基于MATLAB自動控制系統(tǒng)時域頻域分析與仿真

PAGEIV基于MATLAB的自動控制系統(tǒng)時域頻域分析與仿真摘要自動控制系統(tǒng)就是在無人直接操作或干預的條件下，通過控制裝置使控制對象自動的按照給定的規(guī)律運行，使被控量按照給定的規(guī)律去變化的系統(tǒng)。在現代工業(yè)生產中，自動控制系統(tǒng)已經遍布每一個角落，對于線性時不變控制系統(tǒng)，可以通過時域、頻域分析法來分析系統(tǒng)的性能，但是對于多輸入多輸出的控制系統(tǒng)，時域、頻域分析已經無能為力，鑒于這樣的控制系統(tǒng)，可以通過線性系統(tǒng)的狀態(tài)空間分析法來分析。本文針對自動控制系統(tǒng)的設計很大程度上還依賴于實際系統(tǒng)的反復實驗，結合具體的實例,介紹了利用先進的MATLAB軟件對自動控制系統(tǒng)進行時域、頻域分析與仿真和線性系統(tǒng)狀態(tài)空間分析的方法，通過快速直觀的仿真和分析達到自動控制系統(tǒng)的優(yōu)化。關鍵詞:MATLAB自動控制系統(tǒng)時域頻域狀態(tài)空間

ABSTRACTAutomaticcontrolsystemmakesobjectoperateaccordingtoacertainlawautomaticallytoletthecontrolledquantitychangebygivenlawontheconditionthatnobodyoperateandcontroldirectly.Automaticcontrolsystemexistseverycorneroftheworldinthemodernindustrializedproduction,whichcananalyzetheperformanceofthesystembytimedomainandfrequencydomainforthelineartime-invariantcontrolsystems.However,tothesystemwithmultipleinputsandmultipleoutputs,thewaytoanalyzethroughtimedomainandfrequencydomaincannotdoanything.Duetothecontrolsystem,itcananalyzethroughlinearsystemstatespace.Duetothispointthatthedesignofautomaticcontrolsystemlargelydependsonrepeatedpracticeandmodification,combinedwiththeconcreteexample,thispaperintroducesthewaystoanalyzeandsimulatethetimedomainandfrequencydomainandlinearsystemstatespaceofautomaticcontrolsystembyadvancedMATLAB,itcanreachtheoptimalofautomaticcontrolsystembydirectandfast.Keywords:MATLABAutomaticcontrolsystemTimedomainFrequency目錄一緒論 11.1題目背景、研究意義 11.2國內外研究現狀 11.3研究內容 1二自動控制系統(tǒng)基礎 22.1自動控制系統(tǒng)的概述 22.2開環(huán)、閉環(huán)控制系統(tǒng) 22.3控制系統(tǒng)的性能要求 3三MATLAB基礎介紹 43.1MATLAB簡介 43.2Simulink簡介 43.3Simulink仿真過程 43.4Simulink仿真實例 5四自動控制系統(tǒng)的時域分析 74.1時域分析簡介 74.2動態(tài)過程與動態(tài)性能 5751256\h74.3穩(wěn)態(tài)過程與穩(wěn)態(tài)性能 74.4控制系統(tǒng)的穩(wěn)定性 84.5時域分析法的MATLAB實現 84.5.1控制系統(tǒng)的動態(tài)性能分析 84.5.2控制系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)性能分析 104.5.3控制系統(tǒng)的穩(wěn)定性分析 11五自動控制系統(tǒng)的頻域分析 135.1頻域分析法簡介 135.2有關頻率分析法的幾個概念 13HYPERLINK\l"_Toc325751275"5.3頻率特性的性能指標 135.4頻域分析法的MATLAB實現 145.4.1Bode圖的繪制 145.4.2Bode圖分析控制系統(tǒng)的穩(wěn)定性 15六線性系統(tǒng)的狀態(tài)空間分析 186.1狀態(tài)空間模型 186.2狀態(tài)反饋 186.3控制系統(tǒng)的可控性和可觀性 196.3.1控制系統(tǒng)的可控性 196.3.2控制系統(tǒng)的可觀性 206.4極點配置 216.4.1極點配置簡介 216.4.2單輸入單輸出系統(tǒng)的極點配置 21七總結 24參考文獻 25合肥師范學院2012屆本科生畢業(yè)論文(設計)PAGE25合肥師范學院2012屆本科生畢業(yè)論文(設計)PAGE1一緒論1.1題目背景、研究意義自動控制技術在航空航天、機器人控制、導彈制造及等高新技術領域中的應用越來越深入廣泛，自動控制理論和技術必將進一步發(fā)揮更加重要的作用。由于有些系統(tǒng)不可能直接進行實驗，只能對其進行仿真，MATLAB語言的出現為控制系統(tǒng)的仿真和分析帶來全新的手段，MATLAB仿真已經成為控制系統(tǒng)分析和設計的重要應用手段，利用MATLAB軟件中的仿真工具箱來實現自動控制系統(tǒng)時域和頻域分析、狀態(tài)空間分析，能夠直觀、快速地分析達到系統(tǒng)的正確評價。1.2國內外研究現狀自動控制理論是隨著人類的發(fā)展而發(fā)展的，并隨著生產力的提高和科技的進步而不斷完善的。1868年，麥克斯韋開辟了用數學途徑研究控制系統(tǒng)的方法，奠定了時域分析法的基礎。1932年，美國物理學家建立了穩(wěn)定性判斷準則，奠定了頻率分析法的基礎。隨后伯德進一步加以發(fā)展，形成了經典控制理論中的頻域分析法。到20世紀60年代，以狀態(tài)方程為系統(tǒng)的數學模型，最優(yōu)控制為核心的控制方法確定，現代控制理論由此而產生，控制理論目前還在向更深的領域發(fā)展，在控制科學研究中注入了蓬勃的生命力[1]。MATLAB是一種面向科學和工程計算的高級軟件，它提供了豐富的函數和矩陣處理功能，使用極其方便，因而很快引起控制理論領域研究人員的重視。MATLAB中的Simulink使復雜系統(tǒng)的仿真成為可能，MATLAB把一般目的的應用和高深的專業(yè)應用完美的結合在一起，成為國際性的計算軟件。1.3研究內容1、熟悉自動控制系統(tǒng)理論和MATLAB軟件。2、了解MATLAB軟件的編程思路與方法，并熟悉Simulink建模和仿真過程。3、完成使用MATLAB軟件對自動控制系統(tǒng)進行時域、頻域分析與仿真和線性系統(tǒng)狀態(tài)空間分析的方法，編寫相關程序。4、對仿真結果進行分析，評價控制系統(tǒng)的性能。二自動控制系統(tǒng)基礎2.1自動控制系統(tǒng)的概述在現代社會生產過程中，為了提高產品的質量，需要對生產設備和生產過程進行自動控制，使被控的量按照期望的規(guī)律去變化。這些被控制的設備稱為控制對象，被控制的量稱為被控量或輸出量。生產設備或生產過程中，一般只考慮對輸出量影響最大的物理量，這些量稱為輸入量。輸入量可以分為兩種類型,一種保證對象的行為達到所要求的目標，這類輸入量稱為控制量。另一種是妨礙對象的行為達到目標，這一類輸入量稱為擾動量。自動控制系統(tǒng)是在無人直接參與的情況下，可使生產過程按照期望的運行規(guī)律去運行的控制系統(tǒng)。系統(tǒng)是完成要求和任務的部分的組合[2]。2.2開環(huán)、閉環(huán)控制系統(tǒng)如果控制系統(tǒng)的輸出量對系統(tǒng)運行過程或結果沒有控制作用，這種系統(tǒng)稱為開環(huán)控制系統(tǒng)。圖2-1表示了開環(huán)控制系統(tǒng)輸入量與輸出量之間的關系。輸入量輸入量輸出量擾動量控制器控制對象圖2-1開環(huán)控制系統(tǒng)示意圖這里，輸入量直接作用于控制對象，不需要將輸出量反饋到輸入端與輸入量進行比較，所以只有輸入量影響輸出量。當出現擾動時，若沒有人的干預，輸出量將不能按照輸入量所希望的狀態(tài)工作。閉環(huán)控制系統(tǒng)是把輸出量檢測出來，再反饋到輸入端與輸入量進行相減或者相加，利用比較后的偏差信號，經過控制器對控制對象進行控制的系統(tǒng)。圖2-2表示了閉環(huán)控制系統(tǒng)輸入量、輸出量和反饋量之間的關系。擾動量擾動量——反饋量輸出量輸入量偏差控制器控制對象檢測裝置圖2-2閉環(huán)控制系統(tǒng)示意圖這種系統(tǒng)把輸出量經檢查后，變成輸入量相同的物理量反饋到輸入端形成閉環(huán)，參與系統(tǒng)的控制，所以稱為閉環(huán)控制系統(tǒng)。由于系統(tǒng)是根據負反饋原理按偏差進行控制的，所以也稱為反饋系統(tǒng)或偏差控制系統(tǒng)。2.3控制系統(tǒng)的性能要求在控制過程中，當擾動量發(fā)生變化時，通過反饋控制的作用，經過短暫的過渡過程，被控量又恢復到原來的穩(wěn)定值，或按照新的給定量穩(wěn)定下來，這時系統(tǒng)從原來的平衡狀態(tài)過渡到新的平衡狀態(tài)，我們把被控量處于變化的狀態(tài)稱為動態(tài)或暫態(tài)，而把被控量在相對穩(wěn)定的狀態(tài)稱為靜態(tài)或穩(wěn)態(tài)。對控制系統(tǒng)性能有三個方面的要求[3]。1、穩(wěn)定性穩(wěn)定性定義為系統(tǒng)受到外擾或內擾作用以后，恢復原來狀態(tài)或形成新的平衡狀態(tài)的能力。穩(wěn)定是系統(tǒng)正常工作的首要條件。2、快速性自動控制系統(tǒng)不僅要滿足動態(tài)性能的要求，還應能滿足暫態(tài)性能的要求。為了滿足生產過程中的要求，往往要求系統(tǒng)暫態(tài)過程不但是穩(wěn)定的，而且進行得越快越好，振蕩程度越小越好。3、準確性穩(wěn)態(tài)誤差是指系統(tǒng)達到穩(wěn)定時，輸出量的實際值和期望值之間的誤差。這一性能反映了穩(wěn)定時系統(tǒng)的控制精度，穩(wěn)態(tài)誤差越小，系統(tǒng)性能越好。給定穩(wěn)態(tài)誤差是在參考輸入信號的作用下，當系統(tǒng)達到穩(wěn)定后，其穩(wěn)態(tài)輸出與參考輸入所要求的期望輸出之差。三MATLAB基礎介紹3.1MATLAB簡介MATLAB程序設計語言是MathWorks公司于20世紀80年代推出的高性能的數值矩陣計算軟件。其功能強大，適用范圍廣泛，提供了豐富的庫函數，編程簡單、易懂、效率高。MATLAB無論作為科學研究與工程運算的工具，還是作為控制系統(tǒng)方陣的教學工具，都是必不可少的。目前，MATLAB已經成為國際學術界公認的最流行的科學計算軟件。MATLAB主要由以下三個部分組成，下面分別加以介紹[4]。1、MATLAB圖形處理系統(tǒng)這是MATLAB圖形系統(tǒng)的基礎，它包括生成二維數據和三維數據可視化、圖像處理、動畫及演示圖形和創(chuàng)建完整的圖形用戶接口的命令。2、MATLAB數學函數庫MATLAB提供了非常豐富的數學計算函數，可以進行簡單和復雜的數學計算，比如矩陣求逆、級數求和、貝塞爾函數和快速傅里葉變換等。3、MATLAB應用程序接口MATLAB用戶能夠在MATLAB環(huán)境中使用其它程序，也可以從MATLAB中調用其它程序。3.2Simulink簡介MATLAB除了在工具箱中提供一些具有特殊功能的函數命令供用戶使用外，還為用戶提供一個建模與仿真的工作平臺Simulink。Simulink采用模塊組合的方法來創(chuàng)建系統(tǒng)的計算機模型，在這個環(huán)境中，用戶無需大量的書寫程序，而只需通過簡單的鼠標操作，選取所需要的庫模塊，就可以構造出復雜的仿真系統(tǒng)。其主要特點是快速、準確。對于復雜的非線性系統(tǒng)，效果更為明顯。3.3Simulink仿真過程在Simulink模塊庫中選取所需的模塊，按照要求把所選模塊連接好，就可以進行仿真實驗，其仿真過程分為兩個階段。1、初始化階段(1)對模型的參數進行有效的評估，得到它們實際的計算值。(2)展開模型中的各個層次。(3)按照更新的層次對模型進行排序。2、模型執(zhí)行階段(1)按照次序依次計算每個模塊的積分。(2)根據輸入來決定狀態(tài)的微分，得到微分矢量，以計算下一個采樣點的狀態(tài)矢量。3.4Simulink仿真實例在社會中，控制系統(tǒng)的結構是復雜，如果不借用控制系統(tǒng)建模與仿真軟件，則很難把一個控制系統(tǒng)的復雜模型輸入給計算機[5]。下面結合具體的實例，介紹Simulink中控制系統(tǒng)建模和仿真的一般方法。【例3-1】用Simulink建立一個如圖3-1所示的典型PID控制系統(tǒng)的模型，并進行仿真。方框圖中第一個方框為PID控制器的積分和微分環(huán)節(jié)，這些環(huán)節(jié)可以用比例加積分和比例加微分的方式來實現。yy(t)R(t)_+K++Ks圖3-1典型PID控制系統(tǒng)的方框圖仿真步驟：1、啟動Simulink，彈出Simulink窗口，打開一個新的編輯窗口。2、在Simulink窗口中單擊Simulink中的Sources，把Step(階躍輸入)模塊添加到編輯窗口內建立一個階躍輸入模型。3、在MathOperations模塊庫中選出Grain(比例)模塊、Sum（加減）模塊和Add（加法）模塊，并添加到編輯窗口中。4、在Continuous模塊庫中選出Integrator(積分)模塊、Derivative(微分)模塊和TransferFcn（傳遞函數）模型，并添加到編輯窗口中。5、在Sinks模塊庫中選出Out1（輸出）模塊，并添加到編輯窗口中。6、按照要求設置所選模塊的參數，最后將整個模型連接起來，如圖3-2所示，也就是仿真所需的模型。圖3-2PID控制系統(tǒng)模型的Simulink實現仿真的結果如下圖：圖3-3PID控制系統(tǒng)仿真結果由圖3-3可知：上升時間s；延時時間s；峰值時間s，此值較大，說明系統(tǒng)對輸入信號的反映能力弱；調整時間s，此值較大，系統(tǒng)的響應慢，說明輸出信號復現輸入信號的能力弱；超調量%=13.5%，此值小，說明系統(tǒng)的平穩(wěn)性好。四自動控制系統(tǒng)的時域分析4.1時域分析簡介時域分析法是根據微分方程，利用拉氏變換直接求出系統(tǒng)的時間響應，然后按照響應曲線來分析系統(tǒng)的性能，是一種直接在時域中對系統(tǒng)進行分析的方法，具有直觀和準確的優(yōu)點。控制系統(tǒng)時域分析法最常用的方法有兩種：一是當輸入為單位階躍信號時，求出系統(tǒng)的響應；二是當輸入為單位沖激信號時，求出系統(tǒng)的響應[6]。4.2動態(tài)過程與動態(tài)性能動態(tài)過程又稱為過渡過程或瞬態(tài)過程，是指系統(tǒng)在典型輸入信號作用下，其輸出量從初始狀態(tài)到最終狀態(tài)的響應過程。通常，在單位階躍信號作用下，穩(wěn)定系統(tǒng)的動態(tài)過程隨時間t變化的指標稱為動態(tài)性能指標。控制系統(tǒng)的動態(tài)性能指標一般有以下幾個：1、上升時間系統(tǒng)響應從零首次上升到穩(wěn)態(tài)值h(∞)所需的時間定義為上升時間。2、延時時間從輸入信號開始施加時起，系統(tǒng)輸出時間響應第一次達到穩(wěn)態(tài)值50%所需要的時間定義為延時時間。3、峰值時間系統(tǒng)響應超過其終值達到第一個峰值所需要的時間定義為峰值時間。它反映了系統(tǒng)對輸入信號反應的快速性，值越小，系統(tǒng)對輸入信號反映越快。4、調整時間響應達到并保持在終值±2%或±5%誤差內所需要的最短時間定義為調節(jié)時間。在默認情況下MATLAB計算動態(tài)性能時，取誤差范圍為±2%。它反應了動態(tài)過程進行得快慢，是系統(tǒng)快速性指標，值越小，系統(tǒng)的快速性就越好。5、超調量%響應的最大偏差量h(t)與終值h(∞)的差與終值h(∞)之比的百分數，定義為超調量，即:(4-1)它反應了動態(tài)過程的平穩(wěn)性，值越小，平穩(wěn)性越好。 4.3穩(wěn)態(tài)過程與穩(wěn)態(tài)性能穩(wěn)態(tài)過程又稱為穩(wěn)態(tài)響應，指系統(tǒng)在典型輸入信號作用下，當時間t趨于無窮大時，系統(tǒng)輸出量的表現方式。它表現系統(tǒng)輸出量最終復現輸入量的程度，提供系統(tǒng)有關穩(wěn)態(tài)誤差的信息[7]。穩(wěn)態(tài)誤差是控制系統(tǒng)控制準確度的一種量度，也稱為穩(wěn)態(tài)性能，若時間趨于無窮大時系統(tǒng)的輸出量不等于輸入量或輸入量的確定函數，則系統(tǒng)存在穩(wěn)態(tài)誤差。對于圖4-2所示的控制系統(tǒng)，輸入信號至誤差信號之間的誤差傳遞函數為(4-2)CC(s)E(s)B(s)R(s)則系統(tǒng)的誤差信號為(4-3)當的極點均位于左半平面時，應用拉普拉斯變換的終值定理可求出系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差為(4-4)4.4控制系統(tǒng)的穩(wěn)定性穩(wěn)定性是控制系統(tǒng)的重要性能，也是系統(tǒng)能正常運行的首要條件。系統(tǒng)原處于某一平衡狀態(tài)，若它受到瞬間的某一擾動作用而偏離原來的平衡狀態(tài)，當擾動撤消后，系統(tǒng)仍能回到原有的平衡狀態(tài)，則稱該系統(tǒng)是穩(wěn)定的。反之，系統(tǒng)為不穩(wěn)定的。線性系統(tǒng)的穩(wěn)定性只取決于系統(tǒng)本身，與外界無關。若系統(tǒng)是連續(xù)時間控制系統(tǒng)，其閉環(huán)傳遞函數的極點均嚴格位于s左半平面，則此系統(tǒng)是穩(wěn)定系統(tǒng)。若系統(tǒng)是離散時間控制系統(tǒng)，其閉環(huán)特征根位于z平面上的單位圓周內部，即其閉環(huán)特征根的模小于1。4.5時域分析法的MATLAB實現4.5.1控制系統(tǒng)的動態(tài)性能分析MATLAB提供了線性定常系統(tǒng)的各種時間響應函數和各種動態(tài)性能分析函數，部分函數如下表所示[8]。本文主要介紹step()函數和impulse()函數。表4-1部分時域響應分析函數函數名稱功能step計算并繪制線性定常系統(tǒng)階躍響應impulse計算并繪制連續(xù)時間系統(tǒng)沖激響應initial計算并繪制連續(xù)系統(tǒng)零輸入響應lism仿真線性定常連續(xù)模型對任意輸入的響應dstep計算并繪制離散時間系統(tǒng)階躍響應1、step()函數功能：求線性定常系統(tǒng)的單位階躍響應。其調用格式如下：step(sys)%繪制系統(tǒng)sys的單位階躍響應曲線【例4-1】已知典型系統(tǒng)的傳遞函數為,求系統(tǒng)的單位階躍響應。MATLAB編程:sys=tf(12,[1,1.2,12]);step(sys);xlabel('t');ylabel('y');title('單位階躍響應');gridon;圖4-1系統(tǒng)的單位階躍響應圖形由圖可知：上升時間s；延時時間s；峰值時間=0.9s，此值較小，說明系統(tǒng)對輸入信號反應快；調節(jié)時間=6.4s，此值較大，系統(tǒng)的快速性差，輸出信號復現輸入信號的能力弱；超調量%=58%，此值較大，說明系統(tǒng)的平穩(wěn)性較差。2、impulse()函數功能：求線性定常系統(tǒng)的單位沖激響應。其調用格式若下：impulse(sys)%繪制系統(tǒng)的單位沖激響應曲線【例4-2】已知典型系統(tǒng)的傳遞函數為,求系統(tǒng)的沖激響應。MATLAB編程:sys=tf(4,[114]);impulse(sys);xlabel('t');ylabel('y');title('單位沖激響應');gridon;圖4-2系統(tǒng)的沖激響應圖形4.5.2控制系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)性能分析控制系統(tǒng)靜態(tài)誤差系數即穩(wěn)態(tài)誤差系數，是表明系統(tǒng)的典型外作用下穩(wěn)態(tài)精度的指標。常用的有3種誤差系數[9]。1、靜態(tài)位置誤差系數。(4-5)2、靜態(tài)速度誤差系數。(4-6)3、靜態(tài)加速度誤差系數。(4-7)在式(4-5)到(4-7)中，是閉環(huán)系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數。、和分別標明系統(tǒng)在給定階躍輸入下、在給定斜坡輸入下與在給定等加速度輸入下的穩(wěn)態(tài)或靜態(tài)精度。【4-3】負反饋系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數為，試求此系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)位置、速度與加速度誤差系數、與。MATLAB編程：symssphibGbKpKvKa;phib=4/(5*s^2+10*s+15);[Gb]=solve('4/(5*s^2+10*s+15)=Gb/(1+Gb)',Gb);Kp=limit(Gb,s,0,'right')Kv=limit(s*Gb,s,0,'right')Ka=limit(s^2*Gb,s,0,'right')運行程序，輸出如下：Kp=4/11Kv=0Ka=0此系統(tǒng)的各個誤穩(wěn)態(tài)差都較小，表示系統(tǒng)的輸出跟隨參考輸入的精度越高。4.5.3控制系統(tǒng)的穩(wěn)定性分析應用MATLAB可以方便快捷的對控制系統(tǒng)進行時域分析。由于控制系統(tǒng)的閉環(huán)極點在s平面上的分布決定了控制系統(tǒng)的穩(wěn)定性，所以要判斷控制系統(tǒng)的穩(wěn)定性，只需要確定控制系統(tǒng)閉環(huán)極點在s平面上的分布。在MATLAB中，可以使用函數pzmap()繪制系統(tǒng)的零極點圖判斷系統(tǒng)的穩(wěn)定性?！纠?-3】已知系統(tǒng)的傳輸函數為，判斷該系統(tǒng)的穩(wěn)定性。MATLAB編程:sys=tf([32546],[134272]);pzmap(sys);xlabel('實軸');ylabel('虛軸');title('系統(tǒng)的零極點圖');gridon;圖4-3系統(tǒng)零極點分布圖由圖4-3可知，該系統(tǒng)有極點位于s的右半平面，所以該系統(tǒng)不是穩(wěn)定系統(tǒng)。五自動控制系統(tǒng)的頻域分析5.1頻域分析法簡介頻域分析法是自動控制領域中應用又一種數學工具頻率特性來研究控制系統(tǒng)過程性能，即穩(wěn)定性、快速性及穩(wěn)定精度的方法。這種方法可以直觀地表達出系統(tǒng)頻率特性，而且分析方法簡單，物理概念明確，可以從系統(tǒng)的頻率特性上直接地看出物理實質。頻域分析法里主要用到3種曲線：Bode圖、Nyquist曲線圖、Nichols曲線圖。Bode圖在頻域分析法里占有重要的地位[10]。5.2有關頻率分析法的幾個概念1、頻率響應當線性系統(tǒng)受到正弦信號作用時，系統(tǒng)穩(wěn)定后輸出的穩(wěn)態(tài)分量仍然是同頻率的正弦信號，這種過程叫做系統(tǒng)的頻率響應。2、頻率特性正弦信號的作用下，系統(tǒng)輸出的穩(wěn)態(tài)分量為同頻率的正弦信號，其振幅與輸入正弦信號振幅的比相對于正弦信號角頻率間的關系叫做幅頻特性，其相位與輸入正弦信號的相位之差相對于正弦信號角頻率間的關系叫做相頻特性。系統(tǒng)頻率響應與輸入正弦信號的復數比叫做系統(tǒng)的頻率特性。記作：(5-1)系統(tǒng)的頻率特性與系統(tǒng)的傳遞函數之間有著簡單而直接的關系：(5-2)3、Bode圖Bode圖即對數頻率特性曲線。Bode圖有兩條曲線，分別是對數幅頻特性曲線和對數相頻特性曲線。橫坐標都是角頻率，是按常用對數（以10為底的對數）刻度的，即，其單位是弧度每秒。對數相頻特性的縱坐標是，等分刻度，其單位為度或弧度；而對數幅頻特性的縱坐標是=20lg,也是等分刻度，其單位為分貝。4、幅相特性系統(tǒng)的頻率特性里既有振幅信息又有相位信息，所以又叫做系統(tǒng)的幅相特性。幅相特性圖形化的形式，即是幅相特性曲線。5.3頻率特性的性能指標采用頻域方法進行線性控制系統(tǒng)設計時，時域內采用的諸如超調量，調整時間等描述系統(tǒng)性能的指標不能使用，需要在頻域內定義頻域性能指標[11]，主要有以下幾個:1、峰值它是幅頻特性的最大值，一般來說，峰值的大小表明閉環(huán)控制系統(tǒng)相對穩(wěn)定性的好壞，峰值越大，表明系統(tǒng)對某個頻率的正弦信號反映強烈。2、帶寬它是幅頻特性的數值衰減到0.707時對應的角頻率。帶寬用于衡量控制系統(tǒng)的快速性，帶寬越寬，表明系統(tǒng)復現快速變化信號的能力越強，階躍響應的上升時間和調整時間就越短。3、相頻寬它是相頻特性等于時對應的角頻率。相頻寬也用于衡量系統(tǒng)的快速性。相頻寬高，表明輸入信號的頻率越高，即系統(tǒng)反應快速，快速性好。4、剪切頻率：系統(tǒng)開環(huán)對數幅頻特性曲線20lg|G|與橫坐標軸交點的角頻率，常用來表示。5、穿越頻率：系統(tǒng)開環(huán)對數相頻特性曲線與線交點所對應的角頻率，常用來表示。6、穩(wěn)定欲度(1)相角穩(wěn)定欲度系統(tǒng)開環(huán)幅相特性曲線上模值等于1的向量與負實軸的夾角，常用表示，即：=(5-3) (2)幅值穩(wěn)定裕度系統(tǒng)開環(huán)幅相特性曲線與負實軸交點模值的倒數，常用來表示，即：(5-4) 5.4頻域分析法的MATLAB實現5.4.1Bode圖的繪制MATLAB提供的頻域分析函數如表5-1所示。本文主要介紹函數bode(),其基本調用格式為:bode(sys)bode(sys,w)[mag,phase,w]=bode(sys)表5-1頻域分析函數函數名功能bode繪制Bode圖nichols繪制Nichols圖nyquist繪制Nyquist圖margin計算系統(tǒng)的增益和相位裕度sigma繪制系統(tǒng)奇異值Bode圖Bode()函數用來計算并繪制系統(tǒng)的Bode圖，當函數命令為等式左邊輸出變量的格式時，函數在當前窗口中直接繪制出系統(tǒng)的Bode圖。線性時不變系統(tǒng)對象sys可以是由函數tf()、zpk()、ss()中的任何一個函數建立的系統(tǒng)模型[12]。w用來定義繪制Bode圖時的頻率范圍或者頻率點。第三條語句只計算系統(tǒng)Bode圖的輸出數據，而不繪制曲線。mag為系統(tǒng)Bode圖的振幅值，phase為Bode圖的相位值?！纠?-1】已知系統(tǒng)的傳遞函數為,繪制系統(tǒng)的Bode圖。MATLAB編程:num=[156];den=[13420];sys=tf(num,den);bode(sys);gridon;圖5-1系統(tǒng)的bode圖5.4.2Bode圖分析控制系統(tǒng)的穩(wěn)定性MATLAB提供了直接求解系統(tǒng)的幅值穩(wěn)定裕度和相位穩(wěn)定裕度的函數margin(),其調用格式為:[Gm,Pm,Wcg,Wcp]=margin(sys)[Gm,Pm,Wcg,Wcp]=margin(mag,phase,w)這些語句只計算系統(tǒng)Bode圖的輸出數據，而不繪制曲線。margin()函數可以從頻率響應數據中計算出幅值穩(wěn)定裕度、相位穩(wěn)定裕度及其對應的角頻率。有了控制系統(tǒng)的Bode圖，就可以計算頻域性能指標。當計算出的相角穩(wěn)定裕度>0時，則系統(tǒng)閉環(huán)穩(wěn)定，否則不穩(wěn)定。【例5-2】已知系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數為,試用Bode圖判斷閉環(huán)系統(tǒng)的穩(wěn)定性，并繪制系統(tǒng)的單位階躍響應曲線來驗證。MATLAB編程:num=[8];den=[1.52.752.250.50];sys=tf(num,den);bode(sys);gridon;[Gm,Pm,Wcg,Wcp]=margin(sys)程序執(zhí)行結果為：=0.0449；；=0.4264；=1.4557。模值穩(wěn)定裕度=20lg0.0449dB；穿越頻率=0.4264rad/s。相角穩(wěn)定裕度。剪切頻率=1.4557rad/s。這些性能指標中相角穩(wěn)定裕度為負值，數據說明系統(tǒng)閉環(huán)是不穩(wěn)定的。圖5-2開環(huán)系統(tǒng)的Bode圖繪制系統(tǒng)的單位階躍響應曲線來驗證系統(tǒng)的穩(wěn)定性。MATLAB編程num=[8];den=[1.52.752.250.50];s=tf(num,den);sys=feedback(s,1);t=0:0.01:10;step(sys,t);gridon;title('單位階躍響應');ylabel('y');xlabel('t');運行程序，繪制出系統(tǒng)的單位階躍響應曲線如圖5-3所示。系統(tǒng)的單位階躍響應曲線是發(fā)散的振蕩，說明系統(tǒng)不穩(wěn)定，驗證了用Bode圖判斷系統(tǒng)不穩(wěn)定的結論。圖5-3系統(tǒng)的單位階躍響應曲線六線性系統(tǒng)的狀態(tài)空間分析6.1狀態(tài)空間模型20世紀40年代計算機的出現及其應用領域的不斷擴展，自動控制理論朝著更復雜的方向發(fā)展，因此現代控制理論應運而生，現代控制理論基本上是一種時域法，它引入了狀態(tài)的概念。因此，建立在狀態(tài)空間中的數學模型是一個基本問題，也是現代控制理論中分析和綜合控制系統(tǒng)的前提和基礎，其重要性就像經典控制理論中確定系統(tǒng)的傳遞函數一樣。現代控制理論中的狀態(tài)空間，簡單的說就是將描述系統(tǒng)運動的高階微分方程改寫成一階聯立微分方程組的形式，或者將系統(tǒng)的運動直接用一階微分方程組來表示，寫成矩陣形式，這就得到了狀態(tài)空間的模型[13]。連續(xù)系統(tǒng)的狀態(tài)空間模型為(6-1)式中，為r的系統(tǒng)控制輸入（r個）向量；為n的系統(tǒng)狀態(tài)變量；為m的系統(tǒng)輸出向量；A為的系統(tǒng)矩陣（狀態(tài)矩陣），由控制對象的參數決定；B為n的控制矩陣（輸入矩陣）；C為m的輸出矩陣（觀測矩陣）；D為m的輸入輸出矩陣（直接傳遞矩陣）。6.2狀態(tài)反饋狀態(tài)反饋是將系統(tǒng)的內部狀態(tài)變量乘以一個反饋系數，然后反饋到系統(tǒng)輸入端與系統(tǒng)的參考輸入綜合，綜合而成的信號作為系統(tǒng)的輸入對系統(tǒng)實施控制。控制系統(tǒng)結構如圖6-1所示，原來系統(tǒng)的動態(tài)方程為(6-2)當加上狀態(tài)反饋環(huán)節(jié)后，其中的線性狀態(tài)反饋控制律為(6-3)式中，R是參考輸入；K稱為狀態(tài)反饋增益矩陣，為矩陣。系統(tǒng)動態(tài)方程變?yōu)?6-4) 式中，。 當D=0時，狀態(tài)反饋系統(tǒng)閉環(huán)傳遞函數為(6-5) 式中，為閉環(huán)系統(tǒng)的系統(tǒng)矩陣。 YY++XdX/dt+++URBCKAD圖6-1狀態(tài)反饋結構圖從式(6-2)和(6-4)可以看出，狀態(tài)反饋前后的系統(tǒng)矩陣分別為和,特征方程分別為和,可以看出狀態(tài)反饋后的系統(tǒng)特征根不僅與系統(tǒng)本身的結構參數有關，還與狀態(tài)反饋K有關。6.3控制系統(tǒng)的可控性和可觀性在狀態(tài)空間分析中，系統(tǒng)的可控性和可觀性是非常重要的概念，是現代控制理論中兩個基本的概念。可控性是指系統(tǒng)的狀態(tài)能否被控制；可觀性是指系統(tǒng)狀態(tài)的變化能否由輸出檢測反映出來，系統(tǒng)的可控性和可觀性從狀態(tài)的控制能力和狀態(tài)的識別能力兩個方面反映系統(tǒng)的內在特性，對系統(tǒng)的設計是至關重要的[14]。6.3.1控制系統(tǒng)的可控性線性系統(tǒng)，在時刻的任意初始值，對于，（為系統(tǒng)的時間定義域），可找到控制，其在上的狀態(tài)是完全可控的。系統(tǒng)的完全可控性只取決于狀態(tài)方程中的(A,B)矩陣，因此對于完全可控的系統(tǒng)，經常稱之為(A,B)完全可控[14]?？梢詷嬙煲粋€相似變換矩陣。(6-6)式中，n為系統(tǒng)的階次,矩陣稱為系統(tǒng)的可控性變換矩陣。矩陣可以由控制系統(tǒng)工具箱中提供的ctrb()函數自動生成出來，其調用格式為：Tc=ctrb(A,B),式中，為矩陣的秩，即rank()，稱為系統(tǒng)的可控性指數，它的值是系統(tǒng)中可控狀態(tài)的數目。如果rank()=n，則系統(tǒng)完全可控?！纠?-1】考慮系統(tǒng)的狀態(tài)方程模型:x+u，=x，分析系統(tǒng)的可控性。MATLAB編程:A=[0100;00-10;0001;0050];B=[0;1;0;-2];C=[1000];D=0;Tc=ctrb(A,B);rank(Tc)運行程序，輸出如下：ans=4，可見，因為矩陣的秩為4，等于系統(tǒng)的階次，所以系統(tǒng)是完全可控系統(tǒng)。6.3.2控制系統(tǒng)的可觀性線性系統(tǒng)，在時刻存在，（為系統(tǒng)的時間定義域），如果根據的觀測值，在區(qū)間內能夠唯一地確定系統(tǒng)在時刻的任意初始狀態(tài)，則稱系統(tǒng)在上的狀態(tài)是可觀測的。系統(tǒng)的可觀性只取決于狀態(tài)方程的(A,C)矩陣，因此對于完全可觀的系統(tǒng)，經常稱之為系統(tǒng)(A,C)完全可觀。按照下面的規(guī)則構造一個變換矩陣。(6-7)式中，n為系統(tǒng)的階次；矩陣稱為可觀測變換矩陣。矩陣可以由控制工具箱中提供的obsv()函數直接求出，其調用格式為T=obsv(A,C),式中為矩陣的秩，即rank()，稱為系統(tǒng)的可觀性指數，它實際上是系統(tǒng)中可觀測狀態(tài)的數目。如果rank()=n，則系統(tǒng)完全可觀測?！纠?-2】設系統(tǒng)的狀態(tài)空間方程為：，判斷系統(tǒng)的可觀性。MATLAB編程:A=[-3,1;1,-3];B=[1,1;1,1];C=[1,1;1,-1];D=[0];T=obsv(A,C);rank(T)運行程序，輸出如下：ans=2，可見，因為矩陣的秩為2，等于系統(tǒng)的階次，所以系統(tǒng)是完全可觀系統(tǒng)。6.4極點配置6.4.1極點配置簡介所謂極點配置問題，就是通過反饋矩陣的選擇，使閉環(huán)系統(tǒng)的極點，恰好處于所希望的一組極點位置上，由于希望的極點具有一定的任意性，因此極點的配置也具有一定的任意性[15]。極點配置方法如下所述：如果系統(tǒng)是完全狀態(tài)可控的，那么可選擇期望設置的極點，然后以這些極點作為閉環(huán)極點來設計系統(tǒng)，利用狀態(tài)觀測器反饋全部或部分狀態(tài)變量，使所有的閉環(huán)極點落在各期望位置上，以滿足系統(tǒng)的性能要求。這種設置期望閉環(huán)極點的方法就稱為極點配置法。設給定的線性定常系統(tǒng)為(6-8)式中，x為n維狀態(tài)向量；u為p維狀態(tài)向量；A和B為相應維數的常數矩陣。 若給定n個反饋性能的期望閉環(huán)極點為(6-9)則極點配置的設計問題就是確定一個p狀態(tài)反饋增益矩陣K，使狀態(tài)反饋閉環(huán)系統(tǒng)(6-10)的極點為，即 (6-11)式中，()表示()的特征值。6.4.2單輸入單輸出系統(tǒng)的極點配置對于單輸入單輸出的n階系統(tǒng)，其反饋增益矩陣K是一行向量，僅包含n個元素，可由n個極點唯一確定。單輸入單輸出系統(tǒng)極點配置方法步驟如下：1、確定受控系統(tǒng)完全可控，如果系統(tǒng)不是完全可控，則不能進行極點配置，并確定系統(tǒng)開環(huán)特征多項式det(sI)。det(6-12)2、由希望的閉環(huán)極點計算閉環(huán)期望的特征多項式。det(6-13) 3、計算[](6-14)4、計算變換矩陣P及其逆P，P=(Abb)(6-15)5、將所求出的狀態(tài)反饋增益轉換成實際實施的K，K=。MATLAB提供了進行極點配置