概率論與隨機(jī)過(guò)程第1講

教學(xué)安排上

間共17次，概率部分約9次，隨機(jī)過(guò)程部分約7-8次筆試70%（期末考試前一月考試大綱），論文30%（題目：結(jié)合自己的專(zhuān)業(yè)，以概率論與隨機(jī)過(guò)程某個(gè)知識(shí)點(diǎn)撰寫(xiě)一篇1500字以上

，要求標(biāo)準(zhǔn)

格式，包括標(biāo)題、中英

要、正文、參考文獻(xiàn)。）2007-9-2郵電大學(xué)電子教學(xué)安排電子講稿：

/《布告欄》考試時(shí)間：見(jiàn)

院發(fā)布的考表電子郵件：b mat超星數(shù)字瀏覽器上

間：13:00-16:00pm2007-9-3郵電大學(xué)電子概率論與隨機(jī)過(guò)程知識(shí)從哪里來(lái)?必然性、偶然性知識(shí)是什么?概率論與隨機(jī)過(guò)程：隨機(jī)性、變化過(guò)程知識(shí)到哪里去?如何運(yùn)用概率論與隨機(jī)過(guò)程的理論知識(shí)解決通信中的實(shí)際問(wèn)題？2007-9-4郵電大學(xué)電子第一章概率空間首先，回顧初等概率論的一些基本概念：~隨機(jī)試驗(yàn)

E

，滿(mǎn)足如下條件：在相同條件下可重復(fù)進(jìn)行；一次試驗(yàn)結(jié)果的隨機(jī)性——不可預(yù)知性；全體可能結(jié)果的可知性。2007-9-5郵電大學(xué)電子第一章概率空間樣本空間——隨機(jī)試驗(yàn)所有可能出現(xiàn)的結(jié)果組成的集合。樣本點(diǎn)——中的元素。隨機(jī)事件——樣本空間

的子集合，稱(chēng)為事件。基本事件——中每個(gè)樣本點(diǎn)所構(gòu)成的單點(diǎn)集。必然事件——本身。不可能事件——不包含任何元素的空集合。2007-9-6郵電大學(xué)電子第一章概率空間在初等概率論中，

定義隨機(jī)事件A為樣本空間的子集，即

A

，但事實(shí)上是不是任何一個(gè)樣本點(diǎn)構(gòu)成的集合都是一個(gè)隨機(jī)事件？（舉例說(shuō)明）例：={1,2,3,4,5,6}取A

={

,

A,

A,

}容易驗(yàn)證，A為事件域，,A,A,

均為事件其中A不妨取A={1,2}，A={3,4,5,6}考慮的樣本點(diǎn)B={1}，雖然B

，但此時(shí)B并不是

所的事件（見(jiàn) 金著《概率中的反例》）2007-9-7郵電大學(xué)電子第一章概率空間稱(chēng)PA為事件Α的概率。與之對(duì)應(yīng)，記為P(A)，且滿(mǎn)足：1.0

P

A

1

（非負(fù)性）P

1（歸一性）若事件A1,A2

,…兩兩互不相容，則有：~概率的定義——若對(duì)

E

的每一個(gè)事件A，有一個(gè)實(shí)數(shù)k

1

k

1

k

PAk

（可列可加性）2007-9-8郵電大學(xué)電子第一章概率空間nnF

A

a

1

,

b

n

1,2,…

顯然，n，有：An

F但：U

An

a,b

Fn1設(shè)事件域：2007-9-9郵電大學(xué)電子第一章概率空間若把P(A)看作集合A的函數(shù)，那么象高等數(shù)學(xué)里的普通函數(shù)一樣，

須考慮A在何范圍內(nèi)，A

P(A)才有定義？這是初等概率論的遺留問(wèn)題。為此，考慮以事件A為元素的集合，稱(chēng)為集合類(lèi)或事件體，記作F

。F

的結(jié)構(gòu)？在F

上的概率如何構(gòu)造？這是本章將要的主要問(wèn)題，為此

須引入測(cè)度論的概念。2007-9-1郵電大學(xué)電子第一節(jié)集合代數(shù)和-代數(shù)一、集合代數(shù)和-代數(shù)定義1.1.1

設(shè)是任一非空集合，

A是由的一些子集組成的非空集合類(lèi)，若A

滿(mǎn)足：1.

∈

A

；若A∈A

，有A∈A

（余運(yùn)算封閉）；若A，B∈A

，有A∪B∈A

（有限并運(yùn)算封閉）；則稱(chēng)A是上的一個(gè)集合代數(shù)，簡(jiǎn)稱(chēng)集代數(shù)。容易證明集代數(shù)對(duì)有限交運(yùn)算也封閉，即：2007-9-1郵電大學(xué)電子第一節(jié)集合代數(shù)和-代數(shù)定理1.1.1

設(shè)A是由的一些子集組成的非空集合類(lèi)，則：若A是由的集代數(shù)

A是包含且對(duì)余運(yùn)算和有限交運(yùn)算封閉；若A是由的集代數(shù)

A是包含且對(duì)差運(yùn)算封閉。證明可簡(jiǎn)單闡述。a,

b

R,

a

b

A

A

R,

A

k

1例1.1.1

設(shè)

=R，則：nUk

1

2

nA

,A

,A

,…A

形如則：A是集代數(shù)。2007-9-1郵電大學(xué)電子2.

若Ak

A2007-9-18郵電k大1學(xué)電子13則稱(chēng)A是上的一個(gè)-代數(shù)。

定理1.1.2

設(shè)A是-代數(shù)，則：第一節(jié)集合代數(shù)和-代數(shù)定義1.1.2

設(shè)是任一非空集合，A是由的一些子集組成的非空集合類(lèi)，若A

滿(mǎn)足：

A2.

若A∈A

，有A∈A

（余運(yùn)算封閉）；1.

-代數(shù)A

一定是集代數(shù)；k

…，有nAk

A（可列交運(yùn)算封閉）3.

若AkA

Ak

…，有A

U

kk

1A（可列并運(yùn)算封閉）第一節(jié)集合代數(shù)和-代數(shù)設(shè)是一非空集合，F(xiàn)是由的一切子集組成的集合類(lèi)，則F是一個(gè)-代數(shù)。若A

，且A，A

則集合類(lèi)A,A,,是一個(gè)-代數(shù)。顯然，集代數(shù)的交仍是集代數(shù)；-代數(shù)的交仍是-代數(shù)。2007-9-1郵電大學(xué)電子第一節(jié)集合代數(shù)和-代數(shù)二、包含某一集合類(lèi)的最小-代數(shù)G是由的一些子集組成的非空集合類(lèi)，那么至少存在一個(gè)-代數(shù)包含G。為什么？由于F是一個(gè)-代數(shù)，且F

G。是否存在最小的-代數(shù)？若存在，是否唯一？2007-9-1郵電大學(xué)電子第一節(jié)集合代數(shù)和-代數(shù)定理1.1.3

設(shè)是任一非空集合，

G是由的一些子集組成的非空集合類(lèi)，則存在唯一的-代數(shù)F0，滿(mǎn)足：1.

G

F0

；證明：構(gòu)造F

*

=

A，即所有包含G

的-代數(shù)的交。2.

對(duì)包含G的任一-代數(shù)A，有F0

AnA

G下面說(shuō)明這樣構(gòu)成的F

*即為包含G的最小的-代數(shù)，F(xiàn)

*

=F0由構(gòu)造性可知它不僅存在而且唯一。由于-代數(shù)的交仍為-代數(shù)，所以F

*為包含G的-代數(shù)。由構(gòu)造，則可知其最小性。2007-9-1郵電大學(xué)電子第一節(jié)集合代數(shù)和-代數(shù)定義1.1.3

稱(chēng)定理1.1.3中的F0是包含G

的最小-代數(shù)，或者是由G生成的-代數(shù)，記為(G)。例1.1.2

設(shè)A

，且A，A

則，則包含{A}的最小。-代數(shù)為A,A,,三、Borel域設(shè)=R(1)

，考慮由R(1)的一些子集組成的集合類(lèi)：G={(-,a],a∈R(1)}，稱(chēng)(G)為R(1)的Borel域，記為B(1)

，并稱(chēng)B

(1)中的元素為一維的Borel集。2007-9-1郵電大學(xué)電子第一節(jié)集合代數(shù)和-代數(shù)以上定義：(G)=B

(1)

，其中G={(-,a],a∈R(1)}∵

(-,a]∈

B

(1)

，

(-,b]∈

B

(1)當(dāng)b

a

，(-,b]\(-,a]=(a,b]∈B

(1)另：11n

n

n，有a,

b

1

B

，則：n1

a,

bUa,

b

1

B而：ba,b\a,b

B

12007-9-1郵電大學(xué)電子推廣情形：設(shè)

R(n)x1,x2,…xn:xi

R(1),i

1,2,…n為n維實(shí)數(shù)空間，考慮由R(n)的一些子集組成的集合類(lèi)：第一節(jié)集合代數(shù)和-代數(shù)稱(chēng)(G)為R(n)上的Borel域，記作B

(n)中。

n

i

i,a

:a

R

,i

1,2,…n1

i1G2007-9-1郵電大學(xué)電子第一節(jié)集合代數(shù)和-代數(shù)四、單調(diào)類(lèi)和-系、-系實(shí)際問(wèn)題中要檢驗(yàn)一個(gè)集合類(lèi)是否為-代數(shù)比較

，但把集代數(shù)與單調(diào)類(lèi)結(jié)合起來(lái)

，會(huì)使問(wèn)題簡(jiǎn)化。定義1.1.4

設(shè)A

由的一些子集組成的非空集合類(lèi)，且滿(mǎn)足：n1U1.

若

An

A,

n

1,2,…，A1

A2

…

以后表為An

，則nA

An

1

22.

若A

A,

n

1,2,…，A

A

…以后表為An，則門(mén)An

An1稱(chēng)A

是上的一個(gè)單調(diào)類(lèi)。容易證明，單調(diào)類(lèi)的交仍是單調(diào)類(lèi)。2007-9-2郵電大學(xué)電子2007-9-18郵電大學(xué)電子n121第一節(jié)集合代數(shù)和-代數(shù)定理1.1.4

設(shè)是任一非空集合，

G是由的一些子集組成的非空集合類(lèi)，則存在唯一的上的單調(diào)類(lèi)0，滿(mǎn)足：1.

若G

0nk

12.

對(duì)包含G

的任一單調(diào)類(lèi)A，有0

A稱(chēng)這樣的單調(diào)類(lèi)0為包含A

的最小單調(diào)類(lèi)，記為(G)定理1.1.5

-代數(shù)是單調(diào)類(lèi)；若一集代數(shù)是單調(diào)類(lèi)，則它是-代數(shù)。證明：若A

A

n

1,2,…

，令B

An

n

U

k．A是集代數(shù)，則：Bn

A

n

1,2,…又．A是單調(diào)類(lèi)，且：nB

n

1,2,…，則U

nB

A第一節(jié)集合代數(shù)和-代數(shù)定理1.1.6

若A是集代數(shù)，則：(A)=(A)證明：-代數(shù)一定是單調(diào)類(lèi)，(A)(A)因此只須證明(A)是一-代數(shù)。由于集代數(shù)+單調(diào)類(lèi)-代數(shù)，所以只須證明它是集代數(shù)即可！

A

(A)若A，B

(A)，有：A\B

(A)2的證明如下：2007-9-2郵電大學(xué)電子第一節(jié)集合代數(shù)和-代數(shù)證明：對(duì)任意的A(A)，作輔助集合類(lèi)：A={B：B(A)，A\B，B\A

(A)}若能證明對(duì)每一個(gè)A(A)，有：A=