反證法在初中數(shù)學解題中的應用探討

反證法在初中數(shù)學解題中的應用討論〔〕:

摘要：在初中數(shù)學的教學和學習過程中，反證法是一種非常常見的解題方法，它可以有效簡化數(shù)學問題，進步解題速度與解題正確率，鍛煉學生的邏輯思維才能。在初中數(shù)學解題過程中，反證法的應用非常廣泛。尤其是針對一些無處著手的數(shù)學問題，反證法的解題技巧可以幫助學生迅速獲得解題答案。基于此，本文概述了反證法的理論和分類等，重點針對反證法在初中數(shù)學解題中的應用進展了詳細的分析，以供參考。

關(guān)鍵詞：反證法；初中數(shù)學；解題；應用

反證法的應用思路是先將結(jié)論否認，然后依次為根底展開論證，并根據(jù)命題和推理原那么得出與題設(shè)相矛盾的結(jié)論，進而確定論題的真實性。由此可見，反證法的應用并不需要直接證明結(jié)論，而是通過否認與結(jié)論相反的一面來證明事物的真實性。這是一種間接的、讓步的證明方法。巧妙地應用反證法可以讓人有一種茅塞頓開的感覺，并且解題過程簡潔、明快，被譽為"數(shù)學家最精良的武器之一";。而且在初中數(shù)學解題中，巧妙應用反證法可以有效培養(yǎng)學生的逆向思維，進步學生的數(shù)學問題解決才能。

一、反證法的概述

反證法在初中數(shù)學解題中屬于較為特別的解題方法，尤其對于一些無從下手的難題往往有較好的解題效果，但要想正確有效地運用需要準確細致地理解反證法的相關(guān)理念，下面進展詳細闡述。

〔一〕反證法的根本理念

先對原命題進展否認，然后再找出必要的矛盾，就可以對原命題進展論證。也就是說，在證明一個命題的時候，可以先假設(shè)命題結(jié)論的對立面是正確的，再由條件得出兩個互相矛盾的結(jié)論，或者與數(shù)學定理、公理、條件等相矛盾的結(jié)果，就可以說假設(shè)不成立。而在說明假設(shè)不成立的同時，也就代表著原命題的成立。這就是反證法。

〔二〕反證法的理論根據(jù)

反證法的理論根據(jù)為矛盾律和排中律。矛盾律的意思是，在同一個證明過程中，假設(shè)兩個相結(jié)論互相對立，那么其中一個必然是錯誤的。而排中律的意思是，同一個命題只有兩種可能，要么為真，要么為假。排中律的特點是，解題者必需要有明晰、明確的思維，不僅要確定自己的思維邏輯，還要明確自己的立場。要想有效地運用矛盾律和排中律解決數(shù)學問題，就一定要防止出現(xiàn)邏輯矛盾，假設(shè)邏輯思維不符合排中律，那么必然也不符合矛盾律。但是矛盾律更加強調(diào)當兩個結(jié)論彼此對立的時候，其中一個結(jié)論必然是錯誤的。而排中律那么強調(diào)兩個結(jié)論互相否認，就會存在一定的正確結(jié)論【1】。

〔三〕反證法的邏輯根據(jù)

與直接證明法一樣，反證法的推理過程也有著一定的邏輯規(guī)律。很多人認為"原命題與逆否命題等價";，就是反證法應用的邏輯根據(jù)，只有明確了四種命題之間的關(guān)系，才可以將反證法的根底知識掌握扎實。但是這種理解是錯誤的，因為原命題與逆否命題之間的等價關(guān)系，正是通過反證法推理出來的，將反證法理解為"證明與原命題等效的逆命題";更是不準確的。只有在矛盾假設(shè)推理出來的結(jié)果正好是題設(shè)的時候，我們才可以將被證明的命題視為原命題的逆否命題。

〔四〕反證法的分類

一般情況下，我們可以將反證法分為以下兩種。第一種是歸謬法，即對原命題的結(jié)論進展否認，假設(shè)只有一種情況，那么只要證明這種情況是錯誤的，就可以證明原命題結(jié)論成立。第二種是窮舉法，即對原命題的結(jié)論進展否認，其結(jié)果有多種情況，那么就只能將所有情況進展逐一否認，才能證明原命題結(jié)論成立。

二、反證法在初中數(shù)學解題中應用的重要性

在初中數(shù)學的教學和實際解題過程中，應用反證法不僅可以進步解題效率和解題的正確性，同時反向的思維方式還可以進步學生的數(shù)學思維與邏輯才能，改良和豐富初中數(shù)學的教學方法，增加數(shù)學學習的興趣性并進步學生學習的興趣，以上均可以整體推動數(shù)學教育的開展與進步。

〔一〕進步了學生的數(shù)學思維才能

反證法的解題思維與常規(guī)性的數(shù)學解題思維完全相反，所以反證法的應用可以對學生的解題思維產(chǎn)生新的啟發(fā)，進而進步學生的數(shù)學思維才能。當面對數(shù)學問題的時候，學生往往會習慣性地運用常規(guī)性方法展開考慮與分析，但是還有相當一局部的數(shù)學問題，很難通過常規(guī)方法獲得答案，只有從反面考慮才能找到解題打破口。所以，在初中數(shù)學解題過程中，反證法的應用可以拓寬學生的解題思路，讓學生考慮并嘗試更多非常規(guī)的解題方法。久而久之，學生的數(shù)學思維才能也就得到了有效進步。

〔二〕推動了數(shù)學教育的開展與進步

面對數(shù)學問題，假設(shè)初中學生長期使用正向思維，很容易形成一種定性思維，甚至對學生多樣化的考慮方式產(chǎn)生限制，影響學生對問題的多角度考慮的同時，也讓學生對枯燥的數(shù)學學習無法提起學習興趣。隨著新課程改革的不斷深化，在數(shù)學知識的學習方面，對于學生也提出了更高的要求，即學生不僅要掌握足夠的根底知識，為后期數(shù)學知識的學習打好根底，還要學會多角度的分析數(shù)學問題，運用多種數(shù)學思維獲得問題答案。另外，掌握了反證法的應用技巧的學生，還可以將這種數(shù)學思維應用到日常生活中特殊問題的解決當中，而這正好為數(shù)學教育的開展提供了有力的支持。

〔三〕改良了初中數(shù)學的教學方法

反證法不僅是一種常用的數(shù)學解題方法，還是一種重要的數(shù)學解題方法，與常規(guī)的數(shù)學解題思維有著很大的差異。在新課程改革不斷深化的背景下，數(shù)學教師必需要按照新課程的教學要務(wù)施行教學活動，并加強新型數(shù)學解題方法以及數(shù)學思維形式的學習，保證教學質(zhì)量。而反證法的巧妙應用，不僅可以簡化數(shù)學問題的解析過程，還可以保證數(shù)學問題的解析效率。另外，教師合理地應用反證法，還可以加深對現(xiàn)有數(shù)學教學方法的深思，并在教學理論中進展自身教學方法的不斷的優(yōu)化和調(diào)整。只有不斷嘗試新的教學方法，才可以不斷激發(fā)學生對數(shù)學知識的學習興趣，讓學生體會數(shù)學問題的解題樂趣。

三、反證法在數(shù)學解題中的應用步驟

反證法在數(shù)學解題中的應用步驟，主要有三步：第一反設(shè)，第二歸謬，第三結(jié)論。首先，反設(shè)，這是應用反證法解決數(shù)學問題的根底，反設(shè)的正確與否，直接影響著數(shù)學問題的解題進度與解題結(jié)果。要想進展正確的反設(shè)，第一要明確題設(shè)條件與結(jié)論，第二全面詳細地找出與結(jié)論相反的架設(shè)，第三對結(jié)論進展肯定或者否認。為了進步反設(shè)的正確率，可以引導學生熟知常用的幾種互為否認詞。例如"是";的反義詞是"不是";，"都";的反義詞是"不都";，"大于";的反義詞是"不大于";，"小于";的反義詞是"不小于";，"有限";的反義詞是"存在";，"存在";的反義詞是"不存在";。另外，針對至少有1個，至多有n個，至多有1個等證明結(jié)論的反設(shè)，就需要用心琢磨，理解"一個也沒有";"最多有兩個";以及"至多有n個";的含義。其次，歸謬，這是應用反證法正確解決數(shù)學問題的關(guān)鍵，也是應用反證法的難點所在。主要是通過反設(shè)來得出矛盾，需要解題者明確推理方向反設(shè)后條件局部，明確如何找出矛盾。最后，結(jié)論，即通過反證法獲得預期結(jié)果。歸謬得出的矛盾是因為反射才產(chǎn)生的問題，并不是所謂的新理論。只有這樣，才可以得出原命題成立的結(jié)論【2】。

四、反證法在數(shù)學解題中的應用本卷須知

反證法是通過驗證與所求結(jié)論相反結(jié)論的錯誤性來得出所求結(jié)論的正確性的一種數(shù)學解題方式。在實際解題過程中，要注意以下幾點才能正確有效的運用，并得出正確答案。

〔一〕正確否認結(jié)論

在數(shù)學問題的解決過程中，要想巧妙地應用反證法獲得問題答案，必需要對結(jié)論進展正確的否認，這是應用反證法解題的前提。

例如，針對"在一個三角形中內(nèi)角最多只有一個直角";的題設(shè)，將"最多只有一個";進展反設(shè)，就是"一個三角形中三個內(nèi)角可以有兩個直角或者三個直角。";所以，要想正確應用反證法解決數(shù)學問題，必需要注意到實際的題型構(gòu)造，然后通過對原始結(jié)論的否認來對原結(jié)論進展肯定。而要想對原始結(jié)論進展否認，就必需要在正確的邏輯推理過程中發(fā)現(xiàn)矛盾或者制造矛盾。由此可見，反證法的應用可以有效訓練學生的逆向思維，進而增強學生的思維才能，進步數(shù)學教學質(zhì)量【3】。

〔二〕明確推理特點

在數(shù)學問題的解決過程中，要想巧妙地應用反證法獲得問題答案，就需要先否認結(jié)論，再推導出矛盾。但是會出現(xiàn)什么樣的矛盾，或者推導到什么程度會出現(xiàn)矛盾具有一定的不確定性。但是可以通過相關(guān)領(lǐng)域的聯(lián)想來猜想矛盾的種類。例如，假設(shè)題目是與平面幾何相關(guān)的問題，那么就要聯(lián)想與平面幾何相關(guān)的公理、定理以及定義等。而且只要做到反設(shè)無誤，推導過程嚴謹，邏輯正確，就可以自然而然地找到矛盾，證明結(jié)論。

〔三〕理解矛盾種類

常見的矛盾主要有以下幾種形式：第一自相矛盾，第二與假設(shè)矛盾，第三與條件矛盾，第四與數(shù)學定理、公理以及定義矛盾。與直接證明法相比，反證法的應用可以跨越一些解題阻礙，簡化解題步驟，而且通過反設(shè)還可以增加解題條件，快速得出結(jié)論。

綜上所述，在初中數(shù)學的解題理論過程中，反證法是一種非常有效的數(shù)學解題方法，很多看似無從下手的問題，使用反證法都可以迎刃而解，而且解題的效率非常高。但是反證法的應用具有一定的難度，學生很難在短時間內(nèi)掌握。所以初中數(shù)學教師要講究一定的方式方法對反證法的知識點進展教授，對反證法的概念、種類、解題步驟以及適用的題型進展充分詳細的講解和反復強調(diào)，讓學生形成深化印象才能更好地應用。筆者著重分析了反證法在初中數(shù)學解題中應用的重要性，并對反證法的步驟和解題時應該注意的事項進展了詳細的闡述。只有采取有效的措施加深學生對于反證法的理解，純熟反證法的解題步驟，學生才可以在實際解題時信手拈來做到純熟運用，才可以純熟地假設(shè)問題的矛盾，明確解題思路，正確獲得問題答案，同時節(jié)約答題時間。

參考文獻：

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