二次函數(shù)與單線段最值問題-2023年中考數(shù)學(xué)壓軸題（全國通用）（原卷）

挑戰(zhàn)2023年中考數(shù)學(xué)壓軸題之學(xué)霸秘笈大揭秘（全國通用）專題11二次函數(shù)與單線段最值問題

【例1】（2022?襄陽）在平面直角坐標(biāo)系中，直線y＝mx﹣2m與x軸，y軸分別交于A，B兩點，頂點為D的拋物線y＝﹣x2+2mx﹣m2+2與y軸交于點C．（1）如圖，當(dāng)m＝2時，點P是拋物線CD段上的一個動點．①求A，B，C，D四點的坐標(biāo)；②當(dāng)△PAB面積最大時，求點P的坐標(biāo)；（2）在y軸上有一點M（0，m），當(dāng)點C在線段MB上時，①求m的取值范圍；②求線段BC長度的最大值．【例2】（2022?湖州）如圖1，已知在平面直角坐標(biāo)系xOy中，四邊形OABC是邊長為3的正方形，其中頂點A，C分別在x軸的正半軸和y軸的正半軸上．拋物線y＝﹣x2+bx+c經(jīng)過A，C兩點，與x軸交于另一個點D．（1）①求點A，B，C的坐標(biāo)；②求b，c的值．（2）若點P是邊BC上的一個動點，連結(jié)AP，過點P作PM⊥AP，交y軸于點M（如圖2所示）．當(dāng)點P在BC上運動時，點M也隨之運動．設(shè)BP＝m，CM＝n，試用含m的代數(shù)式表示n，并求出n的最大值．【例3】（2021?青海）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，直線y＝x+2與坐標(biāo)軸交于A，B兩點，點A在x軸上，點B在y軸上，C點的坐標(biāo)為（1，0），拋物線y＝ax2+bx+c經(jīng)過點A，B，C．（1）求拋物線的解析式；（2）根據(jù)圖象寫出不等式ax2+（b﹣1）x+c＞2的解集；（3）點P是拋物線上的一動點，過點P作直線AB的垂線段，垂足為Q點．當(dāng)PQ＝時，求P點的坐標(biāo)．【例4】（2022?雅安）已知二次函數(shù)y＝ax2+bx+c的圖象過點A（﹣1，0），B（3，0），且與y軸交于點C（0，﹣3）．（1）求此二次函數(shù)的表達式及圖象頂點D的坐標(biāo)；（2）在此拋物線的對稱軸上是否存在點E，使△ACE為Rt△，若存在，試求點E的坐標(biāo)，若不存在，請說明理由；（3）在平面直角坐標(biāo)系中，存在點P，滿足PA⊥PD，求線段PB的最小值．1．（2020?河北模擬）已知拋物線C：y＝ax2+bx+c（a＞0，c＜0）的對稱軸為x＝4，C為頂點，且A（2，0），C（4，﹣2）【問題背景】求出拋物線C的解析式．【嘗試探索】如圖2，作點C關(guān)于x軸的對稱點C′，連接BC′，作直線x＝k交BC′于點M，交拋物線C于點N．①連接ND，若四邊形MNDC′是平行四邊形，求出k的值．②當(dāng)線段MN在拋物線C與直線BC′圍成的封閉圖形內(nèi)部或邊界上時，請直接寫出線段MN的長度的最大值．【拓展延伸】如圖4，作矩形HGOE，且E（﹣3，0），H（﹣3，4），現(xiàn)將其沿x軸以1個單位每秒的速度向右平移，設(shè)運動時間為t，得到矩形H′G′O′E′，連接AC′，若矩形H′G′O′E′與直線AC′和拋物線C圍成的封閉圖形有公共部分，請求出t的取值范圍．2．（2018秋?寧城縣期末）已知，如圖，拋物線與x軸交點坐標(biāo)為A（1，0），C（﹣3，0），（1）如圖1，已知頂點坐標(biāo)D為（﹣1，4）或B點（0，3），選擇適當(dāng)方法求拋物線的解析式；（2）如圖2，在拋物線的對稱軸DH上求作一點M，使△ABM的周長最小，并求出點M的坐標(biāo)；（3）如圖3，將圖2中的對稱軸向左移動，交x軸于點P（m，0）（﹣3＜m＜﹣1），與拋物線，線段BC的交點分別為點E、F，用含m的代數(shù)式表示線段EF的長度，并求出當(dāng)m為何值時，線段EF最長．3．（2021?橋西區(qū)模擬）如圖1，拋物線y＝ax2+bx+3與x軸交于A（﹣1，0），B兩點，與y軸交于點C，且CO＝BO，連接BC．（1）求拋物線的解析式；（2）如圖2，拋物線的頂點為D，其對稱軸與線段BC交于點E，求線段DE的長度；（3）如圖3，垂直于x軸的動直線l分別交拋物線和線段BC于點P和點F，連接CP，CD，拋物線上是否存在點P，使△CDE∽△PCF，如果存在，求出點P的坐標(biāo)，如果不存在，請說明理由．4．（2022?和平區(qū)二模）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，已知拋物線頂點A的坐標(biāo)為（﹣2，4），且經(jīng)過坐標(biāo)原點，與x軸負半軸交于點B．（1）求拋物線的函數(shù)表達式并直接寫出點B的坐標(biāo)；（2）過點A作AC⊥x軸于點C，若點D是y軸左側(cè)的拋物線上一個動點（點D與點A不重合），過點D作DE⊥x軸于點E，連接AO，DO，當(dāng)以A，O，C為頂點的三角形與以D，O，E為頂點的三角形相似時，求點D的坐標(biāo)；（3）在（2）的條件下，當(dāng)點D在第二象限時，在平面內(nèi)存在一條直線，這條直線與拋物線在第二象限交于點F，在第三象限交于點G，且點A，點B，點D，到直線FG的距離都相等，請直接寫出線段FG的長．5．（2022?鹿城區(qū)校級二模）如圖，拋物線y＝x2+bx+c與x軸交于點A（﹣1，0），B（5，0），與y軸交于點C．（1）求拋物線的解析式和頂點D的坐標(biāo)．（2）連結(jié)AD，點E是對稱軸與x軸的交點，過E作EF∥AD交拋物線于點F（F在E的右側(cè)），過點F作FG∥x軸交ED于點H，交AD于點G，求HF的長．6．（2021?南崗區(qū)模擬）如圖，拋物線y＝ax2+bx﹣4交x軸于點A（﹣3，0），B（4，0），交y軸于點C．（1）求拋物線的解析式；（2）點P為第一象限拋物線上一點，過點P作x軸的平行線，與拋物線的另一個交點為點G，連接CG交x軸于點N，設(shè)點P的橫坐標(biāo)為t，ON的長為d，求d與t之間的函數(shù)解析式（不要求寫出自變量t的取值范圍）；（3）在（2）的條件下，連接PB，將線段PB繞著點P順時針旋轉(zhuǎn)90°得到線段PD，點D恰好落在y軸上，點E在線段OB上，連接PE，點Q在EB的延長線上，且EQ＝PE，連接DQ交PE于點F，若PE＝3PF，求QN的長．7．（2021?涼山州模擬）如圖1，在平面直角坐標(biāo)系中，已知B點坐標(biāo)為（1，0），且OA＝OC＝3OB，拋物線y＝ax2+bx+c（a≠0）圖象經(jīng)過A，B，C三點，其中D點是該拋物線的頂點．（1）求拋物線的解析式；（2）判斷△ADC的形狀并且求△ADC的面積；（3）如圖2，點P是該拋物線第三象限部分上的一個動點，過P點作PE⊥AC于E點，當(dāng)PE的值最大時，求此時P點的坐標(biāo)及PE的最大值．8．（2022?無錫二模）已知拋物線y＝mx2﹣2mx+3（m＜0）與x軸交于A、B兩點（點A在點B的左側(cè)），與y軸交于點C，且OB＝3OA．（1）求拋物線的函數(shù)表達式；（2）若M、N是第一象限的拋物線上不同的兩點，且△BCN的面積總小于△BCM的面積，求點M的坐標(biāo)；（3）若D為拋物線的頂點，P為第二象限的拋物線上的一點，連接BP、DP，分別交y軸于點E、F，若EF＝OC，求點P的坐標(biāo)．9．（2021?乳源縣三模）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，已知拋物線y＝ax2+bx+c與x軸交于A（5，0），B（﹣1，0）兩點，與y軸交于點C（0，）．（1）求拋物線的解析式；（2）若點M是拋物線的頂點，連接AM，CM，求△AMC的面積；（3）若點P是拋物線上的一個動點，過點P作PE垂直y軸于點E，交直線AC于點D，過點D作x軸的垂線，垂足為點F，連接EF，當(dāng)線段EF的長度最短時，求出點P的坐標(biāo)．10．（2021?河池）在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y＝﹣（x﹣1）2+4與x軸交于A，B兩點（A在B的右側(cè)），與y軸交于點C．（1）求直線CA的解析式；（2）如圖，直線x＝m與拋物線在第一象限交于點D，交CA于點E，交x軸于點F，DG⊥CA于點G，若E為GA的中點，求m的值．（3）直線y＝nx+n與拋物線交于M（x1，y1），N（x2，y2）兩點，其中x1＜x2．若x2﹣x1＞3且y2﹣y1＞0，結(jié)合函數(shù)圖象，探究n的取值范圍．11．（2021?桂林）如圖，已知拋物線y＝a（x﹣3）（x+6）過點A（﹣1，5）和點B（﹣5，m），與x軸的正半軸交于點C．（1）求a，m的值和點C的坐標(biāo)；（2）若點P是x軸上的點，連接PB，PA，當(dāng)＝時，求點P的坐標(biāo)；（3）在拋物線上是否存在點M，使A，B兩點到直線MC的距離相等？若存在，求出滿足條件的點M的橫坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．12．（2021?吉林）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，二次函數(shù)y＝x2+bx+c的圖象經(jīng)過點A（0，﹣），點B（1，）．（1）求此二次函數(shù)的解析式；（2）當(dāng)﹣2≤x≤2時，求二次函數(shù)y＝x2+bx+c的最大值和最小值；（3）點P為此函數(shù)圖象上任意一點，其橫坐標(biāo)為m，過點P作PQ∥x軸，點Q的橫坐標(biāo)為﹣2m+1．已知點P與點Q不重合，且線段PQ的長度隨m的增大而減?。偾髆的取值范圍；②當(dāng)PQ≤7時，直接寫出線段PQ與二次函數(shù)y＝x2+bx+c（﹣2≤x＜）的圖象交點個數(shù)及對應(yīng)的m的取值范圍．13．（2020?武漢模擬）已知：在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y＝ax2﹣2ax﹣3a交x軸于A、B兩點（點A在點B的左邊），交y軸負半軸于點C．（1）則點A的坐標(biāo)為，點B的坐標(biāo)為．（2）如圖1，過點A的直線y＝ax+a交y軸正半軸于點F，交拋物線于點D，過點B作BE∥y軸交AD于E，求證：AF＝DE．（3）如圖2，直線DE：y＝kx+b與拋物線只有一個交點D，與對稱軸交于點E，對稱軸上存在點F，滿足DF＝FE．若a＝1，求點F坐標(biāo)．14．（2020?哈爾濱模擬）如圖，拋物線y＝ax2+bx+5經(jīng)過坐標(biāo)軸上A、B和C三點，連接AC，tanC＝，5OA＝3OB．（1）求拋物線的解析式；（2）點Q在第四象限的拋物線上且橫坐標(biāo)為t，連接BQ交y軸于點E，連接CQ、CB，△BCQ的面積為S，求S與t的函數(shù)解析式；（3）已知點D是拋物線的頂點，連接CQ，DH所在直線是拋物線的對稱軸，連接QH，若∠BQC＝45°，HR∥x軸交拋物線于點R，HQ＝HR，求點R的坐標(biāo)．15．（2019?衡陽）如圖，二次函數(shù)y＝x2+bx+c的圖象與x軸交于點A（﹣1，0）和點B（3，0），與y軸交于點N，以AB為邊在x軸上方作正方形ABCD，點P是x軸上一動點，連接CP，過點P作CP的垂線與y軸交于點E．（1）求該拋物線的函數(shù)關(guān)系表達式；（2）當(dāng)點P在線段OB（點P不與O、B重合）上運動至何處時，線段OE的長有最大值？并求出這個最大值；（3）在第四象限的拋物線上任取一點M，連接MN、MB．請問：△MBN的面積是否存在最大值？若存在，求出此時點M的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．16．（2020?天津）已知點A（1，0）是拋物線y＝ax2+bx+m（a，b，m為常數(shù)，a≠0，m＜0）與x軸的一個交點．（Ⅰ）當(dāng)a＝1，m＝﹣3時，求該拋物線的頂點坐標(biāo)；（Ⅱ）若拋物線與x軸的另一個交點為M（m，0），與y軸的交點為C，過點C作直線l平行于x軸，E是直線l上的動點，F(xiàn)是y軸上的動點，EF＝2．①當(dāng)點E落在拋物線上（不與點C重合），且AE＝EF時，求點F的坐標(biāo)；②取EF的中點N，當(dāng)m為何值時，MN的最小值是？17．（2020?涼山州）如圖，二次函數(shù)y＝ax2+bx+c的圖象過O（0，0）、A（1，0）、B（，）三點．（1）求二次函數(shù)的解析式；（2）若線段OB的垂直平分線與y軸交于點C，與二次函數(shù)的圖象在x軸上方的部分相交于點D，求直線CD的解析式；（3）在直線CD下方的二次函數(shù)的圖象上有一動點P，過點P作PQ⊥x軸，交直線CD于Q，當(dāng)線段PQ的長最大時，求點P的坐標(biāo)．18．（2020?濱州）如圖，拋物線的頂點為A（h，﹣1），與y軸交于點B（0，﹣），點F（2，1）為其對稱軸上的一個定點．（1）求這條拋物線的函數(shù)解析式；（2）已知直線l是過點C（0，﹣3）且垂直于y軸的定直線，若拋物線上的任意一點P（m，n）到直線l的距離為d，求證：PF＝d；（3）已知坐標(biāo)平面內(nèi)的點D（4，3），請在拋物線上找一點Q，使△DFQ的周長最小，并求此時△DFQ周長的最小值及點Q的坐標(biāo)．19．（2016?巴彥淖爾）如圖所示，拋物線y＝ax2﹣x+c經(jīng)過原點O與點A（6，0）兩點，過點A作AC⊥x軸，交直線y＝2x﹣2于點C，且直線y＝2x﹣2與x軸交于點D．（1）求拋物線的解析式，并求出點C和點D的坐標(biāo)；（2）求點A關(guān)于直線y＝2x﹣2的對稱點A′的坐標(biāo)，并