立體幾何知識(shí)點(diǎn)總結(jié)

立體幾何知識(shí)點(diǎn)總結(jié)1、柱、錐、臺(tái)、球的結(jié)構(gòu)特征（1）棱柱：定義 ：有兩個(gè)面互相平行，其余各面都是四邊形，且每相鄰兩個(gè)四邊形的公共邊都互相平行，由這些面所圍成的幾何體。分類：以底面多邊形的邊數(shù)作為分類的標(biāo)準(zhǔn)分為三棱柱、四棱柱、五棱柱等。表示：用各頂點(diǎn)字母，如五棱柱 ABCDE B'C'D'E'或用對(duì)角線的端點(diǎn)字母，如五棱柱AD '幾何特征：兩底面是對(duì)應(yīng)邊平行的全等多邊形；側(cè)面、對(duì)角面都是平行四邊形；側(cè)棱平行且相等；平行于底面的截面是與底面全等的多邊形。（2）棱錐定義：有一個(gè)面是多邊形，其余各面都是有一個(gè)公共頂點(diǎn)的三角形，由這些面所圍成的幾何體分類：以底面多邊形的邊數(shù)作為分類的標(biāo)準(zhǔn)分為三棱錐、四棱錐、五棱錐等表示：用各頂點(diǎn)字母，如五棱錐PA'B'C'D'E'幾何特征：側(cè)面、對(duì)角面都是三角形；平行于底面的截面與底面相似，其相似比等于頂點(diǎn)到截面距離與高的比的平方。（3）分類：以底面多邊形的邊數(shù)作為分類的標(biāo)準(zhǔn)分為三棱態(tài)、四棱臺(tái)、五棱臺(tái)等表示：用各頂點(diǎn)字母，如五棱臺(tái) P B'C'D'E'幾何特征：①上下底面是相似的平行多邊形 ②側(cè)面是梯形 ③側(cè)棱交于原棱錐的頂點(diǎn)（4）特征：①底面是全等的圓；②母線與軸平行；③軸與底面圓的半徑垂直；④側(cè)面展開圖是一個(gè)矩形。（5）,特征：①底面是一個(gè)圓；②母線交于圓錐的頂點(diǎn)；③側(cè)面展開圖是一個(gè)扇形。（6）圓臺(tái)：定義：用一個(gè)平行于圓錐底面的平面去截圓錐，截面和底面之間的部分幾何特征：①上下底面是兩個(gè)圓；②側(cè)面母線交于原圓錐的頂點(diǎn)；③側(cè)面展開圖是一個(gè)扇環(huán)。（7）球體：定義：以半圓的直徑所在直線為旋轉(zhuǎn)軸，半圓面旋轉(zhuǎn)一周形成的幾何體幾何特征：①球的截面是圓；②球面上任意一點(diǎn)到球心的距離等于半徑。2、空間幾何體的三視圖定義三視圖：正視圖（光線從幾何體的前面向后面正投影）；側(cè)視圖（從左向右）、俯視圖（從上向下）注：正視圖反映了物體上下、左右的位置關(guān)系，即反映了物體的高度和長(zhǎng)度；俯視圖反映了物體左右、前后的位置關(guān)系，即反映了物體的長(zhǎng)度和寬度；側(cè)視圖反映了物體上下、前后的位置關(guān)系，即反映了物體的高度和寬度。3、空間幾何體的直觀圖——斜二測(cè)畫法斜二測(cè)畫法特點(diǎn)：①原來與軸平行的線段仍然與 x平行且長(zhǎng)度不變；②原來與軸平行的線段仍然與 y平行，長(zhǎng)度為原來的一半4、柱體、錐體、臺(tái)體的表面積與體積（1）幾何體的表面積為幾何體各個(gè)面的面積的和。（2）特殊幾何體表面積公式（ 為底面周長(zhǎng)，為高

h'為母線）直棱柱側(cè)面積1

SS S S

2rh

正棱錐側(cè)面積

S1ch'2

圓錐側(cè)面積 rlS正棱臺(tái)側(cè)面積S

(1c22

圓臺(tái)側(cè)面積 (rR)l圓柱表2

rrl

圓錐S表rrl S表

圓臺(tái)表

r2 rl Rl2R（3）柱體、錐體、臺(tái)體的體積公式V2 1V圓VV Sh柱

Sh r柱V柱

錐 3

r2hV V 13V1(SV臺(tái) 3

S'SS)h

圓1(S臺(tái) 3

S'SS)h

1(3

rRR2)h4（4）球體的表面積和體積公式： V球=3

R3 ；S =4 R2球面4、空間點(diǎn)、直線、平面的位置關(guān)系球面（1）平面①平面的概念： A.描述性說明； B.平面是無限伸展的；②平面的表示：通常用希臘字母α、β、γ表示，如平面α（通常寫在一個(gè)銳角內(nèi)）；也可以用兩個(gè)相對(duì)頂點(diǎn)的字母來表示，如平面 BC。③點(diǎn)與平面的關(guān)系：點(diǎn)A在平面

內(nèi)，記作A

；點(diǎn)A不在平面 內(nèi)，記作A點(diǎn)與直線的關(guān)系：點(diǎn)A的直線l

上，記作：點(diǎn)A在直線l外，記作A α；直線l不在平面α內(nèi)，記作l直線與平面的關(guān)系：直線l在平面α內(nèi)，記作l α。（3）公理1：經(jīng)過不在同一條直線上的三點(diǎn)，有且只有一個(gè)平面。推論：一直線和直線外一點(diǎn)確定一平面；兩相交直線確定一平面；兩平行直線確定一平面公理1及其推論作用：①它是空間內(nèi)確定平面的依據(jù) ②它是證明平面重合的依據(jù)（2）2：如果一條直線的兩點(diǎn)在一個(gè)平面內(nèi)，那么這條直線是所有的點(diǎn)都在這個(gè)平面內(nèi)。（即直線在平面內(nèi)，或者平面經(jīng)過直線）應(yīng)用：檢驗(yàn)桌面是否平； 判斷直線是否在平面用符號(hào)語言表示公理 1：A l,B l,A ,B l（4）3：如果兩個(gè)不重合的平面有一個(gè)公共點(diǎn),αβaα∩β＝a。符號(hào)語言：P AIB AIB l,P l公理3的作用：①它是判定兩個(gè)平面相交的方法。②它說明兩個(gè)平面的交線與兩個(gè)平面公共點(diǎn)之間的關(guān)系：交線必過公共點(diǎn)。③它可以判斷點(diǎn)在直線上，即證若干個(gè)點(diǎn)共線的重要依據(jù)。（5）公理4：平行于同一條直線的兩條直線互相平行（6）空間直線與直線之間的位置關(guān)系①異面直線定義：不同在任何一個(gè)平面內(nèi)的兩條直線②異面直線性質(zhì)：既不平行，又不相交。③異面直線判定：過平面外一點(diǎn)與平面內(nèi)一點(diǎn)的直線與平面內(nèi)不過該店的直線是異面直線④異面直線所成角：直線ab是異面直線，經(jīng)過空間任意一點(diǎn) O，分別引直線a’∥a，b’∥b，則把直線a’和b’所成的銳角（或直角）叫做異面直線a和b所成的角。兩條異面直線所成角的范圍是 90°]，若兩條異面直線所成的角是直角，我們就說這 兩條異面直線互相垂直。說明：（1）判定空間直線是異面直線方法：①根據(jù)異面直線的定義；②異面直線的判定定理（2）在異面直線所成角定義中，空間一點(diǎn) O是任取的，而和點(diǎn)O的位置無關(guān)。②求異面直線所成角步驟：A、利用定義構(gòu)造角，可固定一條，平移另一條，或兩條同時(shí)平移到某個(gè)特殊的位置，頂點(diǎn)選在特殊的位置上。B、證明作出的角即為所求角C、利用三角形來求角（7）等角定理：如果一個(gè)角的兩邊和另一個(gè)角的兩邊分別平行，那么這兩角相等或互補(bǔ)。（8）空間直線與平面之間的位置關(guān)系直線在平面內(nèi)——有無數(shù)個(gè)公共點(diǎn)．直線不在平面內(nèi)（或直線在平面外三種位置關(guān)系的符號(hào)表示： a ,a

相交：只有一個(gè)公共點(diǎn)平行：沒有公共點(diǎn)A,a//（9）平面與平面之間的位置關(guān)系： 平行——沒有公共點(diǎn)；α∥β相交——有一條公共直線。α∩β＝b5、空間中的平行問題（1）直線與平面平行的判定及其性質(zhì)線面平行的判定定理：平面外一條直線與此平面內(nèi)一條直線平行 ,則該直線與此平面平行。線線平行 線面平行線面平行的性質(zhì)定理： 如果一條直線和一個(gè)平面平行，經(jīng)過這條直線的平面和這個(gè)平面相交那么這條直線和交線平行。線面平行 線線平行（2）平面與平面平行的判定及其性質(zhì)兩個(gè)平面平行的判定定理如果一個(gè)平面內(nèi)的兩條相交直線都平行于另一個(gè)平面，那么這兩個(gè)平面平行（線面平行 →面面平行），如果在兩個(gè)平面內(nèi)，各有兩組相交直線對(duì)應(yīng)平行，那么這兩個(gè)平面平行。 （線線平行→面面平行），兩個(gè)平面平行的性質(zhì)定理如果兩個(gè)平面平行，那么某一個(gè)平面內(nèi)的直線與另一個(gè)平面平行。 （面面平行→線面平行）7、空間中的垂直問題

（面面平行→線線平行）（1）線線、面面、線面垂直的定義①兩條異面直線的垂直：如果兩條異面直線所成的角是直角，就說這兩平面垂直。③平面和平面垂直：如果兩個(gè)平面相交，所成的二面角（從一條直線出發(fā)的兩個(gè)半平面所組成的圖形）是直二面角（平面角是直角），就說這兩個(gè)平面垂直。個(gè)平面所成的角。個(gè)平面所成的角。最小角定理:斜線與平面所成的角是斜線與該平面內(nèi)任一條直線所成角中的最小角:,求斜線與平面所成角的思路類似于求異面直線所成角：“一作，二證，三計(jì)算”。在“作角”時(shí)依定義關(guān)鍵作射影，由射影定義知關(guān)鍵在于斜線上一點(diǎn)到面的垂線，在解題時(shí)，注意挖掘題設(shè)中兩個(gè)主要信息：（1）斜線上一點(diǎn)到面的垂線；（2）過斜線上的一點(diǎn)或過斜線的平面與已知面垂直，由面面垂直性質(zhì)易得垂線。（3）二面角和二面角的平面角①二面角的定義：從一條直線出發(fā)的兩個(gè)半平面所組成的圖形叫做二面角，這條直線叫做二面角的棱，這兩個(gè)半平面叫做二面角的面。②二面角的平面角：以二面角的棱上任意一點(diǎn)為頂點(diǎn)，在兩個(gè)面內(nèi)分別作垂直于棱的兩條射線，這兩．． ．．．條射線所成的角叫二面角的平面角。③直二面角：平面角是直角的二面角叫直二面角。（2）垂直關(guān)系的判定和性質(zhì)定理①線面垂直判定定理和性質(zhì)定理判定定理：如果一條直線和一個(gè)平面內(nèi)的兩條相交直線都垂直，那么這條直線垂直這個(gè)平面。性質(zhì)定理：如果兩條直線同垂直于一個(gè)平面，那么這兩條直線平行。②面面垂直的判定定理和性質(zhì)定理判定定理：如果一個(gè)平面經(jīng)過另一個(gè)平面的一條垂線，那么這兩個(gè)平面互相垂直。性質(zhì)定理：如果兩個(gè)平面互相垂直，那么在一個(gè)平面內(nèi)垂直于他們的交線的直線垂直于另一個(gè)平面。9、空間角問題（1）0。②兩條相交直線所成的角：兩條直線相交其中不大于直角的角，叫這兩條直線所成的角。③兩條異面直線所成的角：過空間任意一點(diǎn)O，分別作與兩條異面直線a，b平行的直線a,b ，形成兩條相直線，這兩條相交直線所成的不大于直角的角叫做兩條異面直線所成的角。（2）直線和平面所成的角①平面的平行線與平面所成的角：規(guī)定為 0 。 ②平面的垂線與平面所成的角：規(guī)定為 90 。③平面的斜線與平面所成的角： 平面的一條斜線和它在平面內(nèi)的射影所成的銳角， 叫做這條直線和這兩相交平面如果所組成的二面角是直二面角，那么這兩個(gè)平面垂直；反過來，如果兩個(gè)平面垂直，那么所成的二面角為直二面角④求二面角的方法定義法：在棱上選擇有關(guān)點(diǎn)，過這個(gè)點(diǎn)分別在兩個(gè)面內(nèi)作垂直于棱的射線得到平面角。垂面法：過棱上一點(diǎn)作與棱垂直的平面，該平面與二面角的兩個(gè)半平面相交，得兩條交線，這兩條交線所成的角為二面角的平面角。2 2 2垂線法：利用三垂線定理或者逆定理作出二面角的平面角。7垂線法：利用三垂線定理或者逆定理作出二面角的平面角。7、空間直角坐標(biāo)系（1）定義：如圖，ABCDA1B1C1D1是單位正方體.A為原點(diǎn)，分別以AB,AD,AA1的方向?yàn)檎较颍⑷龡l數(shù)軸x .z軸.y這時(shí)建立了一個(gè)空間直角坐標(biāo)系1）A叫做坐標(biāo)原點(diǎn)2）x yz軸叫做坐標(biāo)軸.3）過每?jī)蓚€(gè)坐標(biāo)軸的平面叫做坐標(biāo)面。（2）右手表示法：令右手大拇指、食指和中指相互垂直時(shí)，可能形成的位置。大拇指指向?yàn)閤軸正方向，食指指向?yàn)閥軸正向，中指指向則為z軸正向，這樣也可以決定三軸間的相位置。（3）任意點(diǎn)坐標(biāo)表示：空間一點(diǎn)M的坐標(biāo)可以用有序?qū)崝?shù)組(x,y,z)來表示，有序?qū)崝?shù)組(x,y,z) 叫做點(diǎn)M在此空間直角坐標(biāo)系中的坐標(biāo)，記作M(x,y,z)（x叫做點(diǎn)M的橫坐標(biāo)，y叫做點(diǎn)M的縱zM的豎坐標(biāo)）（4）空間兩點(diǎn)距離坐標(biāo)公式：2

) (y1

) (z z )1 2 1【常見題型與思路】【一、平行的證明方法】線線平行的證明方法：①平行線的傳遞性：若 a//b,a//c ，則b//c。②平行四邊形：平行四邊形的對(duì)邊平行。③中位線定理：三角形中位線定理和梯形中位線定理。④若一條直線與一個(gè)平面平行，則過這條直線的任一平面與此平面的交線與該直線平行符號(hào)語言：若l// ,l , I m，則l//m 。⑤若兩個(gè)平行平面同時(shí)和第三個(gè)平面相交，則它們的交線平行符號(hào)語言：若 // , I m, I n，則m//n。⑥垂直于同一平面的兩條直線平行。符號(hào)語言：若m ,n ，則m//n 。線面平行的證明方法：①若平面外一條直線與此平面內(nèi)一條直線平行，則該直線與此平面平行符號(hào)語言：若l ,m ,l//m，則l// 。②若兩個(gè)平面平行，則其中一個(gè)平面內(nèi)的直線一定平行于另一個(gè)平面符號(hào)語言：若 // ,l ，則l// 。③若平面外的兩條平行線中的一條平行于平面，則另一條也平行這個(gè)平面符號(hào)語言：若m ,n ,m//n,m// ，則n// 。面面平行的證明方法：①若一個(gè)平面內(nèi)的兩條相交直線都與另一個(gè)平面平行，則這兩個(gè)平面平行。

（及推論）符號(hào)語言：若m

,n ,mIn A,m// ,n// ，則 // 。②若兩個(gè)平面同時(shí)與一條直線垂直，則這兩個(gè)平面平行符號(hào)語言：若l ,l ，則 // 。③若兩個(gè)平面同時(shí)與一個(gè)平面平行，則這兩個(gè)平面平行符號(hào)語言：若 // , // ，則 // ?！径⒋怪钡淖C明