北師大版數(shù)學必修二課件：第二章 解析幾何初步 6

§2

圓與圓的方程§2圓與圓的方程2.1

圓的標準方程2.1圓的標準方程北師大版數(shù)學必修二課件：第二章解析幾何初步61.確定圓的條件一個圓的圓心位置和半徑一旦給定,這個圓就確定了.2.圓的標準方程(1)圓的定義:到定點的距離等于定長的點的集合叫作圓,定點叫作圓的圓心,定長叫作圓的半徑.(2)方程:圓心為C(a,b),半徑為r的圓的標準方程是(x-a)2+(y-b)2=r2.(3)當圓心是坐標原點時,有a=b=0,那么圓的方程為x2+y2=r2.做一做1

圓(x+8)2+(y-8)2=10的圓心和半徑分別為(

)答案:D1.確定圓的條件做一做1圓(x+8)2+(y-8)2=103.點與圓的位置關系

設點P到圓心的距離為d,圓的半徑為r,則點與圓的位置關系對應如下:【做一做2】

已知圓C:(x-2)2+(y-3)2=4,則P(3,2)(

)A.是圓心 B.在圓C外C.在圓C內(nèi) D.在圓C上答案:C3.點與圓的位置關系設點P到圓心的距離為d,圓的半徑為r,4.中點坐標公式點A(x1,y1),B(x2,y2)的中點坐標為做一做3

已知線段MN的兩端點坐標為M(3,6),N(-7,2),則線段MN的中點G的坐標為

.

答案:(-2,4)北師大版數(shù)學必修二課件：第二章解析幾何初步(14份打包)6北師大版數(shù)學必修二課件：第二章解析幾何初步(14份打包)64.中點坐標公式做一做3已知線段MN的兩端點坐標為M(3,思考辨析判斷下列說法是否正確,正確的在后面的括號內(nèi)打“√”,錯誤的打“×”.(1)(x+2)2-(y-3)2=4是表示以(-2,3)為圓心,以2為半徑的圓.(

)(2)在平面直角坐標系中,只要確定了圓心和半徑,那這個圓的標準方程就確定了.(

)(3)與兩坐標軸均相切的圓的標準方程可設為(x-R)2+(y-R)2=R2(其中R為圓的半徑).(

)答案:(1)×

(2)√

(3)×

(4)×北師大版數(shù)學必修二課件：第二章解析幾何初步(14份打包)6北師大版數(shù)學必修二課件：第二章解析幾何初步(14份打包)6思考辨析答案:(1)×(2)√(3)×(4)×北師大探究一探究二探究三思想方法探究一直接法求圓的標準方程

【例1】求滿足下列條件的圓的標準方程:(1)圓心為(2,-5),且與直線4x-3y-3=0相切;(2)圓心在直線x=2上,且與y軸交于點A(0,-4),B(0,-2).解:(1)圓的半徑即為圓心(2,-5)到直線4x-3y-3=0的距離,由于

于是圓的標準方程為(x-2)2+(y+5)2=16.(2)由于圓與y軸交于點A(0,-4),B(0,-2),所以圓心在直線y=-3上.又圓心在直線x=2上,所以圓心坐標為(2,-3).所以圓的方程為(x-2)2+(y+3)2=5.北師大版數(shù)學必修二課件：第二章解析幾何初步(14份打包)6北師大版數(shù)學必修二課件：第二章解析幾何初步(14份打包)6探究一探究二探究三思想方法探究一直接法求圓的標準方程

【例探究一探究二探究三思想方法反思感悟1.直接法求圓的標準方程,就是先根據(jù)已知條件求出圓心坐標和半徑,再寫出標準方程.2.求圓的圓心坐標與半徑時,常利用以下圓的性質(zhì):(1)圓的任何一條弦的垂直平分線經(jīng)過圓心;(2)圓心到切線的距離等于半徑;(3)圓心與切點的連線長等于半徑;(4)圓心與切點的連線與切線垂直.北師大版數(shù)學必修二課件：第二章解析幾何初步(14份打包)6北師大版數(shù)學必修二課件：第二章解析幾何初步(14份打包)6探究一探究二探究三思想方法反思感悟1.直接法求圓的標準方程,探究一探究二探究三思想方法變式訓練1

求滿足下列條件的圓的標準方程.

(1)經(jīng)過A(6,5),B(0,1)兩點,且圓心在直線3x+10y+9=0上;(2)以點A(-1,2),B(5,-6)連線為直徑的圓的方程.解:(1)設圓心為C,由題意易知AB的垂直平分線的方程為3x+2y-15=0,故所求圓的標準方程為(x-7)2+(y+3)2=65.北師大版數(shù)學必修二課件：第二章解析幾何初步(14份打包)6北師大版數(shù)學必修二課件：第二章解析幾何初步(14份打包)6探究一探究二探究三思想方法變式訓練1求滿足下列條件的圓的標探究一探究二探究三思想方法北師大版數(shù)學必修二課件：第二章解析幾何初步(14份打包)6北師大版數(shù)學必修二課件：第二章解析幾何初步(14份打包)6探究一探究二探究三思想方法北師大版數(shù)學必修二課件：第二章解探究一探究二探究三思想方法探究二待定系數(shù)法求圓的標準方程

【例2】

求滿足下列條件的圓的標準方程:(1)圓心在x軸上,半徑等于5,且經(jīng)過點A(2,-3);(2)經(jīng)過點A(2,-3),B(-2,-5),且圓心在直線x-2y-3=0上.解:(1)由已知可設圓的標準方程為(x-a)2+(y-b)2=25,又圓心在x軸上,且經(jīng)過點A(2,3),于是所求圓的標準方程是(x+2)2+y2=25或(x-6)2+y2=25.北師大版數(shù)學必修二課件：第二章解析幾何初步(14份打包)6北師大版數(shù)學必修二課件：第二章解析幾何初步(14份打包)6探究一探究二探究三思想方法探究二待定系數(shù)法求圓的標準方程

探究一探究二探究三思想方法北師大版數(shù)學必修二課件：第二章解析幾何初步(14份打包)6北師大版數(shù)學必修二課件：第二章解析幾何初步(14份打包)6探究一探究二探究三思想方法北師大版數(shù)學必修二課件：第二章解探究一探究二探究三思想方法反思感悟待定系數(shù)法求圓的標準方程的一般步驟為:(1)設所求的圓的標準方程為(x-a)2+(y-b)2=r2;(2)根據(jù)題意,建立關于a,b,r的方程組;(3)解方程組,求出a,b,r的值;(4)將a,b,r代入所設的圓的方程中,即得所求.北師大版數(shù)學必修二課件：第二章解析幾何初步(14份打包)6北師大版數(shù)學必修二課件：第二章解析幾何初步(14份打包)6探究一探究二探究三思想方法反思感悟待定系數(shù)法求圓的標準方程的探究一探究二探究三思想方法變式訓練2

圓心在直線x-2y+7=0上的圓C與x軸交于兩點A(-2,0),B(-4,0),則圓C的標準方程為

.

解析:求圓的方程,關鍵是求圓心坐標和半徑.方法1:設所求圓的標準方程為(x-a)2+(y-b)2=r2(r>0).∴所求的圓的標準方程為(x+3)2+(y-2)2=5.方法2:由已知條件知圓心為線段AB的中垂線與直線x-2y+7=0的交點.北師大版數(shù)學必修二課件：第二章解析幾何初步(14份打包)6北師大版數(shù)學必修二課件：第二章解析幾何初步(14份打包)6探究一探究二探究三思想方法變式訓練2圓心在直線x-2y+7探究一探究二探究三思想方法由題意易得線段AB的中垂線方程為x=-3,代入x-2y+7=0,得y=2,故圓心的坐標為C(-3,2).再由兩點間的距離公式求得半徑r=|AC|=∴圓的標準方程為(x+3)2+(y-2)2=5.故填(x+3)2+(y-2)2=5.答案:(x+3)2+(y-2)2=5北師大版數(shù)學必修二課件：第二章解析幾何初步(14份打包)6北師大版數(shù)學必修二課件：第二章解析幾何初步(14份打包)6探究一探究二探究三思想方法由題意易得線段AB的中垂線方程為x探究一探究二探究三思想方法探究三判斷點與圓的位置關系

【例3】已知點A(1,2)在圓C:(x-a)2+(y+a)2=2a2的內(nèi)部,求實數(shù)a的取值范圍.分析:解答本題可以根據(jù)點A與圓C的位置關系將點A代入圓的方程的左邊進行求解.北師大版數(shù)學必修二課件：第二章解析幾何初步(14份打包)6北師大版數(shù)學必修二課件：第二章解析幾何初步(14份打包)6探究一探究二探究三思想方法探究三判斷點與圓的位置關系

【例探究一探究二探究三思想方法反思感悟怎樣判斷點與圓的位置關系判斷點與圓的位置關系主要有以下兩種方法.(1)幾何法:根據(jù)圓心到該點的距離d與圓的半徑r的大小關系;(2)代數(shù)法:①(x0-a)2+(y0-b)2>r2,點在圓外;②(x0-a)2+(y0-b)2=r2,點在圓上;③(x0-a)2+(y0-b)2<r2,點在圓內(nèi).北師大版數(shù)學必修二課件：第二章解析幾何初步(14份打包)6北師大版數(shù)學必修二課件：第二章解析幾何初步(14份打包)6探究一探究二探究三思想方法反思感悟怎樣判斷點與圓的位置關系北探究一探究二探究三思想方法變式訓練3

若點P(-2,4)在圓(x+1)2+(y-2)2=m的外部,求實數(shù)m的取值范圍.

解:由于點P(-2,4)在圓外,所以有(-2+1)2+(4-2)2>m,解得m<5.又方程表示圓,所以m>0,因此,實數(shù)m的取值范圍是0<m<5.北師大版數(shù)學必修二課件：第二章解析幾何初步(14份打包)6北師大版數(shù)學必修二課件：第二章解析幾何初步(14份打包)6探究一探究二探究三思想方法變式訓練3若點P(-2,4)在圓探究一探究二探究三思想方法利用數(shù)形結合思想求有關圓的最值問題

典例如圖所示,圓C:(x-8)2+(y-6)2=1,點A(0,-1),B(0,1).設P是圓上的動點,令d=|PA|2+|PB|2,求d的最大值和最小值.思路點撥:本題考查點與圓的位置關系及數(shù)形結合思想,可先列出函數(shù)關系式,然后借助圖形特點解決問題.北師大版數(shù)學必修二課件：第二章解析幾何初步(14份打包)6北師大版數(shù)學必修二課件：第二章解析幾何初步(14份打包)6探究一探究二探究三思想方法利用數(shù)形結合思想求有關圓的最值問題探究一探究二探究三思想方法北師大版數(shù)學必修二課件：第二章解析幾何初步(14份打包)6北師大版數(shù)學必修二課件：第二章解析幾何初步(14份打包)6探究一探究二探究三思想方法北師大版數(shù)學必修二課件：第二章解探究一探究二探究三思想方法方法點睛如圖,點P(x0,y0)是圓C:(x-a)2+(y-b)2=r2(r>0)外一點,則圓上到點P距離最近的點為點P與圓C的圓心的連線與圓的交點A,圓上離點P最遠的點為點P與圓C的圓心的連線的延長線與圓的交點B.北師大版數(shù)學必修二課件：第二章解析幾何初步(14份打包)6北師大版數(shù)學必修二課件：第二章解析幾何初步(14份打包)6探究一探究二探究三思想方法方法點睛如圖,點P(x0,y0)是123451.圓心為(1,1),且過原點的圓的方程是(

)A.(x-1)2+(y-1)2=1 B.(x+1)2+(y+1)2=1C.(x+1)2+(y+1)2=2 D.(x-1)2+(y-1)2=2解析:由題意可得圓的半徑為r=,則圓的標準方程為(x-1)2+(y-1)2=2.答案:D北師大版數(shù)學必修二課件：第二章解析幾何初步(14份打包)6北師大版數(shù)學必修二課件：第二章解析幾何初步(14份打包)6123451.圓心為(1,1),且過原點的圓的方程是()123452.點P(8,m)與圓x2+y2=24的位置關系是(

)A.在圓外 B.在圓內(nèi)C.在圓上 D.與m取值有關答案:A北師大版數(shù)學必修二課件：第二章解析幾何初步(14份打包)6北師大版數(shù)學必修二課件：第二章解析幾何初步(14份打包)6123452.點P(8,m)與圓x2+y2=24的位置關系是123453.已知圓的方程是(2x+4)2+(2y-1)2=9,則該圓的圓心坐標為

,半徑r=

.

北師大版數(shù)學必修二課件：第二章解析幾何初步(14份打包)6北師大版數(shù)學必修二課件：第二章解析幾何初步(14份打包)6123453.已知圓的方程是(2x+4)2+(2y-1)2=123454.已知圓C經(jīng)過A(5,1),B(1,3)兩點,圓心在x軸上,則圓C的方程為

.答案:(x-2)2+y2=10北師大版數(shù)學必修二課件：第二章解析幾何初步(14份打包)6北師大版數(shù)學必修二課件：第二章解析幾何初步(14份打包)6123454.已知圓C經(jīng)過A(5,1),B(1,3)兩點,圓123455.設A為圓(x-2)2+(y-2)2=1上一動點,則A到直線x-y-5=0的最大距離為

.北師大版數(shù)學必修二課件：第二章解析幾何初步(14份打包)6北師大版數(shù)學必修二課件：第二章解析幾何初步(14份打包)6123455.設A為圓(x-2)2+(y-2)2=1上一動點§2

圓與圓的方程§2圓與圓的方程2.1

圓的標準方程2.1圓的標準方程北師大版數(shù)學必修二課件：第二章解析幾何初步61.確定圓的條件一個圓的圓心位置和半徑一旦給定,這個圓就確定了.2.圓的標準方程(1)圓的定義:到定點的距離等于定長的點的集合叫作圓,定點叫作圓的圓心,定長叫作圓的半徑.(2)方程:圓心為C(a,b),半徑為r的圓的標準方程是(x-a)2+(y-b)2=r2.(3)當圓心是坐標原點時,有a=b=0,那么圓的方程為x2+y2=r2.做一做1

圓(x+8)2+(y-8)2=10的圓心和半徑分別為(

)答案:D1.確定圓的條件做一做1圓(x+8)2+(y-8)2=103.點與圓的位置關系

設點P到圓心的距離為d,圓的半徑為r,則點與圓的位置關系對應如下:【做一做2】

已知圓C:(x-2)2+(y-3)2=4,則P(3,2)(

)A.是圓心 B.在圓C外C.在圓C內(nèi) D.在圓C上答案:C3.點與圓的位置關系設點P到圓心的距離為d,圓的半徑為r,4.中點坐標公式點A(x1,y1),B(x2,y2)的中點坐標為做一做3

已知線段MN的兩端點坐標為M(3,6),N(-7,2),則線段MN的中點G的坐標為

.

答案:(-2,4)北師大版數(shù)學必修二課件：第二章解析幾何初步(14份打包)6北師大版數(shù)學必修二課件：第二章解析幾何初步(14份打包)64.中點坐標公式做一做3已知線段MN的兩端點坐標為M(3,思考辨析判斷下列說法是否正確,正確的在后面的括號內(nèi)打“√”,錯誤的打“×”.(1)(x+2)2-(y-3)2=4是表示以(-2,3)為圓心,以2為半徑的圓.(

)(2)在平面直角坐標系中,只要確定了圓心和半徑,那這個圓的標準方程就確定了.(

)(3)與兩坐標軸均相切的圓的標準方程可設為(x-R)2+(y-R)2=R2(其中R為圓的半徑).(

)答案:(1)×

(2)√

(3)×

(4)×北師大版數(shù)學必修二課件：第二章解析幾何初步(14份打包)6北師大版數(shù)學必修二課件：第二章解析幾何初步(14份打包)6思考辨析答案:(1)×(2)√(3)×(4)×北師大探究一探究二探究三思想方法探究一直接法求圓的標準方程

【例1】求滿足下列條件的圓的標準方程:(1)圓心為(2,-5),且與直線4x-3y-3=0相切;(2)圓心在直線x=2上,且與y軸交于點A(0,-4),B(0,-2).解:(1)圓的半徑即為圓心(2,-5)到直線4x-3y-3=0的距離,由于

于是圓的標準方程為(x-2)2+(y+5)2=16.(2)由于圓與y軸交于點A(0,-4),B(0,-2),所以圓心在直線y=-3上.又圓心在直線x=2上,所以圓心坐標為(2,-3).所以圓的方程為(x-2)2+(y+3)2=5.北師大版數(shù)學必修二課件：第二章解析幾何初步(14份打包)6北師大版數(shù)學必修二課件：第二章解析幾何初步(14份打包)6探究一探究二探究三思想方法探究一直接法求圓的標準方程

【例探究一探究二探究三思想方法反思感悟1.直接法求圓的標準方程,就是先根據(jù)已知條件求出圓心坐標和半徑,再寫出標準方程.2.求圓的圓心坐標與半徑時,常利用以下圓的性質(zhì):(1)圓的任何一條弦的垂直平分線經(jīng)過圓心;(2)圓心到切線的距離等于半徑;(3)圓心與切點的連線長等于半徑;(4)圓心與切點的連線與切線垂直.北師大版數(shù)學必修二課件：第二章解析幾何初步(14份打包)6北師大版數(shù)學必修二課件：第二章解析幾何初步(14份打包)6探究一探究二探究三思想方法反思感悟1.直接法求圓的標準方程,探究一探究二探究三思想方法變式訓練1

求滿足下列條件的圓的標準方程.

(1)經(jīng)過A(6,5),B(0,1)兩點,且圓心在直線3x+10y+9=0上;(2)以點A(-1,2),B(5,-6)連線為直徑的圓的方程.解:(1)設圓心為C,由題意易知AB的垂直平分線的方程為3x+2y-15=0,故所求圓的標準方程為(x-7)2+(y+3)2=65.北師大版數(shù)學必修二課件：第二章解析幾何初步(14份打包)6北師大版數(shù)學必修二課件：第二章解析幾何初步(14份打包)6探究一探究二探究三思想方法變式訓練1求滿足下列條件的圓的標探究一探究二探究三思想方法北師大版數(shù)學必修二課件：第二章解析幾何初步(14份打包)6北師大版數(shù)學必修二課件：第二章解析幾何初步(14份打包)6探究一探究二探究三思想方法北師大版數(shù)學必修二課件：第二章解探究一探究二探究三思想方法探究二待定系數(shù)法求圓的標準方程

【例2】

求滿足下列條件的圓的標準方程:(1)圓心在x軸上,半徑等于5,且經(jīng)過點A(2,-3);(2)經(jīng)過點A(2,-3),B(-2,-5),且圓心在直線x-2y-3=0上.解:(1)由已知可設圓的標準方程為(x-a)2+(y-b)2=25,又圓心在x軸上,且經(jīng)過點A(2,3),于是所求圓的標準方程是(x+2)2+y2=25或(x-6)2+y2=25.北師大版數(shù)學必修二課件：第二章解析幾何初步(14份打包)6北師大版數(shù)學必修二課件：第二章解析幾何初步(14份打包)6探究一探究二探究三思想方法探究二待定系數(shù)法求圓的標準方程

探究一探究二探究三思想方法北師大版數(shù)學必修二課件：第二章解析幾何初步(14份打包)6北師大版數(shù)學必修二課件：第二章解析幾何初步(14份打包)6探究一探究二探究三思想方法北師大版數(shù)學必修二課件：第二章解探究一探究二探究三思想方法反思感悟待定系數(shù)法求圓的標準方程的一般步驟為:(1)設所求的圓的標準方程為(x-a)2+(y-b)2=r2;(2)根據(jù)題意,建立關于a,b,r的方程組;(3)解方程組,求出a,b,r的值;(4)將a,b,r代入所設的圓的方程中,即得所求.北師大版數(shù)學必修二課件：第二章解析幾何初步(14份打包)6北師大版數(shù)學必修二課件：第二章解析幾何初步(14份打包)6探究一探究二探究三思想方法反思感悟待定系數(shù)法求圓的標準方程的探究一探究二探究三思想方法變式訓練2

圓心在直線x-2y+7=0上的圓C與x軸交于兩點A(-2,0),B(-4,0),則圓C的標準方程為

.

解析:求圓的方程,關鍵是求圓心坐標和半徑.方法1:設所求圓的標準方程為(x-a)2+(y-b)2=r2(r>0).∴所求的圓的標準方程為(x+3)2+(y-2)2=5.方法2:由已知條件知圓心為線段AB的中垂線與直線x-2y+7=0的交點.北師大版數(shù)學必修二課件：第二章解析幾何初步(14份打包)6北師大版數(shù)學必修二課件：第二章解析幾何初步(14份打包)6探究一探究二探究三思想方法變式訓練2圓心在直線x-2y+7探究一探究二探究三思想方法由題意易得線段AB的中垂線方程為x=-3,代入x-2y+7=0,得y=2,故圓心的坐標為C(-3,2).再由兩點間的距離公式求得半徑r=|AC|=∴圓的標準方程為(x+3)2+(y-2)2=5.故填(x+3)2+(y-2)2=5.答案:(x+3)2+(y-2)2=5北師大版數(shù)學必修二課件：第二章解析幾何初步(14份打包)6北師大版數(shù)學必修二課件：第二章解析幾何初步(14份打包)6探究一探究二探究三思想方法由題意易得線段AB的中垂線方程為x探究一探究二探究三思想方法探究三判斷點與圓的位置關系

【例3】已知點A(1,2)在圓C:(x-a)2+(y+a)2=2a2的內(nèi)部,求實數(shù)a的取值范圍.分析:解答本題可以根據(jù)點A與圓C的位置關系將點A代入圓的方程的左邊進行求解.北師大版數(shù)學必修二課件：第二章解析幾何初步(14份打包)6北師大版數(shù)學必修二課件：第二章解析幾何初步(14份打包)6探究一探究二探究三思想方法探究三判斷點與圓的位置關系

【例探究一探究二探究三思想方法反思感悟怎樣判斷點與圓的位置關系判斷點與圓的位置關系主要有以下兩種方法.(1)幾何法:根據(jù)圓心到該點的距離d與圓的半徑r的大小關系;(2)代數(shù)法:①(x0-a)2+(y0-b)2>r2,點在圓外;②(x0-a)2+(y0-b)2=r2,點在圓上;③(x0-a)2+(y0-b)2<r2,點在圓內(nèi).北師大版數(shù)學必修二課件：第二章解析幾何初步(14份打包)6北師大版數(shù)學必修二課件：第二章解析幾何初步(14份打包)6探究一探究二探究三思想方法反思感悟怎樣判斷點與圓的位置關系北探究一探究二探究三思想方法變式訓練3

若點P(-2,4)在圓(x+1)2+(y-2)2=m的外部,求實數(shù)m的取值范圍.

解:由于點P(-2,4)在圓外,所以有(-2+1)2+(4-2)2>m,解得m<5.又方程表示圓,所以m>0,因此,實數(shù)m的取值范圍是0<m<5.北師大版數(shù)學必修二課件：第二章解析幾何初步(14份打包)6北師大版數(shù)學必修二課件：第二章解析幾何初步(14份打包)6探究一探究二探究三思想方法變式訓練3若點P(-2,4)在圓探究一探究二探究三思想方法利用數(shù)形結合思想求有關圓的最值問題

典例如圖所示,圓C:(x-8)2+(y-6)2=1,點A(0,-1),B(0,1).設P是圓上的動點,令d=|PA|2+|PB|2,求d的最大值和最小值.思路點撥:本題考查點與圓的位置關系及數(shù)形結合思想,可先列出函數(shù)關系式,然后借助圖形特點解決問題.北師大版數(shù)學必修二課件：第二章解析幾何初步(14份打包)6北師大版數(shù)學必修二課件：第二章解析幾何初步(14份打包)6探究一探究二探究三思想方法利用數(shù)形結合思想求有關圓的最值問題探究一探究二探究三思想方法北師大版數(shù)學必修二課件：第二章解析幾何初步(14份打包)6北師大版數(shù)學必修二課件：第二章解析幾何初步(14份打包)6探究一探究二探究三思想方法北師大版數(shù)學必修二課件：第二章解探究一探究二探究三思想方法方法點睛如圖,點P(x0,y0)是圓C:(