函數(shù)的定義域為D，則x∈D時－x∈D)是一個函數(shù)為奇函數(shù)或偶函數(shù)的必要條件；(2)分段函數(shù)的奇偶性一般要分段證明；(3)判斷函數(shù)的奇偶性應(yīng)先求定義域再化簡函數(shù)解析式．

【互動探究】 義域均為R，則()BA．f(x)與g(x)均為偶函數(shù)B．f(x)為偶函數(shù)，g(x)為奇函數(shù)C．f(x)與g(x)均為奇函數(shù)D．f(x)為奇函數(shù)，g(x)為偶函數(shù)編輯ppt考點2利用函數(shù)的奇偶性求函數(shù)的表達式

例2：設(shè)f(x)是R上的奇函數(shù)，且當(dāng)x∈[0，＋∞)時，f(x)

＝，那么當(dāng)x∈(－∞，0)時，求f(x)解析式．

解析：∵f(x)是奇函數(shù)，∴當(dāng)x＜0時，－x＞0.

編輯ppt【互動探究】2．(1)已知f(x)是定義在R上的奇函數(shù)，當(dāng)x≥0時，f(x)＝x－x2，則x≤0時，f(x)＝；f(x)＝x2＋x

(2)已知函數(shù)f(x)是定義在(－∞，＋∞)上的偶函數(shù)．當(dāng)x∈(－∞，0)時，f(x)＝x－x4，則當(dāng)x∈(0，＋∞)時，f(x)＝.考點3函數(shù)奇偶性與單調(diào)性的綜合應(yīng)用

例3：已知奇函數(shù)f(x)是定義在(－2,2)上的減函數(shù)，若f(m－1)＋f(2m－1)>0，求實數(shù)m的取值范圍．f(x)＝－x－x4編輯ppt∴2>1－2m>m－1>－2，解得∴實數(shù)m的取值范圍是

解題思路：欲求m的取值范圍，就要建立關(guān)于m的不等式，可見，只有從f(m－1)＋f(2m－1)>0出發(fā)，利用f(x)的奇偶性和單調(diào)性將外衣“f”脫去．解析：∵f(x)是定義在(－2,2)上的奇函數(shù)，∴對任意x∈(－2,2)有f(－x)＝－f(x)．由條件f(m－1)＋f(2m－1)＞0，得f(m－1)>－f(2m－1)＝f(1－2m)，∵f(x)是定義在(－2,2)上的減函數(shù)，編輯ppt

利用函數(shù)的奇偶性，可以求關(guān)于原點對稱區(qū)間上的函數(shù)的表達式．

【互動探究】

3．偶函數(shù)f(x)(x∈R)滿足：f(－4)＝f(1)＝0，且在區(qū)間[0,3]與[3，＋∞)上分別遞減和遞增，則不等式xf(x)<0的解集為()A．(－∞，－4)∪(4，＋∞)C．(－∞，－4)∪(－1,0)

B．(－4，－1)∪(1,4)D．(－∞，－4)∪(－1,0)∪(1,4)

解析：由已知條件通過f(x)(x∈R)的草圖得知函數(shù)f(x)(x∈R)的值在(－∞，－4)，(－1,1)，(4，＋∞)上都為正，在(－4，－1)，(1,4)上為負，故不等式xf(x)<0的解集為(－∞，－4)∪(－1,0)∪(1,4)．D編輯ppt錯源：沒有考慮定義域例4：判斷函數(shù)f(x)＝(1＋x)

的奇偶性．

誤解分析：對函數(shù)奇偶性定義實質(zhì)“函數(shù)的定義域關(guān)于原點對稱”理解不全面．這是函數(shù)具備奇偶性的必要條件．正解：f(x)＝(1＋x)有意義時，必須滿足1－x1＋x≥0?－1<x≤1，即函數(shù)的定義域是{x|－1<x≤1}，由于定義域不關(guān)于原點對稱，所以該函數(shù)既不是奇函數(shù)也不是偶函數(shù)．

糾錯反思：在處理函數(shù)的任何問題時，都要樹立定義域優(yōu)先的意識．編輯ppt【互動探究】4．給出四個函數(shù)：①y＝lg1－x

；②y＝lg(1－x)－lg(1＋x)；1＋x③y＝lg[(x＋1)(x－1)];④y＝lg(x＋1)＋lg(x－1)，其中奇函數(shù)是，偶函數(shù)是.①②③

例5：已知函數(shù)f(x)，當(dāng)x>0時，f(x)＝x2－2x－1. (1)若f(x)為R上的奇函數(shù)，求f(x)的解析式；

(2)若f(x)為R上的偶函數(shù)，能確定f(x)的解析式嗎？請說明理由．編輯ppt解析：(1)當(dāng)x>0時，f(x)＝x2－2x－1.設(shè)x<0，則－x>0，有f(－x)＝(－x)2－2(－x)－1＝x2＋2x－1，∵f(x)為R上的奇函數(shù)，f(－x)＝－f(x)，∴x<0時，f(x)＝－x2－2x＋1.當(dāng)x＝0時，f(0)＝f(－0)＝－f(0)，即f(0)＝0.

(2)若f(x)為R上的偶函數(shù)，不能確定f(x)的解析式，因為不知f(0)的結(jié)果．編輯ppt＝－.【互動探究】解析：由f(x＋2)＝

1f(x)得f(x＋4)＝

1f(x＋2)＝f(x)，所以f(5)＝f(1)＝－5，則f[f(5)]＝f(－5)＝f(－1)＝

1f(－1＋2)15.編輯ppt

關(guān)于周期函數(shù)的幾種判定方法：

(1)對于函數(shù)f(x)定義域中的任意的x，總存在一個常數(shù)T(T≠0)，使得f(x＋T)＝f(x)恒成立，則T是函數(shù)y＝f(x)的一個周期；

(2)若函數(shù)y＝f(x)滿足f(x＋a)＝f(x－a)(a≠0)，則T＝2a是它的一個周期；

(3)若函數(shù)y＝f(x)滿足f(x＋a)＝－f(x)(a≠0)，則T＝2a是它的一個周期；

1f(x)(a≠0)，則T＝2a是它

(4)若函數(shù)y＝f(x)滿足f(x＋a)＝－的一個周期；編輯ppt

1f(x)(a≠0)，則T＝2a是它的

(5)若函數(shù)y＝f(x)滿足f(x＋a)＝一個周期；(6)若函數(shù)y＝f(x)滿足f(x＋a)＝1－f(x)1＋f(x)(a≠0)，則T＝2a是它的一個周期；

(7)若函數(shù)y＝f(x)(x∈R)的圖像關(guān)于直