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教學(xué)安排上
間共17次,概率部分約9次,隨機(jī)過(guò)程部分約7-8次筆試70%(期末考試前一月考試大綱),論文30%(題目:結(jié)合自己的專(zhuān)業(yè),以概率論與隨機(jī)過(guò)程某個(gè)知識(shí)點(diǎn)撰寫(xiě)一篇1500字以上
,要求標(biāo)準(zhǔn)
格式,包括標(biāo)題、中英
要、正文、參考文獻(xiàn)。)2007-9-2郵電大學(xué)電子教學(xué)安排電子講稿:
/《布告欄》考試時(shí)間:見(jiàn)
院發(fā)布的考表電子郵件:b mat超星數(shù)字瀏覽器上
間:13:00-16:00pm2007-9-3郵電大學(xué)電子概率論與隨機(jī)過(guò)程知識(shí)從哪里來(lái)?必然性、偶然性知識(shí)是什么?概率論與隨機(jī)過(guò)程:隨機(jī)性、變化過(guò)程知識(shí)到哪里去?如何運(yùn)用概率論與隨機(jī)過(guò)程的理論知識(shí)解決通信中的實(shí)際問(wèn)題?2007-9-4郵電大學(xué)電子第一章概率空間首先,回顧初等概率論的一些基本概念:~隨機(jī)試驗(yàn)
E
,滿(mǎn)足如下條件:在相同條件下可重復(fù)進(jìn)行;一次試驗(yàn)結(jié)果的隨機(jī)性——不可預(yù)知性;全體可能結(jié)果的可知性。2007-9-5郵電大學(xué)電子第一章概率空間樣本空間——隨機(jī)試驗(yàn)所有可能出現(xiàn)的結(jié)果組成的集合。樣本點(diǎn)——中的元素。隨機(jī)事件——樣本空間
的子集合,稱(chēng)為事件。基本事件——中每個(gè)樣本點(diǎn)所構(gòu)成的單點(diǎn)集。必然事件——本身。不可能事件——不包含任何元素的空集合。2007-9-6郵電大學(xué)電子第一章概率空間在初等概率論中,
定義隨機(jī)事件A為樣本空間的子集,即
A
,但事實(shí)上是不是任何一個(gè)樣本點(diǎn)構(gòu)成的集合都是一個(gè)隨機(jī)事件?(舉例說(shuō)明)例:={1,2,3,4,5,6}取A
={
,
A,
A,
}容易驗(yàn)證,A為事件域,,A,A,
均為事件其中A不妨取A={1,2},A={3,4,5,6}考慮的樣本點(diǎn)B={1},雖然B
,但此時(shí)B并不是
所的事件(見(jiàn) 金著《概率中的反例》)2007-9-7郵電大學(xué)電子第一章概率空間稱(chēng)PA為事件Α的概率。與之對(duì)應(yīng),記為P(A),且滿(mǎn)足:1.0
P
A
1
(非負(fù)性)P
1(歸一性)若事件A1,A2
,…兩兩互不相容,則有:~概率的定義——若對(duì)
E
的每一個(gè)事件A,有一個(gè)實(shí)數(shù)k
1
k
1
k
PAk
(可列可加性)2007-9-8郵電大學(xué)電子第一章概率空間nnF
A
a
1
,
b
n
1,2,…
顯然,n,有:An
F但:U
An
a,b
Fn1設(shè)事件域:2007-9-9郵電大學(xué)電子第一章概率空間若把P(A)看作集合A的函數(shù),那么象高等數(shù)學(xué)里的普通函數(shù)一樣,
須考慮A在何范圍內(nèi),A
P(A)才有定義?這是初等概率論的遺留問(wèn)題。為此,考慮以事件A為元素的集合,稱(chēng)為集合類(lèi)或事件體,記作F
。F
的結(jié)構(gòu)?在F
上的概率如何構(gòu)造?這是本章將要的主要問(wèn)題,為此
須引入測(cè)度論的概念。2007-9-1郵電大學(xué)電子第一節(jié)集合代數(shù)和-代數(shù)一、集合代數(shù)和-代數(shù)定義1.1.1
設(shè)是任一非空集合,
A是由的一些子集組成的非空集合類(lèi),若A
滿(mǎn)足:1.
∈
A
;若A∈A
,有A∈A
(余運(yùn)算封閉);若A,B∈A
,有A∪B∈A
(有限并運(yùn)算封閉);則稱(chēng)A是上的一個(gè)集合代數(shù),簡(jiǎn)稱(chēng)集代數(shù)。容易證明集代數(shù)對(duì)有限交運(yùn)算也封閉,即:2007-9-1郵電大學(xué)電子第一節(jié)集合代數(shù)和-代數(shù)定理1.1.1
設(shè)A是由的一些子集組成的非空集合類(lèi),則:若A是由的集代數(shù)
A是包含且對(duì)余運(yùn)算和有限交運(yùn)算封閉;若A是由的集代數(shù)
A是包含且對(duì)差運(yùn)算封閉。證明可簡(jiǎn)單闡述。a,
b
R,
a
b
A
A
R,
A
k
1例1.1.1
設(shè)
=R,則:nUk
1
2
nA
,A
,A
,…A
形如則:A是集代數(shù)。2007-9-1郵電大學(xué)電子2.
若Ak
A2007-9-18郵電k大1學(xué)電子13則稱(chēng)A是上的一個(gè)-代數(shù)。
定理1.1.2
設(shè)A是-代數(shù),則:第一節(jié)集合代數(shù)和-代數(shù)定義1.1.2
設(shè)是任一非空集合,A是由的一些子集組成的非空集合類(lèi),若A
滿(mǎn)足:
A2.
若A∈A
,有A∈A
(余運(yùn)算封閉);1.
-代數(shù)A
一定是集代數(shù);k
…,有nAk
A(可列交運(yùn)算封閉)3.
若AkA
Ak
…,有A
U
kk
1A(可列并運(yùn)算封閉)第一節(jié)集合代數(shù)和-代數(shù)設(shè)是一非空集合,F(xiàn)是由的一切子集組成的集合類(lèi),則F是一個(gè)-代數(shù)。若A
,且A,A
則集合類(lèi)A,A,,是一個(gè)-代數(shù)。顯然,集代數(shù)的交仍是集代數(shù);-代數(shù)的交仍是-代數(shù)。2007-9-1郵電大學(xué)電子第一節(jié)集合代數(shù)和-代數(shù)二、包含某一集合類(lèi)的最小-代數(shù)G是由的一些子集組成的非空集合類(lèi),那么至少存在一個(gè)-代數(shù)包含G。為什么?由于F是一個(gè)-代數(shù),且F
G。是否存在最小的-代數(shù)?若存在,是否唯一?2007-9-1郵電大學(xué)電子第一節(jié)集合代數(shù)和-代數(shù)定理1.1.3
設(shè)是任一非空集合,
G是由的一些子集組成的非空集合類(lèi),則存在唯一的-代數(shù)F0,滿(mǎn)足:1.
G
F0
;證明:構(gòu)造F
*
=
A,即所有包含G
的-代數(shù)的交。2.
對(duì)包含G的任一-代數(shù)A,有F0
AnA
G下面說(shuō)明這樣構(gòu)成的F
*即為包含G的最小的-代數(shù),F(xiàn)
*
=F0由構(gòu)造性可知它不僅存在而且唯一。由于-代數(shù)的交仍為-代數(shù),所以F
*為包含G的-代數(shù)。由構(gòu)造,則可知其最小性。2007-9-1郵電大學(xué)電子第一節(jié)集合代數(shù)和-代數(shù)定義1.1.3
稱(chēng)定理1.1.3中的F0是包含G
的最小-代數(shù),或者是由G生成的-代數(shù),記為(G)。例1.1.2
設(shè)A
,且A,A
則,則包含{A}的最小。-代數(shù)為A,A,,三、Borel域設(shè)=R(1)
,考慮由R(1)的一些子集組成的集合類(lèi):G={(-,a],a∈R(1)},稱(chēng)(G)為R(1)的Borel域,記為B(1)
,并稱(chēng)B
(1)中的元素為一維的Borel集。2007-9-1郵電大學(xué)電子第一節(jié)集合代數(shù)和-代數(shù)以上定義:(G)=B
(1)
,其中G={(-,a],a∈R(1)}∵
(-,a]∈
B
(1)
,
(-,b]∈
B
(1)當(dāng)b
a
,(-,b]\(-,a]=(a,b]∈B
(1)另:11n
n
n,有a,
b
1
B
,則:n1
a,
bUa,
b
1
B而:ba,b\a,b
B
12007-9-1郵電大學(xué)電子推廣情形:設(shè)
R(n)x1,x2,…xn:xi
R(1),i
1,2,…n為n維實(shí)數(shù)空間,考慮由R(n)的一些子集組成的集合類(lèi):第一節(jié)集合代數(shù)和-代數(shù)稱(chēng)(G)為R(n)上的Borel域,記作B
(n)中。
n
i
i,a
:a
R
,i
1,2,…n1
i1G2007-9-1郵電大學(xué)電子第一節(jié)集合代數(shù)和-代數(shù)四、單調(diào)類(lèi)和-系、-系實(shí)際問(wèn)題中要檢驗(yàn)一個(gè)集合類(lèi)是否為-代數(shù)比較
,但把集代數(shù)與單調(diào)類(lèi)結(jié)合起來(lái)
,會(huì)使問(wèn)題簡(jiǎn)化。定義1.1.4
設(shè)A
由的一些子集組成的非空集合類(lèi),且滿(mǎn)足:n1U1.
若
An
A,
n
1,2,…,A1
A2
…
以后表為An
,則nA
An
1
22.
若A
A,
n
1,2,…,A
A
…以后表為An,則門(mén)An
An1稱(chēng)A
是上的一個(gè)單調(diào)類(lèi)。容易證明,單調(diào)類(lèi)的交仍是單調(diào)類(lèi)。2007-9-2郵電大學(xué)電子2007-9-18郵電大學(xué)電子n121第一節(jié)集合代數(shù)和-代數(shù)定理1.1.4
設(shè)是任一非空集合,
G是由的一些子集組成的非空集合類(lèi),則存在唯一的上的單調(diào)類(lèi)0,滿(mǎn)足:1.
若G
0nk
12.
對(duì)包含G
的任一單調(diào)類(lèi)A,有0
A稱(chēng)這樣的單調(diào)類(lèi)0為包含A
的最小單調(diào)類(lèi),記為(G)定理1.1.5
-代數(shù)是單調(diào)類(lèi);若一集代數(shù)是單調(diào)類(lèi),則它是-代數(shù)。證明:若A
A
n
1,2,…
,令B
An
n
U
k.A是集代數(shù),則:Bn
A
n
1,2,…又.A是單調(diào)類(lèi),且:nB
n
1,2,…,則U
nB
A第一節(jié)集合代數(shù)和-代數(shù)定理1.1.6
若A是集代數(shù),則:(A)=(A)證明:-代數(shù)一定是單調(diào)類(lèi),(A)(A)因此只須證明(A)是一-代數(shù)。由于集代數(shù)+單調(diào)類(lèi)-代數(shù),所以只須證明它是集代數(shù)即可!
A
(A)若A,B
(A),有:A\B
(A)2的證明如下:2007-9-2郵電大學(xué)電子第一節(jié)集合代數(shù)和-代數(shù)證明:對(duì)任意的A(A),作輔助集合類(lèi):A={B:B(A),A\B,B\A
(A)}若能證明對(duì)每一個(gè)A(A),有:A=
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