數(shù)學科普知識

數(shù)學科普知識著名數(shù)學問題——歌德巴赫猜想歌德巴赫：（德國數(shù)學家）1742年6月7日他在給歐拉（瑞士數(shù)學家）的信中提出了著名的歌德巴赫猜想“即每一個偶正整數(shù)是兩個素數(shù)之和”該猜想后經(jīng)過歐拉化簡可表述為：任何一個偶數(shù)門（門24）是兩個素數(shù)之和。這個猜想雖然對于不太大的數(shù)用實際檢驗得到證實，但是至今沒有嚴格的證明。二百多年來，許多數(shù)學家為此努力，相繼得到一批近似結果，其中埃斯特曼證明了每一個充分大的奇數(shù)一定可以表為兩個奇素數(shù)及一個不超過兩個素數(shù)的乘積之和；維諾格拉道夫用圓法證明了每一個充分大的奇數(shù)都是三個奇素數(shù)之和。華羅庚證明了更一般的結果“對任意給定的整數(shù)K,每一個充分大的奇數(shù)都可表為p1+p2+p3k,其中pl,p2,p3為奇素數(shù)。”1966年，陳景潤證明了“每一個充分大的偶數(shù)都可以表示為一個素數(shù)與一個不超過兩個素數(shù)的乘積之和（簡單的表示為（1+2））。這是目前為止的最佳結果。Jacobi猜想在數(shù)學中，有兩個問題被稱為Jacobi猜想。一個是關于多項式映射的可逆性問題，這個問題至今沒有解決。另一個Jacobi猜想，也就是這里要講的Jacobi猜想，是關于平面微分方程全局漸近穩(wěn)定性問題的，其大意是：如果一個平面微分方程的向量場在每一點的Jacobi矩陣是穩(wěn)定的，那么該微分方程的平衡解是全局漸近穩(wěn)定的。因為這個猜想中的條件是借助Jacobi矩陣表達的，所以稱為Jacobi猜想。分形的數(shù)學定義分形還沒有統(tǒng)一的確切的數(shù)學定義，若具有下面大部分性質的就認為是分形：一、有精細的結構。它包含任意小比例的細節(jié)，把細微部分放大，看起來就和原始圖形（生成元）一模一樣，圖形放得愈大，愈能看清它的細節(jié)。歐氏幾何的圖形不是這樣，例如：圓放得愈大，圓周變得愈是平直。二、圖形很不規(guī)則，它的局部或整體都很難用傳統(tǒng)的幾何語言或微積分來描述。若用歐氏幾何的圖形來描述雪花曲線、一片葉子或一片云彩不知要多少圖形才能拼起來。三、看起來很有趣似乎非常復雜的圖形，實際上定義它非常簡單。生成元都很簡單，通過某種自相似或自仿射的性質就能生成很復雜的圖形。上述三例的生成元都極簡單，且都是自相似的。四、生成的過程是一個迭代過程，返復重復同一個過程來產(chǎn)生，很容易用遞推函數(shù)來描述，這樣就容易在計算機上實現(xiàn)?；悠兄v到的斐波拉契數(shù)列就是遞推函數(shù)的例子，它的后一項由前兩之和來確定。五、它的維數(shù)是小數(shù)或者說是分數(shù)維。六、它常具有“自然”的外貌，如：雪花曲線就像大自然中的雪花。混沌學是一門正在興起的研究復雜性問題的工具現(xiàn)實世界中線性系統(tǒng)是很少的，很多線性系統(tǒng)是由科學家經(jīng)過簡單化處理而得到的，簡化處理的合理性是有限的?；煦鐚W是一門正在興起的研究復雜性問題的工具，高性能計算機的發(fā)展也為混沌學的研究創(chuàng)造了條件，數(shù)學家們還處在揭示混沌奧秘的門檻上。在二十世紀七十年代，一些非常廣的毫不相關的領域，如：非線性三角函數(shù)的變化、價格的波動、統(tǒng)計經(jīng)濟學、地震、生態(tài)學等的領域，把描繪它們的資料用計算機生成三維模型后，結果出現(xiàn)了驚人的相似，在外觀上不斷出現(xiàn)奇異吸引子。對這些廣泛領域的研究，逐漸發(fā)現(xiàn)了混沌理論?；煦缋碚撾m然還在形成和發(fā)展，但它已應用到了非常廣泛的領域。哈密頓問題哈密頓問題是：對任意的圖，是否有一個通過每一頂點（而不是歐拉問題中的通過每一邊）的封閉環(huán)（“哈密頓環(huán)”）。它僅僅意味著有限的頂點的集合，通過邊聯(lián)系起來的一定數(shù)目的頂點對。觀眾用手觸摸“平面觸摸盤”，與正12面體相對應棱邊的二極管點亮發(fā)光。如走錯路線，正12面體相對應棱邊，不亮，直到走對路線為止。按復位鍵全部燈光熄滅，回到初始狀態(tài)?？巳R因瓶“克來因瓶”學名為“不可定向單側閉曲面”，瓶子的“瓶頸”穿過瓶子表面并從內部連到底部，閉合成一個圓形曲面，這是拓撲學的形象詮釋。整個克萊因瓶制作成兩半，觀眾還可通過流動的燈光，觀察到克萊因瓶只有一個面的特性。圓的十七等分將圓作十七等分。一個圓能用圓規(guī)直尺P(素數(shù))等分，P一定是費馬數(shù)。德國數(shù)學大師高斯證明：對奇數(shù)門，只有當它為費馬素數(shù)或是不同的費馬素數(shù)之積時，才能夠用尺規(guī)完成n等分圓周。17邊形的作法：(1)作圓，過圓心作兩條垂直的直徑，得圓上兩點P0B：(2)作OJ=1/4OB,再作NOJE=1/4NOJPO,NFJE=45°(3)以FP0為直徑作圓，交OB于K,以E為圓心EK為半徑作圓，交OP0于N5和N3(4)過N5、N3分別作OB的平行線，交圓O于P5、P3再平分P5P3得分點P45、P3P4就是正17邊形的一邊之長，用它可在圓O上依次截得正17邊形的各頂點。四色猜想四色問題又稱四色猜想，是世界近代三大數(shù)學難題之一。四色問題的內容是：“任何一張地圖只用四種顏色就能使具有共同邊界的國家著上不同的顏色”。四色問題，這是個著名的世界難題。1825年畢業(yè)于英國倫敦大學從事地圖著色的佛朗西斯格里斯發(fā)現(xiàn)一個奇怪現(xiàn)象：不管多復雜的地圖，只用四種顏色就可區(qū)分有公共邊界的國家或地區(qū)。這只是一個猜想，看似簡單，證明起來卻非常困難。許多數(shù)學家包括著名的數(shù)學家哈密頓、閔可夫斯基，為之奮斗了100多年沒有解決。這里還有一個故事，以謙虛著稱的閔可夫斯基不信解決不了，他在給學生上拓撲課時說，四色問題之所以還沒解決，僅僅是因為沒有一流的數(shù)學家來解決它。他拿起粉筆當場給學生推導，沒有成功。下一節(jié)課又去試也沒有成功，直到幾個星期都沒進展。一天他進教室時，雷聲大作，他對學生說：“上天在責我自大，我沒法解決四色問題?！敝钡?976年9月美國伊利諾斯大學的數(shù)學家阿沛爾和哈肯教授，在每秒運行400萬次的計算機上運行了1200小時，終于證明了四色定理。人與計算機合作能證明世界難題，轟動了世界。原來難在證明時要作的邏輯判斷達200億次之多，單靠人的力量是難以解決的。生物與數(shù)學人體最感舒適的溫度約23度（氣溫），是正常體溫37度的黃金分割點。人精神愉快時，人腦電波頻率下限（8赫茲）與上限（12.9赫茲）之比，恰為黃金分割數(shù)，如這時參加考試，更能發(fā)揮出水平。貓總是蜷曲軀體縮成球體，這樣它所逸出的熱量最少。人和動物的血液循環(huán)系統(tǒng)中，血管不斷分成兩只同樣粗細的分支，其直徑縮小比例為。理論計算在這樣的分支導管系統(tǒng)中，液流的能量消耗最小。蜘蛛網(wǎng)的建造結構也是數(shù)學家為之贊嘆不已的高級幾何圖形。它是一種名叫對數(shù)螺線的幾何曲線。數(shù)學是科學的大門和鑰匙。伽利略：自然這本書，是用數(shù)學語言寫成的。生物的形態(tài)和生長，往往隱藏著各種數(shù)學規(guī)律。不管多原始的理智生命都會有數(shù)的。數(shù)學是一切有智慧的生物的共同語言。生物對本身的生存總是在選擇理想的“技術結構”方案。數(shù)學規(guī)律，仿佛是它們生命的密碼。伽利略說：自然這本書，是用數(shù)學語言寫成的。數(shù)有趣的性質數(shù)本身就有很多有趣的性質，數(shù)論就是研究數(shù)特別是整數(shù)性質的數(shù)學分支。在數(shù)論里我們會遇到整數(shù)、除數(shù)、素數(shù)；完全數(shù)、親和數(shù)；同余式、費馬定理、威爾遜定理；原根、平方剩余、丟番圖解析、二次互反律；二次型、分劃、理想數(shù)、示性數(shù)；佩爾方程、連分數(shù)、自同構、素數(shù)論、解析數(shù)論等,一個臺階比一個臺階高。數(shù)論的特點是：