二輪復(fù)習(xí) 極值點偏移問題利器-極值點偏移判定定理 學(xué)案(全國通用)

一、

極值點偏移的判定定理對于可導(dǎo)函數(shù)，在區(qū)間上只有一個極大（?。┲迭c，方程的解分別為，且，（1）若，則，即函數(shù)在區(qū)間上極（?。┐笾迭c右（左）偏；（2）若，則，即函數(shù)在區(qū)間上極（?。┐笾迭c右（左）偏.證明：

（1）因為對于可導(dǎo)函數(shù)，在區(qū)間上只有一個極大（?。┲迭c，則函數(shù)的單調(diào)遞增（減）區(qū)間為，單調(diào)遞減（增）區(qū)間為，由于，有，且，又，故，所以，即函數(shù)極（小）大值點右（左）偏；（2）證明略.左快右慢（極值點左偏）

左慢右快（極值點右偏）左快右慢（極值點左偏）

左慢右快（極值點右偏）二、運用判定定理判定極值點偏移的方法1、方法概述：（1）求出函數(shù)的極值點；（2）構(gòu)造一元差函數(shù)；（3）確定函數(shù)的單調(diào)性；（4）結(jié)合，判斷的符號，從而確定、的大小關(guān)系.口訣：極值偏離對稱軸，構(gòu)造函數(shù)覓行蹤；四個步驟環(huán)相扣，兩次單調(diào)緊跟隨.2、抽化模型答題模板：若已知函數(shù)滿足，為函數(shù)的極值點，求證：.（1）討論函數(shù)的單調(diào)性并求出的極值點；假設(shè)此處在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.（2）構(gòu)造；注：此處根據(jù)題意需要還可以構(gòu)造成的形式.（3）通過求導(dǎo)討論的單調(diào)性，判斷出在某段區(qū)間上的正負，并得出與的大小關(guān)系；假設(shè)此處在上單調(diào)遞增，那么我們便可得出，從而得到：時，.（4）不妨設(shè)，通過的單調(diào)性，，與的大小關(guān)系得出結(jié)論；接上述情況，由于時，且，，故，又因為，且在上單調(diào)遞減，從而得到，從而得證.（5）若要證明，還需進一步討論與的大小，得出所在的單調(diào)區(qū)間，從而得出該處函數(shù)導(dǎo)數(shù)值的正負，從而結(jié)論得證.此處只需繼續(xù)證明：因為，故，由于在上單調(diào)遞減，故.【說明】（1）此類試題由于思路固定，所以通常情況下求導(dǎo)比較復(fù)雜，計算時須細心；（2）此類題目若試題難度較低，會分解為三問，前兩問分別求的單調(diào)性、極值點，證明與（或與）的大小關(guān)系；若試題難度較大，則直接給出形如或的結(jié)論，讓你給予證明，此時自己應(yīng)主動把該小問分解為三問逐步解題.三、對點詳析，利器顯鋒芒★已知函數(shù).(1)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間和極值；(2)若，且，證明：.∵，∴，在上單調(diào)遞增，∴，∴.&★函數(shù)與直線交于、兩點.證明：.★已知函數(shù)，若，且，證明：.【解析】由函數(shù)單調(diào)性可知：若，則必有，。所以，而，令，